Instituto tecnológico superior de zongolica

Transcripción

1 Instituto tecnológico superior de zongolica ANTOLOGÍA MÉTODOS NUMÉRICOS PRESENTA: I.S.C ARTURO MARTIN MORALES RAYÓN ZONGOLICA, VER ENERO

2 Propósito del curso Conocer, comprender y aplicar métodos numéricos para resolver problemas de la ingeniería y científicos mediante el uso de software. La realización de este material está diseñado para apoyar el proceso enseñanza aprendizaje, donde los profesores que impartan esta materia puedan apoyarse de los ejercicios que aquí se proponen y a si llevar un mejor manejo de la asignatura. Para un mejor aprovechamiento de este material el alumno deberá saber algunos temas previos tales como concepto de función real e identificación de tipos de funciones, así como aplicar sus propiedades y operaciones, la resolución de problemas que implique el uso de la derivación y problemas que requieran el uso de la integración. Así como la resolución de problemas de aplicaciones e interpretación a las soluciones utilizando matrices y sistemas de ecuaciones lineales para las diferentes áreas de la ingeniería. 2

3 CONTENIDO Contenido Propósito del curso 2 Red Conceptual del Curso Importancia de los métodos numéricos Conceptos Básicos Cifra significativa Precisión Exactitud Tipos de errores Software de cómputo numérico Métodos Iterativos Métodos de intervalo Métodos de bisección Método de aproximaciones sucesivas Método de Interpolación Métodos iterativos Sistemas de ecuaciones no lineales Diferenciación numérica Polinomio de interpolación de Newton Polinomio de Interpolación de Lagrange Métodos de pasos múltiples 46 Bibliografía 52 3

4 Red Conceptual del Curso MODELOS MATEMATICOS MÉTODOS NUMÉRICOS IMPLEMENTACION PARA SOLUCIONES DE L INGENIERIA APLICACIÓN DE SOFTWARE 4

5 Unidad 1 Introducción a los métodos numéricos Objetivo: Comprender la importancia de los métodos numéricos. Conocer y manejar software de cómputo numérico. 5

6 1.1 Importancia de los métodos numéricos El objeto de estudio del análisis numérico es la construcción y valoración de los métodos numéricos que tienen como resultados un valor numérico a si también son parte importante de la interacción entre matemáticas, ingeniería e industria. Se estudian cada día más, en gran parte debido a que la necesidad de modelamiento matemático en la ciencia y la técnica crece de forma vertiginosa. Es común escuchar que los métodos numéricos se utilizan por no disponer de soluciones analíticas para la mayoría de los problemas de la matemática aplicada, es importante tener en cuenta que casi siempre las soluciones analíticas se utilizan discretizadas y/o truncadas. Generalmente es una pérdida de tiempo resolver un problema analíticamente para después obtener una aproximación de tal solución, en lugar de optar desde el principio por una solución numérica. Definir el análisis numérico no es tarea fácil y sobre esta materia existen todavía discrepancias, descritas por Trefethen en el Apéndice a su libro Trefethen y Bau (1997). La definición que propone Trefethen, muy cercana a la propuesta por Henrici desde 1964 en Henrici (1964) es la siguiente: El análisis numérico es el estudio de algoritmos para la solución de problemas de la matemática continua. Por matemática continua, Trefethen se refiere al análisis, real y complejo. Utiliza esta palabra como opuesta a discreta. Por su parte, la computación científica, puede definirse como el diseño e implementación de algoritmos numéricos para problemas de ciencias e ingeniería. De manera que podemos decir que el análisis numérico es un pre-requisito para la computación científica. 6

7 1.2 Conceptos Básicos Cifra significativa Cuando se emplea un número en un cálculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con confianza. Por ejemplo en la figura 1.1 muestra un velocímetro y el odómetro (contador de kilometraje de un automóvil), en este ejemplo puede observarse que el automóvil viaja a una velocidad comprendida entre 48 y 49 Km/h, ya que la flecha esta mas allá de la mitad de las marcas del indicador, se puede asegurar que el automóvil viaja aproximadamente a 49 Km/h. Se tiene confianza en este resultado ya que dos o más lecturas individuales al indicador llevan la misma conclusión, sin embargo suponga que se desea obtener una cifra decimal más en la estimación de la velocidad. En este caso alguien podría decir 48.8 mientras que otro podría decir 48.9 Km/h Fig. 1.1 Velocímetro y odómetro ilustran medidas significativas 7

8 Debido a los límites del instrumento, únicamente se puede usar con confianza de dos dígitos, los otros tres se pueden calcular. El concepto de cifra o digito significativa se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de un valor numérico. Las cifras significativas de un número son aquellas que pueden ser usadas en forma confiable, por ejemplo el velocímetro y el odómetro de la figura 1. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos: 1. Los métodos numéricos dan resultados aproximados, por lo tanto, se deben de desarrollar criterios para especificar que tan confiables son dichos resultados. Una manera de hacerlo es en términos de cifras significativas. Por ejemplo, es posible afirmar que la aproximación es aceptable siempre y cuando sea correcta con cuatro cifras significativas. 2. Aunque ciertas cantidades tales como,, representan cantidades especificas, no se pueden expresar exactamente con un numero finitos de dígitos. Por ejemplo, Pi= Hasta el infinito. Como las computadoras tienen solo un número finito de cifras significativas, tales números jamás se podrán representar con exactitud. A la omisión del resto de cifras significativas se le conoce como error de redondeo. Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar observando su precisión y exactitud Precisión Se refiere a que tan cercano esta un valor individual medido o calculado con respecto a los otros. Es el grado de concordancia dentro de un grupo de 8

