MODELACIÓN ESTOCÁSTICA MULTIFACTORIAL DE LOS PRECIOS FUTUROS DE COMMODITIES AGRÍCOLAS Y SU ESTIMACIÓN MEDIANTE EL FILTRO DE KALMAN

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1 PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE ESCUELA DE INGENIERIA MODELACIÓN ESTOCÁSTICA MULTIFACTORIAL DE LOS PRECIOS FUTUROS DE COMMODITIES AGRÍCOLAS Y SU ESTIMACIÓN MEDIANTE EL FILTRO DE KALMAN FRANCISCO IGNACIO FAINÉ REUSS Tesis para optar al grado de Magíster en Ciencias de la Ingeniería Profesor Supervisor: GONZALO CORTÁZAR SANZ Santiago de Chile, Marzo, , Francisco Fainé Reuss

2 PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE ESCUELA DE INGENIERIA MODELACIÓN ESTOCASTICA MULTIFACTORIAL DE LOS PRECIOS FUTUROS DE COMMODITIES AGRÍCOLAS Y SU ESTIMACIÓN MEDIANTE EL FILTRO DE KALMAN FRANCISCO IGNACIO FAINÉ REUSS Tesis presentada a la Comisión integrada por los profesores: GONZALO CORTAZAR S. JOSÉ PEDRO PRINA P. WILLIAM FOSTER B. YADRAN ETEROVIC S. Para completar las exigencias del grado de Magíster en Ciencias de la Ingeniería Santiago de Chile, Marzo, 2010.

3 ii A mi familia y amigos

4 AGRADECIMIENTOS En primer lugar me gustaría agradecer al profesor Gonzalo Cortázar, por el tiempo dedicado, sus consejos y constante apoyo durante el desarrollo de esta tesis. Sus orientaciones han sido un pilar fundamental en esta investigación y en mi formación profesional. También me gustaría agradecer a mis compañeros de FinlabUC, por su valiosa ayuda y los consejos que recibí durante la realización de esta investigación. Un reconocimiento especial para Claudio Tapia, Héctor Ortega, Rodrigo Dufeu y Francisco Eterovic por su gran disposición, fundamental ayuda y gratos momentos vividos. Se agradece el apoyo financiero recibido por parte de FONDECYT (proyecto # ). Finalmente, agradezco a mi familia y amigos, su comprensión, compañía y apoyo incondicional. ii

5 INDICE GENERAL DEDICATORIA... ii Pág. AGRADECIMIENTOS... ii INDICE GENERAL... iv INDICE DE TABLAS... v INDICE DE FIGURAS... vii RESUMEN... x ABSTRACT... xi Capítulo 1. INTRODUCCIÓN Capítulo 2. MARCO TEÓRICO Modelos dinámicos para el comportamiento de precios de commodities Estacionalidad en los modelos de precios Literatura asociada al mercado de commodities agrícolas Metodología de estimación: El filtro de Kalman Capítulo 3. CARACTERIZACIÓN DEL MERCADO DE COMMODITIES AGRÍCOLAS Capítulo 4. ANÁLISIS DE LA APLICACIÓN DE MODELOS TRADICIONALES AL MERCADO AGRÍCOLA Capítulo 5. MODELO DE ESTIMACIÓN CONJUNTA INTRA-COMMODITY Modelo intra-commodity Valorización de contratos futuros Metodología de estimación conjunta utilizando el filtro de Kalman Capítulo 6. IMPLEMENTACIÓN Y RESULTADOS Datos utilizados... 52

6 6.1.1 Descripción de contratos futuros Construcción de paneles de datos Implementación de modelos Implementación modelo intra-commodity Implementación modelos de comparación Resultados Comparación entre modelos intra-commodity: Desempeño y selección de modelo propuesto Desempeño en el ajuste en precios Capítulo 7. CONCLUSIONES BIBLIOGRAFÍA A. ANEXOS Anexo A: Modelo de estacionalidad Geman & Nguyen (2005) Anexo B: Volumen de transacciones de derivados Anexo C: Composición del consumo alimenticio, proteico y de grasa a nivel mundial Anexo D: Análisis del consumo de granos en dieta alimenticia mundial Anexo E: Descripción de los principales granos: maíz, trigo y soya Anexo F: Especificación de modelos de comparación Anexo G: Aproximación de precios de contratos que vencen en el período que se obtienen nuevas cosechas Anexo H: Estructura de volatilidad

7 INDICE DE TABLAS Pág. Tabla 3-1 Contribución de los principales commodities en la composición de la alimentación humana mundial (% de Kcal/Persona/Día) y proteínas (g/persona/día), en el Fuente: FAO Tabla 3-2 Plazo máximo y volumen diario promedio de contratos de trigo en sus principales bolsas de intercambio mundial Tabla 6-1 Estadísticas descriptivas de los contratos de maíz y trigo (CBOT) entre Enero 2005 y Sept Tabla 6-2 Promedio diario de los contratos disponibles, según ciclo de cosecha (o período de oferta) y año. Período Enero 2005 Septiembre Tabla 6-3 Caracterización de paneles de datos utilizados para el maíz Tabla 6-4 Caracterización de panales de datos utilizados para el trigo Tabla 6-5 Parámetros estimados para modelos intra-commodity de 1, 2 y 3 factores, para contratos de maíz y trigo, usando panel de datos dentro de muestra (In-Sample) Tabla 6-6 Parámetros estimados para modelos comparables de contratos de maíz y trigo, usando panel de datos dentro de muestra (In-Sample) Tabla 6-7 Criterio de Información de Akaike (AIC) y Criterio de Información Bayesiano (BIC) para el modelo intra-commodity de 1, 2 y 3 factores para el maíz Tabla 6-8 Criterio de Información de Akaike (AIC) y Criterio de Información Bayesiano (BIC) para el modelo intra-commodity de 1, 2 y 3 factores para el trigo Tabla 6-9 Error absoluto porcentual para cada panel de datos del maíz, obtenido como la diferencia absoluta entre el precio del contrato observado y el precio estimado por el modelo, dividido por el primero. El año 2008 ha sido separado en primer y segundo semestre Tabla 6-10 Error absoluto porcentual para cada panel de datos del trigo, obtenido como la diferencia absoluta entre el precio del contrato observado y el precio estimado por el modelo, dividido por el primero. El año 2008 ha sido separado en primer y segundo semestre v

