Algunas maneras de usar la potencia

Transcripción

1 lgunas maneras de usar la potencia José ntonio Gómez Ortega Revista Tzaloa, año 1, número 4 Hay en las matemáticas trucos que resaltan por la variedad de situaciones en las que se aplican. ara estas notas se eligió uno muy útil que sirve para decidir si algunos puntos están sobre una circunferencia. Recuerde que tres puntos determinan una única circunferencia (el circuncírculo del triángulo de vértices los tres puntos); cuando encontramos condiciones para que cuatro o más puntos esten sobre una circunferencia, estamos ante una situación que resulta, por lo menos, sorprendente. ero bien podría ser tal situación un teorema, un problema o un ejercicio. quí se verán resultados que han surgido en diferentes contextos que tienen en común que para justificarlos o resolverlos es suficiente encontrar la potencia de algunos puntos. La potencia de un punto Iniciemos con unas observaciones sobre la geometría de la circunferencia. 1. Si dos cuerdas y de una circunferencia se intersectan en un punto, entonces =. l punto de intersección se podrá encontrar sobre, dentro o fuera de la circunferencia. n el primer caso ambos miembros de la ecuación son cero (ya que coincidiría con ó y con ó ) y en tal caso la igualdad es inmediata. Si se encuentra en el interior de la circunferencia o en el exterior (como se muestra en las figuras ), los triángulos y son semejantes ya que los ángulos y son iguales (por abrir el mismo arco en el primer caso y, en el segundo por ser cíclico el cuadrilátero ); y por la misma razón los ángulos y son iguales. Luego, la semejanza garantiza que = y entonces =. 2. Si, y T son puntos sobre una circunferencia y si la tangente en T, interseca en un punto a la prolongación de la cuerda, entonces T 2 =. omo el ángulo semiinscrito es igual al ángulo inscrito que abre el mismo arco, esto es T = T y como T = T, resulta que los triángulos T y T son semejantes, por tanto T = T, luego T2 =. 1

2 T Las dos observaciones son propiedades métricas útiles de la circunferencia, pero de mayor utilidad es que las condiciones algebraicas garantizan el hecho geométrico del cual se obtuvieron, es decir: roposición 1. (a) Si, son dos segmentos que se intersecan en de manera que, como segmentos dirigidos, = entonces,, y se encuentran sobre una circunferencia. (b) Si,,T y son puntos de manera que,, están alineados y T 2 =, entonces T es tangente en T al circuncírculo del triángulo T. emostremos estas afirmaciones. ara (a), sea la intersección de con el circuncírculo del triángulo. or la primera observación, = y como por hipótesis =, se tiene que =, por lo que =. Luego,, y se encuentran sobre la circunferencia. ara (b), sea la intersección de T con el circuncírculo del triángulo T. or la primera observación, = T y como por hipótesis = T 2, se tiene que T = luego T =, por lo que T es tangente en T a la circunferencia. n resumen, para un punto, una circunferencia, y cualquier recta por que corte a en puntos y (con la posibilidad de = ) siempre ocurre que: es igual a una constante. sta cantidad constante se conoce como la potencia de respecto a. Si la circunferencia tiene centro O y radio r y si T es la tangente a en T que pasa por resulta que la potencia de es T 2, y por el Teorema de itágoras sucede que: T 2 = O 2 r 2. T O O Si el punto está dentro de la circunferencia y si es una cuerda por, entonces la potencia de es. Si se trabaja con segmentos dirigidos, los segmentos y tienen signos opuestos, por lo que la potencia es negativa y su magnitud se puede calcular al trazar el diámetro 2

