Canguro Costarricense 2014 Junior 10mo y 11mo

Transcripción

1 3 puntos # 1. Cada año, la fecha de la Prueba Canguro es el tercer jueves de marzo. Cuál es la fecha más temprana posible? (A) 14 de marzo (B) 15 de marzo (C) 20 de marzo (D) 21 de marzo (E) 22 de marzo R/ Sería cuando el 1ero de marzo es jueves, por lo que sería el jueves 15 de marzo. # 2. El MSC Fabiola tiene el record de ser el barco de carga más grande en entrar en la Bahía de San Francisco. Puede cargar hasta contenedores, que si se pusieran en línea recta se extenderían por unos 75 km. Cuál es la longitud aproximada de cada uno de los contenedores? (A) 6 m (B) 16 m (C) 60 m (D) 160 m (E) 600 m R/ 75 km son m, que habría que dividir por Así, la longitud aproximada sería de 6 m. # 3. Si a, b, y c denotan las longitudes de las líneas en la figura, entonces, cuál de las siguientes afirmaciones es la correcta? a b c (A) a < b < c (B) a < c < b (C) b < a < c (D) b < c < a (E) c < b < a R/ a = 16, b = + 2π y c = < 1.5 por lo que 4 2 < 6. Por otro lado 6 < 2π <, por lo que c > b > a. # 4. Qué número está en el punto medio entre 2 3 y 4 5? (A) (B) 7 (C) 3 4 (D) 6 15 (E) 5 R/ El punto medio entre los puntos a y b está dado por a + b 11, por lo que el punto medio es Otra forma, 2/3 = 10/15 y 4/5 = 12/15. # 5. En el número 2014 el último dígito es mayor a la suma de los otro tres dígitos. Hace cuántos años ocurrió lo mismo por última vez? (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) 11 R/ En el 2009, hace 5 años. 1

2 # 6. La longitud de las aristas del hexágono regular grande es el doble de la longitud de las artistas del hexágono regular pequeño. El hexágono pequeño tiene un área de 4 cm 2. Cuál es el área del hexágono grande? (A) 16 cm 2 (B) 14 cm 2 (C) 12 cm 2 (D) 10 cm 2 (E) cm 2 R/ Dado que el hexágono está formado por seis triángulos equiláteros, entonces los triángulos que forman el hexágono grande miden el doble de base y el doble de altura con respecto a los triángulos que forman el hexágono pequeño, por lo que el área del hexágono grande es 4 veces el área del hexágono pequeño. # 7. Cuál es la negación de la siguiente afirmación: Cada una resolvió más de 20 problemas? (A) Ninguna resolvió más de 20 problemas. (C) Cada una resolvió menos de 21 problemas (E) Alguna resolvió más de 20 problemas (B) Alguna resolvió menos de 21 problemas (D) Alguna resolvió exactamente 20 problemas R/ Decir que no fue cierto que todos hicieron algo, es porque alguien no lo hizo. En este caso, alguien no resolvió más de 20 problemas, por lo que tuvo que haber resuelto 20 o menos. Es decir, alguna resolvió menos de 21 problemas. #. En un sistema coordenado Tom dibujó un cuadrado. Una de sus diagonales se encuentra sobre el eje x. Las coordenadas de los dos vértices en el eje x son ( 1, 0) y (5, 0). Cuál de las siguientes coordenadas corresponde a uno de los otros vértices del cuadrado? (A) (2, 0) (B) (2, 3) (C) (2, 6) (D) (3, 5) (E) (3, 1) ( 1, 0) + (5, 0) R/ El centro del cuadrado se encuentra en el punto medio de la diagonal, dado por 2 (2, 0); como la diagonal mide 6, entonces los otros vértices corresponden a (2, 3) y (2, 3). = # 9. En cierta villa, la razón entre adolescentes y mujeres adultas es de 1 :, y la razón entre mujeres adultas y hombres adultos es de 3 : 2. Cuál es la razón entre adolescentes y personas adultas? (A) 1 : 5 (B) 3 : 10 (C) 1 : 13 (D) 1 : 12 (E) 3 : 40 R/ Por cada adolescente hay mujeres, y por cada 3 mujeres hay 2 hombres; el m.c.m. entre y 3 es 24, así que escribimos todo en términos de 24: por cada 3 adolescentes hay 24 mujeres y por cada 24 mujeres hay 16 hombres; es decir, por cada 3 adolescentes hay 24 mujeres + 16 hombres, lo que da una razón de 3 : 40. 2