8 Tabla 6-11 Error porcentual para cada panel de datos del maíz, obtenido como la diferencia real entre el precio del contrato observado y el precio estimado por el modelo, dividido por el primero Tabla 6-12 Error porcentual para cada panel de datos del trigo, obtenido como la diferencia real entre el precio del contrato observado y el precio estimado por el modelo, dividido por el primero Tabla A-1 Número de contratos transados en las bolsas de derivados del mercado global. Incluye contratos futuros y opciones sobre futuros Tabla A-2 Ranking de los primeros 11 futuros agrícolas más transados en el mundo el año 2008, según número de contratos Tabla A-3 Composición del consumo mundial alimenticio, proteico y de grasa, para el año Porcentajes de Kcal/persona/día (alimentos) y g/persona/día (proteínas y grasa) sobre el total Tabla A-4 Plazo máximo y volumen diario promedio de contratos de maíz en sus principales bolsas de intercambio mundial Tabla A-5 Contribución del maíz en la composición de la alimentación humana para tanto los 10 principales países consumidores como los 10 países con mayor ingreso (2003). Porcentaje de Kcal/persona/día Tabla A-6 Contribución del trigo en la composición de la alimentación humana para tanto los 10 principales países consumidores como los 10 países con mayor ingreso (2003). Porcentaje de Kcal/persona/día Tabla A-7 Error y error absoluto porcentual para el maíz y trigo, entre la aproximación realizada y las observaciones correspondientes (contratos eliminados de los paneles de datos, es decir, contratos de septiembre para el maíz, y julio para el trigo) vi

9 INDICE DE FIGURAS Figura 3-1 Consumo de cereales (%) en dieta humana entre 1980 y 2003 para países emergentes de América, Europa y Asia, según evolución del ingreso per cápita Figura 3-2 Ciclo de producción para el maíz Figura 3-3 Promedio y desviación estándar de los precios de contratos de maíz (CBOT) observados entre agosto de 1995 y agosto de 2009, según mes de vencimiento Figura 3-4 Ciclo de producción para el trigo de invierno Figura 3-5 Promedio y desviación estándar de los precios de contratos de trigo (CBOT) observados entre agosto de 1995 y agosto de 2009, según mes de vencimiento Figura 4-1 Estructuras de precios de petróleo WTI, utilizando Cortázar & Schwartz (2003), para el 11/04/08 (en backwardation) y 13/05/09 (en contango) Figura 4-2 Estructura de precios de los contratos futuros de Gas Natural (NYMEX), utilizando modelo Manoliu & Tompaidis (2000), para el 13/04/ Figura 4-3 Histogramas de las diferencias de los precios entre los contratos Interperíodo de oferta, expresadas como diferencias porcentuales Figura 4-4 Para el 20/07/2008: (a) Períodos de oferta o ciclos de cosecha, y los contratos de maíz asociados, (b) Estructura de precios de maíz usando Manoliu & Tompaidis (2002) y Sørensen (2002) Figura 6-1 Ilustración de paneles de datos con respecto a la serie de tiempo y plazos de madurez de los contratos para cada fecha Figura 6-2 Estructura de precios de contratos futuros de maíz para los días 15/01/2008 y 15/04/2009. Comparación de modelo intra-commodity de 3 factores y modelos comparables en todos los paneles de datos Figura 6-3 Estructura de precios de contratos futuros de trigo para los días 01/10/2007 y 01/09/2009. Comparación de modelo intra-commodity de 3 factores y modelos comparables en todos los paneles de datos Figura 6-4 Errores (residuos) de la estimación de contratos de maíz para todos los paneles de datos Figura 6-5 Errores (residuos) de la estimación de contratos de trigo para todos los paneles de datos vii Pág.

10 Figura 6-6 Estructura de volatilidad de contratos futuros de maíz, según el ciclo de cosecha Figura 6-7 Estructuras de volatilidad de contratos futuros de trigo, según ciclo de cosecha Figura A-1 Volumen de transacción (porcentaje de número de contratos) en las bolsas de derivados de EE.UU. (a) Volumen de futuros (b) Volumen de Opciones (c) Crecimiento del volumen del 2008 con respecto Figura A-2 (a) Plazo máximo de vencimientos para contratos del 01/09/2009. (b) Volumen diario promedio transado el Figura A-3 Consumo de cereales (%) en dieta humana entre 1980 y 2003 para países desarrollados del G-7, según evolución del ingreso per cápita Figura A-4 Consumo de cereales en 1980 y 2003 en países desarrollados del G-7, según grano Figura A-5 Consumo de cereales (%) en dieta humana entre 1980 y 2003 para países emergentes de América, según evolución del ingreso per cápita Figura A-6 Consumo de cereales en 1980 y 2003 en países emergentes de América, según grano Figura A-7 Consumo de cereales (%) en dieta humana entre 1980 y 2003 para países emergentes de Asia, según evolución del ingreso per cápita Figura A-8 Consumo de cereales en 1980 y 2003 en países emergentes de Asia, según grano Figura A-9 Consumo de cereales (%) en dieta humana entre 1980 y 2003 para países emergentes de Europa, según evolución del ingreso per cápita Figura A-10 Consumo de cereales en 1980 y 2003 en países emergentes de Europa, según grano Figura A-11 Consumo de cereales (%) en dieta humana entre 1980 y 2003 para países emergentes de África, según evolución del ingreso per cápita Figura A-12 Consumo de cereales en 1980 y 2003 en países emergentes de África, según grano Figura A-13 Principales productores, exportadores e importadores de trigo en la temporada 2007/8, a nivel mundial viii