3 por, la magnitud de la potencia es: (r O)(r+O) = r 2 O 2. sí, para este caso, también la potencia resulta ser O 2 r 2. inalmente, para un punto sobre la circunferencia se ha señalado que la potencia es cero, esto también coincide con O 2 r 2. hora se puede afirmar que la potencia de con respecto a la circunferencia = (O,r) eso 2 r 2 ; y serápositiva, ceroonegativadependiendo si seencuentra fuera, sobre o dentro de la circunferencia. omo una primera ilustración del uso de la potencia se presenta una demostración del siguiente resultado que se atribuye a uler, donde se dan condiciones necesarias y suficientes para asegurar que dadas dos circunferencias estas sean el circuncírculo e incírculo de un triángulo. órmula de uler. Una condición necesaria y suficiente para la existencia de un triángulo con circuncírculo (O, R) e incírculo (I,r) es la igualdad: OI 2 = R 2 2Rr. emostración. Sea un punto sobre la circunferencia = (O,R), sean y los puntos de intersecciónde con lastangentes desde ala circunferencia = (I,r). l triángulo admite a como incírculo si y sólo si es tangente a. ero como es tangente a, la recta es tangente a si y sólo si I es bisectriz del. Luego, si y sólo si I = I. I O Sea el punto de intersección de la recta I con, que es el circuncírculo del triángulo. omo I es bisectriz, se tiene que: I = I. demás, I =, ya que ambos ángulos abren el mismo arco, luego I =. omo el ángulo I es un ángulo exterior del triángulo I, tenemos que: I = I I. demás, como = I I, al substituir estos valores en la ecuación del párrafoanteriorse obtiene: I I = I I. Luego, la condición I = I es verdadera si y sólo si I = I. ero estos dos ángulos, son los ángulos opuestos a los lados y I del triángulo I. l problema se reformula así: = (I,r) es incírculo del triángulo si y sólo si = I. 3

4 I O Sea el punto de tangencia de la circunferencia con y el punto diametralmente opuesto a en. omo los triángulos rectángulos I y tienen los ángulos I y iguales por abrir el mismo arco, resulta que son semejantes. sta semejanza garantiza que I I =, por lo que: I = 2Rr. omo la potencia del punto I con respecto a es I I = (R OI)(R+OI), de las dos últimas igualdades se concluye que: Luego, = I si y sólo si R 2 OI 2 = 2Rr. I = 2Rr (R OI)(R+OI). je radical de dos circunferencias adas dos circunferencias = (O,r) y = (Q,s), para qué puntos se cumple que la potencia a la circunferencia es igual que la potencia a la circunferencia? Se sabe que la potencia de a = (O,r) es O 2 r 2 y la potencia de a = (Q,s) es Q 2 s 2, luego los puntos que se buscan son los que cumplan que O 2 r 2 = Q 2 s 2, o equivalentemente los puntos que satisfagan O 2 Q 2 = r 2 s 2. omo r 2 s 2 es una constante que no depende del punto, se conoce que este conjunto de puntos o lugar geométrico es una recta perpendicula a OQ. Lo anterior se justifica de la siguiente manera: sean d = r 2 s 2 la constante, un punto del lugar geométrico y sea M el pie de la perpendicular desde al segmento OQ. or el teorema de itágoras tenemos que: O 2 OM 2 = M 2 = Q 2 QM 2, así OM 2 QM 2 = O 2 Q 2 = d, y entonces, (OM + MQ)(OM MQ) = d. or lo que, M cumple que OM MQ = d OQ. hora, veamos que solamente hay un punto M sobre la recta por O y Q que cumple esta ecuación; en efecto, si ON NQ = d OQ = OM MQ, se tiene que OM +MN NQ = OM MN NQ, por lo que MN = 0 y entonces M = N. Luego, todo punto del lugar geométrico está sobre la perpendicular a OQ por M. e la ecuación OM 2 QM 2 = O 2 Q 2 = d, se concluye que los puntos sobre la recta referida pertenecen al lugar geométrico. ste lugar geométrico se conoce como el eje radical de y, y resulta ser perpendicular a la recta OQ. s útil señalar que cada punto del eje radical de y cumple que las longitudes de las tangentes desde a y son iguales, cuando existen. 4

