APLICAR MIS CONOCIMIENTOS?

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1 INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMÁTICAS ASIGNATURA: MATEMÁTICAS DOCENTE: JOSÉ IGNACIO DE JESÚS FRANCO RESTREPO TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION PERIODO GRADO FECHA DURACION 1 11 FEBRERO 11 DE 6 UNIDADES 01 INDICADORES DE DESEMPEÑO Soluciona con claridad inecuaciones enteras tanto lineales como polinómicas para reconocer su intervalo solución. Propone alternativas de solución a las actividades planteadas. BIENVENIDA: TE INVITO PARA QUE CON MUCHO ENTUSIASMO ABORDES EN ESTE PRIMER PERÍODO EL ESTUDIO DE LAS INECUACIONES REALES... ADELANTE! APLICAR MIS CONOCIMIENTOS? Sí, ha llegado la hora para medir tus conocimientos. Cómo?... no mirando cuanta información has almacenado en tu memoria como una simple máquina, sino mirando la manera de aplicarla, en qué momento, de que forma, para beneficio de quién y a son de qué. Llevas ya casi meses de estar escuchando competencias, competencias y más competencias. Pero no te sientas saturada ni acosada por ello por el contrario, siéntete orgullosa de ser un ser humano, creativo, racional, lógico, crítico, con una interminable capacidad de análisis, de comprensión, de entendimiento, de discernimiento, capacidades maravillosas que ha dado Dios a todos los seres humanos y tú debes procurar colaborar con él poniendo todo tu empeño, todo tu interés y todo el cariño en todo lo que hagas, mostrándote a ti misma y a los demás que eres una persona con un gran potencial racional, que verdaderamente eres un ser humano dotado de una gran inteligencia que debes explotar. Entras ahora a trabajar otro de los temas de gran importancia dentro del campo matemático como son las desigualdades y su aplicación dentro de las inecuaciones. El concepto de inecuación es muy útil a la hora de explicar algunos fenómenos con los que nos encontramos a diario así por ejemplo, por encima del punto de ebullición del agua (100 grados centígrados), ésta se evapora. Por debajo del punto de congelación (0 grados), es hielo. Entre estas dos temperaturas (0 < t < 100), es líquido. Esta desigualdad establece que a cualquier temperatura comprendida entre 0 y 100 grados centígrados, el estado del agua es líquido. De otro lado en el mundo de los negocios, la economía y la administración, el análisis de la productividad presenta problemas cuyas variables están limitadas por consideraciones prácticas tales como restricciones inevitables de espacio, tiempo, costos, utilización de materiales, entre otras, cada 1

2 una de las cuales puede ser cuantificada y expresada mediante una desigualdad entre número reales. Por ejemplo, un fabricante al elaborar un programa de producción de piezas para ensamblar motores, tiene en cuenta mercancía en inventario, demanda en períodos de tiempo, costos de producción, capacidad y utilización de maquinaria, número de operarios, etc., para el cual la programación lineal es útil en la optimización de recursos y minimización de costos y para ello es necesario emplear las ecuaciones y las inecuaciones. Como puedes observar, el estudio de las desigualdades e inecuaciones es de gran aplicación en diferentes circunstancias de la vida cotidiana, las cuales tendrás que enfrentar como futura profesional que serás. Cuando nos enfrentamos a un nuevo conocimiento debemos explorar en él, qué ideas tenemos y de esta forma profundizar y mirar qué aplicaciones tiene. Te invito para que con mucha responsabilidad, interés y entusiasmo entres a navegar en el maravilloso mundo matemático del grado once. BIENVENIDA! ESCUDRIÑANDO EN MI ABER Recuerda que FACTORIZAR un polinomio es descomponerlo o expresarlo como el producto de varios factores primos. Observa y comprende el siguiente mapa conceptual en el cual encontrarás el orden de los casos más comunes que debes seguir para factorizar un polinomio dado: POLINOMIO Binomios Trinomios Más de tres términos Factor común a b a b a + b Factor común Forma x bx c Forma ax bx c Teorema del factor Agrupación de términos Teorema del factor (División sintética). Es tu responsabilidad recordar y nivelarte en los casos de factorización que más dificultad te han dado estúdialos y si tienes alguna duda puedes pedir ayuda a tu profesor en los descansos. El álgebra de Baldor es un buen recurso para ello. Álgebra Baldor

