GEOMETRÍA CON GEOGEBRA. Oculta los ejes. Si te confundes en algún paso, utiliza el botón deshacer, en la esquina superior derecha de la pantalla.

Transcripción

1 GEOMETRÍA CON GEOGEBRA PRIMERA PARTE PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO Oculta los ejes. Si te confundes en algún paso, utiliza el botón deshacer, en la esquina superior derecha de la pantalla. MEDIATRICES Y CIRCUNCENTRO 1.- Dibuja un triángulo cualquiera. 2.- Traza las mediatrices de dos de sus lados. 3.- Determina su punto de intersección. 4.- Con el cursor sobre ese punto, aprieta el botón derecho del ratón para que se despliegue el menú de propiedades. Elige renombrar, y llama O a ese punto de intersección. 5.- Traza la mediatriz del tercer lado del triángulo. 6.- Comprueba que pasa por el punto O: 7.- Mueve los vértices del triángulo. Qué observas? Qué posiciones respecto del triángulo puede ocupar O? 8.- Traza la circunferencia de centro O y que pasa por uno de los vértices.. Observa que pasa también por los otros dos: es la circunferencia circunscrita al triángulo. Las mediatrices de un triángulo concurren en un punto llamado circuncentro. El circuncentro equidista de los tres vértices del triángulo, y es el centro de su circunferencia circunscrita. 9.- Oculta (en propiedades: ocultar / mostrar objeto, o utilizando ) las mediatrices, el circuncentro y la circunferencia circunscrita Utiliza la herramienta para crear una casilla para ocultar objetos: selecciónala, y haz clic en cualquier punto de la ventana gráfica. En el menú que aparece, escribe circuncentro en el subtítulo. Despliega la lista de objetos de la construcción, y elige el punto O Comprueba que tu casilla funciona.

2 12.- Crea otra casilla para mostrar la circunferencia circunscrita Crea otra casilla para mostrar las mediatrices Mejora la presentación de tu construcción. MEDIANAS Y BARICENTRO. 1.- Deja visible únicamente el triángulo inicial. 2.- Dibuja los puntos medios de los lados del triángulo. 3.- Dibuja las medianas de dos de los lados. Recuerda: una mediana es un segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. (Utiliza la herramienta ) 4.- Marca la intersección ( ) de las dos medianas, y llama al punto que aparece G. 5.- Dibuja la tercera mediana, y comprueba que pasa por G. 6.- Mueve los vértices del triángulo. Las tres medianas de un triángulo concurren en un punto llamado baricentro. 7.- Crea dos casillas: una para el baricentro y otra para las medianas. ALTURAS Y ORTOCENTRO Deja visible únicamente el triángulo inicial. 1.- Dibuja las alturas correspondientes a dos de los lados: utiliza para trazar la perpendicular desde un vértice al lado opuesto. 2.- Dibuja su intersección. Renombra el punto como H. 3.- Traza la tercera altura, y comprueba que también pasa por H. Las tres alturas de un triángulo concurren en un punto llamado ortocentro. 4.- Crea otras dos casillas, una para las alturas y otra para el ortocentro.

3 BISECTRICES E INCENTRO Deja visible únicamente el triángulo inicial. 1.- Traza las bisectrices de los ángulos interiores del triángulo. (Ojo: la orientación es importante) 2.- Construye el punto intersección de dos de ellas; llámalo I. 3.- Comprueba que las tres bisectrices son concurrentes en el punto I. Las bisectrices de los ángulos interiores de cualquier triángulo concurren en I, incentro. El punto I equidista de los tres lados, y es el centro de la circunferencia inscrita. (tangente a los tres lados del triángulo) 4.- Dibuja la circunferencia inscrita: conoces su centro, necesitas uno de sus puntos. 5.- Traza la perpendicular a uno cualquiera de los lados desde I. 6.- Marca la intersección de esa perpendicular con el lado. Es un punto de la circunferencia inscrita. ( Por qué?) 7.- Crea una casilla para mostrar el incentro, otra para las bisectrices, y otra para la circunferencia inscrita. RECTA DE EULER Comprueba que el baricentro, el circuncentro y el ortocentro siempre están alineados. Mide los segmentos HO y GO. Hay alguna relación entre ellos? Deforma el triángulo. Se conserva la relación?