5 roposición 2. ara tres circunferencias (cuyos centros no son colineales), los tres ejes radicales de ellas tomadas por pares son concurrentes. l punto de concurrencia es llamado el centro radical. emostración. Sea el punto de intersección del eje radical de la primera y segunda circunferencias con el eje radical de la segunda y la tercera, luego tendrá la misma potencia con respecto a las tres circunferencias; en particular, estará en el eje radical de la primera y tercera, por lo que este último eje pasará también por onstrucción del eje radical. l eje radical de dos circunferencias no concéntricas, y, se puede construir con regla y compás de las siguientes maneras, que dependen de la posición de las circunferencias: 1. Si y se intersecan, como los puntos de intersección tienen potencia igual a cero para ambas circunferencias, se tiene que estos puntos forman parte del eje radical, y en este caso el eje radical pasa por tales puntos de intersección. Luego, se puede construir con regla y compás. n particular, cuando las dos circunferencias son tangentes, la tangente por el punto común es el eje radical, que es también construible. 2. Si las dos circunferencias y no se cortan, se traza una tercera circunferencia que corte a las dos anteriores, cuyo centro no sea colineal con los centros de y. La cuerda común de y cortará en a la cuerda común de y, el punto pertenece al eje radical de y, por lo que el eje radical será la recta por perpendicular a la recta por los centros de y, y ésta es construible. 3. Si una de las circunferencias = (O,r), = (Q,s) tiene radio cero, por ejemplo r = 0, se traza una circunferencia = (R,t) que pase por O y corte a, y cuyo centro no sea colineal con los centros de y. La tangente a por O intersecará a la cuerda común de y en un punto, que pertenecerá al eje radical de y. or lo que, el eje radical será la recta por perpendicular a la recta por O y Q. Tal perpendicular es construible. 4. Si las circunferencias = (O,r), = (Q,s) tienen radio cero, el eje radical es la mediatriz del segmento OQ, y la mediatriz es construible. hora, se dará un ejemplo del uso de los ejes radicales, que servirá para demostrar uno de los resultados más sorprendentes de la geometría del triángulo donde se garantiza que sobre cierta circunferencia hay nueve puntos notables del triángulo. 5

6 jemplo 1. n un triángulo, los puntos medios,, de los lados,,, los pies,,, de las alturas,,, y los puntos medios K,L,M de los segmentos H,H,H, donde H es el ortocentro del triángulo, están sobre una circunferencia, llamada la circunferencia de los nueve puntos. omo el cuadrilátero está inscrito en la circunferencia de diámetro, se tiene que la potencia de con respecto a tal circunferencia es =. or ser y puntos medios de y se tiene que =, luego la roposición 1 garantiza que,,, se encuentran en una circunferencia, que se denotará por 1. 1 nálogamente, se demuestra que,,, se encuentran en una circunferencia 2 y que,,, sobre una circunferencia laramente si dos de las tres circunferencias 1, 2, 3 coinciden entonces coinciden las tres. or lo que,,,,, seencuentranenunamismacircunferencia 1. hora,lastrescircunferencias deben coincidir ya que si, por ejemplo, 1 2, entonces el eje radical de ellas es, si 1 3 su ejeradicales ysi 3 2 suejeradicales, peroestostresejesradicalesnosonconcurrentes, lo que es una contradicción a la existencia del centro radical. plicando un razonamiento como el anterior en los triángulos H y H se demuestra que K,L,M también se encuentran en 1. or lo que hay una circunferencia que pasa por los siguientes nueve puntos:,,,,,, K, L, M. 6

