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1 PROGRAMACIÓNLINEAL 1.0septiembre1995 UnaempresadeautomóvilestienedosplantasPyQdemontajedevehículosenlasqueproducetresmodelosA,ByC.Dela plantapsalensemanalmente10unidadesdelmodeloa,30delby15delc,ydelaq,20unidadesdelmodeloa,20delby70del Ccadasemana.Lafirmanecesita,almenos800unidadesdelA,1600deBy1800deC.Sielgastodemantenimientodecada plantaesde6millonesdepesetassemanales, cuántassemanashadefuncionarcadaplantaparaqueelcostedeproducciónsea mínimo? 2.0junio1996 a)enunejerciciodeprogramaciónlinealcondosvariables. Cómohadeserlaregiónfactibleparaquealcancenecesariamente, enalgúnpuntodeterminadodelamisma,elvaloróptimodelafunciónobjetivo? b)enlaregióndeterminadapor,, e. Hallarlascoordenadasdelospuntosenlosquelafunción alcanzasuvalormáximoymínimo. 3.0septiembre1996 Unaempresafabricadostiposdecolonia:AyB.La1ªcontieneun15%deextractodejazmín,un20%dealcoholyelrestoesagua yla2ªllevaun30%deextractodejazmín,un15%dealcoholyelrestodeagua.diariamentesedisponede60litrosdeextractode jazmíny50litrosdealcohol.cadadíasepuedenproducircomomáximo150litrosdelacoloniab.elpreciodeventaporlitrodela coloniaaes500ptasyeldelab2000ptas.hallarloslitrosdecadatipoquedebenproducirsediariamenteparaqueelbeneficio seamáximo. 4.0junio1997 SeauntriángulodetresvérticesA(1,a),B(5,b)yC(3,c).Sesabequelascoordenadasdesustresvérticessuman9,quela ordenadabeslamediaaritméticadelasotrasdosyquebycsonnúmerosnaturalesconsecutivos,siendoc>b. a)calculara,byc. b)sieltriánguloanteriorrepresentaparaa=1,b=2yc=6lafronteradelaregiónfactiblecorrespondienteaunproblemade programación lineal con función objetivo, determinar razonadamente los puntos en los que dicha función alcanzasuvalormáximo. 5.0septiembre1997 Unhipermercadonecesitacomomínimo16cajasdelangostinos,5cajasdenécorasy20depercebes.DosmayoristasAyB,se ofrecen al hipermercado para satisfacer sus necesidades, pero solo venden dicho marisco en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de langostinos, 1 de nécoras y 2 de percebes. Por su parte, B envía en cada contenedor 2, 1 y 7 cajas respectivamente. Cada contenedor que suministra A cuesta pesetas, mientras que los del mayorista B cuestan pesetas cada uno. Cuántos contenedores debe pedir el supermercado para satisfacer sus necesidadesmínimasconelmenorcosteposible? 6.0septiembre1998 Unaagenciadeviajesvendepaquetesturísticosparaacudiralafinaldeuncampeonatodefútbol.Laagenciaestáconsiderando ofrecerdostiposdeviajes.el1ºdeellos(a)incluyedesplazamientoenautocarparadospersonas,unanochedealojamientoen habitacióndobleycuatrocomidas.el2º,(b)incluyedesplazamientoenautocarparaunapersona,unanochedealojamientoen habitacióntambiéndobleydoscomidas. ElpreciodeventadelpaqueteAesde15000pesetasyeldelpaqueteBesde9000pesetas.Laagenciatienecontratadasun máximode30plazasdeautobús,20habitacionesdoblesy56comidas.elnúmerodepaquetesdeltipobnodebesuperarlosdel tipoa.laempresadeseamaximizarsusingresos.sepide: a)expresarlafunciónobjetivo. b)escribir,medianteinecuaciones,lasrestriccionesdelproblemayrepresentargráficamenteelrecintodefinido. c)determinarcuántospaquetesdecadatipodebevenderlaagenciaparamaximizarsusingresos.calculardichosingresos. 7.0junio1999 LosalumnosdeuninstitutopretendenvenderdostiposdelotesAyBparasufragarselosgastosdelviajedeestudios.Cadalote de tipo A consta de una caja de mantecados y cinco participaciones de lotería; cada lote de tipo B consta de dos cajas de mantecadosydosparticipacionesdelotería.porcadalotedeltipoavendido,losalumnosobtienenunbeneficiode1225pesetas yporcadalotedeltipobde1250pesetas. Por razones de almacenamiento disponen, a lo sumo de 400 cajas de mantecados. Los alumnos solo cuentan con 1200 participacionesdeloteríaydeseanmaximizarsusbeneficios. a)determíneselafunciónobjetivoyexprésensemedianteinecuacioneslasrestriccionesdelproblema MADRID

