TRAZADOS GEOMETRICOS DIBUJO TECNICO

Transcripción

1 TRAZADOS GEOMETRICOS DIBUJO TECNICO Alberto Paredes Cervantes 2012/2013

2 Recta, semirrecta y segmento: Trazados geométricos elementales Llamamos recta a una sucesión ilimitada de puntos que van en una misma dirección. Semirrecta, será una recta de la que conocemos su origen. Segmento, es una porción de recta comprendida entre dos de sus puntos. Suma, resta y división de segmentos: Para sumar gráficamente dos segmentos, trasladaremos su medida tomada en el compas sobre una recta, una a continuación de la otra. Resta, trasladaremos con el compas la medida del menor sobre la mayor a partir de uno de los puntos que lo delimitan siendo la diferencia en resto. Para dividir un segmento utilizaremos el teorema de Tales en un número determinado de partes iguales, operaremos de la siguiente forma: desde A trazaremos una recta que forme un ángulo cualquiera con el segmento dado, sobre esta y a partir de A, llevaremos con el compas, tantas medidas iguales como partes queramos dividir el segmento. Uniendo la última parte de A con la últimadivisión, le trazaremos paralelas desde cada una de las divisiones, estas paralelas al cortar el segmento dado nos da la solución.

3 Lugar geométrico Llamamos lugar geométrico al conjunto de puntos del plano que cumplen una determinada condición común, por ejemplo la circunferencia, la circunferencia será el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de uno fijo llamado centro. La mediatriz de un segmento Es la perpendicular al segmento trazada desde su punto medio. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento por lo que son centros de todas las circunferencias posibles que pasen por los extremos del segmento. Trazado de la mediatriz Tomando como centro sus extremos y con el mismo radio arbitrario trazaremos los arcos que se cortaran en dos puntos que unidos determinan la mediatriz del segmento. Perpendicular y paralelismo Dos entes geométricos son perpendiculares cuando forman ángulos de 90º. Trazado de la perpendicular de una recta desde un punto determinado de dicha recta: Dada la recta R y el punto P de dicha recta, tomaremos como centro este punto trazando una semicircunferencia que cortara a la recta en los puntos 1 y 2. Bastara con obtener la mediatriz del segmento 1 y 2 para obtenerte la solución. Trazado de la perpendicular de una recta con un punto exterior a ella: Sea dada la recta R y el punto P exterior a ella, tomando como centro este punto y con radio mayor de la distancia que hay entre P y R, trazaremos un arco

4 obteniendo los puntos 1 y 2. Bastara con trazar la mediatriz del segmento 1 2 para obtener la solución. Trazado de una perpendicular a un segmento desde un extremo de dicho segmento: Método 1: tomando como centro un punto O exterior a ella y abriendo el compas hasta el extremo del segmento trazaremos una circunferencia que cortara al segmento en el punto 1. A continuación, uniremos 1 con O y prolongaremos hasta cortar la circunferencia en el punto 2. Uniendo 2 con obtendremos la perpendicular. Método 2: sea AB el segmento dado para levantar una perpendicular desde A operaremos de la siguiente manera: con radio arbitrario y tomando como centro A trazaremos un arco, que cortara al segmento en el punto 1. Tomando como centro 1 y con idéntico radio trazaremos otro arco que cortara al anterior en el punto 2. Tomando como centro 2 y con el mismo radio trazaremos otro arco obteniendo el punto 3 y sin variar de radio, trazaremos otro arco que cortara al anterior en el punto 4. Uniremos 4 y A para obtener la perpendicular. Consideramos el paralelismo como dos rectas paralelas aquellas que su punto de intersección se encuentra en el infinito, es decir, que su punto de intersección es un punto impropio.

