CONGRUENCIA, SEMEJANZA Y CONCURRENCIA

Transcripción

1 ONGRUENI, SEMEJNZ Y ONURRENI Luis Fernando áceres-duque Departamento de iencias Matemáticas Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayagüez

2 2010 c Derechos reservados Prohibida la copia parcial o total. Impreso y hecho en Puerto Rico Todos los ingresos de esta publicación son para el proyecto: Olimpiadas de Matemáticas de Puerto Rico Ninguna parte de esta obra puede ser reproducida ni transmitida por ningún medio, electrónico, mecánico, fotocopiado, grabado u otro, excepto con el permiso previo por escrito del autor. I

3 Prologo En este libro presentamos temas básicos de geometría plana desarrollados dentro de tres grandes tópicos: congruencia, semejanza y concurrencia. La teoría está acompañada de ejercicios apropiados para cada uno de los temas. lgunos de estos ejercicios han sido seleccionados de olimpiadas de matemáticas locales e internaciones. Una de las características principales de estas notas es que comienza con geometría muy básica y rápidamente desarrolla teoremas y conceptos fundamentales. Se asume que el lector tenga algunos conocimientos básicos de terminología usada en geometría, pero en cuanto a resultados geométricos prácticamente se comienza de cero. Esperamos que el lector resuelva todos los ejercicios ya que geometría, como las demás áreas de la matemática, requiere mucha práctica para lograr un verdadero dominio. gradezco a Gabriel Uribe por su ayuda en la edición de estas notas y a María Losada por sus valiosos comentarios y sugerencias. Enero 2010 II

4 III

5 ongruencia, Semejanza y oncurrencia Triángulos ongruentes omenzamos esta sección con la denición de altura de un triángulo y la fórmula más conocida para calcular el área de cualquier triángulo. Denición. Una altura del triángulo es un segmento que va desde un vértice del triángulo hasta el lado opuesto y es perpendicular a dicho lado opuesto del vértice. D D En los dibujos anteriores se muestran las alturas de los triángulos desde el vértice, respectivamente. l punto D se le llama pie de la altura. Ejercicio. Sabiendo que el área de un triángulo rectángulo es la mitad del producto de las longitudes de sus catetos, hallar el área de un triángulo arbitrario. Nota. l área del triángulo la denotaremos por (). Ejercicio. Sea el y sean D y E puntos sobre y respectivamente tales que DE es paralela a. Demostrar que (E) = (D). Ejercicio. En el triángulo sea M el punto medio de. Si P es un punto cualquiera en M entonces (P M) = (P M). Ejercicio. Sea el. Sean D y E puntos en tales que D = DE = E. Entonces (D) = (DE) = (E). ¾uánto vale cada una de estas áreas? 1

6 Rectas paralelas y ángulos especiales Los ángulos O y O del dibujo se llaman ángulos adyacentes. O Los ángulos O y DO del dibujo se llaman opuestos por el vértice y miden lo mismo. O Los ángulos GL y LG del dibujo se llaman alternos internos. Las rectas l y m son paralelas si y solo si GL = LG. D G m L l 2

7 ongruencia, Semejanza y oncurrencia En geometría decimos que dos guras geométricas son congruentes si tienen exactamente la misma forma y el mismo tamaño. En particular aquí nos interesa el estudio de triángulos congruentes. continuación damos una denición precisa de lo que se entiende como triángulos congruentes. Denición. Dos triángulos son congruentes si tiene sus lados y sus ángulos correspondientes iguales. Más precisamente, los triángulos y son congruentes si =, = y = ; y los ángulos en, y son iguales a los ángulos en, y respectivamente. Los siguientes criterios son conocidos como los criterios de congruencia y nos proveen formas rápidas de vericar si dos triángulos son congruentes. Estos criterios son intuitivamente claros. riterios de congruencia de triángulos LL Dos triángulos que tiene dos lados y al ángulo comprendido entre ellos iguales, son congruentes. L Dos triángulos con un lado igual y dos ángulos adyacentes iguales son congruentes. 3

8 LLL Dos triángulos con tres lados iguales son congruentes. Ejemplo. Si es un triángulo isósceles con = se tiene que =. M Sea M el punto medio de. Los lados, M y M del triángulo M son congruentes respectivamente a, M y M en el triángulo M. Por el criterio LLL, los dos triángulos M y M son congruentes. Por lo tanto =. Ejemplo. Todo triángulo equilátero tiene sus tres ángulos iguales. Ejemplo. Si y D son dos segmentos que no están en la misma recta y se bisecan en el punto P, entonces los pares de triángulos P, P D y P D, P son congruentes. Denición. Un polígono es convexo si todas sus diagonales están dentro del polígono. En particular, un cuadrilátero es convexo si sus dos diagonales están dentro del cuadrilátero. 4

9 ongruencia, Semejanza y oncurrencia D D D (a) cuadrilátero convexo (b) cuadrilátero no convexo (c) cuadrilátero no convexo Denición. Un paralelogramo es un cuadrilátero D tal que es paralelo a D y D es paralelo a. Ejemplo. En un paralelogramo los lados opuestos son congruentes. D Note que el segmento es transversal a las paralelas D y, luego se cumple que = D. De igual forma = D. demás, como es un lado común a los triángulos y D, se tiene por el criterio L que estos dos triángulos son congruentes y de aquí se sigue el resultado. Ejercicio. Demostrar que en un paralelogramo las diagonales se cortan en el punto medio. Ejercicio. Si en un cuadrilátero los lados opuestos son iguales entonces dicho cuadrilátero es un paralelogramo. Ejercicio. Si en un cuadrilátero las diagonales se bisecan, entonces dicho cuadrilátero es un paralelogramo. 5

10 Ejemplo (México 1995). El pentágono convexo DE tiene la propiedad de que las áreas de los triángulos, D, DE, DE y E son iguales. Demostrar que (DE) 4 < () < (DE) 3 Solución. Sea T el punto de intersección de D y E. omo () = (E), entonces E y son paralelos. Similarmente, como (E) = (ED), entonces E y D también son paralelos. Por lo tanto el cuadrilátero T E es un paralelogramo. De aquí se sigue que Note además que De (1) y (2) se sigue que demás (ET ) = 2 (E) (1) (DET ) < (DE) (2) (DE) = (T E) + (D) + (EDT ) < 2 (E) + (D) + (DE) (3) = 4 () (DE) = (T E) + (D) + (EDT ) > 2 (E) + (D) (4) = 3 () Por lo tanto, por (3) y (4) obtenemos las desigualdades deseadas:. (DE) 4 < () < (DE) 3 6