2 b) Cuántasunidadesdecadatipodelotedebenvenderlosalumnosparaqueelbeneficioobtenidoseamáximo?Calcúlesedicho beneficio. 8.0septiembre1999 UnhipermercadoquiereofertardosclasesdebandejasAyB.LabandejaAcontiene40gramosdequesomanchego,160gramos de queso roquefort y 80 gramos de camembert; la bandeja B contiene 120 gramos de cada uno de los tres tipos de queso anteriores.paraconfeccionarlasdisponede10,4kilosdequesomanchego,17,6kilosderoqueforty11,2kilosdecamembert.el preciodeventaesde580ptaslabandejaay732labandejab.elhipermercadodeseamaximizarlosingresos. a)expréseselafunciónobjetivo. b)escríbanse,medianteinecuaciones,lasrestriccionesdelproblemayrepreséntesegráficamenteelrecintodefinido. c)determíneseelnúmerodebandejasdecadaclasequedebevenderparaquelosingresosobtenidosseanmáximos.calcúlense dichosingresos. 9.0junio2000 Unaempresaespecializadaenlafabricacióndemobiliarioparacasasdemuñecas,produceciertotipodemesasysillasquevende a 2000 pesetas y 3000 pesetas por unidad, respectivamente. Desea saber cuántas unidades de cada artículo debe fabricar diariamenteunoperarioparamaximizarlosingresos,teniendolassiguientesrestricciones: El número total de unidades de los dos tipos no podrá exceder de 4 por día y operario. Cada mesa requiere 2 horas para su fabricación,cadasilla,3horas.lajornadalaboralmáximaesde10horas.elmaterialutilizadoencadamesacuesta400ptas.el utilizadoencadasillacuesta200ptas.cadaoperariodisponede1200ptasdiariasparamaterial. a)exprésenselafunciónobjetivoylasrestriccionesdelproblema. b)represéntesegráficamentelaregiónfactibleycalcúlenselosvérticesdelamisma. c) Razónese si con estas restricciones un operariopuedefabricardiariamenteunamesayunasilla,ysiestoleconvieneala empresa. d)resuélvaseelproblema. 10.0septiembre2000 Unaempresaquesirvecomidaspreparadastienequediseñarunmenúutilizandodosingredientes.ElingredienteAcontiene35g degrasay150kcaloríasporcada100gramosdeingrediente,mientrasqueelingredientebcontiene15gdegrasay100kcalorías porcada100gramos.elcosteesde150ptasporcada100gdeingredienteayde200ptasporcada100gramosdelingredienteb. Elmenúadiseñardeberíacontenernomásde30gramosdegrasayalmenos110kilocaloríasporcada100gdealimento.Sepide determinarlasproporcionesdecadaingredienteaemplearenelmenúdemaneraquesucostesealomásreducidoposible. a)indíqueselaexpresióndelasrestriccionesylafunciónobjetivodelproblema. b)represéntesegráficamentelaregióndelimitadaporlasrestricciones. c)calcúleseelporcentajeóptimodecadaingredienteaincluirenelmenú. 11.0junio2001 Enundepósitosealmacenanbidonesdepetróleoydegasolina.Parapoderatenderlademandasehandeteneralmacenadosun mínimode10bidonesdepetróleoy20degasolina.siempresehadetenermásbidonesdegasolinaquedepetróleo,siendola capacidaddeldepósitode200bidones.porrazonescomerciales,debenmantenerseeninventarioalmenos50bidones.elgasto dealmacenajedeunbidóndepetróleoesde20pesetasyeldeunodegasolinaesde30pesetas.sedeseasabercuántosbidones decadaclasehandealmacenarseparaqueelgastodealmacenajeseamínimo. a)exprésenselafunciónobjetivoylasrestriccionesdelproblema. b)represéntesegráficamentelaregiónfactibleycalcúlenselosvérticesdelamisma. c)resuélvaseelproblema. 12.0junio2002 UnproyectodeasfaltadopuedellevarseacabopordosgruposdiferentesdeunamismaempresaG1yG2.Setratadeasfaltartres zonasa,byc.elgrupog1escapazdeasfaltar3unidadesenlazonaa,2enlazonaby2enlazonac.elgrupog2escapazde asfaltarsemanalmente2unidadesenlazonaa,3enlazonaby2enlazonac.elcostesemanalseestimaen3300eurosparag1y en3500eurosparag2.senecesitaasfaltarunmínimode6unidadesenlazonaa,12enlazonaby10enlazonac. Cuántas semanasdeberátrabajarcadagrupoparafinalizarelproyectoconelmínimocoste? MADRID