9 mediciones o instrumentos. Ya que el numero de cifras significativas que representa una cantidad o la extensión en las lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad física. La precisión se compone de dos características: conformidad y el número de cifras significativas con las cuales se puede realizar la medición Exactitud Se refiere a que tan cercano esta el valor calculado o medido con el valor verdadero. Estos conceptos se pueden ilustrar gráficamente usando una analogía con un buen tirador al blanco. Los agujeros en el centro del tiro al blanco de cada esquema de la figura 1.2 se pueden imaginar como las predicciones en una técnica numérica, mientras que el centro del blanco de cada esquema representa la verdad. La inexactitud también llamada sesgo se define como un alejamiento sistemático de la verdad. Por lo tanto, aunque las balas en la figura c están más juntas que las de la figura a, los dos casos son igualmente inexactos ya que ambos se centran en la esquina superior izquierda del blanco. La precisión, por el otro lado se refiere a la magnitud del esparcimiento de las balas. Por lo tanto, aunque las figuras b y d son igualmente exactas (esto es, igualmente centradas respecto al blanco), la última es más precisa ya que las balas están en un grupo más compacto. La imprecisión también llamada incertidumbre se refiere a la magnitud del esparcimiento de los disparos. Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniería. También deben ser lo suficientemente precisos para el diseño en la ingeniería. Se utilizara el término error para representar la inexactitud y la imprecisión de las predicciones. 9

10 Fig. 1.2 Ejemplo de un buen tirador ilustra el concepto de exactitud y precisión a) Inexacto e impreciso, b) Exacto e impreciso, c) inexacto e impreciso, d) Exacto y preciso. 1.3 Tipos de errores Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas. Estos incluyen errores de truncamiento que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto y los errores de redondeo que se producen cuando los números tienen un límite de cifras significativas que se usan para representar números exactos. A continuación se presentaran los diferentes tipos de errores: Error de redondeo 5 sube a la siguiente cifra 3.81 ~ ~

11 Error de Truncamiento Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una sucesión finita o infinita de pasos en el cual se realizan cálculos para producir un resultado exacto, se trunca prematuramente después de un cierto número de pasos. Truncar la siguiente cifra hasta centésimos, o hasta que sean dos las cifras significativas: = =2.64 Este error se da por la eliminación de decimales Error Porcentual El error porcentual es simplemente el error relativo expresado en por ciento (%) Para los dos tipos de errores, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximad se da por la siguiente formulas: 11

12 1.4 Software de cómputo numérico En la actualidad existen dos tipos de usuarios de software. Por un lado están aquellos que toman lo que se les da. Es decir, quienes se limitan a las capacidades que encuentran en el modo estándar de operación del software existente. Por ejemplo, resultan muy sencillo resolver un sistema de ecuaciones lineales o generar graficas con valores x - y con EXCEL, Matlab o Mathcad. Como este modo de operación por lo común requiere un mínimo esfuerzo, muchos de los usuarios adoptan este modo de operación. Además, como los diseñadores de estos paquetes se anticipan a la mayoría de las necesidades típicas de los usuarios, muchos de los problemas pueden resolverse de esta manera. Pero, Qué pasa cuando se presentan problemas que están más allá de las capacidades estándar de dichas herramientas? En tal caso usted tiene dos alternativas. La primera seria buscar otro paquete y ver si sirve para resolver el problema. Esta es una de las razones por las que quisimos usar EXCEL como mathcad o Matlab. Como veremos, ninguno de ellos abarca todo y cada uno tiene sus ventajas. El segundo seria que es posible volverse un potente usuario si se aprende a escribir Macros en EXCEL VBA (visual basic for applications). Los programas computacionales son únicamente conjuntos de instrucciones que dirigen a la computadora para realizar cierta tarea. Visto desde esta perspectiva, reducimos toda complejidad a unos cuantos tópicos de programación, que son: Representación de información sencilla ( declaración de constantes, variables y tipos) Representación de información más compleja ( estructura de datos, arreglos y registros) Formulas matemáticas (asignación, reglas de prioridad y funciones intrínsecas) Entrada / salida Representación lógica ( secuencia, selección y repetición) Programación modular ( funciones y subrutinas) 12