5 Trazado de una paralela a una recta desde un punto exterior a ella: Tomando como centro cualquier punto de la recta, a este punto le llamaremos O, pinchando en O y abriendo el compas hasta P trazaremos una semicircunferencia que cortara la recta en los puntos 1 y 2. Desde 2 y con radio de 1P trazaremos un arco obteniendo el punto P. Uniendo P con P nos saldrá la paralela. Ángulos Llamamos ángulo a la porción del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo origen, al origen común se le llama vértice y a las semirrectas lados. Construcción de suma y resta de ángulos: Para construir un ángulo igual a otro dado operaremos de la siguiente forma: tomando como centro el vértice y con radio arbitrario trazaremos un arco que cortara a los lados del ángulo en los puntos 1 y 2. Con idéntico radio y tomando como centro el punto A de una recta trazaremos un arco idéntico al anterior. Obteniendo el 1. A continuación, tomaremos la medida 1,2 con el compas trasladándose desde 1 pudiendo completar el ejercicio. La bisectriz de un ángulo Llamamos bisectriz de un ángulo al lugar geométrico de los puntos del plano, que equidistan de los lados del ángulo. Se tratara de una recta que pasando por su vértice lo divide en dos ángulos iguales. Trazado de la bisectriz Tomando como centro su vértice trazaremos un arco de radio arbitrario que darán los puntos 1 y 2 de intersección con los grados del ángulo. Tomando como centro estos puntos e idéntico radio trazaremos dos arcos que se cortaran en 3. Uniendo A y tres nos dará la bisectriz.

6 Trazado de la bisectriz del ángulo que formaría dos rectas concurrentes sin llegar a cortarse: Trazaremos una recta M cualquiera que corte a las dos rectas dadas y que forme con ellas cuatro ángulos. Uniremos los puntos de intersección de estas bisectrices obteniendo la bisectría. Trazado de la bisectriz de un ángulo mixtilíneo. División de un ángulo recto en tres partes iguales: Tomando como centro el vértice, ángulo, trazaremos un arco de radio arbitrario obteniendo los puntos 1 y 2. Tomando estos puntos como centro e idéntico radio trazaremos dos arcos obteniendo los puntos 3 y 4 que unidos al vértice nos dividirá el ángulo en tres partes iguales.

7 División de un ángulo menor de 90º. Trazado de una recta concurrente con otras dos dadas pasando por un punto determinado. Ángulos en la circunferencia Central: al que tiene como vértice el centro de la circunferencia y como lados dos radios de la misma, su valor es igual al arco que abarcan sus lados. Interno: aquel que tiene como vértice un punto cualquiera interior a la circunferencia, su valor será igual a la semisuma de los dos centrales correspondientes a los arcos que abarcan sus lados.

8 Circunscrito: aquel que tiene su vértice fuera de la circunferencia y sus lados tangentes a la misma. Su valor es igual a la semidiferencia de los dos arcos a los que queda dividida la circunferencia por los puntos de tangencias. Semiinscrito. Es aquel que tiene un lado tangente y otro secante a la circunferencia siendo su vértice un punto de la misma, su valor es igual a la mitad del central correspondiente. Semiexterno: tendrá su vértice fuera de la circunferencia y su valor será igual a la semidiferencia de los centrales correspondientes. Sus lados serán uno tangente y otro secante a la circunferencia.

9 Externo: tendrá su vértice fuera de la circunferencia y su valor será igual a la semidiferencia de los centrales correspondientes. Inscrito: llamamos ángulo inscrito a la circunferencia a aquel tiene como vértice un punto de la misma y como los lados dos rectas secantes. El valor del ángulo inscrito es igual a la mitad del central correspondiente. Arco capaz El arco capaz de un segmento respecto a un ángulo determinado al lugar geométrico de los puntos del plano que unidos a los extremos del segmento siempre forman el ángulo dado. Construcción del arco capaz Dado el segmento AB y el ángulo alfa para obtener el arco capaz correspondiente operaremos así: 1. Construiremos el ángulo dado desde uno de los extremos del segmento y levantaremos una perpendicular de ese extremo al lado del ángulo. 2. Trazo la mediatriz del segmento que cortara la perpendicular en O, siendo el centro del arco que buscamos.

10 Triángulos Definición Llamamos triangulo a la superficie plana delimitada por tres rectas que se cortan dos a dos, a los puntos de intersección se les llama vértice y al segmento comprendido entre cada dos vértices se les llama lados. Para designar los elementos del triangulo utilizaremos una letra mayúscula para el vértice y la misma letra pero minúscula para designar al lado opuesto al vértice. Propiedades de los triángulos La suma de los ángulos de un triangulo será siempre de 180º. Un lado es menor que la suma de los otros dos pero mayor que su diferencia. A mayor lado se opone mayor ángulo. Clasificación Según sus ángulos: Obtusángulo: si tiene algún ángulo obtuso. Acutángulo: si tiene los ángulos agudos. Rectángulo: si tiene algún ángulo recto. Según sus lados serán: Equilátero: tres lados iguales. Isósceles: dos lados iguales. Escaleno: ningún lado igual. Rectas y puntos notables del triangulo Mediatriz. Su centro se llamacircuncentro.