3 De acuerdo a la explicación que te dará el profesor en clase sobre el teorema del factor factoriza los siguientes polinomios: a. x 5x 4x + b. x 4 x 7x + x + 6 c. x 4 + 7x - 14x 61x 4 DESIGUALDADES En matemáticas existe la propiedad de completez mediante la cuál a cada punto en la recta real le corresponde un número y a cada número le corresponde un punto en la recta así se tienen números que están a la derecha o que están a la izquierda de otro número dado pero que en ningún momento son iguales, en otras palabras, estos números son desiguales y decimos que entre ellos existe una desigualdad. Así por ejemplo comparando a 10 y a - 8 se dice que 10 es mayor que - 8 ó que 10 está a la derecha de - 8 y se escribe 10 > - 8 o también que - 8 es menor que 10 o que - 8 está a la izquierda de 10 y se escribe - 8 < 10. Por lo tanto, en general dados dos números reales A y B entre ellos se da la Ley de Tricotomía mediante la cual entre dichos números se puede presentar una y sólo una de las siguientes relaciones: A = B ó A < B ó A > B LEY DE TRICOTOMÍA Las dos últimas relaciones son las que conforman una desigualdad. En conclusión: Si A y B son números reales diferente entonces si A está a la izquierda de B es porque A es menor que B (A < B) y si A está a la derecha de B es porque A es mayor que B ( A > B ). OBSERVACIÓN IMPORTANTE: 1. A B significa que A > B ó que A = B. A B significa que A < B ó que A = B. A > 0 significa que A es un número positivo 4. A < 0 significa que A es un número negativo 5. A.B 0 significa que A 0 y B 0 ó que A 0 y B A.B 0 significa que A 0 y B 0 ó que A 0 y B 0. Oye Daniela Toro... Qué interesante!...verdad? INTERVALOS. Un intervalo es un subconjunto de números reales y se puede representar por medio de desigualdades. Éstos se emplean para dar la solución de las inecuaciones. Existen dos clases generales de intervalos: FINITOS e INFINITOS. Finitos: Cuando el intervalo comienza en un número real (límite o extremo inferior) y termina en otro número real (límite o extremo superior). Infinitos: Cuando el intervalo carece de uno de los dos extremos (se sabe en qué número real comienza pero no donde termina y viceversa) ó carece de los dos. NOTAS: a. Un intervalo tiene tres formas de expresarse: * En notación gráfica o en la recta: m n

4 * En notación de conjunto: { x / x R m x n} * En notación de intervalo: m, n b. Cuando en un intervalo un extremo no se incluye, en la recta va una bolita sin llenar, en la notación de conjunto el símbolo de la desigualdad no lleva el igual y en la notación de intervalo en ese extremo lleva un paréntesis. c. Cuando en un intervalo un extremo sí se incluye, en la recta va una bolita llena, en la notación de conjunto el símbolo de la desigualdad lleva el igual y en la notación de intervalo en ese extremo lleva un corchete. d. Los símbolos - y + nunca se incluyen porque no indican un número específico. ENTERA LINEALES ( transposición de términos ) INECUACIÓN POLINÓMICAS ( Factorización ) FRACCIONARIA Una inecuación real es una desigualdad en la que aparecen una o más variables. En mi curso sólo me interesa analizar inecuaciones con una sola variable y para resolverlas haré uso de las propiedades de las desigualdades y de los intervalos vistos anteriormente. CLASES DE INECUACIONES Enteras: Aquellas en las cuales la variable no aparece en ningún denominador. Estas inecuaciones se dividen a su vez en dos grupos: * Lineales: Cuando el exponente de la variable es uno. Puede tomar cualquiera de estas formas: Ax + B > 0 Ax + B < 0 Ax + B 0 Ax + B 0. * Polinómicas: Cuando el exponente de la variable es un natural mayor que uno. Lineales: x 5x4 x 8x x7 x 5x Polinómicas : x 5x x x x 0 ( x)(x)(x7) 0 Fraccionarias o racionales: Aquellas inecuaciones en las cuales la variable aparece en algún denominador, como por ejemplo: x x7 x1 4x x x x1 x x Debo tener presente que resolver una inecuación es hallar los valores de la variable que hacen cierta la desigualdad además, la solución de una ecuación es un conjunto y de una inecuación es un intervalo. 4