11 Figura A-14 Importancia relativa del consumo de maíz, según ingreso per cápita de los países, para los años 1993 y Figura A-15 Principales productores y exportadores mundiales de soya, en 2007/ Figura A-16 Importancia relativa del consumo de trigo, según ingreso per cápita de los países, para los años 1993 y Figura A-17 Principales productores y exportadores mundiales de soya, en 2007/ Figura A-18 Estructura de futuros de maíz para el 15/05/2009, mostrando en el modelo de 3 factores Intra-Commodity, la aproximación para los contratos en períodos de cosecha, eliminados del panel (contratos de septiembre) Figura A-19 Estructura de futuros de trigo para el 15/05/2009, mostrando en el modelo de 3 factores Intra-Commodity, la aproximación para los contratos en períodos de cosecha, eliminados del panel (contratos de julio) ix

12 RESUMEN El objetivo de esta investigación es proponer y estimar un modelo dinámico que, sólo a partir de la información de precios, permita explicar el comportamiento estocástico de los precios futuros de commodities agrícolas, los que al ser producidos sólo en ciertos períodos del año, presentan un comportamiento más complejo que el de otros commodities con patrón estacional. En particular, utilizando un enfoque multifactorial (Cortázar & Naranjo, 2006) y la metodología de la estimación conjunta propuesta por Cortázar, Milla & Severino (2008), el modelo intra-commodity propuesto considera que los precios son explicados por un conjunto de factores comunes a todos los contratos disponibles (es decir, independiente del período de oferta en que vencen), y otros factores que individualmente explican las diferencias de precios entre los contratos que vencen en distintos períodos de oferta. Usando el filtro de Kalman para estimar los parámetros, el modelo logra un buen ajuste cuando es aplicado a los precios futuros de maíz y trigo transados en Chicago Board of Trade (CBOT), en comparación con otros modelos desarrollados en la literatura. Palabras Claves: Modelo Intra-commodity, estructura de futuros, commodities agrícolas, estacionalidad, estimación conjunta, filtro de Kalman. x

13 ABSTRACT The main goal of this thesis is to propose and estimate a dynamic-model to explain the stochastic behavior of agricultural futures prices, only using prices. Since these commodities are produced only in some periods of the year (harvest periods), they exhibit a more complex behavior than other commodities with seasonal patterns. Based on the multifactor approach of Cortázar & Naranjo (2006) and the joint estimation methodology of Cortázar, Milla & Severino (2008), an intra-commodity model is proposed. This model considers that prices are explained by a set of factors which are common to all available contracts (i.e. regardless of the supply period or marketing crop year where the contract expires), plus some crop year specific factors. Using the Kalman filter to estimate parameters, this model achieves an improved fit when applied to both corn and wheat futures prices traded at Chicago Board of Trade (CBOT), compared with other models proposed in the literature. Keywords: Intra-commodity model, Term structure of agricultural commodities, seasonality, joint estimation, Kalman filter. xi

14 12 Capítulo 1. INTRODUCCIÓN La literatura enfocada en explicar el comportamiento estocástico de los precios futuros de commodities ha ido evolucionando a lo largo del tiempo, logrando desarrollar modelos de valorización cada vez más avanzados tomando en cuenta commodities con comportamientos más complejos. Los primeros modelos usaron sólo un factor estocástico siguiendo un proceso browniano geométrico, para modelar el precio spot (Black & Scholes, 1973; Brennan & Schwartz, 1985). La simplicidad de un modelo de este estilo puede ser útil para explicar commodities con comportamientos simples, como el oro. Sin embargo, estos modelos no logran explicar bien otros (como el petróleo o cobre), que sí entregan beneficios o dividendos a su tenedor, exhibiendo en sus precios reversión a la media (Bessembinder, Coughenour, Seguin, & Smoller, 1995). Teniendo en cuenta lo anterior, la literatura ha ido desarrollando modelos dinámicos, agregando en su especificación procesos de reversión o premios por riesgo variables, con un mayor número de factores estocásticos, ganando en flexibilidad y mejorando el ajuste ante estructuras de precios con diferentes comportamientos (Gibson & Schwartz, 1990; Schwartz, 1997; Schwartz & Smith, 2000; Cortázar & Schwartz, 2003; Casassus & Collin-Dufresne, 2005). Investigaciones posteriores han generalizado modelos con N factores estocásticos (Cortázar & Naranjo, 2006) y han desarrollado metodologías que permiten estimar los precios de un commodity utilizando la información de otro (Cortázar, Milla, & Severino, 2008). Ciertos estudios han centrado su aporte en la inclusión de una especificación de estacionalidad determinística en modelos de valorización, permitiendo explicar el comportamiento de los precios de commodities con este tipo de patrón (ya sea por tener restricciones en su almacenaje, ciclos periódicos en su demanda, etc.), pudiendo lograr un mejor ajuste en aquellos commodities con un patrón relativamente estable, como el

15 13 gas natural o la electricidad (Lucia & Schwartz, 2002; Manoliu & Tompaidis, 2002), y no así en aquellos que presentan un patrón mas variable, como el maíz o la soya (Sørensen, 2002; Richter & Sorensen, 2002). Sin embargo, la estacionalidad presente en los commodities agrícolas parece ser diferente a la de otros productos mencionados anteriormente, pues el patrón estacional de los productos agrícolas tiende a tener una mayor variabilidad por cambios inesperados en los precios (Koekebakker & Lien, 2004), y cuyo comportamiento está gobernado por las expectativas de la oferta de cada período. En este sentido, dicha incertidumbre es producto de una curva de oferta inelástica y vulnerable a posibles eventos naturales, como el clima y la humedad (Kaldor, 1939; Stevens, 1991; Malliaris & Urrutia, 1996), debido a que estos commodities no son producidos en forma continúa durante el tiempo (Scheinkman & Schechtman, 1983) y tienen un mayor costo de almacenaje (Fama & French, 1987). La literatura sobre commodities agrícolas indica que en períodos anteriores a la cosecha (es decir, períodos con bajos niveles de oferta) los precios son relativamente altos, mientras que en períodos con altos niveles de oferta los precios son relativamente bajos, por lo que la estacionalidad se refleja principalmente en cambios entre los precios de contratos anteriores y posteriores a las respectivas cosechas, a raíz de las expectativas para cada período de oferta o ciclo de cosecha 1 en particular, siendo regular el comportamiento al interior de cada período de oferta, y no así entre éstos. Por lo tanto, modelos tradicionales de estacionalidad, como los mencionados, no permiten explicar satisfactoriamente este comportamiento, ya que éstos especifican variaciones estacionales constantes en los precios. Los inventarios (o su escasez) tienen especial importancia para explicar la estacionalidad en productos agrícolas durante los diferentes períodos de oferta, de hecho la teoría del almacenaje (Kaldor, 1939; Working, 1948; 1949; Brennan, 1958; Telser, 1959) predice beneficios por mantener inventarios agrícolas, mientras que la hipótesis Kaldor-Working 1 Como en Dutt et. al. (1997), se define como el período entre la cosecha de un año y la siguiente.

