3. Es posible que el movimiento del imán sea oscilatorio puro (es decir, sin amortiguamiento)?

Transcripción

1 Campos Electromagnéticos, marzo V. NDUCCÓN ELECTROMAGNÉTCA 1. Problema La figura muestra un imán con momento dipolar magnético m suspendido de un muelle de constante elástica k. El muelle está sujeto a un techo fijo. La masa del imán es M. Debajo hay una espira conductora circular (cerrada). Esta espira no puede moverse. El eje perpendicular al plano de la espira coincide con el eje del imán. Suponga que la corriente aplicada externamente a la espira es nula. Si tiramos del imán hacia abajo desde su posición de equilibrio, acercándolo a la espira, y lo soltamos, el imán comenzará a desplazarse hacia arriba. Durante este movimiento vertical: 1. Se induce corriente en la espira? en qué sentido? por qué? 2. Qué fuerzas actúan sobre el imán? Qué signo tienen? 3. Es posible que el movimiento del imán sea oscilatorio puro (es decir, sin amortiguamiento)? k m 2. Problema La figura muestra un circuito atravesado por un campo magnético variable en el tiempo, perpendicular al plano del circuito. El campo magnético existe dentro de la región circular sombreada, sale del plano del papel, y produce un flujo Φ m tal quedφ m /dt = 10Wb/s es constante. Determine la lectura del voltímetro (ideal)v x, y la corriente. Nota: La lectura V de un voltímetro es igual a la tensión en bornes de su resistencia interna. Esta resistencia es muy alta en un voltímetro ideal, de modo que la corriente a través del voltímetro es despreciable. R = 1kΩ V x + = 20mA,V x = 10V

2 Campos Electromagnéticos, marzo Problema En este problema estudiamos las corrientes que circulan por varias resistencias conectadas en un circuito atravesado por un campo magnético variable en el tiempo, perpendicular al plano del circuito. El campo magnético existe dentro de la región circular sombreada, sale del plano del papel, y produce un flujo φ tal que dφ/dt = 10Wb/s es constante. Las resistencias son idénticas y valenr 1 = R 2 = R 3 = 1kΩ. Si el interruptor S está cerrado, determine la corriente en cada una de las resistencias para cada uno de los apartados siguientes: 1. El circuito es el mostrado en la figura. 2. Cortocircuitamos los puntosa yb con un cable por el lado derecho del circuito (cortocircuitoc 1 ). 3. Cortocircuitamos los puntosa yb con un cable por el lado izquierdo del circuito (cortocircuitoc 2 ). Calcule la corriente en cada una de las resistencias si el interruptors está abierto. nterruptor cerrado: (1) 1 = 2 = 3 = 10mA; (2) 1 = 10mA, 2 = 20mA, 3 = 0; (3) 1 = 2 = 3 = 10mA. nterruptor abierto, 1 = 2 = 3 = 10/3mA. S R 2 A 2 3 C 2 10V + R 1 R 3 C 1 1 B 4. Problema Una barra conductora se mueve a velocidad constante v, paralela a un hilo que lleva una corriente (ver figura). Calcule la fuerza electromotriz inducida en la barra. Qué lado estará a mayor potencial? a b v 5. Problema La figura muestra una espira cerrada con forma de semicircunferencia de radio a, parcialmente metida en una región de campo magnéticob 0 entrante en el plano del papel (región sombreada en la figura). Un motor no mostrado en la figura hace girar la espira respecto al eje O en sentido horario, con velocidad angularω constante. La resistencia eléctrica de la espira esrysu inductancia es despreciable. Nota: El eje de giroo de la espira está en la frontera de la región donde hay campo magnético. 1. Determine la corriente i inducida en la espira. Dibújela en función del tiempo. Suponga que α = 0 en t = 0.

3 Campos Electromagnéticos, marzo Qué trabajo por unidad de tiempo debe hacer el motor que hace girar la espira para mantener constante la velocidad de giro? B 0 i O α 6. Problema Este problema es igual a Purcell 7.2, excepto que el tamaño de la espira es diferente. Un hilo recto muy largo por el que circula una corriente, paralelo al eje ŷ, pasa por el punto z = h sobre el eje ẑ. Hay una espira cuadrada de lado 2b en el planoxy. El hilo de corriente es paralelo a dos de los lados de la espira. Esta espira se desliza sobre el plano xy con velocidad v en la dirección +ˆx. Calcule la fuerza electromotriz inducida en la espira en el momento que el centro de ésta cruza el ejeŷ. Sugerencia: Una forma sencilla de hacerlo es considerar la fuerza que ejerce el campo B sobre las cargas de la espira conductora en movimiento. Tanto las cargas positivas como negativas experimentan fuerza, aunque solamente las negativas se moverán dentro de la espira bajo la acción de la fuerza magnética. z x y E = µ 0 2vb 2 π(b 2 +h 2 ) 7. Problema Purcell 7.14 Sugerencia: Observe que al moverse la barra aparece una fuerza que se opone a su movimiento. La velocidad de la barra decrece exponencialmente. Si tomamos un tiempo muy grande, la velocidad será nula, de donde podemos obtener la distancia recorrida. El resultado es que la barra se detiene después de haber recorrido 8. Problema Purcell voltios. Rm B 2 b 2 v 0

