Las circunferencias de Droz-Farny

Transcripción

1 Las circunferencias de roz-farny Francisco Javier García apitán on motivo del problema 400 de triánguloscabri Índice 1. Introducción 1 2. Resultados preliminares uadrado del lado opuesto a un ángulo Longitud de la mediana Las alturas y el ortocentro Rectas y puntos isogonales efiniciones La circunferencia pedal Un teorema de roz-farny emostración del teorema Un caso particular Más circunferencias de roz-farny 8 ibliografía Introducción El Laboratorio Virtual de Triángulos 1 llega a su problema número 400. on este motivo, presentamos este trabajo sobre las circunferencias de roz-farny. lo largo de todo este artículo, es un triángulo, su ortocentro, EF su triángulo órtico (es decir,, E, F son los pies de las alturas sobre,,, respectivamente), y XY Z es su triángulo medial (es decir, X, Y y Z son los puntos medios de los lados, y, respectivamente. Finalmente R, es el radio de la circunferencia circunscrita a. 2. Resultados preliminares ntes de ver las circunferencias de roz-farny repasamos unos resultados elementales que usaremos, y que tienen interés también en sí mismos

2 2.1. uadrado del lado opuesto a un ángulo. Lema 1. En el triángulo, si la altura que pasa por corta al lado en, y si consideramos distancias con signo en la recta, se cumple que 2 = Fig. 1: agudo. Fig. 2: obtuso. emostración. Según vemos en las figuras 1 y 2, si es agudo 2 = = ( ) 2 + ( 2 2 ) = , mientras que si es obtuso 2 = = ( + ) 2 + ( 2 2 ) = Longitud de la mediana omo aplicación de la fórmula anterior podemos calcular la longitud de una mediana del triángulo en función de los lados: M 2 = 1 2 ( 2 + 2) M Fig. 3: Longitud de la mediana. emostración. En efecto, si aplicamos (Figura XX) las fórmulas del apartado anterior a los triángulos M y M obtenemos 2 = M 2 + M 2 2M M, 2 = M 2 + M 2 + 2M M, 2

3 de donde, al ser M = M = 1 2, resulta = 2M 2 + 2( 1 2 ) Las alturas y el ortocentro Lema 2. Sean un triángulo y su ortocentro. Si la altura corta en a la recta y en a la circunferencia circunscrita a entonces =. emostración. En efecto, como vemos en la figura 4, donde hemos trazado también la altura E, = = 90 = 90 E =, = = =, por lo que el triángulo es isósceles y los triángulos y son congruentes, luego =. E E E F F X Fig. 4: =. Fig. 5: = E = F. orolario 1. Si, E, F son los pies de las alturas,, sobre los lados,, respectivamente, entonces = E = F. emostración. Según vemos en las figuras 4 y 5, = 1 2 ( ) es decir la mitad de la potencia de respecto de la circunferencia circunscrita, y el mismo valor tendrán los productos E y F. Lema 3. Los triángulos F, E y F E son semejantes a. emostración. En efecto, y F están sobre la circunferencia de diámetro, así que F es cíclico y F = F = E =. e la misma forma, F =. orolario 2. = 2R cos, etc. emostración. En efecto, tenemos cos = /. omo F es semejante a y es el diámetro de F tenemos cos = /2R. 3