13 Programación estructurada En esencia la programación estructurada es un conjunto de reglas que desarrollan en el programa los hábitos para lograr un buen estilo. Aunque la programación estructurada es bastante flexible para permitir considerable creatividad y expresión personal, sus reglas imponen suficientes restricciones para hacer que los programas resultantes sean muy superiores a sus versiones no estructuradas. Un diagrama de flujo es una representación visual o grafica de un algoritmo. Emplea una serie de cajas o bloques y flechas, cada una de las cuales representa un determinado paso u operación del algoritmo. Otra manera de expresar los algoritmos y que constituyen un puente de unión entre los diagramas de flujo y el código de la computadora, es el pseudocódigo. Programación modular Dividir una tarea o una materia complicada en partes más accesibles es una manera de hacerla más fácil. Siguiendo una misma idea, los programas de computación se dividen en subprogramas más pequeños, o módulos que pueden desarrollar y probarse por separado. A esta forma de trabajar se le llama programación modular. Excel Excel es una hoja de cálculo producida por Microsoft Inc. Las hojas de cálculos son un tipo especial de software para matemáticas que permite a los usuarios ingresar y realizar cálculos en renglones y columnas de datos. Como tales, son una versión computarizada de una gran hoja de contabilidad en la que se lleva a cabo una gran cantidad de cálculos interrelacionados. Puesto que cuando se modifica un valor de la hoja, hay que actualizar todos los cálculos, las hojas son ideales para hacer análisis del tipo y qué pasa si...? Excel cuenta con varios recursos numéricos interconstruidos como resolución de ecuaciones, ajuste de curvas y optimización. Incluye también VBA como un lenguaje de macro que sirve para hacer cálculos numéricos. Por ultimó, tiene varias herramientas para la visualización como diagramas y graficas tridimensionales, que son un valioso complemento para el análisis numérico. 13

14 Matlab Matlab es el principal producto de software de Mathworks, Inc., fundada por los analistas numéricos Cleve Moler y John N. Little. Como su nombre lo indica, Matlab se desarrollo originalmente como un laboratorio para matrices. Hoy, el elemento principal de Matlab sigue siendo la matriz. La manipulación matemática de matrices se ha realizado muy adecuadamente en un ambiente interactivo fácil de utilizar. A esta manipulación matricial, Matlab agrega varias funciones numéricas, cálculos simbólicos y herramientas para visualización. Matlab tiene diferentes funciones y operadores que permiten la adecuada realización de los métodos numéricos que aquí desarrollamos. Mathcad El uso del software Mathcad 2001 Professional supone un paso adelante para clarificar y potenciar el aprendizaje de conceptos, técnicas e ideas matemáticas de forma que sean de clara utilidad práctica, tanto de cara al desarrollo del currículo académico como de cualquier actividad profesional. En este sentido, el uso adecuado de este programa no sólo facilita la adquisición de conceptos clave sino que también fomenta la creatividad dentro del ámbito matemático, facilitando la contextualización de las asignaturas cuantitativas y ofreciendo cientos de operadores y funciones incorporadas para resolver problemas técnicos, desde los más simples hasta los más complicados. Algoritmos y estabilidad. El tema fundamental de esta asignatura es el estudio, selección y aplicación de algoritmos, que se definen como secuencias de operaciones algebraicas y lógicas para obtener la solución de un problema. Por lo general, se dispone de varios algoritmos para resolver un problema particular; unos de los criterios de selección es la estabilidad del algoritmo; esto es, que a pequeños errores de los valores manejados se obtengan pequeños errores en los resultados finales. 14

15 1.5 Métodos Iterativos Estos métodos incluyen fórmulas que tienen la propiedad de producir un resultado más cercano a la respuesta a partir de un valor estimado previo. el resultado obtenido se puede usar nuevamente como valor previo y continuar mejorando la respuesta. los métodos iterativos se acercan a la respuesta mediante aproximaciones sucesivas. Para usar estos métodos deben considerarse algunos aspectos tales como la elección del valor inicial, la propiedad de convergencia de la formula y el criterio para terminar las iteraciones. Para usar estos métodos deben considerarse algunos aspectos tales como la elección del valor inicial, la propiedad de convergencia de la formula y el criterio para terminar las iteraciones. Estos métodos son auto-correctivos. La precisión de la respuesta está dada por la distancia entre el último valor calculado y la respuesta esperada. Este es el error de truncamiento. El siguiente grafico describe la estructura de un método iterativo. Series de Taylor f(x) tenga solución, cualquier función que dependa de X que tenga solución atraves de operaciones algebraicas (+,-,*, ). Ejemplo: Estimación del error para métodos iterativos Enunciado del problema : en matemáticas, a menudo se puede representa las funciones mediante una serie infinita. Por ejemplo la función exponencial se puede calcular usando: 15

16 e x = 1 + x + x + x + x ! 3! 4! Mientras mas términos se le agreguen a la serie, la aproximación se acercara mas y mas al Valor de x. la ecuación anterior se le llama serie de Maclaurin. Empezando con el primer término, e x = 1, y agregando un término a la vez, estímese el valor de e 0.5 después que se agregue cada terminó, calcúlense los ERP y. Nótese que el valor real de e 0.5 = agréguense términos hasta que a < s contempla tres cifras significativas. Solución s = (0.5 x ) % = 0.05 % Por lo tanto, se agregaran términos a la serie hasta que a sea menos que este nivel. 16

17 Unidad 2 Métodos de solución de ecuaciones Objetivo: Implementar métodos de solución de ecuaciones algebraicas o trascendentales, con apoyo de un lenguaje de programación. 17