16 14 postula que el retorno por conveniencia 2 depende inversamente del stock de inventario, produciendo un patrón estacional en el primero. En este sentido, Geman & Nguyen (2005) sí toman en cuenta las características especiales de este comportamiento estacional y su relación con la escasez, al proponer un modelo de precios futuros de soya, utilizando como base un enfoque tradicional de estacionalidad, usando observaciones tanto de precios como de stocks de inventario, entregando a través de éstas últimas un enfoque estocástico a la estacionalidad del modelo, logrando una mayor flexibilidad para ajustar el comportamiento de los precios. Sin embargo, la dificultad de disponer de esta información hace más complejo un modelo de estas características. El objetivo central de esta investigación es proponer y estimar un modelo dinámico que permita explicar los precios de commodities agrícolas, cuyo comportamiento es más complejo que otros commodities con patrón estacional. Basado en el modelo de Cortazar & Naranjo (2006), la metodología de estimación conjunta propuesta por Cortázar, et. al. (2008) y usando el filtro de Kalman para la estimación, se plantea un modelo que sólo a partir de la información entregada por los precios observados, logre explicar tanto el comportamiento regular de los precios de contratos que vencen al interior de un mismo período de oferta, como el comportamiento más complejo producto de las diferencias entre precios que pertenecen a diferentes períodos. Este documento se organiza de la siguiente manera. El capítulo 2 describe la literatura asociada, refiriéndose a modelos dinámicos de precios, especificaciones de estacionalidad, modelos desarrollados para mercados agrícolas y el filtro de Kalman. El capítulo 3 detalla las principales características del mercado agrícolas, mientras que el capítulo 4 comenta sobre la capacidad de los modelos existentes para poder describirlo en forma satisfactoria. Luego, el capítulo 5 plantea el modelo de precios propuesto y la metodología de estimación. El capítulo 6 muestra los resultados, y finalmente el capítulo 7 concluye. 2 Es decir, los beneficios netos del tenedor. Referido al retorno de conveniencia neto que puede ser definido como el flujo de servicios (neto) asociados al propietario del inventario físico y no al propietario del contrato para entrega futura (Brennan, 1991).

17 15 Capítulo 2. MARCO TEÓRICO Los commodities son un tipo especial de activos, pues sus precios 3 tienen una estrecha dependencia con las características y restricciones propias que inducen sus procesos físicos de producción, consumo, almacenamiento, distribución, etc. La dinámica de los precios de cada commodity, y por ende su modelación, debe estar influenciada por las características propias de cada commodity y sus procesos físicos. Entre estas características se encuentran, la capacidad de almacenamiento (algunos commodities, como los granos o metales, pueden ser almacenados por cierto tiempo, mientras que otros, como la electricidad no posee dicha capacidad), el costo de transporte, y la capacidad de producción (algunos commodities pueden producirse continuamente en el tiempo, como los metales o los productos energéticos, mientras otros sólo se producen en ciertas temporadas, como los productos agrícolas). Los commodities pueden ser divididos en diferentes grupos según sus particularidades y usos, como productos energéticos, metales, granos, materia prima ganadera, derivados sobre índices financieros, entre otros. A continuación, en este capítulo se realiza una revisión de la literatura. En primer lugar se describe tanto la evolución que han tenido los modelos de precios, como los avances de algunos para incluir el patrón estacional que algunos commodities presentan. Luego, se realiza una revisión de las investigaciones que han centrado específicamente sus aportes en el mercado de los commodities agrícolas. Por último, se detalla el uso de la metodología del filtro de Kalman en la estimación del modelo. 3 Los commodities son transados generalmente a través de contratos futuros, en que el productor o propietario físico se compromete a vender y la contraparte a comprar, en una fecha establecida (definida por el plazo de vencimiento o madurez), a un precio fijo determinado previamente. El precio spot es el precio del contrato futuro para entrega inmediata.

18 Modelos dinámicos para el comportamiento de precios de commodities Los modelos desarrollados para describir el comportamiento estocástico de los precios de commodities presentan básicamente dos enfoques: los modelos estacionarios y los no estacionarios. Los modelos del primer tipo se caracterizan porque las perturbaciones en los precios son transitorias, por lo que no tienen un efecto permanente en la dinámica de los precios, convergiendo el valor esperado del vector de estados en el largo plazo a un valor constante. Por otro lado, los modelos no estacionarios incorporan las perturbaciones en la dinámica de los precios, con lo que el valor esperado del vector de estados en el largo plazo no es constante, variando en forma permanente según las perturbaciones sufridas. A pesar de que los modelos no estacionarios son un subconjunto de los modelos estacionarios, los primeros son los que la literatura asociada más ha desarrollado. Uno de los primeros modelos usados para estudiar la dinámica de los precios fue Brennan & Schwartz (1985), donde se plantea un modelo no estacionario de sólo un factor estocástico, en que el precio spot sigue un proceso browniano geométrico, tal como se muestra en la ecuación (2-1), donde representa el precio spot, el retorno promedio esperado y la volatilidad de los retornos. Siguiendo la línea, en Gibson & Schwartz (1990) se propone un modelo no estacionario de dos factores, donde se incluye además del precio spot, un proceso estocástico con reversión a la media para el retorno de conveniencia. En este modelo además se plantea un premio por riesgo constante. En Schwartz (1997) se plantean modelos con uno, dos, y tres factores estocásticos, usando un enfoque de no-arbitraje. El proceso de un factor plantea un modelo estacionario de reversión a la media del tipo Ornstein-Uhlembeck para el logaritmo del (2-1)