11 ongruencia, Semejanza y oncurrencia Ejercicio (Hungría 1988). ada uno de los cuatro lados de un pentágono convexo DE es paralelo a su diagonal opuesta. Demostrar que el quinto lado también es paralelo a su diagonal opuesta. yuda: Note que es paralelo a E si y solo si () = (E). En un triángulo rectángulo el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos. Probamos ahora un principio fundamental de los ángulos interiores de los triángulos. Teorema. La suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es 180. Demostración. Trazamos un triángulo cualquiera. Por el vértice trazamos una paralela al lado como en el dibujo. D E Note que por ángulos alternos internos D = y E =. demás D + + E = 180. Entonces + + = 180. Ejemplo. Los ángulos internos de un cuadrilátero convexo suman 360. asta dividir el cuadrilátero en dos triángulos y usar el teorema anterior. 7

12 Por el teorema anterior se tiene que en un triángulo ningún ángulo puede ser nulo o llano. Si = 0 o = 180 entonces, y son colineales y no forman un triángulo. demás es fácil ver que un triángulo no puede tener más de un ángulo recto o tener más de un ángulo obtuso. Ejercicio. Si un ángulo de un triángulo es la suma de los otros dos ángulos, entonces el triángulo es rectángulo. Ejercicio. Demostrar que un triángulo que cumple que = es un triángulo isósceles. Ejercicio. Todo triángulo que tiene sus tres ángulos iguales es equilátero. Denición. La bisectriz del O es el rayo que sale de O y divide al ángulo en dos ángulos iguales. Ejercicio. Una perpendicular a la bisectriz de un ángulo forma con sus lados un triángulo isósceles. Ejercicio. Las bisectrices de dos ángulos adyacentes son perpendiculares. Ejercicio. ¾uánto vale cada uno de los ángulos internos de un pentágono regular? ¾uánto vale la suma de los ángulos internos de un polígono convexo de n lados? Ejercicio. Si una bisectriz de un ángulo en un triángulo es también la altura del lado opuesto al ángulo, entonces dicho triángulo es isósceles. Ejercicio. La perpendicular a la bisectriz de un ángulo corta a sus lados en puntos que equidistan del vértice del ángulo. Ejercicio (OMPR 2008). En el triángulo isósceles, = y = 75. Sobre el lado se construye un triángulo isósceles con D=D y D = 50. Hallar el D. 8

13 ongruencia, Semejanza y oncurrencia Ejercicio (OMPR 2005). Sean D un rectángulo, E el punto medio de y F el punto medio de D. Sea G el punto de intersección de DE con F. Si F E = 20, hallar la medida del ángulo EG. Ejercicio. Hallar los ángulos de un triángulo rectángulo si la bisectriz del ángulo recto es igual a un cateto. Ejercicio. Hallar el ángulo que forman las bisectrices de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Ejercicio. Si en un cuadrilátero sus ángulos opuestos son iguales, entonces dicho cuadrilátero es un paralelogramo. demás de los ángulos internos de un triángulo, existen otros ángulos que son importantes, damos la denición a continuación. Denición. Un ángulo exterior de un triángulo se forma cuando un lado del triángulo es extendido. D El D es un ángulo exterior del triángulo que se muestra en la gura. Demostraremos a continuación que todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos internos no adyacentes. Teorema. Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos internos no adyacentes. Demostración. En efecto, + + = 180, luego = 180 (1) 9

14 demás, como D + = 180, entonces despejando se obtiene que Sustituyendo (1) en (2), se tiene que D = 180 (2) D = 180 (180 ) por lo tanto D = +. Ejercicio. Un ángulo exterior de un triángulo es mayor que cualquiera de los ángulos del triángulo no adyacentes a él. Ejercicio. ¾uánto vale la suma de los tres ángulos exteriores de cualquier triángulo? El próximo teorema provee una relación fundamental entre los lados y los ángulos de los triángulos. Teorema. En cualquier triángulo, el lado mayor se opone al ángulo mayor. Demostración. onsideremos un triángulo y supongamos que >. Tomemos un punto E en la prolongación de tal que = E. E b c a 10

15 ongruencia, Semejanza y oncurrencia omo el triángulo E es isósceles se tiene que E = E = E. demás como E = E +, entonces E = E + (1) Note que es un ángulo exterior del triángulo E, entonces = E + E. Sustituyendo (1) en esta última ecuación obtenemos = + 2 E omo E > 0, entonces >. El recíproco del teorema anterior también es cierto y lo presentamos a continuación. Teorema. En cualquier triángulo el ángulo mayor se opone al lado mayor. Demostración. onsideremos el triángulo y supongamos que > b c a Si comparamos los lados y tenemos tres posibilidades: =, < o >. Si =, entonces el triángulo sería isósceles y =, lo cual es absurdo ya que >. Si <, entonces por el teorema anterior > y esto es absurdo. Por lo tanto la única posibilidad que queda es que >. 11

16 Ejercicio. En el se tiene que = 40 y = 50. ¾uál es el lado mayor del? Ejercicio. Sea el isósceles con =. Sea D en. Probar que D es menor que. Ejercicio. En todo triángulo rectángulo la hipotenusa es el lado mayor. El próximo resultado es uno fundamental en geometría y provee una relación que satisfacen los lados de cualquier triángulo. Teorema (desigualdad del triángulo). En cualquier triángulo la suma de las longitudes de dos de sus lados es mayor que la longitud del tercer lado. Demostración. onsideremos el triángulo. Sea E en la prolongación de tal que E =. omo el triángulo E es isósceles, entonces E = E. Luego E = E + = E +. omo > 0, entonces E > E. Por lo tanto, en el triángulo E tenemos que el lado opuesto a E es mayor que el lado opuesto al E, es decir E >. Pero E = E + = +, por lo tanto + >. E De manera similar se demuestra que + > y que + >. 12

17 ongruencia, Semejanza y oncurrencia Ejemplo. Hallar los posibles valores del lado en el triángulo si = 5 y = 8. Solución. De la desigualdad triangular se tiene que < 5 + 8, 8 < 5+ y 5 < 8+. Por lo tanto, < 13, > 3 y > 3. Esta última desigualdad no provee ninguna información pues las medidas de los lados del triángulo son positivas. Luego 3 < < 13. Por lo tanto es cualquier número real entre 3 y 13. Ejercicio. Sean a, b, c números positivos con a + b > c, a + c > b y b + c > a. Demostrar que siempre existe un triángulo con lados de longitudes a, b, c. Ejercicio. Sea el lado mayor del. Si P es un punto interior a este triángulo entonces P + P > P. Ejercicio. Dos de los lados de un triángulo isósceles miden 5 y 12. Hallar la medida del otro lado del triángulo. Ejemplo (MYO 2008). En el rectángulo D sea P un punto del lado D tal que P = 90. La perpendicular a P trazada por corta a P en M y la perpendicular a P trazada por D corta a P en N. Demostrar que el centro del rectángulo está sobre el segmento MN. Solución. P D N M En los triángulos rectángulos P y M se tiene que M = 90 P = 90 M. Por lo tanto P = M (1) 13