11 Bisectriz. Su centro se llamaincentro. Mediana. Su centro se llama baricentro. Altura. Su centro de llama ortocentro. Nos dará un triangulo ártico

12 Construcción de triángulos Triángulo rectángulo dada la hipotenusa y uno de los catetos. Trazado de un triángulo rectángulo conocida la hipotenusa y uno de los ángulos. Construcción de un triángulo rectángulo conocida la hipotenusa y la altura sobre ella. Trazado de un triángulo rectángulo conocida la suma de los catetos y la hipotenusa: Dibujamos un segmento cuya longitud sea igual a la suma de los catetos. Desde uno de sus extremos M construiremos un arco de 45º y desde el otro un arco cuyo radio sea la hipotenusa, que cortara al lado de 45º en el punto C. el vértice A se obtendrá al trazar una perpendicular desde C al segmento MB.

13 Trazado de un triángulo isósceles sabiendo el ángulo impar: Sea el ángulo alfa y el lado AB trazaremos el arco capaz de alfa para AB. Donde corte la mediatriz de AB con el arco capaz tendremos C. uniendo C con A y con B ya lo tendremos. Construcción de un triángulo isóscelesdada la base y el lado par. Construcción de un triángulo escaleno conocidos dos de sus lados y la altura. Construcción de un triángulo isósceles rectángulo dada la altura.

14 Trazado de un triángulo equilátero dado el lado. Construcción de un triángulo equilátero dada la altura: Trazamos dos rectas paralelas a una distancia igual que la altura dada. Tomando como centro un punto de la paralela superior trazaremos un arco de radio arbitrario obteniendo los puntos 1 y 2. Tomando como centro estos puntos e idéntico radio trazaremos otros dos arcos obteniendo los puntos 3 y 4. Uniendo C con 3 y C con 4 y prolongaremos hasta la paralela de abajo para completar este ejercicio. Construcción de un triángulo escaleno dada la base, la altura y un ángulo. Construcción de un triángulo dados dos de sus lados del ángulo comprendidos entre ellos.

15 Construcción de un triángulo dados sus tres lados. Construcciones de cuadrados, rectángulos, rombos, romboides y trapezoides Construcción de un cuadrado dado el lado. Construcción de un cuadrado dada la diagonal. Construcción de un rectángulo conocidos dos de sus lados: Desde los extremos de uno de sus dos lados levantaremos una perpendicular y sobre estas perpendiculares pasaremos las medidas del otro lado. Las uniremos y lo obtendremos.

16 Construcción de un rectángulo con la diagonal y uno de sus lados. Construcción de un rombo conocida la diagonal y el lado. Construcción de un rombo conocida la diagonal mayor y la distancia entre dos lados opuestos.

17 Construcción de un romboide dados dos lados y el ángulo que forma entre ellos. Construcción de un trapezoide rectángulo conocida la base, la altura y un lado. Construcción de un trapecio isósceles conocidas las bases y la altura. Construcción de un trapecio escaleno dada las mediadas de las bases y la medida de una diagonal sabiendo el ángulo que forman con una de las bases.

18 Construcción de un pentágono Construcción de un pentágono dado el lado 1. Desde el lado B levantaremos una perpendicular. 2. Tomando como centro B y abriendo hasta A, trazaremos un arco que cortará a la perpendicular en Trazaremos la mediatriz de AB, nos dará el punto Ñ. 4. Tomando como centro Ñ y abriendo hasta 1, trazaremos un arco que cortara la prolongación de AB en Tomando como centro A trazaremos un arco de radio A2, que cortará la prolongación de la mediatriz en el punto C. 6. Tomando como radio AB y como centro ABC, trazare tres arcos que al cortarse me darán los vértices D y E. unidos a los otros tres vértices (A,B,C) se hara el pentágono. Construcciónde un hexágono Construcción de un hexágono dado el lado. Construcción de un heptágono Construcción de un heptágono dado el lado: Sea el lado dado AB, desde A trazaremos un ángulo de 30º que cortará a la