18 2.1 Métodos de intervalo A estas técnicas se les llama métodos que usan intervalos porque se necesitan de dos valores iníciales para la raíz. Como su nombre lo indica, estos valores deben encerrar o estar uno de cada lado de la raíz. Los métodos particulares descritos sobre este punto emplean diferentes estrategias para reducir sistemáticamente el tamaño del intervalo y así converger a la respuesta correcta. Además de la utilidad de los métodos gráficos para determinar valores iníciales, también son útiles para visualizar las propiedades de las funciones y el comportamiento de los métodos numéricos. Métodos gráficos. Un método simple para obtener una aproximación a la raíz de la ecuación f(x) = 0 consiste en graficar y observar en donde cruza el eje x. Este punto, que representa el valor de x para el cual f(x) = 0, proporciona una aproximación inicial de la raíz. Ejemplo: Métodos gráficos Enunciado del problema: Empléese graficas para obtener una raíz aproximada de la función f ( x) = e x x x := 0.2,

19 f ( x) = x x x = - 2.5, - 2.4, 4.5 Empléese graficas para obtener una raíz aproximada de la función f ( x ) := 2 x x 5 x= -5, 5 19

20 2.2 Métodos de bisección Los métodos de búsqueda incremental se aprovechan de esta característica para localizar un intervalo donde la función cambie de signo. Por lo tanto, la localización del cambio de signo, se logra más exactamente dividiendo el intervalo en una cantidad definida de subintervalos. El método de bisección conocido también como de corte binario, de partición en dos intervalos iguales o método Bolzano, es un método de búsqueda incremental en el que el intervalo se divide siempre en dos. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del subintervalo dentro del cual ocurre un cambio de signo. El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación. Si el intervalo original es de tamaño a y el criterio de convergencia aplicado al valor absoluto de la diferencia de dos x r consecutivas es ε, entonces se requerirán n iteraciones, donde n se calcula con la igualdad de la expresión De donde: Por esto se dice que se puede saber de antemano cuantas iteraciones se requieren. O bien se puede utilizar el siguiente criterio de convergencia. 20

21 Algoritmo Sencillo Paso 1: Elija los valores iniciales inferior x 1 y x u de forma tal que la función cambie de signo sobre el intervalo. Esto se puede verificar asegurándose de que f (x1 ) f (xu ) < 0 Entonces hay al menos una raíz entre x 1 y x u. Paso 2: La primera aproximación a la raíz X, se determinan como: Paso 3: Realice las siguientes evaluaciones para determinar en que subintervalo cae la raíz a) f (x 1 ) f (x r ) < 0 ; entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo inferior o izquierdo. Por lo tanto, tome x u = x r y continué en el paso 2. b) f (x 1 ) f (x r ) > 0 ; entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo superior o derecho. Por lo tanto, tome x 1 = x r y continué en el paso 2. c) f (x 1 ) f (x r ) = 0 ; la raíz es igual a x r ; termina el cálculo. Paso 4: Fin Problema: Utilice el método de bisección para encontrar la raíz real de la siguiente función: 21

22 n = [ln (xu - x1 ) - ln ( error)] / ln (2) n = numero de iteraciones x1 = valor de x inferior xu = valor de x superior xr = valor de x media (aproximación de la raíz) f(x1) = función de x inferior f(xu) = función de x superior f(xr) = función de x media Algoritmo: Intervalo [x1,xu] f(x1)*f(xu) < 0, existe raíz xr = (x1 + xu ) / 2 f(x1)*f(xr) < 0, intevalo izquierdo f(x1)*f(xr) > 0, intevalo Derecho 22

23 Problema 2: Utilice el método de bisección para obtener la raí real de la función f ( x ) = cos ( x ) - ln ( x ) error= x1 = 1 xu = 2 Datos: n = [ln (xu - x1 ) - ln ( error)] / ln (2) n = numero de iteraciones x1 = valor de x inferior xu = valor de x superior xr = valor de x media (aproximación de la raíz) f(x1) = función de x inferior f(xu) = función de x superior f(xr) = función de x media Algoritmo: Intervalo [x1,xu] f(x1)*f(xu) < 0, existe raíz xr = (x1 + xu ) / 2 f(x1)*f(xr) < 0, intervalo izquierdo f(x1)*f(xr) > 0, intervalo Derecho 23

24 2.3 Método de aproximaciones sucesivas El método de las aproximaciones sucesivas es uno de los procedimientos más importantes y más sencillos de codificar. Supongamos la ecuación donde f(x) es una función continua que se desea determinar sus raíces reales. Se sustituye f(x) por la ecuación equivalente Se estima el valor aproximado de la raíz x 0, y se sustituye en el segundo miembro de la ecuación para obtener x 1. Poniendo x 1 como argumento de j(x), obtendremos un nuevo número x 2, y así sucesivamente. Este proceso se puede sintetizar en la fórmula. Si esta secuencia es convergente es decir, tiende hacia un límite, la solución es 24