4 orolario b 2 = 4R 2, etc. emostración. 2 + b 2 = 4R 2 cos 2 + 4R 2 sen 2 = 4R 2. orolario 4. El valor común de los productos anteriores es = E = F = 1 2 (a2 + b 2 + c 2 ) 4R 2. emostración. En efecto, = E es la potencia de respecto a la circunferencia con diámetro (y centro X), por lo que = X 2 X 2. hora, siendo X la mediana del triángulo, tenemos X = 1 2 (2 + 2 ). Entonces =X 2 X 2 = X (2 + 2 ) = = a2 4 1 ( 4R 2 b 2 + 4R 2 c 2) + a2 2 4 = 1 ( a 2 + b 2 + c 2) 4R Rectas y puntos isogonales efiniciones efinición. Siendo P y Q dos puntos del plano del triángulo, las rectas P y Q se llaman isogonales respecto del ángulo si forman el mismo ángulo con los lados de dicho ángulo (o, lo que es lo mismo, si son simétricas respecto de la bisectriz de dicho ángulo). Q P Fig. 6: Rectas isogonales. Fig. 7: Puntos isogonales. El hecho fundamental sobre líneas isogonales permite definir los puntos isogonales: Teorema 1. Si P es un punto cualquiera, las rectas isogonales de P, P, P respecto de los ángulos,, son concurrentes. efinición. Si P es un punto cualquiera, el punto donde concurren las rectas isogonales de P, P, P respecto de los ángulos,, se denomina conjugado isogonal de P. Si Q es el conjugado isogonal de P, entonces P es el conjugado isogonal de Q, así que los puntos isogonales van emparejados. Es evidente que el incentro es conjugado isogonal de sí mismo, y es fácil comprobar que el ortocentro y el circuncentro son conjugados isogonales. 4

5 La circunferencia pedal Si P y Q son dos puntos isogonales tenemos (Figura 8) el siguiente Teorema 2. Los pies de P y Q sobre los lados del triángulo son seis puntos que están en una misma circunferencia, llamada circunferencia pedal del par (P, Q). Q P L W K Q S M V P Fig. 8: ircunferencia pedal. Fig. 9: emostración. emostración. Sean V, W y K, L los pies de P y Q sobre las rectas y, respectivamente. Sea M el punto medio de P Q. Supongamos que la recta Q corta a V W en S. En primer lugar, S es perpendicular a V W. En efecto, el cuadrilátero W KV es cíclico, por lo que, al ser P y Q isogonales, tenemos V W P = P V = W Q. Entonces, el ángulo formado por Q y V W será el mismo que el formado por W P y W, un ángulo recto. hora, como los cuadriláteros LW SQ y QSV K son cíclicos, usando la potencia del punto respecto de las circunferencias correspondientes tenemos L W = Q S = K V, por lo que LW V K también es un cuadrilátero cíclico. Finalmente, M es el centro de la circunferencia LW V K, ya que la mediatriz de LW, por ser paralela a LQ y W P, pasará por el punto medio de P Q, y lo mismo la mediatriz de KV. Por tanto las dos mediatrices se cortan en M. sí queda demostrado que M es el centro de una circunferencia que pasa por los pies de P y Q sobre las rectas y. También M es centro de otra circunferencia que pasa por los pies de P y Q sobre las rectas y. mbas circunferencias coinciden por ser concéntricas y tener comunes los pies de P y Q sobre la recta. 3. Un teorema de roz-farny El primero de los siguientes teoremas fueron enunciados por Steiner, sin demostración, como era habitual en él. La demostración y extensiones que siguen se deben a roz-farny (Mathesis, 1901, p. 22). Teorema de roz-farny. Si una circunferencia con centro corta a los lados Y Z, ZX, XY del triángulo medial en P 1, Q 1, P 2, Q 2, P 3, Q 3 respectivamente, entonces P 1 = P 2 = P 3 = Q 1 = Q 2 = Q 3. 5

6 Q 2 P 3 P 1 Q 1 P 2 Q 3 Fig. 10: Un teorema de roz-farny emostración del teorema Sea U cualquier punto sobre Y Z, la paralela media a, y sea M el punto medio de la altura. Z M U Y Entonces tenemos que Fig. 11: emostración del teorema. U 2 = 2 + U M = U 2 + ( + 2 M) = =U 2 + (M + M) = U 2 + (M + M) = =U 2 +. e la misma forma, si V es un punto sobre la paralela media ZX a, será V 2 = V 2 + E. Y como, según el corolario 1, es E =, si además es U 2 = V 2, tendremos U 2 = V 2. Recíprocamente, 6

