Modelización de Sistemas Biológicos (Parte I) FIUNER

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Carla Rey Rojo
hace 6 años
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1 Modelización de Sistemas Biológicos (Parte I) FIUNER

2 Organización Parte I Introducción: concepto de modelo Etapas de la modelización Modelos Compartimentales Modelos Poblacionales Modelos por Analogías

3 Modelos por analogías Repaso Conceptos y definiciones. Etapas de la modelización Del modelo conceptual al físico Del modelo físico al matemático Ejemplo: modelo de Hodgking-Huxley

4 Modelización por analogías Generalmente el conocimiento del modelador en un campo o domino puede ayudarlo en la construcción de un modelo para un campo análogo En la naturaleza se pueden encontrar sistemas de distintos tipos con dinámicas similares

5 Dinámicas similares di dt 1. L i. R. i. dt E( t) C dv dt. M v. h k. v. dt F( t)

6 Ejemplo 1: El Modelo de Hodgkin-Huxley Circuito equivalente de la Membrana en Reposo C m dv dt I tot 0

7 Ejemplo 2: Generación de marn como Flujo en una Red de Tuberías Dos complejos de proteínas [TFIID (transcription factor IID) y SAGA (Spt Ada Gcn5 Acetyltransferase)] compiten para ensamblar la maquinaria de transcripción en el ADN, via el el reclutamiento del promotortbp, para formar el Complejo de PreIniciación

8 Ejemplo 2: Generación de marn Topología de la red como Flujo en una Red de Tuberías La activación de una maquinaria de transcrip. Los reguladores válvulas presión externa (determinan el caudal) Interconexión entre los agentes de modulación (influencian la expresión del ARNm)

9 Ejemplo 3: Modelo del Sist. CardioVascular

10 Ejemplo 4: Modelo de la Presión IntraCraneal I Ra Vc Rpv Rdv Vv = Vic Pa 2 Va Ca Rf Ro Vic 1 If Io DC Vvs Vic Cic DC Iad

11 Variables generalizadas... Para el análisis de la dinámica de estos sistemas se consideran dos tipos de variables generalizadas: a) Las variables que fluyen a través de un elemento del sistema, las cuales se denominan genéricamente f. b) Las variables esfuerzo entre los extremos de un elemento del sistema, las cuales se denominan genéricamente e. ΔC ΔT ΔP Q ΔV I J DA Fick: J C x J: flujo de un ion D: Coef. de difusión C

12 Variables generalizadas... Naturaleza del sistema Eléctrico Variable a través Corriente eléctrica i Variable entre Diferencia de potencial V Mecánico Velocidad v Fuerza F Hidráulico Caudal Q Diferencia de presión P Térmico Flujo calorífico q Diferencia de temperatura T Químico Flujo molar q Diferencia de concentración C

13 Variables generalizadas... En base a estas analogías se puede definir una ley generalizada que relaciona los dos tipos de variables: e = Z.f donde Z es una impedancia generalizada.

14 Tipos de elementos Elementos que disipan energía Elementos que almacenan energía potencial Elementos que almacenan energía cinética Asumiendo linealidad

15 Elementos disipadores e Z f Sistemas Elemento físico Símbolo Ecuación Eléctrico Resistencia eléctrica V = R.i Ley que la gobierna Ohm Mecánico Rozamiento mecánico F = Rm.v Hidráulico Resistencia al flujo P = Rh.Q Poiseuille Térmico Resistencia térmica T= Rt.ḉ Fourier Químico Resistencia de difusión C 1 C 2 C 1 C 2 C J DA C x Fick

16 Elementos almacenan EP (estática) e 1 C t 0 fdt Sistemas Elemento físico Símbolo Ecuación Eléctrico Capacitor 1 V. i. dt C Mecánico Resorte F k. v. dt Hidráulico Compliancia ΔP ΔV P Co. Q. dt Térmico Masa térmica 1. q. dt C T Químico Capacitancia Jdt C m C

17 Elementos almacenan EC e L df dt Sistemas Elemento físico Símbolo Ecuación Eléctrico Mecánico Hidráulico Inductancia Inercia (masa) Inertancia V F P L. di dt m. dv dt I. dq dt