18 demás por ángulos alternos internos, entre las paralelas D y, tenemos que P = P (2) Por otro lado, en el triángulo rectángulo P se cumple que P + P = 90 y como D = 90 = DP + P, obtenemos DP = P (3) De (1), (2) y (3) se sigue que M = DP. omo además ND = M y = D, entonces los triángulos M y DN son congruentes. Por lo tanto M = N. demás como M y N son paralelos, ya que ambos segmentos son perpendiculares a P, entonces MN es un paralelogramo. Sea O el punto de intersección de las diagonales de M N. omo en cualquier paralelogramo las diagonales se cortan en su punto medio, entonces O es el punto medio de, es decir, O es el centro del rectángulo. Por lo tanto, el centro del rectángulo, pertenece a MN. continuación demostramos uno de los teoremas más fundamentales de la geometría básica y del cual se van a desprender gran cantidad de resultados. Teorema (Thales). En un triángulo si D y E son puntos en y respectivamente, tales que el segmento DE es paralelo al lado, entonces los puntos D y E determinan segmentos proporcionales a los lados, es decir D = E. D E 14

19 ongruencia, Semejanza y oncurrencia Demostración. Trazamos el segmento E y la perpendicular EH desde el vértice E al lado. H D E Observar que el E y el DE tienen la misma altura EH. Por lo EH D EH tanto (E) = y (DE) =. Entonces 2 2 De manera similar se tiene que (E) (DE) = D (1) (D) (DE) = E (2) Pero los triángulos DE y DE tienen la misma base DE y como DE y son paralelas, tienen la misma altura, así que (DE) = (DE). Por lo tanto (E) = (DE) + (DE) = (DE) + (DE) (3) = (D) De (1), (2) y (3) se concluye que D = E. El recíproco del Teorema de Thales también es cierto, veamos a continuación. 15

20 Teorema (recíproco de Thales). Si en un triángulo se tienen puntos D y E sobre los lados y respectivamente, tales que D = E entonces DE es paralelo al lado. Demostración. Sea la recta paralela a DE que pasa por y corta a en. D E Por el Teorema de Thales se tiene que D =. Pero por hipótesis E sabemos que D = E. Por lo tanto = y entonces =. Por lo tanto DE es paralelo a. Nota. Es claro que si y solo si si y solo si si y solo si D + D D D = E = E + E E 1 + D D = 1 + E E D D = E E Por lo tanto la conclusión del teorema de Thales (o la hipótesis del recíproco) se puede expresar también como D D = E E. 16

21 ongruencia, Semejanza y oncurrencia Semejanza de triángulos El concepto de semejanza en matemáticas está ligado al concepto de proporcionalidad. En términos informales decimos que dos objetos son semejantes si guardan cierta proporción entre sus partes. continuación presentamos una denición fundamental que establece, de manera precisa, lo que se entiende por semejanza de triángulos. Denición. Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales. Es decir, los triángulos y son semejantes si =, =, =. omo la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es 180 entonces para obtener semejanza de dos triángulos es suciente que ellos tengan dos ángulos correspondientes iguales. Todo triángulo es semejante a sí mismo. demás si el es semejante al DEF, entonces el DEF es semejante al. Similarmente si el es semejante el DEF y el DEF es semejante al GHI, entonces el es semejante al GHI. Es claro que un triángulo rectángulo no puede ser semejante a un triángulo acutángulo. sí como tampoco un triángulo acutángulo puede ser semejante a un triángulo obtusángulo. Ejercicio. Existen triángulos rectángulos que no son semejantes entre si y existen triángulos isósceles que no son semejantes entre si. 17

22 La semejanza entre dos triángulos produce automáticamente una relación de proporcionalidad entre los lados correspondientes de los triángulos. Mostramos esta relación a continuación. Teorema. Si dos triángulos son semejantes, es decir si tienen sus ángulos correspondientes iguales entonces sus lados correspondientes son proporcionales. Demostración. Tomamos los triángulos y DEF con ángulos correspondientes iguales y tenemos que demostrar que DE = F D = EF Demostraremos la primera igualdad, la segunda se hace de manera similar. D E F E F Sean E y F puntos en y respectivamente, tales que E = DE y F = DF. Los triángulos E F y DEF son congruentes por el criterio de congruencia LL. Por lo tanto F E = F ED = y F E = DF E =. Por lo tanto E F y son paralelas. Por el Teorema de Thales, E = F. Pero como E = DE y F = DF, entonces DE = F D. 18

23 ongruencia, Semejanza y oncurrencia Ejercicio. Encontrar la distancia z. z Ejercicio. Explicar por qué los siguientes triángulos son semejantes Ejercicio. Demostrar que la altura correspondiente a la hipotenusa en un triángulo rectángulo lo divide en dos triángulos semejantes entre sí y semejantes al triángulo original. Ejercicio. Hallar la razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes. El próximo criterio de semejanza de triángulos combina la proporcionalidad de lados con la igualdad de ángulos. Teorema (LL). Si un ángulo de un triángulo es igual a un ángulo de otro triángulo y los lados que forman dichos ángulos son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes. Q R S 19

24 Demostración. Supongamos que = Q y QR = QS. Demostraremos que el es semejante al QRS. Q L M R Se escoge L en el segmento QR de tal forma que = QL y se dibuja el segmento LM paralelo al segmento RS. Entonces, se tiene que el QLM es semejante al QRS. Por lo tanto QL QR = QM. omo QS QR = QS y = QL, entonces = QM. Por lo tanto, los triángulos y QLM son congruentes por LL y así los triángulos y QRS son semejantes. El último criterio de semejanza establece que conociendo la proporcionalidad entre los lados de dos triángulos podemos obtener la semejanza de los dos triángulos. Teorema (LLL). Si los lados correspondientes de dos triángulos son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes. S Q R S 20

25 ongruencia, Semejanza y oncurrencia Demostración. Supongamos que QR = RS = QS Veamos que es semejante al QRS. Q L M R Dibujar el segmento LM lo mismo que en la demostración anterior. Por el criterio se tiene que los triángulos QLM y QRS son semejantes. Por lo tanto QL QR = LM RS = QM. Usando QS QR = RS = y el hecho QS de que = QL se obtiene que = LM y = QM. Por lo tanto, los triángulos y QLM son congruentes. Por lo tanto el es semejante al QRS. Ejercicio. En la siguiente gura, usando los puntos medios se puede dividir al triángulo grande en cuatro triángulos pequeños. S Demostrar que cada uno de los triángulos pequeños es semejante al triángulo grande. 21