19 perpendicular trazada desde B en el punto 1. Trazaremos la mediatriz de AB y un arco de radio A1 y centro A, que al cortar la mediatriz, me dará la circunferencia que se puede dividir en 7 partes iguales a AB. Construcción de un octógono Construcción de un octógono dado el lado: Sea el lado AB al que trazaremos la mediatriz obteniendo se punto medio Ñ. Tomando como centro este punto, trazaremos una semicircunferencia que pasará por A y B cortando a la mediatriz en el punto 1. Tomando como centro 1 y radio hasta B, trazaremos un arco que cortará a la mediatriz en el punto O, centro de la circunferencia divisible en ocho partes por el segmento AB. Construcción de un dodecágono Construcción de un dodecágono dado el lado: Tomando como centros A y B alternativamente y con radio igual al segmento dado

20 trazaremos dos arcos que se cortaran en la mediatriz del segmento en el punto 1. A continuación, tomando como centro 1 y abriendo hasta B trazaremos un arco que cortara a la mediatriz en el punto O, siendo este el centro de la circunferencia divisible en doce partes por el lado AB. Proporcionalidad y semejanza División de un segmento en partes iguales A. Proporcionalidad y semejanza: Si tenemos que comparar dos segmentos entre si se presentaran dos casos posibles, que sean iguales o que no lo sean. En el primer caso el coeficiente resultante será 1. A este coeficiente se le llama razón de dos segmentos, o sea, que la razón de dos segmentos es la medida de uno de ellos cuando se toma al otro por unidad. Se le denomina A/B. Un ejemplo; si queremos dividir el segmento AB, que están en una razón determinada, tendremos que dividir el segmento de la siguiente manera: si se tratara por ejemplo de un razón 2/3, tendríamos que dividir el segmento en 2+3 partes y reunir las dos primeras con las tres últimas.

21 B. Rectas cortadas por paralelas: Si varias paralelas determinan partes iguales de una recta R determinaran también partes iguales en cualquier otra recta S que corte. Tenemos la recta R, cortada por varias paralelas en partes iguales, paralelas que también cortan a una recta S, si desde cada uno de los cortes producidos por esas paralelas en S, trazamos una paralela a R, nos darán una serie de puntos M,N,P,Q, donde se verificará que dichos triángulos son iguales ya que tienen iguales los ángulos (A, B, C, D, E ) por ser correspondientes y también son iguales los ángulos (M,N,O,P,Q) al tener los lados paralelos, por lo tanto (A,B,C,D,etc) son iguales. Teorema de Thales Si dos rectas R y S se cortan por un sistema o haz de rectas paralelas, los segmentos determinados por los puntos de intersección en una de ellas, serán proporcionales a los determinados por los puntos de intersección en otra recta. Supongamos que AB y CD están en proporción 3/5 de manera que si dividimos AB en tres partes iguales una de estas partes cabrá cinco veces en BC. Por lo dicho con anterioridad (rectas cortadas por paralelas), BE también queda dividido en tres partes iguales y EF en cinco partes también iguales, si a cada parte le llamamos P podemos establecer que DE/DF es igual a 3P/5P de donde se deduce que AB/BC es igual a DE/EF Semejanza Dos figuras son semejantes cuando tienen todos sus ángulos correspondientes iguales y sus elementos lineales proporcionales y dispuestos en el mismo orden. Los elementos

22 que se corresponden se llaman también homólogos. Esta razón de homotecia, se llama razón de semejanza, la razón de semejanza es también una razón de proporcionalidad. a) Entre las propiedades notables de las semejanzas en dos figuras podemos distinguir: En dos figuras planas semejantes las áreas son proporcionales a los cuadrados de las líneas homologas. En dos figuras en el espacio semejantes, los volúmenes son proporcionales a los cubos de las líneas homologas. b) Triángulos semejantes: Dos triángulos semejantes tienen los ánguloshomólogos iguales, y los lados homólogos proporcionales. Bastara para que dos triángulos sean semejantes que se verifique que: Tienen dos ángulos respectivamente iguales, tienen dos lados proporcionales e iguales, los ángulos que forman o bien tienen los tres lados proporcionales. Construcción de figuras semejantes Aplicación de la 4ª proporcional

