Sustento numérico del Software Superdecisions en el análisis multicriterio del tipo AHP/ANP

Transcripción

1 Sustento numérico del Software Superdecisions en el análisis multicriterio del tipo AHP/ANP Agosto 2014

2 1. Introducción Estructura de un problema de multicriterio en jerarquías Escala de criterios y sustento matemático Determinación de la consistencia Bibliografía... 6

3 1. Introducción Problema de Decisión multicriterio Se entiende por Decisión Multicriterio, al conjunto de aproximaciones, métodos, modelos, técnicas y herramientas, dirigidas a mejorar la calidad integral de los procesos de decisión; basándose en la ponderación y compensación de variables que van a influir de manera positiva (aptitud) o negativa (Impacto) sobre la actividad objeto de decisión. Estas técnicas son especialmente utilizadas para tomar decisiones frente a problemas que cobijan aspectos intangibles a evaluar. Su principio se sustenta matemáticamente en la teoría de matrices, teoría de grafos, teoría de las organizaciones, teoría de la medida, teoría de decisiones colectivas, investigación de operaciones y de economía. Como una resultante, es que no consideran la posibilidad de encontrar una solución óptima, dado que es función de las preferencias del agente decisor y de objetivos predefinidos. La Decisión multicriterio puede ser de Decisión Multiobjetivo (cuando las funciones objetivos toman un número infinito de valores distintos, que conducen a un número infinito de alternativas posibles), o bien de Decisión multicriterio Discreta (que son aquellos problemas en los que las alternativas de Decisión son finitas). Este último caso será el que nos competirá. La metodología que se revisará es la del Proceso Analítico Jerárquico (AHP/ANP en su forma general del AHP), desarrollada por T. L. Saaty (1980), que combina aspectos tangibles e intangibles para obtener, en una escala de razón, las prioridades asociadas con las alternativas del problema. Las características principales de esta técnica consisten en la modelización del problema mediante una estructura jerárquica y la utilización de comparaciones pareadas (criterio a criterio; subcriterio a subcriterio; y alternativas a alternativas) para incorporar las preferencias del decisor; siendo esta conjugación verificada a través de la consistencia de los juicios de valor con tal de aportar mayor seguridad en la toma de decisión. De manera muy sucinta, la metodología es basada en tres etapas, modelización, valoración y priorización. 2. Estructura de un problema de multicriterio en jerarquías A continuación se presentan las fases para construir el modelo AHP: Adaptado de Ho, W., Dey & Higson (2006) 1

4 De manera general se muestra el esquema básico y representativo de las componentes de una red estándar de AHP: Los criterios pueden venir acompañados cada uno de ellos de subcriterios, por lo que se forma otra jerarquía descendente. En el último nivel de la jerarquía se sitúan las alternativas, que son el conjunto de posibles opciones definidas sobre las que la unidad decisora realiza una decisión 3. Escala de criterios y sustento matemático El objeto es construir un vector de prioridades o pesos que evalúen la importancia relativa que la unidad decisora otorga a cada criterio. Como paso previo a la resolución del problema de asignación de pesos, se deberá definir la correspondencia entre la valoración cualitativa del decisor y la asignación numérica. Valores de par comparado i/j Tabla 1 Escala fundamental para comparaciones pareadas (Saaty, 1997) Interpretación 1 El criterio i y el criterio j son igualmente importantes 3 El criterio i es ligeramente más importante que el j 5 El criterio i es fuertemente más importante que el j 7 El criterio i es muy fuertemente más importante que el j 9 El criterio i es absolutamente más importante que el j 2, 4, 6 y 8 Valores intermedios entre dos juicios adyacentes, se usa como valores de consenso entre dos juicios Recíprocos lo anterior de Si el criterio i es de importancia grande frente al criterio j, las notaciones serían las siguientes: Criterio i frente a criterio j, ejemplo, 5/1; esto implica que el criterio j frente al criterio i es 1/5 El decisor establecerá una matriz de comparaciones pareadas en donde refleje de forma simple cuales son los elementos dominantes y los dominados, con tal de determinar los pesos relativos. Los números de la escala representan la proporción en la que uno de los elementos que participa en la comparación pareada domina al otro, empleando el axioma 1, que más adelante se menciona; esto es, el elemento menor tiene el valor recíproco o inverso respecto al mayor; por ejemplo, si x es el número de veces que un elemento domina a otro, entonces este último es x -1 veces dominado por el primero, de tal modo que, x -1. x=x. x -1. La matriz A de comparaciones pareadas es del tipo cuadrada nxn, y en donde a ij expresa la preferencia en valor numérico del elemento de la fila i cuando se compara con el elemento de la columna j, para i=1,2,, n y j=1,2,, n. Si i=j, el valor a ij =1. 2