25 El método de iteración se explica geométricamente mediante el gráfico de la figura. Se dibuja la curva y= (x), y la recta y=x, bisectriz del primer cuadrante. La abscisa del punto de intersección es la raíz buscada. 2.4 Método de Interpolación En numerosos fenómenos de la naturaleza observamos una cierta regularidad en la forma de producirse, esto nos permite sacar conclusiones de la marcha de un fenómeno en situaciones que no hemos medido directamente. La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos. El problema general de la interpolación se nos presenta cuando nos dan una función de la cual solo conocemos una serie de puntos de la misma: (x o, y o ), (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) Y se pide hallar el valor de un punto x (intermedio de x 0 y x n ) de esta función. Se desea, por tanto encontrar una función cuya gráfica pase por esos puntos y que nos sirva para estimar los valores deseados. El tratamiento para ambos problemas es similar se utilizarán los polinomios interpoladores, pero en el caso de la extrapolación el punto debe estar muy próximo a uno de los extremos. Consideremos una función de la cual solo conocemos una serie de puntos de la misma: (x o, y o ), (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) 25

26 Deseamos encontrar la expresión analítica de dicha función para poder estudiarla en otros puntos. Ahora bien, por n+1 puntos pasan infinitas funciones, con cuál de ellas nos quedamos? Lo más lógico es recurrir a la más sencilla. La familia de funciones más sencillas es la de los polinomios, por tanto buscaremos el polinomio de menor grado que pase por los n+1 puntos dados. La función poli nómica de menor grado que pasa por los puntos [1] es en principio de grado n: y= a n x n +...+a 1 x+a o Y se obtiene resolviendo el sistema de n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas Se le llama polinomio interpolador correspondiente a esos puntos. Una vez obtenida su expresión dando valores en él se pueden encontrar nuevos puntos de la función. Los resultados obtenidos son naturalmente estimaciones aproximadas. La interpolación se dirá lineal cuando sólo se tomen dos puntos y cuadrática cuando se tomen tres. En este tema nos limitaremos a estos dos tipos de interpolación. Ejemplo 1. De una función conocemos tres puntos (-3, 5), (1, -1) y (3, 11). qué podemos decir de esa función cuando x=0 y cuando x=10? Solución Calculamos el polinomio interpolador que será de 2º grado Se verifica: y= ax 2 + bx +c, que pase por los tres puntos, 5=a(-3) 2 +b(-3)+c por pasar por el punto (-3, 5) -1=a+b+c por pasar por el punto (1, -1) 11=a.3 2 +b.3+c por pasar por el punto (3, 11) 26

27 Resolviendo el sistema que se nos plantea nos queda: y= P(x)= Cuando x=0, P(0)=-13/4; si x=10, P(10)=527/4 El primero, una interpolación, es probablemente una buena aproximación del valor de la función desconocida, en el punto 0. Sin embargo, el valor 527/4 es probable que se parezca poco al valor de la función en el punto 10, pues es el resultado de una extrapolación muy lejana. La interpolación cuadrática Cuando el polinomio que conviene es de 2º grado la recibe el nombre de cuadrática. El polinomio interpolador es único, luego como se encuentre da igual., sin embargo, a veces los cálculos son muy laboriosos y es preferible utilizar un método que otro. A la vista de los datos se decide. En el ejemplo 1 se da el método de resolver el sistema para encontrar los valores que determinan a la función cuadrática (a, b y c) También podemos utilizar la expresión del polinomio interpolador así: y= a + b(x-x 0 ) + c(x-x 0 )(x-x 1 ), con lo que la búsqueda de los coeficientes es muy sencilla. Lagrange ( ) dio una manera simplificada de calcular los polinomios interpoladores de grado n Para el caso de un polinomio de 2º grado que pasa por los puntos (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ): Formula de Lagranje 27

28 Unidad 3 Métodos de solución de sistemas de ecuaciones. Objetivo: Implementar los métodos numéricos de solución de sistemas de ecuaciones, con apoyo de un lenguaje de programación.. 28

29 3.1 Métodos iterativos Aplicar un método iterativo para la resolución de un sistema S = Ax=b, consiste en transformarlo en lo que se denomina un sistema de punto fijo, que sea equivalente al dado y cuya solución se aproxima paso a paso. Para obtener el sistema de punto fijo equivalente al dado se elije una matriz M que se a fácil de invertir y escribimos la matriz A como: A = M + (A M) Entonces el sistema Ax=B se transforma en: (M + (A M))x = b Mx = (M A)x + b Si designamos N = M A, nos queda Mx = Nx + b (*). La aproximación k ésima de la solución, x (k), se obtiene, en la iteración k, a partir de la aproximación anterior x (k 1) = + b Cuando este proceso es convergente el límite de las aproximaciones cuando k es la solución del sistema de punto fijo planteado y, en consecuencia, del sistema S inicial. En cada iteración, el sistema (*) es fácil de resolver si M es diagonal o triangular. Por otro lado, es conveniente que M no sea muy diferente de A. Las tres opciones para M que presentan mejores resultados son: M = D, donde D es la matriz diagonal cuya diagonal es la de A (Método de Jacobi) M = L+D, donde L+D es la parte triangular inferior de A (Método de Gauss Siedel) M = L+D/ɯ, donde ɯ es un número elegido para ponderación (Método de sobrerrelajación) 29