23 Construcción de un polígono semejante a otro dado

24 Elementos geométricos fundamentales Punto Recta Plano Formas geométricas Son las formadas por elementos geométricos Razón simple: Dados dos puntos fijos A y B en una recta R orientada (orientada es que tiene + y -). Se llama razón de tres puntos PAB, a la relación PA/PB. Se llama razón simple de tres puntos alineados A, B y C. Y se designa (ABC) a la razón de distancias AB/AC (primero con el segundo dividido el primero con el tercero). Se tendrá en cuenta el signo de los elementos*. Sugiriendo fijos dos puntos B y C; y una variable que sea el primero de una razón simple entre los tres, al que llamaremos X. Según el valor que tome X la razón ira tomando otros valores. Cuando la X es negativa es que la X esta entre B y C. Cuando la razón simple es negativa quiere decir que el punto variable esta entre dos puntos. Razón doble de cuatro puntos Dados dos puntos A y B en una recta orientada, se llama razón doble de cuatro puntos M, N, A, B al coeficiente de las razones simples de las dos primeras respecto a las otras dos. A cada grupo de cuatro puntos que se puede elegir se llama cuaterna armónica.

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26 Razón doble de cuatro puntos alineados Se llama razón doble de cuatro puntos alineados (ABCD) al coeficiente de las razones (ACD) y (BCD) = (ACD)/ (BCD). En el caso en el que la razón doble salga negativa, se dice que los cuatro puntos forman un sistema armónico o cuaterna armónica. Construcción geométrica de una cuaterna de valor M/N Dados tres puntos (BCD) y el valor M/N de la razón doble de la cuaterna que otro X forma con ellos, determina gráficamente la posición de X. Dado (BCD) sobre una recta se traza una recta que pase por B, y se determina en esta recta los valores de M y N, tomando B como punto de referencia. Se trazan dos rectas, una que pase por C y el punto N y otra que

27 pase por D y el punto M. Esta recta se cortara en el punto P. Trazaremos una paralela a BMN que pase por P y el punto de intersección de esta recta BCD con la paralela. B será el punto X. Conocimientos básicos Proporcionalidad Cada cateto es la media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre la misma, es decir, La altura de un triangulo rectángulo correspondiente a la hipotenusa es la media proporcional entre los dos segmentos que determinen sobre esta, es decir, Si desde un punto P se traza una tangente PM y una secante PAB a una circunferencia se verifica por potencia de un punto a una circunferencia que 4ª proporcional Sean los segmentos dados sobre una recta: Media proporcional a. Teorema del cateto: dibujar el segmento A en posición de resta con respecto al segmento B. Hallar el centro O del segmento A y trazar una semicircunferencia cuyo diámetro sea A. X el extremo libre de B levantaremos una perpendicular

28 que cortara la semicircunferencia en H. Uniendo el punto H con el extremo común de A y B obtendremos la media proporcional de A y B. b. Teorema de la altura: trazamos el segmento A. Llevamos el segmento A y luego el segmento B en posición de suma. Obtenemos el punto medio O entre A+B y trazaremos la semicircunferencia correspondiente. Por el extremo común de ambos segmentos levantaremos una perpendicular que cortara a la semicircunferencia en H. el segmento PH será la media proporcional.

29 Construcción de un polígono directamente semejante a otro en una determinada relación La traslación Una homología que tiene centro impropio (esta en el infinito) y queda definida únicamente por un par de puntos homólogos y a su vez indicará el centro de homología. Media proporcional 1. Sobre una recta se trasladan las longitudes. PA=B y PB=A. A continuación se describe la circunferencia que pasa por A y B y desde B se traza una tangente a dicha circunferencia. La medida de la tangente es igual a la media proporcional de A y B

30 2. Multiplicación del cuadrado: se tratara de a partir de un cuadrado obtener otros que dupliquen su área sucesivamente. Para ello lo único que hay que hacer es ir abatiendo la diagonal. División de un triangulo en dos partes de igual área Sea el triangulo dado ABC trazaremos una semicircunferencia que tenga como diámetro el lado AB. Desde el centro de la circunferencia trazaremos una perpendicular que la cortara en el punto P. tomando como centro B y como radio BP, trazaremos un arco que cortara AB en el punto X. a partir de X trazaremos una paralela al lado AC quedando dividido el triangulo en dos partes iguales.

