Inicio ELEGIR COLEGIO

Transcripción

1 1 of 11 28/06/ :07 Inicio ELEGIR COLEGIO En esta actividad se va a trabajar con una situación en la que es necesario tener una herramienta rápida que nos permita decidir qué centros educativos están más cerca de un cierto lugar (podrían ser gasolineras, antenas de telefonía,...). Esa herramienta se va descubriendo a través de retos que van aumentando su dificultad: Reto 1: Reto 2: Reto 3: Reto 4: Zonas de influencia Diagramas de Voronoi Con una sola tecla El reloj Buscando zonas de influencia Cuántos triángulos! Mas aplicaciones... Al final de los retos se indican las herramientas matemáticas para resolver las mismas y enlaces para conocer dichas herramientas. Acude a ellas si no sabes resolver las tareas o después de haberlas resuelto. Quizás descubras que lo que has hecho es utilizarlas. Descarga en pdf las tareas, trabaja con tu grupo y recoge toda la documentación en tu portafolio. Al final haz un resumen de los contenidos matemáticos que has trabajado (ve anotando según los utilizáis).

2 2 of 11 28/06/ :07 Reto 1 ZONAS DE INFLUENCIA La elección de centro educativo, como sabes, se hace según la puntuación que se otorga en base a ciertos criterios, uno de los cuales es la cercanía del lugar de residencia o trabajo de los padres al centro educativo en cuestión, lo que se puede llamar zona de influencia de dicho centro. Cómo crees que habría que determinar la zona de influencia de los centros? Vamos a ver una herramienta matemática que nos permitirá resolver el problema. En la ventana interactiva (applet) que tienes más abajo aparece un plano con cinco institutos. Con ayuda de algunas herramientas de dibujo y medida, debes encontrar la zona de influencia de cada instituto. Dicha zona será un polígono, de manera que el instituto correspondiente será el único instituto que esté en su interior y cualquier otro punto del interior estará más cerca de ese instituto que de los otros. Además, los polígonos-zonas de influencia tienen que cubrir el plano sin solaparse, por lo que tendrán lados y vértices comunes. Ahora encuentra las zonas de influencia: Utiliza primero las herramientas que necesites para dibujar aproximadamente un polígono rodeando a cada punto-instituto, de manera que los puntos del polígono sean los que están más cerca de dicho punto-instituto (los polígonos se dibujan a partir de sus vértices, para cerrarlo el último vértice debe ser el primero) A continuación, toma la herramienta selección (puedes mover los vértices de los polígonos que has dibujado) y mejora tu dibujo después de marcar la casilla Mostrar punto y distancias. Observarás las distancias de un punto cualquiera P (que puedes mover de la misma manera que los vértices) a los institutos, lo que te ayudará a ajustar los polígonos. Por último, comprueba tu solución marcando la casilla Muestra polígonos

3 3 of 11 28/06/ :07 Diagramas de Voronoi En el ejercicio anterior has construido un conjunto de celdas que rellenan el plano. El borde de esta celdas es un conjunto de vértices, segmentos que los unen o semirrectas que parten de los vértices (se exceptúan los vértices y segmentos del borde del plano y se considera que los segmentos que se unen con dichos vértices son en realidad semirrectas) llamado diagrama de Voronoi. Los puntos que representan los institutos son los generadores de dicho diagrama. Revisa la construcción el ejercicio anterior y contesta a las siguientes preguntas: Qué tipo de figuras son las celdas del diagrama?, tienen puntos en común? Qué propiedad cumplen los puntos que se encuentran sobre los lados comunes de dos celdas respecto a los generadores de dichas celdas?, hay más puntos en el plano que cumplen lo mismo?, qué figura forman? Qué cumplen los puntos que son vértices de tres celdas? Si se dibuja una circunferencia con centro en uno de los vértices comunes a tres celdas, y radio la distancia a cualquiera de los puntos generadores de dichas

4 4 of 11 28/06/ :07 celdas, donde se sitúan, respecto a la circunferencia, los otros dos puntos generadores de las celdas que comparten dicho vértice?, por qué? Comprueba en el applet que tienes más abajo, en el que está fijada la solución del ejercicio anterior, que no hay institutos en el interior de una circunferencia de centro un vértice del diagrama y radio la distancia a cualquiera de los institutos correspondientes a las celdas que comparten el vértice. Hazlo con todos los vértices, utilizando en el applet la herramienta circunferencia. Fíjate ahora en cualquiera de los lados que unen los vértices del diagrama (no se cuentan los del borde del plano). Comprueba que si dibujas una circunferencia con centro cualquier punto del lado y con radio igual a la distancia a cualquiera de los institutos cuyas zona de influencia comparten dicho lado, la circunferencia pasa por ambos centros y, además, no hay ningún otro instituto en su interior. Eso es porque los puntos del lado equidistan de los institutos más cercanos. Comprueba que el resto de las aristas son partes de las mediatrices cuyo origen está en el circuncentro en dirección hacia el exterior del plano por el camino más corto.