7 l uso de la potencia para asegurar que cuatro puntos son concíclicos y el hecho de que los tres ejes radicales que determinan tres circunferencias son concurrentes son trucos de uso recurrente, lo que convierte a estos trucos en una estrategia o un método. Si lo anterior aún no lo convence vea el siguiente ejemplo (y los cuatro ejercicios del final). jemplo 2. Sean un triángulo y,, sus alturas. La circunferencia de diámetro corta a los lados y en J y K, respectivamente; la circunferencia de diámetro corta a y en L y M, respectivamente; y la circunferencia de diámetro corta a y en N y Ñ, respectivamente. ntonces, los seis puntos J, K, L, M,N,Ñ están sobre una misma circunferencia, llamada la circunferencia de Taylor. omo el cuadrilátero es cíclico sucede que = y =. nálogamente, se tiene que = y = y que = y =. La circunferencia de diámetro tiene centro en el punto medio de, luego J es isósceles, por lo que J es paralela a. Si y son los puntos medios de y respectivamente, se tiene también que es paralela a y como M es isósceles M es paralela a. Luego, J,, y M son colineales. nálogamente K,, y N son colineales y lo mismo L,, y Ñ. K J L M N Ñ Silaslongitudesde,, sedenotanpord,e,f,respectivamente,setieneque J = K = d 2 y M = N = e+f 2. or lo que, K N = J M. La roposición 1, garantiza que M,N,J,K estánen unacircunferencia a.nálogamente,ñ,j,l,m estánen unacircunferencia b y K,L,N,Ñ están en una circunferencia c. laramente, si dos de las tres circunferencias a, b, c coinciden, entonces coinciden las tres y asunto concluido. hora, las tres circunferencias deben coincidir, ya que si por ejemplo a b, entonces el eje radical de ellas es MJ, si b c su eje radical es LÑ y si c a su eje radical es NK, pero estos tres ejes radicales no son concurrentes, lo que es una contradicción a la existencia del centro radical. 7

8 K J Ñ L M N K J Ñ L M N jercicios 1. Sea un triángulo con longitudes de sus lados a,b,c. Sean K,L,M,N,,Q puntos sobre los lados,,,,,, respectivamente, de manera que K = L = b, M = N = c y = Q = a. Muestre que K,L,M,N, y Q están sobre una misma circunferencia. icha circunferencia es llamada circunferencia de onway. Sugerencia. Vea que L = Q M, L = K N y N K = M Q, ahora termine como en el ejemplo de la circunferencia de Taylor. 2. Sea un triángulo y,, los puntos medios de los lados,,, respectivamente. Tres circunferencias de un mismo radio se trazan, una con centro en que corte a en y Q, otra con centro que corte a en R y S, y una más con centro en que corte a en T y U. Muestre que,q,r,s,t y U están sobre una misma circunferencia, llamada primera circunferencia de roz-arny. Sugerencia. l eje radical de las circunferencias centradas e y es la mediatriz de que pasa por. Luego, R,S,T,U están en una misma circunferencia a. nálogamente, T,U,,Q están en una circunferencia b y,,q,r,s están sobre una circunferencia c. Las tres circunferencias son la misma, en caso contrario sus ejes radicales no concurren. 3. (IMO, 2008/1) Sea H el ortocentro de un triángulo acutángulo. La circunferencia de centro en el punto medio de y que pasa por H corta a en 1 y 2. nálogamente, 8

9 se definen los puntos 1 y 2 sobre y los puntos 1 y 2 sobre. Muestra que los seis puntos 1, 2, 1, 2, 1, y 2 están sobre una misma circunferencia. (Llamada segunda circunferencia de roz-arny.) Sugerencia. Los ejes radicales de las circunferencias del problema harán ver que cada cuarteta de puntos ( 1, 2, 1, 2), ( 1, 2, 1, 2) y ( 1, 2, 1, 2) es concíclica. Si estas tres circunferencias no son la misma hay un problema. 4. (OMM, 2008/6). Las bisectrices internas de los ángulos, y de un triángulo concurren en I y cortan al circuncírculo de en L, M y N, respectivamente. La circunferencia de diámetro IL corta al lado en y ; la circunferencia de diámetro IM corta al lado en y G; la circunferencia de diámetro IN corta al lado en H y J. Muestra que,,, G, H, J están sobre una misma circunferencia. (ircunferencia cuyo nombre no he encontrado y a la cual por devoción olímpica le he puesto circunferencia de San arlos.) Sugerencia. Los ejes radicales de las circunferencias del problema son las bisectrices internas del triángulo. omo en los problemas anteriores éstos ayudan a ver que cada cuarteta (,G,H,J), (H,J,,) y (,,,G) de puntos es concíclica. Las tres circunferencias son la misma, en caso contrario sus ejes radicales no concurren. ibliografía 1. R. ulajich Manfrino, J.. Gómez Ortega. Geometría. uadernos de Olimpiadas de Matemáticas. Instituto de Matemáticas de la UNM, R. Johnson. dvanced uclidean Geometry. over,