26 El triángulo que se obtiene al unir los puntos medios de los lados de un triángulo es conocido como el triángulo medial del triángulo. Teorema. El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y de longitud igual a la mitad de ese tercer lado. Demostración. onsideremos el triángulo y sean D y E los puntos medios de y respectivamente. D E Entonces D D = E = 1. Por el recíproco del teorema de Thales se E tiene que DE es paralelo al lado. Esto a su vez implica que los triángulos DE y son semejantes luego D = DE. Pero = 2D, entonces D 2D = DE. Por lo tanto = 2DE. Ejercicio. Los puntos medios de los lados de un triángulo determinan cuatro triángulos congruentes. Dado un triángulo cualquiera, de acuerdo al ejercicio anterior, los puntos medios de los lados determinan cuatro triángulos congruentes como se ve en la gura 22

27 ongruencia, Semejanza y oncurrencia Por lo tanto + + = + + = 180 Entonces hemos demostrado, de una manera diferente, que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180. Ejercicio (OMPR 2007). En el triángulo se construyen triángulos equiláteros D y E como se muestra en la gura. Si F y G son los puntos medios de E y respectivamente, hallar la razón D F G. D E F G Ejercicio. Los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero son los vértices de un paralelogramo. Este paralelogramo se llama paralelogramo de Varignon de ese cuadrilátero. Ejercicio. Las bases de un trapecio son a y b. Encontrar la longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales. Ejercicio. Sea un triángulo rectángulo con ángulo recto en. Sea D el pie de la altura desde. Demostrar que D 2 = D D. Demostramos a continuación uno de los teoremas mas conocidos de la matemática. Teorema (Pitágoras). En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa. Demostración. onsideremos un triángulo rectángulo con ángulo recto en. Sea D el pie de la perpendicular desde. 23

28 D Note que los triángulos D y son semejantes por ya que ambos son rectángulos y comparten el ángulo en. Por lo tanto = D, luego 2 = D (1) De igual manera los triángulos D y son semejantes. Entonces = D y se tiene que Sumando las ecuaciones (1) y (2) obtenemos Entonces = 2. 2 = D (2) = D + D = (D + D) = = 2 Ejercicio. Un punto P en la hipotenusa del triángulo rectángulo equidista de los catetos. Hallar P en términos de los catetos. Ejercicio. Sea un triángulo isósceles con =. Sea F la altura del lado. Probar que 2 = 2 F. 24

29 ongruencia, Semejanza y oncurrencia El recíproco del teorema de Pitágoras también es cierto y provee una herramienta poderosa para determinar si un triángulo dado es rectángulo. Teorema (recíproco de Pitágoras). Si en un triángulo se tiene que el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces el triángulo es rectángulo. Demostración. Supongamos que es un triángulo cualquiera que cumple = 2. D Sea D el pie de la perpendicular desde sobre el lado. Por el teorema de Pitágoras se tiene que D 2 + D 2 = 2 y D 2 + D 2 = 2. Sumando estas dos ecuaciones tenemos que 2D 2 +D 2 +D 2 = Pero por hipótesis = 2, luego Por otro lado 2D 2 + D 2 + D 2 = 2 (1) 2 = (D + D) 2 = D D D + D 2 (2) De (1) y (2) tenemos que 2D 2 + D 2 + D 2 = D D D + D 2 Simplicando obtenemos D 2 = D D (3) Sea el punto de corte de con la perpendicular a que pasa por. 25

30 D Note que los triángulos rectángulos D y son semejantes. De igual manera los triángulos D y son semejantes. Por lo tanto los triángulos D y D son también semejantes. Por lo tanto D D = D D entonces D 2 = D D. Igualando esta última ecuación con la ecuación (3) se tiene que D D = D D. Entonces D = D y esto implica que =. Por lo tanto el triángulo es rectángulo. Ejercicio. Hallar la altura desde la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 6 y 14. Ejemplo. Si dos triángulos rectángulos tienen dos de sus lados congruentes, entonces los dos triángulos son congruentes. Esto se sigue fácilmente por el teorema de Pitágoras y el criterio LLL. La distancia de un punto a una recta está dada por la longitud del segmento que va desde el punto a la recta y que es perpendicular a la recta. Obviamente si el punto P está sobre la recta, la distancia entre el punto y la recta es cero. Por el Teorema de Pitágoras podemos probar que la distancia entre un punto y una recta es la distancia más corta. Teorema. Sea l una recta y P un punto fuera de l. Sea en l tal que P es perpendicular a l. La distancia más corta desde P hasta l está dada por la longitud del segmento P. 26

31 ongruencia, Semejanza y oncurrencia Demostración. onsideremos la recta l y P un punto fuera de l. P Sea en l tal que P es perpendicular a l. Por Pitágoras, cualquier otro punto en la recta cumple que P 2 = P Por lo tanto P > P. Las longitudes de los lados y las diagonales de un paralelogramo cumplen una relación interesante que se conoce como la ley del paralelogramo. Teorema (Ley del paralelogramo). La suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de sus lados. Demostración. onsideremos el paralelogramo D. Sean F y H sobre la recta que contiene el segmento D tal que H y F son perpendiculares a D. Ver la siguiente gura. l D F H plicando el teorema de Pitágoras a los triángulos DH, F y F D se obtienen respectivamente las siguientes ecuaciones D 2 = (D + H) 2 + H 2 (1) 2 = (D DF ) 2 + F 2 (2) D 2 = DF 2 + F 2 (3) 27

32 Sumando (1) y (2) se tiene D = (D + H) 2 + H 2 + (D DF ) 2 + F 2 (4) Es claro que DF = H y F = H, entonces sustituyendo en (4) y simplicando obtenemos D = (D + DF ) 2 + H 2 + (D DF ) 2 + F 2 = 2D 2 + 2DF 2 + H 2 + F 2 omo H y F son alturas del paralelogramo, entonces H = F y D = 2D 2 + 2DF 2 + 2F 2 = 2D ( DF 2 + F 2) Por último, usando (3), se obtiene D = 2D 2 + 2D 2. Denición. Una recta es tangente a una circunferencia si corta en un punto a la circunferencia. Si la recta corta en dos puntos decimos que es una recta secante. (d)recta Tangente (e) Recta secante El siguiente teorema caracteriza las rectas tangentes a una circunferencia. Teorema. Dado un círculo con centro en O y radio O, una recta l es tangente al círculo en si y solo si la recta l pasa por y es perpendicular a O. 28