3 # 10. La llanta grande de la bicicleta tiene un perímetro de 4.2 metros. La llanta pequeña tiene un perímetro de 0.9 metros. En cierto momento las válvulas de aire de ambas llantas se encuentran en su punto más bajo. Si la bicicleta avanza hacia la izquierda, después de cuántos metros ambas válvulas de aire estarán en su punto más bajo nuevamente? (A) 4.2 (B) 6.3 (C) 12.6 (D) 25.2 (E) 37. R/ El m.c.m. entre 42 y 9 es 126, por lo que ambos gusanos coincidirán en 12.6 metros. 4 puntos # 11. Este año Lucrecia puede afirmar que la suma de las edades de ella, su hija y su madre es de 100. En qué año nació su hija si cada edad es una potencia de 2? (A) 199 (B) 2006 (C) 2010 (D) 2012 (E) 2013 R/ La única posibilidad es que en algún momento del año Lucrecia tenga 32, su madre 64 y su hija 4, por lo que su hija pudo haber nacido en el 2009 o en el # 12. Paul colgó algunas pinturas rectangulares en la pared. Para cada cuadro él colocó un clavo en la pared a 2.5 m del suelo y colocó una cuerda de 2 m a las dos esquinas superiores. Cuál de los siguientes cuadros está más cerca del piso (formato: ancho en cm altura en cm)? (A) (B) (C) (D) (E) R/ Sean las dimensiones (a, b), y sea h la distancia del clavo al cuadro, tal que se forma un triángulo rectángulo con hipotenusa 100 cm, altura h, y base a/2, de donde h = a 2 /4. Luego, lo que se quiere es determinar el máximo h + b, que sería el cuadro que se acerca más al suelo. Se descartan inmediatamente los valores y , y probando con los otros tres valores se encuentra que es óptimo. # 13. Seis muchachas viven en un apartamento con dos baños, los que utilizan cada mañana, sin compartir, a partir de las 6:00 en punto, y se sientan a desayunar juntas tan pronto la última haya terminado. Un día, utilizaron el baño por 9, 11, 13, 1, 22 y 23 minutos en cierto orden. Cuál es la hora más temprana posible en la que se sentaron a tomar el desayuno? (A) 6:4 (B) 6:49 (C) 6:50 (D) 6:51 (E) 7:03 R/ La distribución óptima se logra si un baño se utiliza por las muchachas que tardaron 11, 13 y 23 minutos, mientras que el otro por las muchachas que tardaron 9, 1 y 22 minutos, tardando 49 y 47 minutos respectivamente. 3

4 # 14. La figura que se muestra es un octágono regular. Si el área sombreada es de 3 cm 2, determine el área del octágono (en cm 2 ). R/ (A) (B) 9 (C) 2 (D) 12 (E) 14 Trazando rectas horizontales y verticales, dibujando la región externa 4 veces, las esquinas, al quedar todas dos veces, se colocan en el centro, llenando el cuadrado que queda. Así, el área total corresponde a 3 veces el área dada en la figura original. # 15. Una nueva especie de cocodrilo ha sido encontrada en África. La longitud de su cola es un tercio de su longitud total, mientras que su cabeza, de 93 cm de largo, es un cuarto de la longitud del cocodrilo sin su cola. Qué tan largo es el cocodrilo en cm? (A) 55 (B) 496 (C) 490 (D) 372 (E) 16 R/ Sea l la longitud total del cocodrilo y c la longitud de su cola. Así, c = l/3 y 93 = (l c)/4, de donde c = 16 cm y l = 55 cm. # 16. En la figura se muestra un dado especial, ya que números en caras opuestas siempre suman lo mismo. Si los números que no se pueden ver son todos números primos, cuál es el número opuesto al 14? (A) 11 (B) 13 (C) 17 (D) 19 (E) 23 R/ Como los números son 14, 1 y 35, y dado que 35 es el único número impar, entonces los números opuestos al 14 y 1 son ambos pares o ambos impares; dado que no es posible que sean ambos pares, entonces el opuesto a 35 debe ser 2 (el único par primo), por lo que los números en caras opuestas suman 37, así el número opuesto al 14 es el 23. # 17. Ann ha caminado km a una velocidad de 4 km/h. Ahora ella correrá con una velocidad de km/h. Cuánto tiempo deberá correr para en total hacer una rapidez promedio de 5 km/h? (A) 15 min (B) 20 min (C) 30 min (D) 35 min (E) 40 min R/ v = d t = d 1 + d 2 t 1 + t 2 = + t t 2 = 5, de donde t 2 = 2/3 de hora, que equivale a 40 min. # 1. Un jugador de ajedrez jugó 40 partidas y obtuvo 25 puntos (un punto si se gana el juego, medio punto si se empata y nada si se pierde). Cuál es la diferencia entre las partidas que ganó y las que perdió? (A) 5 (B) 7 (C) 10 (D) 12 (E) 15 4