19 17 precio spot. El modelo de dos factores incluye un proceso de reversión para el retorno de conveniencia y el modelo de tres factores agrega un proceso para la tasa de interés. La metodología del filtro de Kalman 4 (1960) es usada para la estimación de los parámetros de los tres modelos. Schwartz & Smith (2000) sugiere un modelo no estacionario de dos factores estocásticos para el logaritmo del precio spot, dependiendo del nivel de equilibrio del precio spot y perturbaciones del corto plazo. Intuitivamente, los autores postulan que movimientos en el precio de contratos futuros de largo plazo proveen información acerca del nivel de equilibrio de los precios, y la diferencia de precios entre los contratos de corto y largo plazo, proveen información sobre los cambios de corto plazo. El modelo planteado, antes de ser ajustado por riesgo, queda descrito por las siguientes ecuaciones: ln (2-2) (2-3) (2-4) Donde el primer factor ( ) representa el nivel de equilibrio del log-precio spot, el cual crece a una tasa esperada µ en el largo plazo, esperando que las variaciones de ésta sean cambios que persistan en el tiempo, mientras la segunda variable (χ representa las perturbaciones de corto plazo que se esperan que no persistan en el tiempo (esta última variable modelada con un proceso de reversión a media cero). Cortázar & Schwartz (2003) presenta un modelo no estacionario de dos y tres factores, proponiendo para su implementación una metodología simple de estimación, en forma alternativa a utilizar el filtro de Kalman, para poder ser usado en paneles incompletos de 4 Procedimiento explicado en Sección 2.4

20 18 datos. Sin embargo, esta metodología no permite un uso óptimo en la estimación de variables de estado, y está incapacitada de obtener estimaciones de las desviaciones de los parámetros (Cortázar & Naranjo, 2006). Basado en el enfoque de Dai & Singleton (2000), Casassus & Collin-Dufresne (2005) desarrollan un modelo estacionario con tres factores canónicos, es decir, que no poseen una explicación económica explicita, utilizando la mayor cantidad de parámetros que hacen que sea económicamente identificable. Cortázar & Naranjo (2006), siguiendo también a Dai & Singleton (2000), proponen una generalización a N-factores estocásticos de un modelo gaussiano no estacionario para explicar el comportamiento del precio de los contratos futuros de petróleo. Como metodología de estimación, Cortázar & Naranjo (2006) utiliza el filtro de Kalman, pero al contrario de los trabajos previos 5 que lo han implementado, los autores usan una modificación a su aplicación tradicional, de tal forma, de poder utilizar un panel incompleto de datos 6, presentando ventajas frente a otras alternativas que habían abordado este problema (Cortázar & Schwartz, 2003). El modelo propuesto para el logaritmo del precio spot del commodity, queda descrito por, ln (2-5) donde (2-6) 5 Esta metodología de estimación también había sido utilizada por Schwartz (1997), Schwartz & Smith (2000), Manoliu & Tompaidis (2002), Sorensen (2002), entre otros. 6 Sorensen (2002) y Cortázar, Schwartz, & Naranjo (2007) utilizan este procedimiento. El segundo, lo hace para estimar estructuras de tasas de interés en mercados emergentes, donde existen bajas frecuencias de transacciones.

21 y son matrices diagonales, cuyos elementos son constantes positivas. es un vector 1 de movimientos Browniano correlacionados, tal que, `(, donde cada elemento de es 1,1. La primera variable de estado sigue un proceso de caminata aleatoria, induciendo una raíz unitaria en el proceso del precio spot. El resto de las variables de estado 7 revierten a cero, a una tasa de velocidad promedio dada por. Acorde con la literatura de commodities, bajo el contexto de poder comparar este modelo con los modelos tradicionales, es cero exógenamente. A partir de la ecuación (2-6), el proceso ajustado por riesgo para este modelo, asumiendo un premio por riesgo constante (vector de 1, queda expresado por En vez de modelar la tasa de interés libre de riesgo y la tasa de conveniencia en forma independiente, los autores modelan el cost of carry (Schwartz & Smith, 2000), definido como la diferencia entre la tasa instantánea libre de riesgo y la tasa de conveniencia. Cortázar, Milla, & Severino (2008) proponen un modelo multi-commodity para explicar el comportamiento estocástico de precios futuros de más de un commodity, extendiendo el trabajo hecho por Cortázar & Naranjo (2006). De esta forma, el modelo permite aprovechar la información contenida en los precios futuros de mayor madurez de uno de los commodities, para estimar los precios futuros del otro (el cual posee contratos con menor madurez). El modelo multi-commodity considera que los precios de los commodities poseen factores comunes, que permiten explicar la correlación entre éstos, además de ciertos (2-7) 7 Bajo el paradigma del proceso no ajustado por riesgo.