33 ongruencia, Semejanza y oncurrencia Demostración. Supongamos que la recta l es tangente al círculo en el punto. Supongamos que l no fuera perpendicular a O. Sea P el punto en l tal que OP es perpendicular a l. Sea R un punto en la recta, al otro lado de y tal que P = P R. Por lo tanto, por LL, los triángulos rectángulos P O y P RO son congruentes. Entonces O = OR. Pero esto implica que el punto R está en el círculo y como R, esto contradice el hecho de que es el punto de tangencia. Supongamos ahora que la recta l es perpendicular al radio O en. Sea P otro punto cualquiera en la recta. Note que P O < P O = 90. omo en cualquier triángulo el ángulo más pequeño está opuesto al lado más pequeño, entonces O < OP. Por lo tanto P no está en la circunferencia, lo que implica que la recta solamente toca a la circunferencia en y por lo tanto es tangente a la circunferencia. Ejercicio. onsiderar el triángulo equilátero con sus tres vértices en una circunferencia. Las tangentes a la circunferencia en y en se cortan en D. ¾Qué clase de gura es D? Teorema (propiedad de la barquilla). Si trazamos dos rectas tangentes a una circunferencia desde un punto P, entonces los segmentos de recta desde P a los puntos de tangencia son iguales y el centro de la circunferencia yace en la bisectriz del ángulo entre las rectas. Demostración. onsideremos una circunferencia con centro en O y un punto P fuera de la circunferencia. Sean y puntos en la circunferencia tales que P y P son tangentes a la misma. Notemos que los triángulos OP y OP son triángulos rectángulos que comparten el lado OP y cumplen que O = O. Por el teorema de Pitágoras se tiene que P = P. Por lo tanto, por el criterio LLL, se tiene que los dos triángulos OP y OP son congruentes. Esto implica que P O = OP, es decir que O se encuentra en las bisectriz del ángulo P. 29

34 Teorema. Todos los puntos que están en la bisectriz de un ángulo equidistan a cada lado del ángulo. Demostración. onsideremos el y P un punto en su bisectriz. Sean Q el pie de la perpendicular que va desde P a y R el pie de la perpendicular de P a. Q P R Note que los triángulos rectángulos QP y RP son congruentes ya que tienen sus tres ángulos congruentes; el P = P por denición de bisectriz, QP = P R = 90 y el tercer ángulo en los triángulos es igual pues la suma de los ángulos internos de un triángulo es siempre igual a 180 y comparten el lado P. Por lo tanto QP = P R. Teorema (de la bisectriz). La bisectriz interna F del ángulo en de un triángulo divide al lado opuesto en razón, es decir = F F. Demostración. Sea un triángulo y sea F la bisectriz desde el ángulo. Entonces F = F. D F Trazamos una paralela a la bisectriz F que pase por. Sea D el punto de corte de esta paralela con la prolongación del lado. omo F y 30

35 ongruencia, Semejanza y oncurrencia D son paralelas, entonces F = D y F = D. De todas estas igualdades de ángulos obtenemos que D = F = F = D. Por lo tanto D = D y así el triángulo D es isósceles. Lo cual implica que D = (1) D F Por el teorema de Thales se tiene que D = F. Usando (1) obtenemos F = F F Denición. La mediatriz de un segmento es la recta que es perpendicular a y pasa por el punto medio de. M Ejercicio. Si la mediatriz de un lado de un triángulo corta a otro lado en su punto medio, entonces el triángulo es rectángulo. Teorema. ualquier punto sobre la mediatriz del segmento equidista de y de. 31

36 Demostración. onsideremos un segmento y un punto P cualquiera sobre su mediatriz. Sea M el punto medio de. P M Del teorema de Pitágoras y sabiendo que M = M se deduce que P 2 = P M 2 + M 2 = P M 2 + M 2 = P 2. Por lo tanto P 2 = P 2. Luego P = P. Ejercicio. En un triángulo isósceles la bisectriz del ángulo diferente es también una altura del triángulo y una mediatriz. Ejercicio. Sea un triángulo isósceles con =. Si P es un punto de la bisectriz del, entonces P = P. ngulo central versus ángulo inscrito Existen diferentes ángulos asociados con los círculos. Unos de los más importantes son los ángulos centrales y los ángulos inscritos. En esta sección veremos una relación fundamental entre ellos. Denición. Los ángulos centrales son aquellos formados por dos radios del círculo. El vértice es el centro del círculo. En la gura, O es un ángulo central. O 32

37 ongruencia, Semejanza y oncurrencia Denición. cualquier segmento de recta que tenga sus extremos sobre la circunferencia y que no sea diámetro se le llama cuerda. Un ángulo inscrito en una circunferencia es cualquier ángulo formado por dos cuerdas, o un diámetro y una cuerda, que tienen un extremo común sobre la circunferencia. En la gura el es un ángulo inscrito. O Ejercicio. Hallar la longitud de una cuerda que está a una distancia 4 del centro de un círculo de radio 6. Ejercicio. Los extremos de dos diámetros distintos en una circunferencia son los vértices de un paralelogramo. Ejercicio. Dadas dos circunferencias concéntricas, toda cuerda de la circunferencia mayor que es tangente a la circunferencia menor es bisecada por su punto de tangencia. Ejercicio. Dos cuerdas en una circunferencia son iguales si y solo si sus ángulos centrales son iguales. Teorema. Dados tres puntos no colineales, siempre existe un círculo que pasa por los tres puntos. Demostración. Tomemos tres puntos, y no colineales. Ver dibujo. Sea O el punto de intersección de las dos mediatrices de los segmentos y. Note que la no colinealidad de los puntos, y garantiza que estas dos mediatrices se intersecan. 33

38 O D E omo O está en la mediatriz de, entonces O equidista a y a. Similarmente, como O está en la mediatriz de, entonces O equidista a y a. Por lo tanto los puntos, y están en la circunferencia con centro en O y radio O = O = O. Ejercicio. Demostrar que dados tres puntos no colineales, y, el círculo que pasa por ellos es único. yuda: Si existiera otro círculo por estos puntos con centro O, pruebe que O estaría en las mediatrices de y que se cortan ya en O. Demostramos ahora un teorema fundamental que relaciona los ángulos centrales con los ángulos inscritos. Este teorema es una herramienta muy útil en la solución de problemas geométricos. Teorema (ángulo central vs. ángulo inscrito). Si dos ángulos inscritos en un círculo abren el mismo arco, entonces ellos son iguales e iguales a la mitad del ángulo central correspondiente. Es decir, O D D = = 1 2 O 34