3 13.0septiembre2002 Determinarlosvaloresmáximoymínimodelafunción sujetaalasrestricciones: 14.0junio2003 Unvendedorquieredarsalidaa400kgdegarbanzos,300kgdelentejasy250kgdejudías.Paraellohacedostiposdepaquetes. LosdeltipoAcontienen2kgdegarbanzos,2kgdelentejasy1kgdejudíasylosdetipoBcontienen3kgdegarbanzos,1kgde lentejasy2kgdejudías.elpreciodeventadecadapaqueteesde25eurosparalosdeltipoayde35eurosparalosdeltipob. Cuántospaquetesdecadatipodebevenderparaobtenerelbeneficiomáximoyacuántoasciendeéste? 15.0septiembre2003 Determinarlosvaloresmáximoymínimodelafunción sujetaalasrestricciones: 16.0modelo2004 Uncentrodedicadoalaenseñanzapersonalizadadeidiomastienedoscursos,unobásicoyotroavanzadoparalosquededica distintos recursos. Esta planificación hace que pueda atender entre 20 y 65 estudiantes del curso básico y entre 20 y 40 estudiantesdelcursoavanzado.elnúmeromáximodeestudiantesqueentotalpuedeatenderes100.losbeneficiosqueobtiene porcadaestudianteenelcursobásicoseestimaen145eurosyen150eurosporcadaestudiantedelcursoavanzado.hallarque númerodeestudiantesdecadacursoproporcionaelmáximobeneficio. 17.0junio2004 UnproductosecomponedelamezcladeotrosdosAyB.Setienen500kgdeAy500kgdeB.EnlamezclaelpesodeBdebeser menoroigualque1.5veceseldea.parasatisfacerlademanda,laproducciónhadesermayoroigualque600kg.sabiendoque cadakgdeacuesta5eurosycadakgdebcuesta4euros,calcularloskgdeaybquedebenemplearseparahacerunamezclade costemínimo,quecumplalosrequisitosanteriores.obtenerdichocostemínimo. 18.0septiembre2004 Un establecimiento de prendas deportivas tiene almacenados 1600 bañadores, 1000 gafas de baño y 800 gorros de baño. Se quiereincentivarlacompradeestosproductosmediantelaofertadedostiposdelotes:ellotea,queproduceunbeneficiode8 euros,formadoporunbañador,ungorroyunasgafas,yelloteb,queproduceunbeneficiode10eurosyestáformadopordos bañadoresyunasgafas.sabiendoquelapublicidaddeestaofertatendráuncostede1500eurosadeducirdelosbeneficios,se pidecalcularelnúmerodelotesdeaybqueharánmáximoelbeneficio,yacuántoasciendeéste. 19.0modelo2005 UnacompañíanavieradisponededosbarcosAyBpararealizarundeterminadocrucero.ElbarcoAdebehacertantosviajeso másqueelbarcob,peronopuedesobrepasar12viajes.entrelosdosbarcosdebenhacernomenosde6viajesynomásde20.la navieraobtiene un beneficio de euros por cadaviajedelbarcoay12000eurosporcadaviajedelb.sedeseaquelas gananciasseanmáximas: a)expresarlafunciónobjetivo. b)describirmedianteinecuacioneslasrestriccionesdelproblemayrepresentargráficamenteelrecintodefinido. c)hallarelnúmerodeviajesquedebeefectuarcadabarcoparaobtenerelmáximobeneficio.calculardichobeneficio. 20.0junio2005 Un mayorista vende productos congelados que presenta en envases de dos tamaños: pequeño y grande. La capacidad de sus congeladoresnolepermitealmacenarmásde1000envasesentotal.enfuncióndelademandasabequedebemantenerunstock mínimode100envasespequeñosy200grandes.lademandadeenvasesgrandesesigualosuperioraladeenvasespequeños.el costeporalmacenajeesde10céntimosdeeuroparacadaenvasepequeñoyde20céntimosdeeuroparacadaenvasegrande. Quécantidaddecadatipodeenvasesproporcionaelmínimogastodealmacenaje?.Obtenerdichomínimo MADRID