22 20 factores específicos o independientes a cada commodity. Adicionalmente, el modelo es desarrollado con la flexibilidad para incorporar estacionalidad, utilizando el enfoque planteado por Manoliu & Tompaidis (2002) 8. Utilizando el filtro de Kalman como metodología de estimación, Cortázar, Milla, & Severino (2008) implementa dos modelos: uno para estimar conjuntamente el petróleo WTI y el petróleo Brent, y otro para estimar el petróleo WTI con la gasolina sin plomo. 2.2 Estacionalidad en los modelos de precios Lucia & Schwartz (2002) examina la importancia de patrones regulares en el comportamiento de los precios de electricidad, utilizando precios spot, contratos futuros y forward. Extendiendo el modelo de corto/largo plazo de Schwartz & Smith (2000), desarrollan modelos de uno y dos factores, incorporando la estacionalidad a través de funciones determinísticas, concluyendo que el sistemático patrón estacional es importante para la explicación de la forma que tienen las estructuras de futuros 9. Lucia & Schwartz (2002) desarrolla una serie de modelos para el precio spot (y para el logaritmo del precio), en torno a dos componentes: el primero, totalmente predictible, es determinístico; y el segundo, es estocástico siguiendo un determinado proceso continuo en el tiempo. En general, los modelos presentan la siguiente forma para la determinación del precio: (2-8) 8 Modelo explicado en Sección El patrón estacional es importante en la electricidad, debido a sus características muy particulares, pues posee una capacidad muy limitada tanto para el almacenaje y como para el transporte. Esta imposibilidad para transportar electricidad a través del tiempo y el espacio, afecta el comportamiento de los precios, debido a los cambios de la demanda en el tiempo.

23 21 Donde es el precio spot (o logaritmo del precio), es el componente determinístico e es el componente estocástico, que representa una suma de variables (en este caso, se presentan casos de una y dos variables) 10. De esta forma, puede presentar cualquier función determinística que sea adecuada para explicar el comportamiento particular de un commodity, siendo por ejemplo una función lineal en el tiempo, u alguna otra que incorpore un comportamiento periódico, como la estacionalidad. En este último caso, a través de funciones sinusoidales (Pilipovic, 1998) o funciones de salto periódico usando variables dummy 11 (Manoliu & Tompaidis, 2002). Finalmente, Lucia & Schwartz (2002) propone dos versiones para la función. La primera es una función lineal con variables dummy, y la segunda es una función que incorpora una forma sinusoidal 12. Manoliu & Tompaidis (2002) utiliza un factor determinístico para modelar la estacionalidad presente en la estructura de precios futuros del gas natural, utilizando la metodología del filtro de Kalman. El modelo es planteado para modelar el logaritmo del precio spot del commodity, a través de 1 variables de estado latentes, donde n factores son estocásticos y uno determinístico. (2-9) 10 En el caso del modelo basado en el logaritmo del precio spot, con dos factores estocásticos y, los procesos serían: ln 11 El enfoque de usar variables dummy puede ser ventajoso por ser fácil para interpretar y por ser un método intuitivo y flexible en comparación con otras metodologías, sin embargo, por el hecho de adecuarse directamente a las observaciones, puede adquirir con mayor facilidad las posibles anomalías presentes en el panel de datos

24 22 Se supone que cada variable de estado sigue un proceso estocástico definido bajo una martingala por la ecuación diferencial estocástica: (2-10) Con ;, 1,...,. Y con,, funciones determinística que generan un proceso Ornstein-Uhlenbeck de reversión a la media, donde es la tasa de reversión y define el nivel de reversión. La estacionalidad presente en la estructura de futuros del commodity queda asociada a la variable de estado, definida como una función determinística del tiempo, cuando los parámetros y son cero, junto con especificar una forma funcional apropiada para 13. El número de factores totales en el modelo especificado es 1, con variables de estados de componentes estocásticos (,,..., ), y una variable de estado que representa el componente estacional 14 (, bajo el supuesto que es un factor determinístico con periodicidad anual. El precio futuro del commodity, definido como bajo la medida neutral al riesgo y derivado de las ecuaciones (2-9) y (2-10), es expresado como función de variables de estados y el componente estacional 15, por Donde,,, (2-11) 13 En estricto rigor, Manoliu & Tompaidis (2002) no utiliza un valor o una forma funcional para, sino que de su especificación finalmente utilizada se puede derivar que dicho parámetro es cero. 14 Esto es derivado fácilmente de la ecuación (2-11), donde se explicita el valor de,. 15 Expresado como exp

25 23, En la estimación, el modelo supone que es una función de salto periódica con, donde el tiempo pertenece al mes de expiración del contrato. Es decir, se asigna un factor para cada mes, el cual es normalizado de tal forma que, 1. Este enfoque ha sido utilizado por investigaciones posteriores, para incorporar la estacionalidad de los commodities a sus modelos (Cortázar, Milla, & Severino, 2008). El comportamiento estocástico del precio de los commodities agrícolas es investigado por Sørensen (2002), usando las observaciones de las estructuras de precios futuros de commodities agrícolas, como el maíz, el trigo y la soya. La dinámica de los precios es modelada a través de la suma de un componente estacional determinístico, una variable de estado no-estacionaria y otra estacionaria. Basado en el enfoque de no-arbitraje (Schwartz, 1997), el modelo sin el componente estacional determinístico es básicamente el mismo que se propone en Schwartz & Smith (2000). El logaritmo del precio spot es modelado de la siguiente forma: ln Donde, es el componente estacional propuesto por la siguiente forma 16 : cos2 sin2 Donde el proceso que siguen las variables son: (2-12) (2-13) 16 La forma específica del componente estacional fue propuesto por Hannan, Terrell y Tuckwell (1970) como una alternativa al método de variables dummy estándar para modelar estacionalidad.

26 (2-14) La idea básica es que captura el movimiento de precios determinado por la temporada estacional, mientras que captura el cambio de precio permanente debido a cambios permanentes de la oferta y demanda, y captura el cambio de precio temporal debido a cambios temporales en la oferta y demanda. Bajo la medida de una martingala 17, denotado por, el precio futuro en el tiempo, del contrato que vence en (Cox, Ingersoll, & Ross, 1981), queda descrito por: Donde, (2-15) Basado en investigaciones que sugieren que el retorno de conveniencia y la volatilidad del precio spot de los commodities agrícolas varían estacionalmente, a raíz de las cosechas y la relación demanda/oferta agregada (ver sección 2.3), Richter & Sørensen (2002) establecen funciones determinísticas en los procesos estocásticos que explican la volatilidad del precio spot y el retorno de conveniencia, incluyendo el factor estacional que se sugiere. Las ecuaciones (2-16) describen los procesos (bajo las expectativas reales) que siguen estas variables. 17 Es decir, ajustando por riesgo los procesos descritos en las ecuaciones (2-14).