30 Observaciones: La resolución iterativa no es aplicable a todos los problemas pero resulta muy útil para ciertos tipos, por ejemplo, si el número de incógnitas es muy grande y la matriz de los coeficientes dispersa. La precisión de la solución obtenida por un método iterativo dependerá del núm ero (k) de iteraciones y de la convergencia del método. Todos los métodos iterativos requieren una estimación inicial que designamos por para comenzar la iteración. puede ser cualquier vector (n úpla) arbitrario pero si se dispone de una buen a estimación inicial el proceso de convergencia se acelera. En caso de no disponer de una buena estimación inicial se puede tomar co mo el vector 0 Convergencia de los métodos iterativos Como se ha indicado anteriormente los métodos iterativos solo se pueden aplicar a aquellos sistemas de ecuaciones lineales cuyas propiedades garanticen la convergencia, lo que en general no es posible. Se dice que una sucesión de vectores y se escribe converge a x respecto de cierta norma 30

31 Normas de Vectores las normas más usuales son: Si A es una matriz es estrictamente diagonalmente dominante1, entonces para cualqu ier estimación inicial, las iteraciones de Jacobi y de Gauss Seidel convergen a la so lución del sistema inicial S = Ax=b. Método de Jacobbi Dado un sistema S = Ax=b, el método de Jacobi consiste en iterar el sistema de punto fijo Donde D es la matriz diagonal cuyos elementos son los de la diagonal de A. Observemos que equivale a despejar las incógnitas de los elementos de la diagonal e n S. 31

32 El método de Jacobi se aplica siguiendo la siguiente secuencia de pasos: Primer paso: se sustituye en el segundo miembro las incógnitas por la estimaci ón inicial Los valores obtenidos en el primer miembro constituyen la primera aproximación Segundo paso: se sustituye en el segundo miembro las incógnitas por la aproximación obtenida en el paso anterior, Metodo de Gauss Seidel Dado S=Ax=b, el método de Gauss Seidelconsiste en iterar el sistema de punto fijo Obsérvese que A (L+D) es la matriz triangular superior cuyos elementos no nulos son los que están por encima de la diagonal superior, es decir 32

33 Luego la ecuación anterior queda de la forma (L+D)x = Ux + b, y las sucesivas iteraci ones se obtienen mediante La secuencia de pasos es semejante a la seguida en el método de Jacobi con la difer encia de que el valores obtenidos para se utiliza para aproximar Primer paso: se sustituye en la primera ecuación del segundo miembro las incógnitas en negro por la estimación inicial para obtener A continuación, se sustituye en la segunda ecuación para obtener Seguidamente sustituiríamos en la tercera ecuación para obtener y asi sucesivamente hasta obtener Segundo Paso: se procede ecuación por ecuación del sistema igual que en el primer paso para obtener y así sucesivamente. 33

34 3.2 Sistemas de ecuaciones no lineales En general, no es posible determinar los ceros de una función, es decir, valores tal que f (x ) = 0, en un número finito de pasos. Tenemos que usar métodos de aproximación. Los métodos son usualmente iterativos y tienen la forma: Iniciando con una aproximación inicial x0 (o un intervalo [a, b]), se calculan aproximaciones sucesivas x1, x2,... y elegimos xn como aproximación de x cuando se cumpla un criterio de parada dado. A los ceros de un polinomio se les conoce también como raíces. Aunque en general no disponemos de un mecanismo analítico para resolver una ecuación arbitraria, si tenemos métodos para aproximar una solución mediante aproximaciones sucesivas. En lo que resta del capítulo vamos ver algunas de estos métodos, su confiabilidad y su velocidad de convergencia. f C n [a, b] indica que f tiene derivadas continuas hasta el orden n en [a, b]. En particular, f C[a, b] indica que f es continua en [a, b] y f C 1 [a, b] indica que f es derivable en [a, b] Recordemos los puntos críticos en [a, b] de f C 1 [a, b] son las soluciones de la ecuación f 0 (x) = 0 en [a, b]. Si los puntos críticos en [a, b] son {x0, x1,..., xk } entonces el máximo y el mínimo valor del conjunto { f (a), f (b), f (x0 ), f (x1 ),..., f (xk )} corresponden al máximo y el mínimo absoluto de esta función en [a, b]. Si f es una función de una variable y si f (x ) = 0 entonces decimos que x es un cero de f. Si f es un polinomio también se dice que x es una raíz. 34

35 Método de Punto Fijo En muchos casos una ecuación no lineal aparece en la forma de problema de punto fijo : Encuentre x tal que x = g(x) Un número x = x que satisface esta ecuación se llama punto fijo de g. Ejemplo 1 En el problema de punto fijo x = sen(x), tenemos g(x) = sen(x) y un punto fijo de g es x = 0. Si g(x) = x 2, los puntos fijos son x = 0 y x = 1 pues 0 2 = 0 y 1 2 = 1. Si g(x) = ln x + x, un punto fijo es x = 1 pues ln = Iteración y convergencia de sistemas de ecuaciones Un método iterativo es un método que progresivamente va calculando aproximaciones a la solución de un problema. En Matemáticas, en un método iterativo se repite un mismo proceso de mejora sobre una solución aproximada: se espera que lo obtenido sea una solución más aproximada que la inicial. El proceso se repite sobre esta nueva solución hasta que el resultado más reciente satisfaga ciertos requisitos. A diferencia de los métodos directos, en los cuales se debe terminar el proceso para tener la respuesta, en los métodos iterativos se puede suspender el proceso al término de una iteración y se obtiene una aproximación a la solución. Sistemas de ecuaciones de Newton El en método iterativo para sistemas de ecuaciones convergen linealmente. Como el método de una incógnita, puede crearse un método de convergencia cuadrática, es decir, el método de Newton Raphson multivariable, a continuación se obtendrá este procedimiento para dos variables; la extensión a tres o mas variables es viable generalizando los resultados. Supóngase que se esta resolviendo el sistema. f 1 (x, y ) = 0 f 2 (x, y ) = 0 35