4 SEGUNDA PARTE DESLIZADORES Un deslizador es una variable. Se introduce como un número, y en propiedades / deslizador, se indica cómo queremos que vaya tomando distintos valores. Prueba, por ejemplo, lo siguiente: 1.- Haz que se vean los ejes coordenados (recuerda: vista / ejes) 2.- a=0. Hazlo visible en la pantalla gráfica: verás un segmento con un punto. 3.- En propiedades, elige deslizador, y luego: valor inicial, -3; valor final, 3; incremento, Introduce la expresión y = a x. Es la ecuación de una recta; el coeficiente de x, que hemos llamado a, nos dice cómo está de inclinada. Es su pendiente. 5.- Mueve el punto del deslizador, y observa cómo cambia la recta. Pon ahora un segundo deslizador: 6.- b=0; puedes asignarle los mismos parámetros que al deslizador a. 7.- Modifica la expresión de la recta anterior, escribiendo ahora y = a x + b. LISTAS Imagina que quieres dibujar varios puntos del eje OX, con coordenadas que sean números enteros. Puedes hacer visibles los ejes, y a continuación hacer clic en todos los que quieras dibujar. O puedes ir introduciendo sus coordenadas: (1,0),(2,0),(3,0),(- 1,0) Al ser puntos del eje OX, la segunda coordenada de todos ellos será 0. GeoGebra puede ordenar que se dibujen todos estos puntos al mismo tiempo, mediante el comando SECUENCIA. Prueba a introducir esto: Secuencia[(n,0),n,-7,7,1] Escribe las coordenadas de los puntos que has dibujado: Cómo tendrías que modificar la orden para dibujar puntos en el eje OY? Qué puntos se dibujan con la orden Secuencia[(n,n),n,1,5,1]? Observa que: Secuencia dibuja objetos de una sucesión. La variable que hemos llamado n indica el término de la sucesión. A continuación imponemos el primero y el último valor de n, y el salto para pasar de un término al siguiente, 1 en nuestro caso. Así, Secuencia[(n,1),n,0,4,0 5] dibuja 10 puntos: (0,1), (0 5,1),(1,1),,(4,1) ROSETONES Prepara la zona gráfica: oculta los ejes, y en opciones / rotulado, elige que no se rotule nada nuevo. Dibuja el cuadrilátero ABCD que más te guste, pero intenta que no tenga ejes de simetría. Será como el pétalo de una flor. Dibuja un punto E que no esté en el cuadrilátero, será el centro respecto del que girarán los pétalos de la flor.

5 Por ejemplo, esta de aquí tiene 8 pétalos Si quieres que tu flor tenga 6 pétalos, todos iguales al que has dibujado, tendrás que girar éste. Con qué ángulo? Cuántas veces tendrás que girar? Y si quieres que tenga 4 pétalos? Completa esta tabla que relaciona el número de pétalos con los ángulos de giro: pétalos ángulos Vamos a usar deslizadores y secuencias para poder hacer flores de distinto número de pétalos: 1.- Dibuja tu pétalo. Elige el centro de rotación. 2.- Deslizador: n = 2. Valor inicial: 2; valor final: 12; incremento:1. Este deslizador indica el número de pétalos. 3.- Ángulo de giro: = (360/n) º. 4.- Ahora damos la orden de girar n veces, para dibujar los n pétalos: lo haremos con secuencia, de esta manera: Secuencia[rota[polígono1, k, E],k,1,n-1] E: es el centro del giro. k va tomando distintos valores, para hacer todos los giros necesarios hasta dar una vuelta completa. Si quieres hacer 6 pétalos, n = 6, = 60. Escribe aquí los valores de los ángulos de giro, es decir, los valores de k cuando k varía desde 1 hasta 5: k Por qué nos paramos en k = 5? Cuál sería el ángulo con k = 6? 5.- Puedes cambiar el color de todos los pétalos, eligiendo propiedades en la lista que has creado. 6.- Al mover el deslizador, el número de pétalos varía. Prueba también a modificar el pétalo inicial, hasta conseguir la flor que más te guste. Si quieres que tus pétalos sean además simétricos, como los de esta flor, por ejemplo: Simetriza el pétalo inicial, respecto de uno de sus lados, y crea luego una segunda lista, como la de antes, pero rotando el nuevo polígono; por defecto, GeoGebra lo habrá llamado polígono1. Utiliza casillas de control para que se vean las flores sin simetría (es decir, solamente con los giros) o con ellas.