27 25 (2-16) Donde es el precio spot, el retorno de conveniencia, la volatilidad del precio, y el premio por riesgo constante asociado al precio spot (lo mismo para, ). Mientras que y, son las funciones determinísticas que agregan la estacionalidad a los procesos, y siguen la misma forma funcional que el respectivo parámetro en Sørensen (2002). Geman & Nguyen (2005) modela los precios futuros de la soya, incluyendo en su modelo dos enfoques para la estacionalidad, utilizando por un lado, funciones determinísticas para el componente estacional del precio spot y para la volatilidad (basándose en Richter & Sørensen, 2002), pero además incluyendo un nuevo enfoque: la inclusión de observaciones de escasez de inventario, que utiliza para el proceso estocástico que sigue la misma volatilidad (modelo presentado con mayor detalle en Anexo A). Un enfoque totalmente diferente, a todos los modelos de precios descrito anteriormente es el sugerido por Borovkova & Geman (2006), donde se propone modelar los precios de commodities con patrones estacionales, modelando el promedio de la curva forward para una fecha dada Literatura asociada al mercado de commodities agrícolas Una de las características del mercado de contratos futuros (y también mercado spot) de commodities agrícolas es la alta volatilidad que tienen sus precios (Deaton & Laroque, 1992), donde es conocido que los precios spot pueden tener variaciones inesperadas, 18 Es decir, el promedio de los precios futuros de todos los contratos disponibles a la fecha.

28 26 explicadas por una curva de oferta mucho menos elástica y vulnerable a frecuentes e inesperados cambios, como el clima (Stevens, 1991; Malliaris & Urrutia, 1996). En otras palabras, es imposible predecir el tamaño de la cosecha del próximo período (los nuevos niveles de inventario u oferta) y por ende, es difícil saber cuándo el precio debiera revertir a precios normales o la media (Kaldor, 1939). Adicionalmente, el costo para almacenar productos agrícolas es mayor que el de otros commodities, como por ejemplo los metales (Fama & French, 1987), sumado al hecho de que este tipo de commodities no tiene una producción continua a lo largo del año (Scheinkman & Schechtman, 1983). Los patrones observados en la literatura sobre los commodities agrícolas (en particular, los granos) indican que los períodos anteriores a la cosecha (es decir, períodos con bajos niveles de oferta) son también períodos con precios relativamente altos, mientras que períodos con altos niveles de oferta (inmediatamente después de la cosecha) son períodos con precios relativamente bajos, consistente con el razonamiento de que, la demanda es igual a la oferta (Sørensen, 2002). De lo anterior, se puede inferir que el período estacional (temporada) de estos commodities ocurre entre cada cosecha (Dutt, Fenton, Smith, & Wang, 1997). En el período previo a la cosecha (bajos niveles de inventario), con el precio spot llegando a un máximo local, el mantener una unidad adicional de inventario debe experimentar mayores retornos por conveniencia. Durante la cosecha, la paulatina llegada de nuevos inventarios hace que el precio spot tenga una tendencia decreciente. Después del período de cosecha (altos niveles de inventario), se tienen menores retornos por conveniencia, y el componente estacional sugiere que el precio spot tiende a subir a medida que se acerca el nuevo período de cosecha. Esto es consistente con que el mantener inventario debe ser compensado por todos los costos asociados, con un aumento en el retorno esperado, a través de un mayor precio spot. Tanto Kaldor (1939)

29 27 como Working (1948, 1949) esperaban que el retorno de conveniencia dependiera inversamente del stock de inventario del commodity 19. A raíz de que commodities agrícolas presentan un patrón estacional (existe evidencia para el maíz, la soya y el trigo), la teoría del almacenaje (Kaldor, 1939; Working, 1948; 1949; Brennan, 1958; Telser, 1959), combinado con la hipótesis Kaldor-Working, predice que el retorno de conveniencia sigue un patrón estacional 20. Con respecto a esto último, existe evidencia empírica que muestra que el retorno de conveniencia varía estacionalmente para muchos productos animales y agrícolas, y no tanto para los metales (Fama & French, 1987). Siguiendo el enfoque anterior, algunos trabajos establecen en el proceso estocástico que explica el comportamiento del retorno de conveniencia y la volatilidad del precio spot, un componente estacional (Richter & Sorensen, 2002). La literatura también ha sugerido que existe una fuerte relación económica entre los diferentes commodities agrícolas, ya sea por ser complementarios y/o sustitutos, produciendo una cierta dependencia en el movimiento de sus precios (Malliaris & Urrutia, 1996). Por ejemplo, si el precio del maíz sube, es posible sustituirlo por harina de soya para la alimentación de ganado; por otro lado, si el precio del aceite de soya sube, y por ende, se aumenta la producción, podría provocarse una disminución en el precio de la harina de soya por un exceso de oferta, ya que ésta se obtiene del mismo proceso que el aceite de soya (complementariedad). Koekebakker & Lien (2004) en su trabajo para la valorización de opciones de commodities agrícolas, se basa en la evidencia que sugiere que los movimientos de los precios de futuros agrícolas tienen una distribución fat-tailed y exhiben sorpresivos e inesperados saltos de precios, por lo que especifica que el precio de los futuros sigue un proceso donde se incorpora un porcentaje aleatorio de salto condicional a un evento 19 Brennan (1991) llama a esta relación negativa entre inventario y retorno de conveniencia como la hipótesis Kaldor-Working. 20 Ya que los inventarios (oferta) de los commodities agrícolas varían con la temporada, por lo tanto, una hipótesis es suponer que los retornos de conveniencia varían acorde con la teoría del almacenaje. (Fama & French, 1987)

