Programación 2. Lección 1. Introducción a la especificación formal de algoritmos

Transcripción

1 Programación 2 Lección 1. Introducción a la especificación formal de algoritmos 1

2 Lección 1. Introducción a la especificación formal de algoritmos 1. Especificación no formal de algoritmos 2. Especificación formal de algoritmos 3. Escritura de predicados 4. Variables de un predicado 5. Ejemplos de especificación de algoritmos 6. Escritura textual de especificaciones 2

3 1. Especificación no formal de algoritmos /* * Pre: El valor de <n> ha de ser mayor o igual que 0 * Post: Devuelve el factorial de <n>, es decir, devuelve * el producto 1 x 2 x x n */ int factorial (const int n) { int i = 0; int r = 1; // r = i! while (i!= n) { i = i + 1; r = i * r; // r = i! } return r; // r = n! } 3

4 /* * Pre: El valor de <n> ha de ser mayor o igual que 0 * Post: El valor de <r> es igual al factorial de <n>, * es decir, es igual al producto 1 x 2 x x n */ void factorial (const int n, int& r) { int i = 0; r = 1; // r = i! while (i!= n) { i = i + 1; r = i * r; // r = i! } // r = n! } 4

5 2. Especificación formal de algoritmos // Pre: n 0 // Post: factorial(n) = ( [1,n]. ) int factorial (const int n) { int i = 0; int r = 1; // Aserción: r = ( [1,i]. ) while (i!= n) { // Aserción: r = ( [1,i]. ) i = i + 1; r = i * r; // Aserción: r = ( [1,i]. ) } // Aserción: r = ( [1,n]. ) return r; } 5

6 // Pre: n 0 // Post: r = ( [1,n]. ) void factorial (const int n, int& r) { int i = 0; r = 1; // Aserción: r = ( [1,i]. ) while (i!= n) { // Aserción: r = ( [1,i]. ) i = i + 1; r = i * r; } // Aserción: r = ( [1,i]. ) } // Aserción: r = ( [1,n]. ) 6

7 3. Escritura de predicados PREDICADOS ATÓMICOS Valores definidos en un programa por: una constante de tipo bool una variable de tipo bool una expresión de relación una expresión de tipo bool una invocación a una función que devuelve un valor de tipo bool Ejemplos: true false encontrado vectorbooleano[i] x >= min x == y x >= min && x <= max x >= 0.0 y <= 0.0!(x < min) estaordenado(v,i,j) esprimo(n) 7

8 PREDICADOS Es un predicado: cualquier predicado atómico la negación lógica de un predicado P la conjunción lógica de dos predicados P y Q la disyunción lógica de dos predicados P y Q la composición condicional de dos predicados P y Q la composición bicondicional o equivalencia de dos predicados P y Q una cuantificación universal de un predicado P sobre un domino D una cuantificación existencial de un predicado P sobre un domino D Ejemplos: x >= min P P Q P Q P Q P = Q [ P Q ] ( D. P( )) ( D. P( )) 8

9 TABLAS DE VERDAD DE PREDICADOS COMPUESTOS P P cierto falso falso cierto P Q P Q P Q P Q P Q cierto cierto cierto cierto cierto cierto cierto falso falso cierto falso falso falso cierto falso cierto cierto falso falso falso falso falso cierto cierto Cuantificación universal y existencial ( {d 1,d 2,,d k }.P( )) = P(d 1 ) P(d 2 ) P(d k ) ( {d 1,d 2,,d k }.P( )) = P(d 1 ) P(d 2 ) P(d k ) 9

10 CUANTIFICADORES LÓGICOS (PREDICADOS ) Cuantificador Formulación Definición: valor del predicado Universal ( D.P( )) P(d 1 ) P(d 2 )... P(d K 1 ) P(d K ) (.P( )) cierto [true] Existencial ( D.P( )) P(d 1 ) P(d 2 )... P(d K 1 ) P(d K ) (.P( )) falso [false] P( ) es un predicado D = {d 1, d 2,, d K } es un dominio de valores 10

11 CUANTIFICADORES ARITMÉTICOS (EXPRESIONES NUMÉRICAS) Cuantificador Formulación Definición: valor de la expresión Sumatorio ( D.E( )) E(d 1 ) + E(d 2 )+... +E(d K 1 )+E(d K ) (.E( )) 0 Producto ( D.E( )) E(d 1 ) E(d 2 )... E(d K 1 ) E(d K ) (.E( )) 1 Conteo (Núm D.P( )) Núm(P(d 1 ), P(d 2 ),..., P(d K 1 ), P(d K )) (Núm.P( )) 0 Máximo (Máx D.E( )) Máx(E(d 1 ), E(d 2 ),..., E(d K 1 ), E(d K )) (Máx.E( )) indefinido Mínimo (Mín D.E( )) Mín(E(d 1 ), E(d 2 ),..., E(d K 1 ), E(d K )) (Mín.E( )) indefinido P( ) es un predicado E( ) es una expresión aritmética D = {d 1, d 2,, d K } es un dominio de valores 11

12 4. Variables de un predicado: del programa (ejs: uno, otro) libres variables iniciales (ejs: X, Y) ligadas a un cuantificador (ej: ) /* * Pre: uno = X otro = Y * Post: uno = (Máx {X,Y}. ) otro = (Mín {X,Y}. ) */ void ordenardosenteros (int& uno, int& otro); 12

13 5. Ejemplos de especificación de algoritmos // Pre: n 0 // Post: factorial(n) = ( [1,n]. ) int factorial (const int n); // Pre: n 0 // Post: r = ( [1,n]. ) void factorial (const int n, int& r); // Pre: uno = X otro = Y // Post: uno = Y otro = X void permutardosenteros (int& uno, int& otro); 13

14 // Pre: a 0 b > 0 // Post: a % mcd(a,b) = 0 b % mcd(a,b) = 0 mcd(a,b) > 0 // (.a % > 0 b % > 0 mcd(a,b)) int mcd (const int a, const int b); // Pre: cierto // Post: elevar(x,n) = x^n double elevar (const double x, const int n); // Pre: a > 0 b > 0 // Post: sonprimosentresi(a,b) // = ( N. > 1 (a % > 0 b % > 0) ) bool sonprimosentresi (const int a, const int b); 14

15 6. Escritura textual de especificaciones // Pre: n >= 0 // Post: resultado = (PROD alfa EN [1,n].alfa) int factorial (const int n); // Pre: n >= 0 // Post: r = (PROD alfa EN [1,n].alfa) void factorial (const int n, int& r); // Pre: uno = X AND otro = Y // Post: uno = Y AND otro = X void permutardosenteros (int& uno, int& otro); 15

16 // Pre: a >= 0 AND b > 0 // Post: a % mcd(a,b) = 0 AND b % mcd(a,b) = 0 AND // mcd(a,b) > 0 AND // (PT alfa EN N. a % alfa > 0 OR b % alfa > 0 OR // alfa <= mcd(a,b)) int mcd (const int a, const int b); // Pre: cierto // Post: elevar(x,n) = x^n double elevar (const double x, const int n); // Pre: a > 0 AND b > 0 // Post: sonprimosentresi(a,b) = (PT alfa EN N. // alfa > 1 -> (a % alfa > 0 OR b % alfa > 0) ) bool sonprimosentresi (const int a, const int b); 16

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