31 La circunferencia Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de uno fijo llamado centro. Elementos importantes: Diámetro Radio Arco Cuerda Flecha Secante Tangente Por tres puntos no alineados hacer pasar una circunferencia Para obtener la solución nos fijaremos en las equidistancias que suponen tanto el concepto de circunferencia como el de mediatriz. Trazaremos las mediatrices de los segmentos AB y BC. Donde se corten estas será el centro que buscamos. Rectificación de una circunferencia según Arquímedes La rectificación total de la circunferencia seria igual a 22/7 del diámetro. Sobre una recta sumar tres veces el diámetro más 1/7 del mismo

32 Rectificación de 1/4 de circunferencia según Mascheroni Dada la circunferencia de centro O, trazaremos uno de sus diámetros AB y haciendo centro en sus extremos trazaremos dos arcos que cortaran a la circunferencia en 1 y 2. Pincho en A y abro hasta 2 y hago un arco, hacemos lo mismo pero abriendo hasta 1. Pincho en 1 abro hasta X, me da 4. Uniendo 4 y A obtendremos la rectificación. Rectificación a una semicircunferencia según Hochonski Trazaremos un diámetro de la circunferencia y dividiremos el cuarto de la misma de uno de los lados de esta perpendicular en tres partes iguales. Eso mas tres radios de la circunferencia es la rectificación.

33 Rectificación de una semicircunferencia por el método de los polígonos La suma del lado del cuadrado y del triangulo equilátero inscritos en una circunferencia será igual a la rectificación de la semicircunferencia. Rectificación de un arco menor que un cuarto de la circunferencia Sea AB el arco a rectificar desde el extremo A levantaremos una perpendicular y a partir de C llevaremos la medida del radio de la circunferencia que uniremos con B y prolongaremos hasta cortar la perpendicular en X. XA será la rectificación de AB. Polígonos inscritos en la circunferencia Método general de división de la circunferencia en partes iguales Sea la circunferencia dada de centro O a la que trazaremos un diámetro AB que dividiremos en tantas partes como queramos dividir la circunferencia. A continuación y tomando como centro los extremos del diámetro trazaremos 2 arcos que se cortaran en X. Por último uniremos X con 2 (siempre con 2) las partes que se quieran dividir a circunferencia. Prolongaremos hasta cortar la circunferencia en M. Pues bien, el arco AM será aproximado un séptimo de la circunferencia.

34 Construcción de un triangulo equilátero, hexágono, dodecágono. Una circunferencia queda dividida en 6 partes exactamente iguales por su radio. Construcción de un pentágono y dodecágono inscritos en la circunferencia 1. Trazaremos dos diámetros perpendiculares AB y CD 2. Obtendremos la mediatriz del radio OD 3. Tomando como centro Ñ y abriendo hasta A trazaremos un arco que alcortar el diámetro CD obtendremos M 4. Pinchando en A y abriendo hasta M haremos un arco que cortara la circunferencia en 1. A1 es 1/5 de la circunferencia

35 Trazado de un heptágono y un catorce lados en la circunferencia Trazado de un octógono y un cuadrado inscritos en la circunferencia

36 Trazado de un eneágono inscrito en la circunferencia Trazaremos dos diámetros perpendiculares AB y CD. Tomando como centro A y B alternativamente y con radio igual a la de la circunferencia trazaremos dos arcos obteniendo los puntos 1 y 2. Tomando como centro B y abriendo hasta 1 trazaremos un arco de circunferencia que cortara la prolongación de CD en 3. Tomando como centro 3 y abriendo hasta A trazaremos un arco de circunferencia que cortara el diámetro CD en el punto X. CX será un noveno de la circunferencia Tangencias Llamamos recta tangente a una circunferencia a aquella que tiene un punto en común con la misma, llamado punto de tangencia. La tangente tiene la particularidad de que forma un ángulo recto con el radio que pasa por ese punto de tangencia. Trazado de un tangente a una circunferencia desde un punto de dicha circunferencia

37 Trazado de la tangente a un arco de circunferencia conocido el punto de tangencia Tomando como centro el punto de tangencia y con radio arbitrario trazare un arco de circunferencia que cortara al arco dado en los puntos 1 y 2. La paralela a la recta que pase por T será la tangente. Trazado de todas las tangentes posibles a una circunferencia desde un punto exterior a ella. Uniremos el punto exterior con el centro de la circunferencia. Se hace la mediatriz de esta, obteniendo Ñ. trazaremos una circunferencia que pase por P y O, que cortara a la circunferencia en N y M. Uniendo P y M y P y N serán las tangentes.