36 Donde ambas funciones son continuas y diferenciables, de modo que puedan expandirse en serie de Taylor. Esto es: f ( x, y) = f (a, b) + f ( x a) + f ( y b) + 1 [ f ( x a) f ( x a)( y b) + 2! x x f ( y b) 2 ]+... x y donde f(x, y) se ha expandido alrededor del punto ( a, b) y todas las derivadas parciales están evaluadas en ( a, b ). Para simplificar aun mas se cambia la notación con x k +1 x k =h y k +1 y k= j y así queda la ( k + 1) ésima iteración en términos de la k ésima, como se ve a continuación: x k +1= x k + h y k +1= y k + j la sustitución de la ecuación : El cual es un sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas h y j. Este sistema de ecuaciones lineales resultante tiene solución única, siempre que el determinante de la matriz de coeficiente o matriz j no sea cero; es decir, si 36

37 Unidad 4 Diferenciación e Integración numérica Objetivo: Aplicar los métodos numéricos para la solución de problemas de diferenciación e integración numérica, usando un lenguaje de programación.. 37

38 4.1 Diferenciación numérica. Cuando se va a practicar una operación en una función tabulada, el camino es aproximar la tabla por alguna función y efectuar la operación aproximadamente. Así se procedió en la integración numérica y así se procederá en la diferenciación numérica; esto es, se aproximara la función tabulada f(x) y se diferenciara la aproximación p n ( x). Si la aproximación es polinomial y con el criterio de ajuste exacto, la diferenciación numérica consiste simplemente en diferenciar la formula del polinomio interpolante que se utilizo. Sea en general. f ( x) = p n ( x) + R n ( x) y la aproximación de la primera derivada queda entonces o en general Al diferenciar la formula fundamental de Newton dada arriba se tiene donde es el error al aproximar por Si las abcisas dadas x 0, x 1,..., x n están espaciadas regularmente por intervalos de longitud h, entonces p n ( x) puede escribirse en términos de diferencias finitas. Y la primera derivada de f(x) queda aproximada por 38

39 Se desarrollan las diferencias hacia delante y se tiene 4.2 Integración numérica De acuerdo a la definición del diccionario, integrar significa unir todas las partes en un todo; unificar; indicar la cantidad total,.... matemáticamente, la integración se representa por La cual representa a la integración de la función f (x) con respecto a la variable x, evaluada entre los limites x = a y x = b. Como lo sugiere la definición del diccionario, el significado de la ecuación es el valor total o sumatoria de f (x) dx sobre el intervalo de x = a a b. En realidad, el símbolo es una s mayúscula estilizada que indica la conexión cercana entre la integración y la sumatoria (Thomas y Finney, 1979). La figuar representa una manifestación grafica de este concepto. Para las funciones que se encuentran sobre el eje x, la integral expresada por la ecuación 1, corresponde al área bajo la curva de f (x) entre x = a y x = b. Habrá muchas ocasiones de volver a referirse a esta concepción grafica a medida que se desarrollen formulas matemáticas para integración numérica. De hecho, la mayor parte de los métodos numéricos para integración, se puedeinterpretar desde una perspectiva grafica. 39

40 Formulas de integración de Newton - cotes Las formulas de Integración de Newton-Cotes son los esquemas de integración numérica más comunes. Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada I = f ( x)dx o datos f ( x)dx tabulados con una función aproximada que sea fácil de integrar : donde f n (x)=polinomio donde n es el orden del polinomio. figura : estimación de una integral mediante el área bajo a) una línea recta, y b) una parábola. La integral se puede aproximar usando una serie de polinomios aplicados por partes a la función o a los datos sobre intervalos de longitud constantes. Por ejemplo en la figura 2, se usan tres segmentos de línea recta para aproximar la integral. 40

41 Unidad 5 Interpolación Objetivo: Implementar los diferentes métodos de interpolación para la solución de problemas, usando un lenguaje de programación.. 41