5 R/ Sean g, e y p el número de partidas que ganó, empató y perdió, respectivamente. Así g + e + p = 40 y g + e/2 = 25, de donde 2g + e = 50. Sustituyendo e, o restando ambas ecuaciones se obtiene que g p = 10. # 19. Trillizas Jane, Danielle y Hannah querían comprar sombreros idénticos, sin embargo, a Jane le hacía falta una tercera parte de su precio, a Danielle una cuarta parte y a Hanna una quinta parte. Cuando los sombreros estuvieron en oferta, y los tres juntos costaban 9.40 EUR más baratos, pudieron juntar todo su dinero y comprar un sombrero para cada una de ellas. Cuál era el precio del sombrero antes de la oferta? (A) 12 EUR (B) 16 EUR (C) 2 EUR (D) 36 EUR (E) 112 EUR R/ Si x es el precio de cada sombrero, entonces lo que les hacía falta en total eran 9.40 EUR, es decir, x 3 + x 4 + x = 9.40, de donde x = # 20. Sean p, q y r enteros positivos tales que p + q + 1/r = 25. Cuál de los siguientes valores 19 corresponde a pqr? (A) 6 (B) 10 (C) 1 (D) 36 (E) 42 R/ = , por lo que p = 1; r qr + 1 = 6. r y qr + 1 son primos relativos, de donde qr = puntos # 21. En la ecuación N U (M + E + R + O) = 33 cada letra corresponde a un dígito diferente (0, 1, 2,..., 9). De cuántas maneras diferentes se pueden escoger los valores de las letras? (A) 12 (B) 24 (C) 30 (D) 4 (E) 60 R/ Dado que 33 = 3 11 = , quiere decir que para N y U la única posibilidad para los valores es {N, U} = {1, 3}, que son dos posibilidades. Luego para que 4 dígitos distintos sumen 11, excluyendo al 1 y al 3, la única posibilidad es que {M, E, R, O} = {0, 2, 4, 5}, de donde el número de posibilidades es de , por lo que en total el número de manera diferentes es de 4. # 22. En la figura que se muestra Kaan desea agregar algunos segmentos de línea de manera que cada uno de los siete puntos tenga el mismo número de conexiones con otros puntos. Cuál es el menor número de segmentos de línea que Kaan debe dibujar? (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 9 (E) 10 R/ Se tienen 5 puntos con una conexión, 1 punto con 2 conexiones y 1 punto con 3 conexiones. Cada segmento agrega 2 conexiones. Si se quisiera que todos los puntos tuvieran 3 conexiones, entones harían falta = 11, que es un número impar, por lo que no sería posible. Si se quisiera que todos tuvieran 4 conexiones, entonces se tendría = 1, por lo que harían falta 9 segmentos. 5