30 28 distribuido Poisson. Dichos saltos son independientes del tiempo de madurez, lo que significa que si un salto ocurre, un cambio paralelo en la estructura de futuro va a emerger. Si se consideran contratos futuros con madureces de varios años, el supuesto de que el retorno de todos los contratos se mueven en igual magnitud no es adecuado. Si por ejemplo, una cosecha fuese destruida por un mal clima, entonces lo precios futuros más cercanos aumentan debido a una variación negativa en la oferta. Pero los futuros de más largo plazo van a depender de las cosechas futuras, y por lo tanto, la intuición sugiere que los contratos más largos saltarían menos, comparados con los contratos cortos. Según Koekebakker & Lien (2004), este comportamiento puede ser incorporado en el modelo haciendo que la amplitud del salto sea una función determinística que dependa del tiempo 21. Geman & Nguyen (2005) 22 muestra que el inventario juega un rol importante en la explicación de la volatilidad del precio y en la estructura de futuros de la soya 23. Basándose en que la volatilidad del precio es una función decreciente del inventario (Fama & French, 1987; Wright & Williams, 1989; William & Wright, 1991; Deaton & Laroque, 1992), muestran empíricamente que dicha volatilidad es una función lineal de la escasez. Luego, desarrollan un modelo que contiene un factor estacional determinístico con dos variables de estado (un componente estocástico del precio spot, y la media a la que ésta revierte en el corto plazo), mostrando que al agregar la nueva variable de estado observable, que representa la escasez de inventario, el modelo logra un mejor ajuste. Al igual que Richter & Sørensen (2002), hacen notar que la soya posee 21 Esta extensión es ignorada por los autores, debido a que la madurez de los contratos futuros analizados nunca exceden el tiempo de un año. 22 Ver Anexo A para un mayor detalle de la especificación del modelo señalado. 23 Los mayores productores de soya son: Estados Unidos, Brasil y Argentina. Por mucho tiempo EE.UU. fue el líder, pero desde la década del 90, Argentina y Brasil han doblado su producción.

31 29 un patrón de estacionalidad, presentando dos máximos y mínimos locales 24, pero argumentando que el impacto de la cosecha norteamericana es más importante que la sudamericana, Geman & Nguyen (2005) modelan la estacionalidad en los precios y la volatilidad de la soya, con funciones determinísticas. 2.4 Metodología de estimación: El filtro de Kalman Para la estimación de un modelo dinámico se necesita determinar tanto los parámetros que lo controlan, como las variables de estado asociadas. El filtro de Kalman (1960), idea originalmente planteada para controlar procesos de ingeniería y automatización, permite estimar parámetros y variables de estado en forma simultánea, usando la información observada tanto en la fecha que se quiere estimar, como en fechas anteriores, permitiendo un cierto grado de error. Para estimar los parámetros del modelo, el filtro de Kalman calcula la distribución de las innovaciones del proceso 25, lo que permite obtener la función de máxima verosimilitud, que al ser maximizado permite encontrar estimadores consistentes para los parámetros. En su planteamiento original, el filtro de Kalman requiere la utilización de paneles completos de datos, sin embargo, ciertas investigaciones han mostrado que este requerimiento puede ser relajado, obteniendo buenos resultados para modelos de commodities y tasas de interés. (Sørensen, 2002; Cortázar & Naranjo, 2006; Cortázar, Milla, & Severino, 2008). La aplicación del filtro de Kalman para modelos dinámicos multifactoriales es definida en el espacio de estados, a través de ecuaciones de medida, transición y predicción. Para cada instante del tiempo, la ecuación de medida (descrita por la ecuación (2-17)) relaciona un vector de variables observables con un vector de variables no observables llamadas variables de estado. 24 Explicado por las cosechas en Estados Unidos y en Sudamérica. El máximo global es alcanzado en Julio (dos meses antes de la cosecha estadounidense), mientras que el mínimo global es alcanzado al final de la cosecha en EE.UU. El mínimo local es alcanzado en abril, al finalizar la cosecha en Sudamérica. 25 Es decir, los cambios que se producen en la curva generada por el filtro entre y.

32 30 ~0, (2-17) Donde el vector es de dimensión 1. es una matriz de. es un vector de 1 y es un vector de residuos gaussianos no correlacionados entre sí, con media cero y matriz de varianza-covarianza, que representa los errores de medición de distribución normal que se supone el planteamiento del filtro. La dinámica de las variables de estado queda descrita por la ecuación de transición ~0, (2-18) La ecuación (2-18) describe una relación lineal, donde es una matriz de, es un vector 1, mientras que y son similar al vector y la matriz de la ecuación (2-17), respectivamente. El filtro de Kalman es un método iterativo que entrega estimadores óptimos para las variables de estado, dada la información existente hasta el tiempo. Lo anterior a través de la minimización del error cuadrático de estimación, definido por (2-19) Con la información conocida hasta el instante t. es decir conocidos y, es posible estimar sus valores en un período, a través de las ecuaciones de predicción, dadas por (2-20) Las ecuaciones (2-20), representan la etapa de predicción del filtro. Con estos estimadores, es posible hacer una predicción de las variables observables para el período, utilizando la ecuación de medida (2-17), bajo la información presente en t.

33 31 (2-21) Por otro lado, al conocerse nueva información respecto a las observaciones, ésta se incorpora en el cálculo de mejores estimaciones de las variables de estado y la matriz de varianza-covarianza de los errores de estimación. Con (2-22), que muestra la varianza de la predicción de las innovaciones. Las ecuaciones (2-22) corresponden al cálculo de la esperanza condicional de las variables de estado dada la información entregada por las observaciones... y la nueva información actualizada por, que se denomina etapa de actualización (Harvey, 1989). Para la utilización del filtro con paneles incompletos de datos, la dimensión de las filas de los vectores,, y, y de las matrices y, que en su forma tradicional es constante, pasa a ser ahora una variable de la forma, correspondiendo al número de observaciones presentes en cada instante del panel de datos. La estimación de los parámetros Ψ, es realizado mediante el método de máxima verosimilitud, que consiste en la maximización del logaritmo de la función de verosimilitud de las innovaciones dadas por 26, ln Ψ 1 2 ln 1 2 (2-23) 26 Bajo algunas condiciones de regularidad, se tiene que Ψ distribuye asintóticamente con media Ψ y matriz de varianza Ψ, cuya diagonal contiene las varianzas de los errores de estimación de cada parámetro.