39 ongruencia, Semejanza y oncurrencia Demostración. Haremos la demostración en tres casos. aso 1: Uno de los lados del ángulo inscrito pasa por el centro de la circunferencia. O omo el triángulo O es isósceles, entonces O = O =. demás, como la medida del ángulo exterior de un triángulo es la suma de los otros dos ángulos no adyacentes, entonces O = O + O = 2 aso 2: El centro de la circunferencia es un punto interior del ángulo inscrito. D O Sea D el diámetro de la circunferencia que pasa por O y. Sean α 1 = D y α 2 = D. Note que = α 1 +α 2. Por el aso 1. se tiene que DO = 2α 1 y OD = 2α 2. demás, O = DO+ OD. Por lo tanto O = 2α 1 + 2α 2 = 2 (α 1 + α 2 ) = 2. aso 3: El centro de la circunferencia es un punto exterior del ángulo inscrito. 35

40 D O Sea D el diámetro que pasa por O y. Sean α 1 = D y α 2 = D. Note que = α 2 α 1. demás, por el aso 1, se tiene que OD = 2α 1 y OD = 2α 2. Entonces O = OD OD = 2α 2 α 1 = 2 (α 2 α 1 ) = 2 De los tres casos anteriores se concluye que el ángulo inscrito es la mitad del ángulo central que abre el mismo arco. De aquí se sigue, de manera inmediata, que dos ángulos inscritos que abren el mismo arco son iguales. Ejercicio. En la siguiente gura, encontrar la medida del, sabiendo que O = 80. O El siguiente ejercicio nos da una propiedad importante de los ángulos inscritos cuyos extremos están sobre un diámetro de la circunferencia. 36

41 ongruencia, Semejanza y oncurrencia Ejercicio. Demostrar que en la gura siguiente = 90, donde el segmento es un diámetro de la circunferencia. O El recíproco de la propiedad del ejercicio anterior es también cierto, dejamos su demostración como ejercicio. Ejercicio. Si un ángulo inscrito es un ángulo recto, entonces los puntos nales del ángulo están sobre un diámetro. Ejercicio (OMPR 2007). El trapecio isósceles D es tal que = = D y D = 2, donde es paralelo a D. Hallar la medida del ángulo D. Ejercicio. Demostrar que la recta que pasa por el centro de una circunferencia y por el punto medio de una cuerda es perpendicular a la cuerda. Ejercicio. Todo diámetro perpendicular a una cuerda la biseca. Ejercicio. La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia. Ejercicio. Las tangentes a una circunferencia en los extremos de un diámetro son paralelas. Ejercicio (México 2005). Los triángulos y D son isósceles con = y D =. Si el ángulo mide 30, hallar la medida del ángulo E. D E 37

42 Denición. Un ángulo se llama semi-inscrito si tiene su vértice en la circunferencia, uno de los lados es una tangente y el otro una secante. En el dibujo se muestra el ángulo semi-inscrito α =. α Teorema (del ángulo semi-inscrito). Todo ángulo semi-inscrito es igual a la mitad del ángulo central que abre el mismo arco. Demostración. onsideremos el ángulo semi-inscrito en la circunferencia con centro en O y sea E en la circunferencia tal que E es diámetro. α O E omo es tangente a E se tiene que = 90 E. demás el ángulo inscrito E abre el mismo arco que el ángulo central OE, por lo tanto E = OE. demás OE = 180 O. Por lo 2 38

43 ongruencia, Semejanza y oncurrencia tanto = 90 E = 90 OE ( = 90 ) O 2 = O 2 Entonces = O. 2 Denición. Un polígono está inscrito en un círculo si sus vértices se encuentran en el círculo. los cuadriláteros que están inscritos se les llama cuadriláteros cíclicos. El siguiente teorema caracteriza los cuadriláteros cíclicos y es quizás el criterio más usado para saber si un cuadrilátero dado es cíclico o no. Teorema. Un cuadrilátero es cíclico si y solo si sus ángulos opuestos son suplementarios. Demostración. Supongamos que tenemos un cuadrilátero cíclico D O Entonces por la relación entre ángulos inscritos y centrales que abren el mismo arco se tiene que D = 1 2 O y = 1 2 O. Sumando estas ecuaciones se obtiene D + = 1 2 O O = 1 ( O + O) 2 39 D

44 Pero O + O = 360 Por lo tanto D + = 180. Recíprocamente supongamos que el cuadrilátero D cumple que D+ = 180. Trazamos el círculo que pasa por los puntos, y. Sea D el punto de corte del lado D con el círculo. O D D omo el cuadrilátero D es cíclico, por lo que acabamos de demostrar se cumple que D + = 180. Por lo tanto D = D. Pero esto implica que DD = 0. Luego D = D y el cuadrilátero D es cíclico. Ejemplo. Si el cuadrilátero D es cíclico, entonces por el teorema anterior se tiene que D + = 180 y D + D = 180. demás se tiene inmediatamente que D = D, D = D, = D y D =. D Ejercicio. Si el cuadrilátero D cumple cualquiera de las siguientes igualdades de ángulos: D = D, D = D, = D o D = demostrar que el cuadrilátero es cíclico. En los siguientes ejercicios, O es el centtro de la circunferencia. 40

45 ongruencia, Semejanza y oncurrencia Ejercicio. Si el O = 120 o y el O = 90 o, hallar los ángulos interiores del. Ejercicio. Si el O = 70 o, el OD = 30 o y el DO = 140 o hallar los ángulos internos del cuadrilátero D. 41

46 Ejercicio. En la gura = 6 y = 5, hallar. Ejercicio. El OD = 116 o y el O = 108 o hallar el OD. Ejercicio. En la gura D es paralela a E y el EO = 100 o hallar α y β. 42

47 ongruencia, Semejanza y oncurrencia Ejercicio. alcular la medida del ángulo semiinscrito en cada caso. (a) O = 178 o (b) O = 250 o Ejercicio. En la gura el O = 106 o, hallar el y el D. Ejercicio. En la gura y son tangentes a la circunferencia y el O = 260 o, hallar el. 43

48 Ejercicio. Si el EO = 80 o y el OD = 40 o, hallar el D. Ejercicio. Si el QOP = 10 o y el P Q = 40 o, hallar el NOM. Ejercicio. Si el D = 30 o y el O = 80 o, hallar el F D. 44

49 ongruencia, Semejanza y oncurrencia Ejercicio. Si el ROQ = 220 o, P R y P Q son tangentes a la circunferencia en R y Q respectivamente, hallar el RP Q. Ejercicio. es tangente a la circunferencia en y el = 118 o, hallar el O. Ejemplo. Todo polígono regular es cíclico. Solución. Sea D... un polígono regular. Debemos hallar una circunferencia que pase por,,, D,.... onsideremos la circunferencia con centro en O que pasa por, y. 45