6 # 23. La figura muestra el mismo cubo desde dos perspectivas diferentes. Está construido a partir de 27 cubos pequeños, algunos de los cuales son negros y otros son blancos. Cuál es el mayor número de cubos negros que puede haber? (A) 5 (B) 7 (C) (D) 9 (E) 10 R/ Observe que los dos cubos negros superiores son los mismos en ambas perspectivas. Es decir, que estamos viendo 5 cubos negros. Podría haber un cubo negro en la cara de abajo en el centro; otros dos en el lado opuesto de la cara donde hay tres cubos negros en las esquinas: uno en el centro y otro debajo; y uno en el centro mismo del cubo, para un total de 9. # 24. En cierta isla, las ranas siempre son o verdes o azules. El número de ranas azules incrementó en un 60% mientras que el número de ranas verdes disminuyó en un 60%. Sucede que entonces la nueva razón entre ranas azules y ranas verdes es igual a la razón anterior en el orden inverso (ranas verdes y ranas azules). En qué porcentaje cambió el número total de ranas? (A) 0% (B) 20% (C) 30% (D) 40% (E) 50% R/ Sean a y v el número inicial de ranas azules y verdes, respectivamente. Eso quiere decir que ahora hay a + 60 a = 1.6a ranas azules y 0.4v ranas verdes. Así, 1.6a : 0.4v :: v : a, de donde 100 4a 2 = v 2, y dado que el número de ranas verdes o ranas azules no puede ser negativo, 2a = v. Así a + v : 100 :: 1.6a + 0.4v : x, y sustituyendo v por 2a, entonces nos queda que x = 0%, por lo que el número total de ranas disminuyó en un 20%. # 25. Tom escribió varios enteros positivos distintos, tal que ninguno era mayor que 100, y su producto no era divisible por 1. A lo sumo cuántos números pudo él haber escrito? (A) 5 (B) 17 (C) 6 (D) 69 (E) 90 R/ Una posibilidad es escoger todos los números del 1 al 100 inclusive que no son múltiplos de 3, que corresponde a 2 números de cada 3; hasta el 99, se tendrían 99 2/3 = 66 números, el 100, y luego agregar cualquiera de los números restantes que sea múltiplo de 3 pero no múltiplo de 9, para un total de 6. # 26. Cualesquiera tres vértices de un cubo forman un triángulo. Cuál es el número de tales triángulos cuyos vértices no se encuentran todos en una misma cara del cubo? (A) 16 (B) 24 (C) 32 (D) 40 (E) 4 R/ Resolviéndolo por complemento, el número total de casos se calcula escogiendo 3 de los vértices, y el número de triángulos tales que los 3 vértices se encuentran en la misma cara corresponde a escoger 3 de los 4 vértices por el número de caras. Así, quitando a todos el número de casos por excluir se tiene: ( 3 ) 6 ( 4 3 ) = 32. 6

7 # 27. En la figura, P T es tangente a la circunferencia C con centro O y P B biseca al ángulo T P A. Determine el ángulo T BP. A B O T P (A) 30 (B) 45 (C) 60 (D) 75 (E) depende de la posición del punto P R/ Sea P AT = α, P OT = 2α, AP B = BP T = β y T BP = γ. Trazando OT es posible determinar que γ = α + β y que P T O = 10 2β 2α = 90, por ser P T una tangente, de donde α + β = γ = 45. # 2. Considere el conjunto de todos los números de 7 dígitos que se pueden obtener utilizando, para cada uno de ellos, todos los dígitos 1, 2, 3,..., 7. Ordene el conjunto de manera ascendente y divídalo a la mitad, de manera que queden dos subconjuntos del mismo tamaño. Cuál es el último número de la primera mitad? (A) (B) (C) (D) (E) R/ Como son 7 dígitos, el número del centro debe comenzar con 4, luego como está antes de la mitad debe tener 3, pero en el número que sigue el segundo dígito debe ser 5, por lo que depués del 3 se deben escoger los dígitos en orden de mayor a menor, es decir, # 29. Sea ABC un triángulo tal que AB = 6 cm, AC = cm, BC = 10 cm y M es el punto medio de BC. AMDE es un cuadrado, y MD interseca a AC en el punto F. Determine el área del cuadrilátero AF DE en cm 2. (A) 124 (B) 125 (C) 126 B (D) 127 A M F E (E) 12 R/ Sea h la altura del punto A sobre la base BC. Dado que el triángulo ABC es rectángulo, entonces se sabe que su área es 24, por lo que h = 4.. Utilizando pitágoras es posible comprobar que AM = 5, por lo que ABC MF A, de donde F M = 15/4. Así, el área sombreada es 25 75/ = 125/. # 30. Hay 2014 personas en una fila. Cada una de ellas es un bribón (quien siempre miente) o un caballero (quien siembre dice la verdad). Cada una de las personas dice: Hay más bribones a mi izquierda que caballeros a mi derecha. Cuántos bribones hay en la fila? (A) 0 (B) 1 (C) 1007 (D) 100 (E) 2014 R/ Para que los caballeros, quienes siempre dicen la verdad, digan que hay más bribones a la izquierda que caballeros a la derecha, es porque están todos a la derecha de la fila. Así se tiene BB... BCC... C. 7 C D

8 Para el bribón que está a la par del caballero debe haber más caballeros a su derecha que bribones a su izquierda; por otro lado, para el caballero a la par del bribón, debe haber más bribones a su izquierda que caballeros a su derecha. La única forma por lo tanto es que haya 1007 bribones y 1007 caballeros.