42 5.1 Polinomio de interpolación de Newton Interpolación es, a partir de una serie de puntos, obtener una ecuación cuya curva pase por todos ellos o lo más cerca posible. El método de interpolación de Newton es un poco más complicado que el de Lagrange, pero como todo lo de Newton, es más preciso. Por supuesto que este método tiene todo un desarrollo teórico para llegar a la ecuación general, pero es demasiado largo y para fines prácticos lo que sirve al final es solo la forma de realizar el método y como aplicarlo. La ecuación general para este método es la siguiente: F(x)= b₀ + b₁ (x - x₀) + b₂ (x x₀) (x x₁) + + bn (x - x₀)(x xn-₁) Lo importante de este método o la parte interesante es el cálculo de las b's. Aquí es donde el método toma su nombre de diferencias divididas. Hay distintas formas de hacerlo, pero una de las que mas se recomiendan porque es clara y fácil es la siguiente: Primero se ponen en 2 columnas acomodados de tal modo que se correspondan todas las x y las f(x) que se desean interpolar. Después se hacen a su lado tantas columnas como puntos son -1, asi si son 5 puntos se hacen 4 columnas. Asi para el caso de tener 5 puntos X f(x) f(xi,xi) f(xi,xi,xk) x0 f(x0) f(x1,x0) f(x2,x1,x0) x1 f(x1) f(x2,x1) f(x3,x2,x1,x0) x2 f(x2) f(x3,x2) f(x3,x2,x1) f(x4,x3,x2,x1,x0) x3 f(x3) f(x4,x3,x2,x1) x4 f(x4) f(x4,x3) f(x4,x3,x2) 42

43 5.2 Polinomio de Interpolación de Lagrange En algunas ocasiones, no se tiene una función continua, sino valores de la función específicos y(x) para una x dada. A estas funciones se les conoce como funciones tabulares, y son de la siguiente forma: En la práctica tenemos como ejemplo los resultados de experimentos en un laboratorio, o el censo de la población cada 5 años. La interpolación requiere el cálculo de los valores de una función y(x) para argumentos entre en los cuales se conocen los valores, en otras palabras, interpolar es recuperar los valores de una función en puntos intermedios dada una tabla de valores de esta función. Por ejemplo, a veces es imposible o muy costoso hacer experimentos de laboratorio para valores intermedios de x. También sería muy costoso hacer un censo de la población cada año, sin embargo, si tenemos el tamaño de la población en 1980, 1985 y 1990, podemos interpolar para obtener el tamaño de la población en Para poder realizar una interpolación de Newton es necesario que los valores de las x dadas en la función tabular tengan un espaciamiento constante mientras que una interpolación de Lagrange se puede llevar a cabo sin importar si el espaciamiento es constante o variable. La interpolación de polinomios de Lagrange es una reformulación del polinomio de Newton que evita el cálculo de la tabla de diferencias, el polinomio de Lagrange se expresa como: 43

44 Donde: P es el símbolo de multiplicatoria y significa el producto de. Por ejemplo, el polinomio de Lagrange de primer grado es: Mientras que el polinomio de Lagrange de segundo grado es: En este caso es la y la x es la. Mientras mas datos se tengan en la tabla, se podrá usar un polinomio de mayor grado, lo que dará mejores resultados. 44

45 Unidad 6 Solución de ecuaciones diferenciales Objetivo: Aplicar los métodos numéricos para la solución de problemas de diferenciación numérica, usando un lenguaje de programación.. 45

46 6.1 Métodos de pasos múltiples Una EDO es lineal si mediante operaciones algebraicas puede expresarse de la forma: Escrita de la forma estándar tenemos: La solución de una EDO Lineal se forma con la suma de las dos soluciones: 1) La solución Homogénea Yh 2) La solución Particular Yp Para la solución Yh vamos a hacer f(x) = 0 Es separable. Pasamos a dividir "y". Integramos de ambos lados. Ambos lados por e. Para el cálculo de Yp proponemos: 46

47 En Sustituimos: De donde podemos eliminar Multiplicamos ambos lados por Sustituimos en Yp De donde obtenemos: Teniendo Yp y Yh ya podemos calcular Y de la siguiente manera: 47

48 Operamos ambos lados con Algoritmo de Solución para una EDO Lineal 1) Escribir la EDO en la forma 2) Calculamos Esto es conocido como "factor integral" 3) Multiplicar por la EDO 4) Tenemos la EDO en la forma: 5) Integrar: 6) Despejar Y (Multiplicando de ambos lados) Ejemplo 1 de Resolución de Ecuaciones Diferenciales 48

49 El primer paso es identificar que tipo de EDO es, en este caso es un EDO Lineal. Ahora tenemos que identificar quien es, en este caso Multiplicamos por de ambos lados Operamos de ambos lados Operamos ambos lados con Y Obtenemos que: Ejemplo 2 Solución: multiplicamos ambos lados de la igualdad por forma de Ec. Lineal. para poder dejar la expresión en, donde a(x) = y b(x) =. El factor integrante viene siendo dado por: Multiplicando El factor integrante por toda la expresion lineal, 49

50 misma expresión... donde la Integral de la derivada de una expresión, es la, despejamos "Y" Respuesta Final: Ejemplo 3 El primer paso es llevar la ecuación a la forma estandar, en este caso multiplicando ambos lados de la ecuación por Esto deja la ecuación: Luego identificamos, luego calculamos Esto es: Luego se multiplican ambos lados de la ecuación por dando como resultado: Luego integramos los dos lados de la ecuación, resultando: Por ultimo, multiplicamos toda la ecuación por dando como resultado final: 50

51 51

52 Bibliografía Walter Mora F., Introducción a los Métodos Numéricos, Revista Digital, Escuela de matematica. Métodos Numéricos para Ingenieros 5ta Ed. Chapra, Steven C., Canale, Raymond P. Métodos Numéricos Para Ingenieros Steven C. Chapra Edición 6 52