50 O D Demostraremos que pasa por D y por lo tanto pasa por los demás vértices del polígono regular. Sabemos que O = O por ser radios. demás = D por ser lados de un polígono regular. demás D = por ser ángulos de un polígono regular. Entonces DO+ O = O + O. Pero O = O pues el triángulo O es isósceles. Entonces DO = O. Por LL los triángulos O y DO son congruentes. Luego O = OD y esto implica que D está en la circunferencia. Ejercicio. onsiderar la siguiente gura en donde O es el centro de la circuferencia. P O D Probar que P = 1 [ DO O] 2 46

51 ongruencia, Semejanza y oncurrencia Ejercicio. onsiderar la siguiente gura en donde O es el centro de la circunferencia y T es un punto de tangencia. P O T Demostrar que T P = 1 [ T O OT ] 2 Ejercicio. onsiderar la siguiente gura en donde O es el centro de la circunferencia y S y T son puntos de tangencia. S P O T Demostrar que T P S = 1 [ T OS SOT ] 2 Ejemplo. Las cuerdas y D se cortan en P, entonces P P = P P D. 47

52 Solución. El D = D pues abren el mismo arco y P = P D ya que son opuestos por el vértice. Entonces por, el DP es semejante al P. Por lo tanto de donde P P = P P D. P P = P D P Ejemplo. En la gura, las secantes se cortan en P. Entonces P P = P P D Solución. El P = D ya que D + = 180 o P + = 180 o. y Entonces el P es semejante al P D por. Por lo tanto de donde se obtiene el resultado. P P = P D 48

53 ongruencia, Semejanza y oncurrencia Ejemplo. En la gura la secante se corta con la tangente en P. Entonces P P = P 2. Solución. El = P ya que uno es inscrito y el otro semiinscrito y ambos abren el mismo arco. Entonces el P es semejante al P por. Luego P P = P P. De los tres ejercicios anteriores se deduce que si P es un punto en el plano y se tiene una circunferencia con centro O, entonces para cualquier linea que pase por P y corte a la circunferencia en y se cumple que P P es constante, es decir que no depende de la linea. Denición. La potencia de un punto P con respecto una circunferencia con centro en O y radio r se dene como P O 2 r 2 49

54 i) Si P es exterior a la circunferencia, entonces P O 2 r 2 = (P O + r)(p O r) = P P ii) Si P es interior a la circunferencia, entonces r 2 P O 2 = (r + P O)(r P O) = P P iii) Si P está sobre la circunferencia, entonces la potencia es 0. Teorema. Si D es un cuadrilátero, tal que sus diagonales se intersecan en P, entonces D es cíclico si y solo si P P = P P D. 50

55 ongruencia, Semejanza y oncurrencia = P D P Demostración. omo P P y P = P D, entonces el P es semejante al P D por LL. Entonces P = DP y esto implica que el cuadrilátero D es cíclico. La otra implicación ya se probó en un ejemplo anterior. Teorema. Sea D un cuadrilátero tal que sus lados opuestos se cortan en P. Entonces D es cíclico si y solo si P P = P P D. Demostración. omo P P D = P P, entonces el P es semejante al P D por LL. Por lo tanto P = D, entonces D + D = D + (180 o P ) Esto implica que D es cíclico. = D + (180 o D) = 180 o La otra implicación ya se probó en un ejemplo anterior. Teorema. En la gura, supongamos que P P = P 2. Entonces el círculo que pasa por, y es tangente a P. 51

56 , entonces por LL, el P es se- Demostración. omo P mejante al P. P = P P Por lo tanto P = P. Esto implica que P es semiinscrito en la circunferencia que pasa por, y por lo tanto P es tangente a dicha circunferencia. Denición. El eje radical de dos circunferencias es el conjunto de puntos cuyas potencias a las dos circunferencias son iguales. onsideremos inicialmente dos circunferencias no concéntricas cuyos centros son U, V y sus radios son r y s respectivamente. i) Supongamos que P es un punto con la misma potencia a las dos circunferencias. Sea M en UV tal que P M UV. Entonces P U 2 r 2 = P V 2 s 2. Luego P U 2 r 2 MP 2 = P V 2 s 2 MP 2. Por lo tanto MU 2 r 2 = MV 2 s 2. Entonces M está en el eje radical. 52

57 ongruencia, Semejanza y oncurrencia ii) De MU 2 r 2 = MV 2 s 2 se obtiene que MU 2 MV 2 = r 2 s 2. Luego (MU MV )(MU + MV ) = r 2 s 2. Entonces (MU MV )UV = r 2 s 2. Por lo tanto MU MV = r2 s 2 UV que es constante. Luego el punto M existe y además es único. Si N fuera otro punto de UV en el eje radical, entonces NU 2 r 2 = NV 2 s 2. Luego (UM NM) 2 r 2 = (MV + NM) 2 s 2. Por lo tanto UM 2 2UMNM + NM 2 r 2 = MV 2 + 2MV NM + NM 2 s 2 De donde 2UMNM = 2MV NM. Entonces NM(UV ) = 0. Luego NM = 0 y esto implica que N = M. iii) Por lo tanto, si un punto tiene potencia igual con respecto a las dos circunferencias, entonces el punto está en una perpendicular a la recta que une los centros de los círculos. iv) Por otro lado, si un punto está en la perpendicular de UV por M, entonces dicho punto está en el eje radical. En efecto, sea Q en dicha perpendicular. omo MU 2 r 2 = MV 2 s 2, entonces QM 2 + MU 2 r 2 = QM 2 + MV 2 s 2. Por lo tanto QU 2 r 2 = QV 2 s 2. Esto implica que Q está en el eje radical. 53

58 De todas estas observaciones se concluye el siguiente teorema: Teorema. El eje radical de dos circunferencias no concéntricas es una línea perpendicular a la línea que une los centros de las circunferencias. Ejemplo. Si dos circunferencias son secantes, los puntos de corte tienen potencia 0 y por lo tanto están en el eje radical de las circunferencias. Entonces el eje radical es la recta que pasa por sus puntos de corte. Ejemplo. Si dos rectas son tangentes, entonces el punto de tangencia pertenece al eje radical y por la propiedad de perpendicularidad del eje radical. con respecto a la línea que une los centros se tiene que el eje radical es la tangente por el punto común. 54

59 ongruencia, Semejanza y oncurrencia Ejemplo. Si dos circunferencias no se cortan, se pueden trazar dos circunferencias secantes a ambas y unir los puntos de intersección de las cuerdas comunes. Por transitividad estos puntos comunes tiene la misma potencia con respecto a las dos circunferencias. Ejemplo. Los siguientes dibujos ilustran el eje radical en otras situaciones P = P = P P = P = P Ejercicio. Si desde un punto P del eje radical de dos circunferencias se trazan las tangentes a las circunferencias, las distancias desde P a los dos puntos de tangencia son iguales. 55

