DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA ASIGNATURA

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Rosario Claudia Escobar Henríquez
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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL TACHIRA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA ASIGNATURA : Matemáticas Discreta PROPOSICIONES

2 DEFINICIÓN: DEFINICIÓN DE PROPOSICIÓN: Una proposición es un juicio declarativo del cual tiene sentido decir que es verdadero (V ) o que es falso ( F ), pero no ambas simultáneamente. No es necesario saber de antemano que el juicio es verdadero o es falso, lo único que se requiere es que sea lo uno o lo otro Ejemplos : a. El agua se compone de hidrogeno y oxigeno ( V ) b = 8 ( F ) c. Todo estudiante es universitario ( F ) d. Algunos estudiantes son universitarios ( V ) e. El trillonésimo digito de la expansión decimal de π es 5 (? ) No se a calculado todavía

3 PROPOSICIONES Para aprovechar la ventaja que nos proporciona la aritmética, en lugar de usar las letras V y F para representar los conceptos de verdadero y falso respectivamente, usaremos los números 1 y 0. Verdadero = 1 y falso = 0. Llamaremos valor lógico de una proposición al valor 1 ó 0 que le corresponda, según la proposición sea ( V ) o ( F ) Usaremos p, q, r, s, t, etc, para representar proposiciones y VL para representar el valor lógico. EJEMPLO 1 Si p y q son las siguientes proposiciones p : 5 es un numero primo q : 4 < 2 entonces VL (p) = 1 y VL (q) = 0

4 . PRACTICA 1 Practica 1 : Cuales de las siguientes expresiones son proposiciones a. Sucre peleó en la batalla de ayacucho ( ) b. El oxigeno es un gas. ( ) c. Todos los hombres son mortales ( ) d. Nadie es perfecto ( ) e. Algunos números enteros son positivos ( ) f. Caballo llanero, porque estas cansado? ( ) g. Ten cuidado. ( ) h. Sálvese quien pueda ( ) i. Si no eres parte de la solución eres parte del problema ( ) j. Errar es humano pero echarle la culpa a otro, es más humano todavía. ( ).

5 OPERACIONES VERITATIVAS Conectar proposiciones para producir otras proposiciones Ejemplo 2 : Si tenemos a. Marte es un planeta. b. El sol es una estrella. Podemos construir estas otras Atómicas o simples 1.- Marte es un planeta y el sol es una estrella. 2.- Marte es un planeta o el sol es una estrella. 3.- O Marte es un planeta o el sol es una estrella. 4.- Si Marte es una estrella entonces el sol es un planeta. 5.- Marte es un planeta si y solo si el sol es un planeta. 6.- Marte no es un planeta. Compuestas A los termino y ; o ; o...o ; si,.. Entonces ; si y solo si ; no ; se les llama conectivos lógicos elementales.

6 CALCULO PROPOSICIONAL DEFINICIÓN : Es el estudio de las operaciones veritativas. Conectivos lógicos : NOMBRE SIMBOLO TRADUCCION Negación ~ no es el caso Conjunción y Disyunción o Disyunción exclusiva o... o Condicional Si..., entonces Bicondicional Si y solo si

7 LA NEGACIÓN DEFINICIÓN: Sea p una proposición. La negación de p es la proposición ~ p Que se lee no p, y cuyo valor lógico esta dado por la siguiente tabla p ~ p La tabla anterior dice, que ~ p es falsa cuando p es verdadera y que ~ p es verdadera cuando p es falsa. En forma analítica será : VL(~ p )= 1-VL(p) En efecto Si VL(p) =1, entonces VL(~ p ) = 1-VL( p ) = 1-1 = 0 Si VL(p) =0, entonces VL(~ p ) = 1-VL( p ) = 1-0 = 1

8 EJEMPLO 1 : DE NEGACION La negación de la proposición : p : Mérida es un estado andino Es la proposición ~ p : Mérida no es un estado andino En este ejemplo, como p es verdadero, ~ p es falsa El valor lógico de ~ p depende únicamente del valor lógico de p este hecho nos dice que la negación de proposiciones es una operación veritativa.

9 LA CONJUNCIÓN DEFINICIÓN : Sean p y q dos proposiciones. La conjunción de p y q es la proposición p ^ q, que se lee p y q cuyo valor lógico está dado por la siguiente tabla p q p ^ q Verdadera Falso También se puede definir como VL (p ^ q ) = min { VL (p), VL (q) } La conjunción es una operación binaria, ya que el resultado de operar p ^ q se obtiene a partir de dos proposiciones p y q. La conjunción también es una operación veritativa, Porque?

10 EJEMPLO 2 : DE CONJUNCIÓN Si, p: Páez peleó en carabobo q: Bolívar murió en Colombia. Entonces : r: Sucre nació en caracas. a. p ^ q : Páez peleó en carabobo y Bolívar murió en Colombia. Además VL ( p ^ q ) = 1 ya que VL(p) = 1 VL ( q ) = 1. b. q ^ r : Bolívar murió en Colombia y Sucre nació en caracas Además VL ( q ^ r) = 0 ya que VL(q) = 1 VL ( r ) = 0.

11 2 LA DISYUNCION DEFINICIÓN : sean p y q dos proposiciones. La disyunción de p y q es la proposición p v q, que se lee p o q cuyo valor lógico está dado por la siguiente tabla p q p v q También se puede definir como VL (p v q ) = max { VL (p), VL (q) } La disyunción es una operación binaria, ya que el resultado de operar p v q se obtiene a partir de dos proposiciones p y q. La disyunción también es una operación veritativa, Porque?

12 EJEMPLO 3 : DE DISYUNCIÓN Si, p: Madrid esta en España q: Miami esta en Canadá. Entonces : r: Roma esta en Francia. a. p v q : Madrid esta en España o Miami esta en Canadá. Además VL ( p v q ) = 1 ya que VL(p) = 1 VL ( q ) = 0. b. q v r : Miami esta en Canadá o Roma está en Francia. Además VL ( q v r) = 0 ya que VL(q) = 1 VL ( r ) = 0.

13 LA DISYUNCION EXCLUSIVA DEFINICIÓN : Sean p y q dos proposiciones. La disyunción exclusiva de p y q es la proposición p v q, que se lee o p o q cuyo valor lógico está dado por la siguiente tabla p q p v q También se puede definir como VL (p v q ) = { VL (p) - VL (q) }

14 EJEMPLO 4 : DISYUNCIÓN EXCLUSIVA Si, p: 7 Es un numero primo. q: 7 es un numero par. Entonces : r: 7 es mayor que 2. a. p v q : O 7 es numero primo ö 7 es numero par. Además VL ( p v q ) = 1 ya que VL(p) = 1 VL ( q ) = 0. b. p v r : O 7 Es un numero primo o 7 es mayor que 2. Además VL ( p v r ) = 0 ya que VL(p) = 1 VL ( r ) = 1.

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