4 Campos Electromagnéticos, marzo Problema Purcell 7.5 Nota: Hay una errata en el enunciado. La pregunta correcta es: Cuál es la fuente de energía en la Fig donde la espira es estacionaria? Alguien está moviendo la bobina. Este agente es el que suministra la energía que se disipa en la resistencia de la espira. Por qué? 10. Problema Una espira cuadrada (ladoa) de aluminio, de masamyresistencia totalr, se coloca de modo que solapa parcialmente una región de campo magnético constante (zona sombreada, entrando al papel) y puede caer bajo la acción de la gravedad. Si la magnitud del campo es B 0, determine la velocidad final de la espira. Calcule la velocidad de la espira en función del tiempo. Qué pasa si abrimos una pequeña ranura en la espira? Sugerencias: (1) Suponga que la espira solapa parcialmente la región de campo magnético en todo momento; (2) Considere las fuerzas sobre la espira y escriba la ecuación de movimiento; (3) Para obtener la velocidad final de la espira no es necesario resolver la ecuación diferencial. Como esa velocidad es constante, todas las derivadas de la velocidad son nulas. v gmr B 2 0 a2 11. Problema Un campo magnético uniforme B (saliendo del papel) está confinado a la región circular de la figura. El radio del círculo es R. En esa región hay dos varillas conductoras, una de longitud R colocada entre los puntos P y Q, y la otra de longitud 1.8R situada a lo largo de su diámetro (ver figura). Si db/dt > 0 es conocida, (a) determine la fuerza electromotriz entre los extremos de la barra conductora de longitud 1.8R; y (b) indique qué extremo de la barra conductora de longitudrestá a mayor potencial. Justifique cualitativamente su respuesta. P Q No hay diferencia de potencial entre los extremos de la varilla central. Para la varilla corta,v Q > V P 12. Problema Determine de forma aproximada la inductancia mutua de un pequeño solenoide y una espira cuadrada de lado a. El eje del solenoide es perpendicular al plano de la espira. El solenoide tiene N espiras de radiorylongitudl. La espira y

5 Campos Electromagnéticos, marzo el solenoide están muy separados b a L b M = µ 0 NR 2 a 2 4b Problema Una espira de masa M es empujada al interior de una región con campo magnético B 0, uniforme y constante, tal como se ilustra en la figura. La velocidad de entrada de la espira en la región de campo magnético es v 0. La espira tiene inductancia L y no tiene resistencia. Suponga que la espira se desliza sin fricción. El movimiento de la espira es horizontal, de modo que no hay que tener en cuenta las fuerzas gravitacionales. En este problema nos proponemos estudiar la dinámica del movimiento de la espira. 1. Si la espira está parcialmente metida en la región de campo magnético, tal como se ilustra en la figura, qué fuerzas electromotrices actúan en la espira? Nota: No olvide el efecto de la autoinducción. Recuerde que el flujo magnético Φ a través de la espira es proporcional a la corrientei en la misma,φ = Li. 2. Use la ecuación del circuitoe = ir total para obtener la ecuación diferencial que relaciona la corriente en la espira con la posiciónxde la misma. Para ello, usev = dx/dt. Nota: En la ecuación del circuito (o malla),e es la fuerza electromotriz total en el circuito, yr total es la resistencia total del circuito. 3. Obtenga i(x) integrando la ecuación diferencial anterior, y sabiendo que i = 0 cuando x = Determine la fuerza que ejerce el campo magnético sobre la espira en movimiento. 5. Use la segunda ley de Newton para escribir la ecuación diferencial que describe el movimiento de la espira. 6. Para resolver la ecuación diferencial anterior, pruebe una solución del tipo x(t) = A sinω 0 t. Determine A y ω 0 si sabemos quev = v 0 parat = Si A < h, qué ocurre con el movimiento de la espira? h d x B 0