La fecha focal se elige de forma arbitraria, esto permite que se pueda plantear la ecuación de valor.

Transcripción

1 Ecuaciones de valor Por Alma Ruth Cortés En ocasiones ocurre que un deudor decide reemplazar varias deudas contraídas con anterioridad con un mismo acreedor, por un solo documento u otro conjunto de deudas equivalentes. Lo anterior se logra mediante el planteamiento de una ecuación de valores equivalentes, también llamada ecuación de valor, la cual es una igualdad. En la ecuación de valor se suman los valores de un grupo de deudas para ser sustituidos por otro conjunto de deudas equivalentes al original, siempre que sus valores de vencimiento se han puesto en una fecha focal o fecha de valuación. La fecha focal se elige de forma arbitraria, esto permite que se pueda plantear la ecuación de valor. La ecuación de valor está basada en el valor del dinero en razón del tiempo, esto es, que el valor de un capital obtenido o invertido será mayor, dependiendo de los intereses que gane. De manera inversa, el valor presente de una cantidad será menor que la cifra contemplada a futuro, debido al descuento que aplica. Por lo cual, como afirma Vidaurri (008), en su obra Matemáticas financieras: dos cantidades de dinero no se pueden sumar mientras no se hayan trasladado todas a una fecha de comparación, llamada fecha focal (p. 58). Las ecuaciones de valor forman parte de las técnicas más útiles de las matemáticas financieras, ya que por medio de ellas se pueden resolver los problemas financieros y son la base del estudio de las anualidades. Para resolver los problemas financieros, se recomienda emplear lo que se conoce como diagramas de tiempo, constan de una línea horizontal con una escala de tiempo en días, meses, años, etc., y en ella se indican los montos de las deudas originales o propuestas. Las obligaciones originales se colocan arriba del diagrama de tiempo y las obligaciones nuevas o propuestas se colocan en la parte de abajo. 1

2 Ejemplo 1 Monto a pagar con una tasa de interés determinada Don Lucho tiene una deuda contraída con una mueblería, de la cual es cliente desde hace años. Dicha deuda se compone de dos saldos: $8,000 que debe pagar en este momento y $14,000 a pagar dentro de dos meses. Don Lucho desea saldar por completo su deuda el día de hoy. Qué cantidad deberá pagar, si la tasa de interés es del 4% anual capitalizable cada mes? Solución Primero debe establecerse la fecha focal, ya que el deudor desea evitar pagar $,000 ($8,000 más $14,000) que son el valor futuro, dado que $8,000 vencen al día de hoy. No te olvides que dos o más cantidades no se pueden sumar, siempre que sus vencimientos y sus valores no coincidan en el tiempo. Lo recomendable es que se calcule el valor presente de $14,000 y entonces sí, poder sumarlos a los $8,000. Esto es, la fecha focal se tomará al día de hoy. El diagrama quedaría de esta forma: Figura 1. Diagrama del ejemplo. El 0 indica el momento actual o presente y la cantidad total a pagar el día de hoy (dos meses antes de su vencimiento).

3 La ecuación quedaría así: 14,000 P = ,000 = = 13, Una vez que se ha trasladado $13, junto con $8,000, es posible su comparación y se puede plantear la ecuación de valor siguiente: Valor total de las deudas originales = Valor total de las deudas propuestas. 8, , = x o x= $ 1, Entonces Don Lucho deberá pagar $1, el día de hoy para saldar su deuda. Pero cuál es la ventaja para el acreedor? La ventaja del acreedor radica en que puede tomar los $8,000 que vencen en ese momento, y el resto $13, al invertirlo a la tasa de 4% capitalizando cada mes, durante meses, lo que le proporcionará la cantidad que hubiera recibido originalmente: 0.4 S = 13, = 14,000 Es importante considerar que la fecha focal no influye en el resultado. Para comprobar esto, te invito a que resuelvas el mismo ejemplo, cambiando la fecha focal por el mes. Como la fecha focal se encuentra en el futuro, respecto a las cantidades que se están trasladando, se calcula el monto de $8,000 y el monto de x a meses de plazo. 3

4 S 1 = 0.4 = 8, ( ) 8,33. 4 S 1 = 8, = 8,33.4 Con esto ya puedes plantear la ecuación de valor: Valor total de las deudas originales = Valor total de las deudas propuestas. Queda así: De tal forma: S 1 +14, 000 = S 8, ,000 = x Despejando: 8, ,000 x = = 1, Ejemplo Liquidación adelantada de varias deudas Rogaciano se casó y como no tenía suficiente dinero para los gastos de la boda y el viaje de luna de miel pidió prestado. Ahora tiene que pagar $16,000 dentro de 4 meses y $8, dentro de 8 meses. Rogaciano propone a su acreedor pagar mediante pagos iguales, el primero dentro de 3 meses y el otro dentro de 9 meses. Calcula el valor de los pagos, si ambas partes acuerdan utilizar una tasa de 3% capitalizable cada quincena. 4

5 Solución Figura. Diagrama 4. En este diagrama, x representa los nueve pagos. Dado que la fecha focal se ubica en el mes 9, al trasladar las cantidades a la fecha focal, quedaría la ecuación del valor: Valor total de las deudas originales = Valor total de las deudas propuestas. Para calcular el valor total de las deudas originales se utiliza la fórmula: S = C (1+i) n Para la deuda de $16,000, utilizando la fórmula se tiene: Para la deuda de 16,000 utilizando la fórmula se tiene: C = 16,000. i = 3% / 4 quincenas = 0.3/4. n = periodo de capitalización. Son 10 quincenas (5 meses x = 10). Estos datos quedarían así: Para la deuda de 8,740 utilizando la fórmula se tiene: 5

6 C = 8,740. i = 3% / 4 quincenas = 0.3/4. n = periodo de capitalización. Son quincenas (1 mes x = ). Estos datos quedarían así: Para calcular el valor total de las deudas propuestas utilizarás la fórmula: S = C (1 + i) n Para la deuda propuesta que no se conoce, se tiene: C = x (se ignora). I = 3% / 4 quincenas = 0.3 / 4. n = periodo de capitalización. Son 1 quincenas (6 meses x = 1). Estos datos quedarían así: Ahora se construye la ecuación de valor: , = x x ( ) + 8,740( ) = x ( ) + x ( ) + 8,740( ) = x ( ) + x 17, ,93.49 = x + x 46, = x 6

7 x =, Esto se debe interpretar, como que la deuda queda cubierta con dos pagos iguales de $,106.99, el primero debe hacerse en un plazo de 3 meses, y el segundo a un plazo de 9 meses. Al resolver ejercicios con los diagramas, se muestran la flecha hacia la derecha, cuando la cantidad se traslada en sentido positivo, ahí se utiliza la fórmula del Monto. Si la flecha va dirigida a la izquierda, la cantidad se traslada en sentido negativo y se utiliza la fórmula de Valor Presente. 7