38 Trazado de las tangentes exteriores a dos circunferencias de distinto radio Sean las circunferencias dadas las de centro O1 y O2 uniremos los centros, trazaremos la mediatriz del segmento resultante obteniendo Ñ. Tomando como centro Ñ trazaremos una circunferencia que pasara por ambos centros. Restamos el radio de la menor al radio de la mayor y trazaremos una circunferencia concéntrica a la mayor de radio igual al resultado de esta recta. Cortara a la circunferencia de radio Ñ en los puntos M y N. Uniendo estos puntos con el centro de la circunferencia mayor, obtendremos sobre la misma los puntos P y T. trazaremos paralelas a estas rectas desde el centro de la circunferencia menor, obteniendo P y T. Uniendo T y T y P y P para obtendremos las tangentes. Trazado de las tangentes interiores a dos circunferencias de diferente radio 1. Sean las circunferencias dadas de centro O1 y O2, uniremos sus centros trazando la mediatriz al segmento resultante y obteniendo Ñ. 2. Trazaremos una circunferencia de centro Ñ cuyo diámetro sea O1 y O2. 3. Sumaremos al radio de la mayor el radio de la menor. Trazando una circunferencia concéntrica la mayor cuyo radio sea esta suma. 4. Uniremos los puntos de intersección de esta circunferencia la de centro Ñ (M y N) con el centro de la circunferencia mayor. Estas rectas al cortar a la circunferencia nos darán los puntos P y T. 5. Trazare paralelas opuestas a los segmentos PO2 y TO2 desde el centro de la menor, obteniendo T y P. Uniendo T y T y P y P serán las tangentes interiores.

39 Trazado de las circunferencias tangentes a una recta pasando por un punto P dado y conociendo el radio de las mismas. 1. Trazaremos una paralela a la recta dada a una distancia igual al radio. 2. Tomando como centro P y radio igual al dado trazare un arco que cortara a la paralela en los puntos O1 y O2. 3. Tomando como centro O1 y O2 y con radio el dado trazare dos circunferencias que serán la solución.

40 Circunferencia tangente a dos rectas que se corten en un punto conocido al radio Bastara con trazar una paralela a cada recta a una distancia igual al radio dado, donde se corten será el centro de la circunferencia solución. Trazado de las circunferencias tangentes de radio dado a otra circunferencia pasando por un punto 1. A la circunferencia dada sumaremos el radio y trazaremos una circunferencia concéntrica. 2. Tomando como centro P y con radio el dado, trazaremos un arco que cortara a la concéntrica en O2 y O3. 3. Haciendo las circunferencias O2 y O3 para hallar los puntos tangentes.

41 Trazado de las circunferencias tangentes a una circunferencia dada conocido el radio de las tangentes y el punto P de tangencia

42 Trazado de una circunferencia tangente a otra conocida pasando por el punto P exterior a ella y conociendo el punto de tangencia X Trazaremos una recta que pase por O y X, donde esta recta sea cortada por la mediatriz del segmento PX, tendremos el centro de la circunferencia solución. Trazado de las circunferencias tangentes de radio conocido a otras dos circunferencias dadas. Haremos lo siguiente, le sumaremos el radio dado a cada una de las circunferencias, trazando circunferencias concéntricas de radio igual a la suma de los radios. Tomando como centro los puntos de intersección de las circunferencias concéntricas y radio el dado, hallaremos las soluciones.

43 Trazado de las circunferencias tangentes a otra circunferencia y a una recta conociendo el radio (enlace, recta, circunferencia) 1. Trazaremos una circunferenciaconcéntrica a la dada que tenga como radio la suma del radio de la circunferencia más el radio dado. 2. Trazaremos una paralela a la recta dada a una distancia igual al radio dado, obteniendo en su intersección con la circunferenciaconcéntrica, los centros O1 y O2 de las circunferencias solución.

44 Circunferencia tangente a otra dada y a una recta conocido el punto de tangencia sobre la recta Sea la recta dada y el punto de tangencia T y la circunferencia de centro O, levantaremos una perpendicular a R desde T y llevaremos la medida del radio de la circunferencia sobre esta perpendicular y a partir de T, obteniendo el punto X. Uniremos X con el centro de la circunferencia dada y trazaremos la mediatriz del segmento resultante, donde esta mediatriz corte la perpendicular, estará el centro de la circunferencia solución.