7 Recíproco del teorema de roz-farny. Si trazamos circunferencias iguales con centro los vértices de un triángulo, cortarán a los lados del triángulo medial en seis puntos que están en una misma circunferencia cuyo centro es el ortocentro del triángulo. emostración. asta usar de nuevo las igualdades U 2 = U 2 + y V 2 = V 2 + E, donde tenemos ahora U = V y E =, de donde deducimos que U = V Un caso particular Lema 4. Si ρ es el radio de las circunferencias iguales con centros, y, y R es el radio de la circunferencia con centro entonces R 2 = 4R 2 + ρ (a2 + b 2 + c 2 ). emostración. asta sustituir en la fórmula U 2 = U 2 + los valores U = ρ, U = R, = 4R (a2 + b 2 + c 2 ). orolario 5. Las circunferencias con centros,, y la circunferencia con centro tendrán ambas el mismo radio R que la circunferencia circunscrita si y solo si el triángulo es rectángulo. Q 2 = P 3 P 1 Q 1 P 2 =Q 3 Fig. 12: Todos iguales. emostración. asta tener en cuenta que 1 2 (a2 + b 2 + c 2 ) 4R 2 se factoriza como ( b 2 + c 2 a 2) ( a 2 b 2 + c 2) ( a 2 + b 2 c 2) 2(b + c a)(a b + c)(a + b c)(a + b + c). orolario 6. Si se trazan circunferencias iguales a la circunferencia circunscrita con centros en los vértices de un triángulo, cortarán a los lados correspondientes del triángulo medial en puntos sobre una circunferencia con centro y radio R tal que R 2 = 5R (a2 + b 2 + c 2 ). 7

8 4. Más circunferencias de roz-farny Teorema 3. Si se trazan circunferencias con centros los pies de las alturas pasando por el circuncentro, cortarán a los lados correspondientes en seis puntos sobre una circunferencia con centro. F E O Fig. 13: ircunferencia con centro. Si intercambiamos los papeles del circuncentro y el ortocentro en el teorema anterior, resulta que los pies del circuncentro son los puntos medios de los lados. Resultaría el siguiente teorema, que también es cierto: Teorema 4. Si se trazan circunferencias con centros los puntos medios de los lados y pasando por el circuncentro, cortarán a los lados correspondientes en seis puntos sobre una circunferencia con centro O, igual que la del teorema anterior. Z Y O X Fig. 14: ircunferencia con centro O. Los dos teoremas anteriores pueden generalizarse para puntos P y Q que, como el circuncentro y ortocentro, sean conjugados isogonales. Teorema 5. Sean P un punto y Q su conjugado isogonal respecto el triángulo. Sean, E, F las proyecciones de P sobre los lados de. Se trazan 8

9 las circunferencias de centros, E, F que pasan por Q. Estas circunferencias cortan a los lados en seis puntos que están sobre una circunferencia con centro P, que se llama la circunferencia de roz-farny de P respecto. Si se hace lo mismo con Q, se obtiene otra circunferencia del mismo radio. Q M P N Fig. 15: álculo de P N 2. emostración. Sean M el punto medio de P Q y N uno de los puntos en que la circunferencia con centro y radio Q corta a la recta. Usando el teorema de Pitágoras y la fórmula de la longitud de la mediana tendremos P N 2 = P 2 + N 2 = P 2 + Q 2 = 2M P Q2, es decir N estará sobre una circunferencia con centro P y cuyo radio sólo depende de M, radio de la circunferencia pedal de P y Q, y de P Q, la distancia entre P, y Q. demás, queda claro, que al intercambiar los papeles de P y Q resultará otra circunferencia con el mismo radio. Q P Fig. 16: ircunferencias de roz-farny. 9

10 Referencias [1] Eves,. Problema en Survey of Geometry, Volumen 1. oston: llyn and acon Inc., pág. 83, [2] onsberger, R. The roz-farny ircles. 7.4 (ix) en Episodes in Nineteenth and Twentieth entury Euclidean Geometry. Washington, : Math. ssoc. mer., págs , [3] Johnson, R.. dvanced Euclidean Geometry. Nueva York: over, Reedición de Modern Geometry: n Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the ircle. oston: oughton Mifflin, págs ,