18 Kirchhoff a e a E1 f 1 e b f 2 b f 3 E2 f 2 0 E3 ( e e ) ( e 0) (0 e ) a b b a 0 f1 ( f2) ( f3) 0

19 Elementos en paralelo

20 El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axón Modelización de sistemas biológicos

21 La Bomba Na + K + Ingreso de 2*K + por cada 3*Na + que salen 1/3 de la energía

22 Ecuación de Nernst Describe cómo una diferencia en la concentración iónica puede resultar en una diferencia de potencial V n RT zf R: constante universal de los gases T: temperatura absoluta z: carga en el ión N ln F: constante de Faraday N N e i

23 Fuerza de arrastre Exterior(+) Interior(-) Na + X Cl - Cl - X K +

24 No hay corriente neta a través de la membrana debido a que la difusión es balanceada por la diferencia de potencial eléctrico El potencial de membrana Estado de equilibrio Control del volumen Balance entre Difusión y Diferencia de Potencial Eléctrico V m RT F P ln P Na Na Na i PK K i PL Cl e Na e PK K e PL Cl i Ecuación de Goldman-Hodgkin-Katz P n : permeab. de la membrana al ión µ: movilidad del ión b: coeficiente de partición aceite/agua a: espesor de la membrana Sustancia muy soluble en aceiteb grande P n b RT af

25 Modelo del circuito eléctrico de la membrana La membrana separa cargas Capacitor Hay difusión pasiva (escape) de iones Resistencia C m dv dt I tot 0

26 Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo P n b RT af V n RT zf ln N e N i Ión Permeabilidad Potenc. de Nernst K + 6x mv Na + 8x mv L mv

27 Membrana en reposo I n I L Em E m =r n I n +E n I n =g n (E m -E n ) g K =0.367 ms/cm 2 g Na =0.01 ms/cm 2 g L =0.30 ms/cm 2

28 Potencial de acción Tejidos exitables Saca del estado de equilibrio Señaliza

29 Hodgkin y Huxley (1939)

30 Hodgkin y Huxley (1939) 1mm

$refractario El potencial de acción puede propagarse (de 20 a$

31 Existe un umbral Hodgkin-Huxley Existe un período refractario El potencial de acción puede propagarse (de 20 a 120 m/seg).

32 Potencial de acción

33 Hodgkin-Huxley (1957, premio Nobel 1963) Pinzado de voltaje ("voltage clamp ) Humbral Corrientes selectivas Corriente explosiva de entrada de Na + Corriente lenta de salida de K + Permeabilidades (g n ) son función de V m y t

34 Potencial de acción Variación de V m Varían Conductancias Varían Potenciales de Nernst

35 Potencial de Acción

36 Modelo Matemático dg dt g ( v) g k n k k f ( v, t) g k n 4 dn dt n 36 mw -1 ( v) n /cm 2 g Na ( v) g Na 3 m h m, n y h dinám. de 1 orden

37 Modelo Matemático dv Cm dt donde g E g g g m Na k L g Na g g g g k Na L Na n g( v E g E g 4 K Na Na 3 m h m g L ) g K EK g K I ap ( t) g g L L E L dm am(1 m) bmm dt dn an(1 n) bnn dt dh ah(1 h) bhh dt a m (v) = 0.1(45+v)/(1-e -((45+v)/10) ), b m (v) = 4e -((70+v)/18), a n (v) = 0.01(v+60)/(1-e -((60+v)/10) ), b n (v) = 0.125e -((70+v)/80) a h (v) = 0.07 e -((70+v)/20), b h (v) = 1/(1+e -((40+v)/10) )

38 Modelo del cable Error de la gráfica: según el modelo de H-H las conductancias están en serie con los potenciales de Nernst

39 Conducción saltatoria

40 Bibliografía Physiological Control Systems, Michael C. Khoo, IEEE Press, "Introducción a la Bioingenieria", Marcombo-Boixareu Editores, Mathematical Physiology, J. Keener J. Sneyd, Volume 8, Springer, 1988 Modelling with Diferencial Equations", Burghes-Borrie. "An introduction to Mathematical Modelling", Bender. "Elementos de Biomatematica", Engel, Sec Gral de la OEA., Programa Regional de Desarrollo Cientifico, "Modelling and Control in Biomedical Systems", Cobelli-Mariani, "Dynamics of Physical systems", R. Cannon, McGraw-Hill. "Farmacocinética Clínica", John G. Wagner, Ed. Reverté, S.A., "Drugs and Pharmaceutical Sciences", Gibaldi

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