60 Ejercicio. Los ejes radicales de tres circunferencias con centros no colineales tomadas por pares son concurrentes. El punto de concurrencia se llama centro radical. Ejercicio. Si dos circunferencias se intersecan, la cuerda en común biseca las tangentes en común a dicha circunferencia. Ejercicio. Sea un triángulo tal que = Sea Z en tal que Z =. El círculo que pasa por, y Z es tangente al lado en. Ejercicio. Supóngase que y D son dos cuerdas perpendiculares de un círculo y sea E el punto de intersección. Si E = 2, E = 6 y ED = 3, encontrar el diámetro del círculo. Ejercicio. Está dado un ángulo con vértice O y una circunferencia inscrita en él, la cual toca a sus lados en y. Por el punto se traza una línea paralela a O la cual interseca a la circunferencia en el punto. El segmento O interseca a la circunferencia en E. Las líneas E y O se intersecan en el punto K. Probar que OK = K. Ejercicio. Una línea paralela al lado de de un triángulo corta a en F y en E. Probar que las circunferencias que tienen como diámetros a E y a F se cortan en un punto que cae en la altura del dibujada desde el vértice. Ejercicio. En la siguiente gura, desde un vértice del cuadrado está trazada una tangente, la cual tiene una longitud igual al doble del lado del cuadrado. Encontrar el radio de la circunferencia en función del lado del cuadrado. x 2x x 56

61 ongruencia, Semejanza y oncurrencia Ejercicio. Por un punto en el eje radical de dos circunferencias, se dibujan secantes a cada una de las dos circunferencias. Estas secantes determinan cuatro puntos sobre la circunferencias. Demostrar que estos puntos determinan un cuadrilátero cíclico. Ejercicio. La circunferencia inscrita en el triángulo es tangente a los lados, y en los puntos D, E, F respectivamente. D corta a la circunferencia en un segundo punto Q. Demostrar que la recta EQ pasa por el punto medio de F si y solo si =. El siguiente teorema caracteriza los cuadriláteros cíclicos en términos de las longitudes de sus lados y sus diagonales. Teorema (Ptolomeo). El cuadrilátero D es cíclico si y solo si D = D + D. Demostración. Sea D un cuadrilátero cualquiera. Sea E tal que E sea semejante al D. D E De la semejanza de los triángulos E y D se tiene que luego D = E D E = D D 57 (1)

62 demás como E = D, entonces por LL, E es semejante al D. Por lo tanto E D = D y así E = D D (2) Supongamos que D es cíclico. Por lo tanto D = E. Entonces los puntos,, E son colineales. Luego Usando (1), (2) y (3) obtenemos: D D E = E + (3) D = D + Por lo tanto, D = D + D. Recíprocamente, si D no es cíclico, entonces E < E +, luego D < D + D. Ejercicio. El triángulo equilátero está inscrito en un círculo. P es un punto sobre el arco que va desde hasta. Probar que P = P + P. yuda: Usar Ptolomeo. Ejercicio (ENTRO 2008). Sea D un cuadrilátero convexo inscrito en una circunferencia de centro O tal que es un diámetro. Se construyen los paralelogramos DOE y OF. Demostrar que si los puntos E y F pertenecen a la circunferencia entonces D es un rectángulo. Ejercicio. Sean D, E y F las alturas de un triángulo y H su punto de intersección. Demostrar que los cuadriláteros EHF, EHD, DHF, EF, DF y DE son cíclicos. 58

63 ongruencia, Semejanza y oncurrencia Ejercicio. En la siguiente gura están trazadas las bisectrices de los ángulos interiores del cuadrilátero D, las cuales se intersectan en los puntos E, F, G y H, como se muestra en la gura. Demostrar que el cuadrilátero EF GH es cíclico. E D F H G Ejercicio. En un cuadrado D, M es el punto medio de. Una línea perpendicular a M por M intersecta D en K. Demostrar que M = KM. Ejercicio. Sea L la bisectriz del ángulo de un triángulo acutángulo. Sean M y N puntos sobre los lados y respectivamente de manera que ML = y NL =. Demostrar que MLN es un cuadrilátero cíclico. Ejercicio. Las circunferencias 1 y 2 se intersecan en los puntos y. Por el punto se traza una recta que corta a las circunferencias 1 y 2 en los puntos y D respectivamente. Por los puntos y D se trazan tangentes a las circunferencias, las cuales se intersecan en el punto M. Demostrar que el cuadrilátero M D es cíclico. Ejercicio. Sobre la tangente por a una circunferencia de diámetro, se toman dos puntos y D. Si corta a la circunferencia en F y D corta a la circunferencia en E, demostrar que el cuadrilátero DEF es cíclico. Ejercicio. Sean y los puntos en común de dos circunferencias secantes. Una recta pasa por e intersecta a las circunferencias en y D. Sean P y Q las proyecciones de sobre las tangentes a las dos circunferencias en y D, respectivamente. Las tangentes se intersecan en T. Demostrar que T D y T P Q son cíclicos. 59

64 Ejercicio. Dos círculos se intersecan en y. y D son diámetros de los círculos. Demostrar que, y D son colineales. Denición. Un cuadrilátero se llama inscribible si todos sus lados son tangentes a una misma circunferencia. El siguiente teorema provee una caracterización de los cuadriláteros inscribibles. Teorema. Un cuadrilátero es inscribible si y solo si la suma de dos lados opuestos es igual a la suma de los otros dos lados. Demostración. onsideremos el cuadrilátero inscribible de la gura. H G F E D Por la propiedad de la barquilla tenemos que = H, GF = HG, F E = ED, = D. Sumando estas ecuaciones obtenemos, + GF + F E + = H + HG + ED + D. omo + =, GF + F E = GE, H + HG = G y ED + D = E, entonces + GE = G + E. 60

65 ongruencia, Semejanza y oncurrencia onsideremos ahora un cuadrilátero EG que satisface + GE = G + E (1) G E Supongamos que el cuadrilátero EG no fuera inscribible. Trazamos la circunferencia tangente a G, y E. Sea E el punto de corte del lado E con la tangente de la circunferencia trazada desde el punto G. laramente E E. H G F E E D omo el cuadrilátero E G es inscribible, entonces + GE = G + E. Usando esta ecuación junto con (1), obtenemos GE GE = E E. Luego GE GE = EE. Entonces GE = GE + EE y esto sólo puede ser cierto si G, E y E son colineales. Entonces E = E y esto es una contradicción. Por lo tanto la suposición que hicimos no es cierta y así el cuadrilátero EG es inscribible. Seno y coseno de un ángulo onsideremos un punto O en el plano y cualquier ángulo agudo O con vértice en O. Note que al O siempre lo podemos llevar, mediante una traslación, a que su vértice esté en el origen del plano cartesiano. 61