5 5 of 11 28/06/ :07 Reto 2 Con una sola tecla Completa el texto con las palabras que faltan. Vamos a diseñar una macro o herramienta para dibujar el circuncentro de tres puntos no alineados (si están alineados no forman un triángulo). Para ello hay que tener en cuenta algunas propiedades de las mediatrices y el circuncentro de un triángulo: La mediatriz de un segmento AB es una cuyos puntos están a la misma de A que de B. Por eso, para representarla con regla y compás, basta con dibujar dos circunferencias con el mismo y con centros en A y en respectivamente, que se cortarán en dos puntos si el radio es que la mitad de la longitud del segmento AB. Esos dos puntos están a la misma distancia de A y de B por estar sobre del mismo y centros y y, además, determinan una única recta, por lo que dicha recta debe ser la. La mediatriz de un segmento pasa por el punto medio del segmento y, además, es al mismo. Esta propiedad proporciona un método adicional para representarla si disponemos de una regla graduada y una escuadra o un mide el segmento, se marca el punto y con el ángulo de la escuadra o del cartabón se marca la dirección de la recta. : se Un triángulo tiene del triángulo. mediatrices, las que corresponden a los segmentos que forman los Las tres mediatrices de un triángulo tienen un punto común, el hallar dicho punto no es necesario representar las tres rectas, basta con.. Para Enviar Pulsa en las flechas para ver la construcción del circuncentro a partir de tres puntos no alineados, A, B y C. Describe con palabras los pasos a seguir. Una macro es una herramienta en la que dados unos objetos geométricos de entrada (puntos, rectas, segmentos, etc) se realizan una serie de construcciones para llegar a uno o varios objetos de salida. Al ejecutar la macro se señalan los objetos de entrada y directamente se representa el objeto de salida sin construcciones intermedias. En esta macro que queremos crear, cuáles son los objetos de entrada?, y los de salida?

6 6 of 11 28/06/ :07 El reloj Tengo una espejo circular y quiero convertirlo en un original reloj, para lo cual debo encontrar el centro exacto, lugar donde irá el mecanismos con las agujas. Cómo puedo encontrar dicho centro?

7 7 of 11 28/06/ :07 Reto 3 BUSCANDO ZONAS DE INFLUENCIA En el reto 1 descubrimos las propiedades que tenían los vértices y aristas comunes de la división de un plano en zonas de influencia de institutos. Recapitulando: Los vértices son circuncentros asociados a tres puntos-institutos y la circunferencia circunscrita no contiene en su interior ningún instituto. Con centro en cualquier punto de la arista que une dos de esos vértices se pueden trazar circunferencias que contienen dos institutos (los más cercanos) pero ninguno más en su interior. El resto de las aristas son partes de las mediatrices cuyo origen está en el circuncentro en dirección hacia el exterior del plano por el camino más corto. En el reto 2 hemos construido una herramienta para trazar rápidamente los circuncentros a partir de tres puntos no alineados. Teniendo en cuenta lo anterior, vamos a resolver el problema de las zonas de influencia en nuestra ciudad. Observa la zona de color azul de una parte del plano de la ciudad de Valladolid. Corresponde a una de las zonas de escolarización (zona 2). Los puntos verdes (57, 70, 72 y 80) son los Institutos de Educación Secundaria. Utiliza el applet que tienes más abajo (fíjate que tienes la herramienta circuncentro a tu disposición) para encontrar las zonas de influencia de los cuatro institutos.

8 8 of 11 28/06/ :07 Cuántos triángulos se pueden formar con los cuatro puntos? Busca el circuncentro de todos ellos y comprueba si es un vértice válido de los polígonos dibujando la circunferencia circunscrita a cada triángulo y observando si hay algún colegio en su interior (en ese caso no es válido). Una vez seleccionados los vértices busca las aristas válidas uniendo vértices, dibujando las circunferencias con centro en el punto medio y que pasa por los dos institutos que comparten arista y observa si hay otros institutos dentro (en ese caso no es válida). El resto de las aristas son semirrectas que parten de los vértices y van, en la dirección de la mediatriz, hacia el exterior del plano. Comprueba tu solución seleccionando solución.

9 9 of 11 28/06/ :07 Reto 4 Cuantos triángulos! Completa con letras el párrafo y con los números procedentes del cálculo adecuado la tabla. En el reto anterior has construido, con ayuda de los circuncentros y las mediatrices, un diagrama de Voronoi asociado a cuatro puntos. Te puedes imaginar que, cuando el número de puntos es mayor, la construcción se complica. Vamos a ver cuánto. El número de triángulos (y por tanto de circuncentros) que se pueden formar si hay en el plano n puntos (cualquier grupo de tres no alineados) es n (n-1) (n-2)/6 (elegimos entre puntos el primer vértice, nos quedan para el segundo y para el tercero, pero de esta manera consideramos distintos los triángulos que tienen las mismas letras en distinto orden, como hay de esos triángulos, o lo que es lo mismo, formas de descolocar tres letras, dividiendo por se obtiene la fórmula). El número de vértices de un diagrama de Voronoi es 2n-5 y el número de lados 3n-6. Completa la siguiente tabla: Número de puntos Número de triángulos que se forman Número de vértices (circuncentros válidos) Número de lados (segmentos válidos) Enviar

10 10 of 11 28/06/ :07 Actividad de Lectura Lee con atención las entradas sobre diagramas de Voronoi en Comenta todas las aplicaciones que se citan sobre diagramas de Voronoi.

11 11 of 11 28/06/ :07 Herramientas matemáticas Herramientas matemáticas Polígonos Pulsa aquí Mediatrices y circuncentro. Circunferencia circunscrita. Pulsa aquí