5 SOLUCIÓN DE INECUACIONES ENTERAS Lineales: Empleo la transposición normal de términos, reúno los términos semejantes y despejo la variable (tengo en cuenta las propiedades de las desigualdades). En caso de que el ejercicio tenga operaciones indicadas, las debo realizar primero y simplifico antes de transponer los términos. Polinómicas: Para hallar la solución de las inecuaciones enteras polinómicas necesito realizar las operaciones indicadas, luego desigualar la inecuación a cero, reunir los términos semejantes y luego factorizar completamente la inecuación resultante. Ya después de tenerla factorizada procedo a resolverla por cualquiera de los dos métodos que existen: El analítico y el gráfico. En este curso trabajo sólo el método gráfico que a continuación se me da a conocer: Método gráfico para solucionar inecuaciones polinómicas: Para trabajar las inecuaciones polinómicas por el método gráfico (o jocosamente método del cementerio ) debo tener en cuenta el siguiente proceso: Después de tener la inecuación desigualada a cero y factorizada igualo cada factor a cero y despejo la variable estos valores despejados de la variable los ubico en la recta y ésta queda dividida en varios intervalos. Cojo luego un número cualquiera en uno de los intervalos y reemplazo a x por dicho número en la inecuación factorizada y miro el signo del resultado. Dicho signo lo ubico en el intervalo de la recta donde cogí el número y en los demás intervalos alterno los signos. Es de anotar que este proceso lo hago solamente si después de factorizar no quedan paréntesis repetidos ni elevados a ninguna potencia, porque si esto ocurre es necesario coger un número a cada lado del valor repetido de x y mirar el signo que da a cada lado. Si la inecuación factorizada es > 0 su solución será la unión de aquellos intervalos de la recta donde dio positivo, pero si es < 0 se toma la unión de aquellos intervalos donde dio negativo si la desigualdad tiene el igual ( 0 o 0) los extremos del intervalo solución van cerrados excepto los infinitos que nunca se cierran. Observo y analizo la solución de las siguientes inecuaciones enteras que resuelve mi profesor en la clase: Lineales Polinómicas 1. x < 7x (x + 5) 4(x - 8) 7(- 4x + 1) - 5. x 5 5x < - x x 5 6. x 5 4x 1 4x ( x 4 ) ( x 11x 18 ) ( x 1) 0 7. ( x 1) ( x ) x ( x ) ( x 1) 8. x x 9.. x 7x x 4x x 5x x 10. ( x 1) ( x 10 x. 6 7x x x 5.( x ) x 0 48 ) ( x ( x ) ( 8 x ) 1) TRABAJO Y PRACTICO EN CLASE CON OTRA COMPAÑERA. Del texto Nueva matemáticas de Ed. Santillana resuelvo de la pág. los ejercicios 58 a 6.. MI EJERCITACIÓN EN LA CASA... MUY JUICIOSA!. a. Determino el intervalo solución de las siguientes inecuaciones lineales: 5

6 1. x- 8 > x +. 9x + 5 1x x < > 6x - 5 4x x 9 x x 7 x x 5 8x b. Encuentro el intervalo solución de las siguientes inecuaciones polinómicas: Uff! Cargaré mis baterías para realizar estos ejercicios porque todo esto está muy interesante. 1. 7(x x + 1) 4(x 5) 6x + 6x x > x x x 6x x 9x 11. x 6x + 9 < 0 4. (x 5)(x 4)(x + 9) < 0 1. x 6x (x - ) > 0 1. x > 7 6. x + x x + 6x + 11x x + x > x 4x 5x 8. (x - 4) (x + ) ( - x)(x + ) > 0 9. x 6x + 9 > 0 Los libros son amigos que nunca decepcionan 1. Si x/y es positiva, cuál de o cuáles de las siguientes expresiones es positiva? I. xy II. X + y III. X y A. I solamente. C. I y II únicamente. B. II solamente. D. No puede saberse ya que no se conocen los valores de x e y.. En la inecuación: x 5, de los siguientes valores de x dados: I. 4 II. 5 III., los que cumplen dicha inecuación son: A. Sólo I. B. Sólo II. C. Sólo I y II. D. I, II y II.. De la inecuación x + 1 > x se puede afirmar que: A. Es válida para cualquier valor de x < 0, porque la suma de dos números positivos es mayor que cualquier número negativo. B. Es válida para x = 1, porque cuando se agrega 1 al cuadrado de un número, el resultado es mayor que el doble del número. C. Es válida para todo x, porque la expresión dada es equivalente a la expresión x x + 1 > 0 y todo trinomio cuadrado es mayor que 0. D. Es válida para todo x 1 (x diferente de 1) porque la expresión dada es equivalente a (x 1) > 0 y el cuadrado de cualquier número real es mayor que cero. 6

7 4. Una compañía de transporte tiene una flota de buses cuyo costo de funcionamiento por cada bus es C = 0.5m + 800, donde C está en pesos y m son los kilómetros recorrido. Si la compañía quiere que dicho costo por bus sea a lo sumo de $ El valor máximo de kilómetros que debe recorrer es: A B C D x 4 5. La forma más práctica de solucionar la inecuación 0 A. Igualar a cero tanto el numerador y el denominador, hacer una recta para cada uno y luego hacer la recta del resultado. B. Como el único número del numerador es, se ubica en la recta del numerador dicho número y como en la recta del denominador también queda el dos después de factorizar, se cancela este dos y el resultado sólo queda dependiendo del menos dos que también resulta del denominador. C. Se pasa a multiplicar el x 4 al otro lado de la desigualdad resultando 0 y como esta expresión siempre es falsa, la solución de la inecuación dada es el conjunto vacío. D. Como el numerador siempre es positivo sólo basta con trabajar el denominador y la solución total se obtiene sólo de la recta del denominador sin importar la recta del numerador. es: Los libros son amigos que nunca decepcionan 7