5 A= [ ] Los principales axiomas algebraicos y de la teoría de conjunto en los que se basa la teoría del AHP son: 1. Reciprocidad: se refiere a la condición de los juicios recíprocos, a ij =1/ a ji. A= [ ] 2. Homogeneidad: los elementos que se comparan son del mismo orden, magnitud o nivel jerárquico. 3. Dependencia. Existe dependencia jerárquica entre los elementos de dos niveles consecutivos. 4. Consistencia. Si la matriz de comparaciones pareadas es perfectamente consistente, entonces se cumple que, a ij = a ik / a jk, para i, j y k= 1, 2, 3,, n. El número de comparaciones a realizar esta determinada por la siguiente fórmula: [ ] Donde n es el número de filas o columnas, se trata de una matriz cuadrada. Para la obtención de las prioridades a partir de la matriz de comparaciones A y usando un método de aproximación, se tendrá como primer paso generar la matriz normalizada A n, que consistirá en sumar los valores de cada columna y dividir cada casilla de la columna por la sumatoria de ésta. Col 1 Col 2 Col n [ ] [ ] Col 1 Col 2 Col n [ ] Después de obtener la matriz normalizada, se obtiene la prioridad o los pesos relativos de cada uno de los elementos comparados [ ] [ ] 3

6 Donde m es el número total de elementos comparados. A este último vector obtenido se le llama, vector de prioridades. En el caso de jerarquías en las que hay criterios y subcriterios, las prioridades de los criterios se determinan en función del objetivo y tienen los valores más grandes. Posteriormente se realizaran las matrices de comparaciones de los subcriterios que están relacionadas con un determinado criterio. Obtendremos las prioridades relativas de cada subcriterio y para determinar cómo afectan al objetivo se multiplicará la prioridad de cada subcriterio por la prioridad del criterio correspondiente. Para determinar la prioridad de cada una de las alternativas, se deberán hacer tantas matrices de comparación como subcriterios se tengan además de los criterios, en el caso de que estos no estén desglosados en subcriterios. Después se obtendrá la prioridad relativa de cada alternativa respecto al criterio/subcriterio correspondiente. Se obtendrá la prioridad general de cada alternativa respecto al criterio/subcriterio correspondiente, multiplicando la prioridad relativa por la prioridad general del criterio/subcriterio con el que se compara. Finalmente, se suman todas las prioridades de cada alternativa y obtenemos la prioridad de cada una de ellas respecto al objetivo. 4. Determinación de la consistencia Una vez que se han determinado las prioridades de los elementos, se debe tener la seguridad de que los resultados obtenidos son válidos para tomar decisiones. Estos resultados derivan de los juicios de valor emitiditos en las comparaciones, los cuales pueden ser consistentes o no. Hay que tener en cuenta que la consistencia perfecta es muy difícil de obtener y es de esperar cierto grado de inconsistencia al establecer las comparaciones. En una matriz que sea totalmente consistente se debe cumplir que a ij =a ik /a jk para i, j y k=1, 2, 3,, n. Esta propiedad requiere que todas las columnas de una matriz sean dependientes. Las columnas en cualquier matriz de comparación 2x2 son totalmente dependientes, por lo que siempre son consistentes. Para el resto de matrices nxn es muy probable que haya un cierto grado de inconsistencia. El proceso analítico jerárquico permite medir la inconsistencia de los juicios a través de la proporción o razón de inconsistencia. Para matrices de 3x3 el valor de la proporción de consistencia no debe superar el 5%; caso de matrices de 4x4, no superará el 9%, y para el resto de matrices será del 10% menor. Cuanto más cerca estemos de los valores anteriormente mencionados, más consistentes serán los juicios establecidos en las comparaciones pareadas. Si superamos estos valores, quiere decir que los juicios son inconsistentes y aleatorios, por lo que se debe repasar y corregir. La proporción de consistencia o razón de consistencia, se define como el cociente entre el índice de consistencia real de la matriz estudiada y el índice de consistencia aleatorio. Donde IC es el Índice de Consistencia; y el IA es el Índice de Consistencia Aleatorio. El Índice de Consistencia de la matriz de estudio (IC) 4

7 Cuando la matriz A es totalmente consistente, el valor de la suma normalizada de cada una de sus filas y el valor de la suma de los elementos de cada una de las columnas, son recíprocos. Al multiplicarlos se obtiene la unidad. Col 1 Col 2 Col n [ ] Col 1 Col 1v Col 1 Col 1 x { }=1 Col 2 x { }=1 Col n x { }=1 Si obtenemos la matriz normalizada de A (matriz A N ), siendo ésta totalmente consistente, observamos que todas las columnas son iguales. Por tanto el valor de cada elemento de la columna es igual a la suma normalizada de su fila correspondiente. Col 1 Col 2 Col n [ ] Al igual que pasaba con la matriz antes de ser normalizada, la suma normalizada de cada una de sus filas y la suma de los elementos de cada una de sus columnas, son recíprocos. Si sumamos los resultados obtenidos al multiplicar el sumatorio de cada columna por su fila normalizada, obtenemos el valor n, igual al orden de la matriz, es decir, igual al número de elementos comparados en la matriz. Este valor es conocido como máx. Col 1 x { } = 1 Col 2 x { } = 1 m= máx Col n x { } = 1 Cuando la matriz no es consistente, máx es mayor a m y cuando más se aleje del valor m, mayor será el valor obtenido en el Índice de Consistencia. Donde m, es el número total de elementos comparados. Índice de Consistencia Aleatorio (IA) El índice de consistencia Aleatorio, es el índice de consistencia de una matriz de comparaciones pareadas mxn, en la que se han realizado las comparaciones de forma aleatoria. El valor del índice varía según el número de elementos que se comparan. 5

8 Según Toskano, H. (2005), otra forma de determinar la Consistencia Aleatoria es mediante la siguiente expresión: Determinación de la razón de Consistencia (RC) Una vez que se obtiene el Índice de consistencia IC y el índice Aleatorio de Consistencia IA, se puede calcular la razón de consistencia CR. Los resultados obtenidos oscila alrededor de CR 0.10 o CR>0.10. En caso de obtener un resultado mayor que 0.10, significa que los juicios establecidos en la matriz de comparaciones pareadas son inconsistentes, por lo que las prioridades obtenidas no son válidas para tomar una decisión y el decisor o grupo de decisores debe reconsiderar los juicios establecidos. Si los valores de CR son iguales o menores a 0.10, se considera que la consistencia de las comparaciones es aceptable, por lo que las prioridades obtenidas son válidas y justificadas, para tomar una decisión. 5. Bibliografía Lee, Younghwa y Kozar, Kenneth A. Investigating the Effect of website quality on e-business success: An analytic hierarchy process (AHP) approach. Decision Support Systems, No. 42, pp , Mustafa, Mohammad, A. Project Risk Assessment Using the Analytic Hierarchy Process. IEEE Transactions on Engineering Management. Vol. 38, No.1, 1991 Saaty, Thomas L. How to make a decision: The Analytic Hierarchy Process. European Journal of Operational Research, North-Holland. No. 48, pp. 9-26, Toskano, Hurtado Gérard. El Proceso de Análisis Jerárquico (AHP) como herramienta para la toma de decisiones en la selección de proveedores. Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Lima, Perú Wind, Yoram y Saaty, Thomas L. Marketing Applications of the Analytic Hierarchi Process. Management Science, Vol. 26, No. 7. Pp ,