4 21.0septiembre2005 Enunaempresadealimentaciónsedisponede24kgdeharinadetrigoy15kgdeharinademaíz,queseutilizanparaobtenerdos tiposdepreparadosayb.laracióndelpreparadoacontiene200gdeharinadetrigoy300gdeharinademaíz,con600calde valorenergético.laracióndebcontiene200gdeharinadetrigoy100gdeharinademaíz,con400caldevalorenergético. Cuántasracionesdecadatipohayqueprepararparaobtenerelmáximorendimientoenergéticototal?Obtenerelrendimiento máximo. 22.0modelo2006 Untallerdedicadoalaconfeccióndeprendasdepuntofabricadostiposdeprendas:AyB.Paralaconfeccióndelaprendadetipo Asenecesitan30minutosdetrabajomanualy45minutosdemáquina.ParaladetipoB,60minutosdetrabajomanualy20 minutosdemáquina.eltallerdisponealmes,comomáximode85horasparaeltrabajomanualyde75horasparaeltrabajode máquinaydebeconfeccionaralmenos100prendas.silosbeneficiossonde20eurosporcadaprendadeltipoayde17eurospor cadaprendadeltipob, cuántasprendasdebedefabricaralmes,paraobtenerelmáximobeneficioyacuántoasciendeéste? 23.0junio2006 Unapapeleríaquiereliquidarhasta78kgdepapelrecicladoyhasta138kgdepapelnormal.Paraellohacedostiposdelotes,Ay B.LoslotesAestánformadospor1kgdelpapelrecicladoy3kgdepapelnormalyloslotesBpor2kgdepapeldecadaclase.El preciodeventadecadaloteaesde0.9eurosyeldecadalotebesde1euro. CuántoslotesAyBdebevenderparamaximizar susingresos? Acuántoasciendenestosingresosmáximos? 24.0septiembre2006 Unaempresafabricaláminasdealuminiodedosgrosores,finasygruesas,ydisponecadamesde400kgdealuminioy450horas detrabajoparafabricarlas.cadam 2 deláminafinanecesita5kgdealuminioy10horasdetrabajo,ydejaunagananciade45 euros.cadam 2 deláminagruesanecesita20kgy15horasdetrabajo,ydejaunagananciade80euros. Cuántosm 2 decadatipo deláminadebefabricarlaempresaalmesparaquelagananciaseamáximayacuántoasciendeésta? 25.0junio2007 Unaempresadeinstalacionesdisponede195kgdecobre,20kgdetitanioy14kgdealuminio.Parafabricar100metrosdecable detipoasenecesitan10kgdecobre,2detitanioy1dealuminio,mientrasqueparafabricar100metrosdecabledetipobse necesitan15kgdecobre,1detitanioy1dealuminio.elbeneficioqueseobtienepor100metrosdecabledetipoaesde1500 euros,ypor100metrosdecabledetipob,1000euros. Calcularlosmetrosdecabledecadatipoquehayquefabricarparamaximizarelbeneficiodelaempresa.Obtenerdichobeneficio máximo. 26.0septiembre2007 Unaaerolíneaquiereoptimizarelnúmerodefilasdeclasepreferenteydeclaseturistaenunavión.Lalongitudútildelaviónpara instalarlasfilasdeasientosesde104m,necesitándose2mparainstalarunafiladeclasepreferentey1.5mparalaclaseturista. Laaerolíneaprecisainstalaralmenos3filasdeclasepreferenteyquelasfilasdeclaseturistasean,comomínimoeltriplequelas declasepreferente.losbeneficiosporfiladeclaseturistasonde152eurosyde206eurosparalaclasepreferente. Cuántasfilasdeclasepreferenteycuántasdeclaseturistasedebeninstalarparaobtenerelbeneficiomáximo?.Indicardicho beneficio 27.0modelo2008 a)representarlaregióndelplanodefinidaporelsiguientesistemadeinecuaciones. b)maximizarlafunción c)minimizarlafunción enlaregiónobtenida. 28.0junio2008 UndistribuidordeaceitedeolivacompralamateriaprimaadosalmazarasAyB.LasalmazarasAyBvendenelaceitea2000y 3000eurosportonelada,respectivamente.Cadaalmazaralevendeunmínimode2toneladasyunmáximode7yparaatendera sudemanda,eldistribuidordebecomprarentotalunmínimode6toneladas.eldistribuidordebecomprarcomomáximoala almazara A el doble de aceite que a la almazara B. Qué cantidad de aceite debe comprar el distribuidor a cada una de las almazarasparaobtenerelmínimocoste?determínesedichocostemínimo MADRID

5 29.0septiembre2008 Sedeseainvertirunacantidaddedineromenoroigualque125000euros,distribuidosentreaccionesdeltipoAydeltipoB.Las accionesdeltipoagarantizanunagananciadel10%anual,siendoobligatorioinvertirenellasunmínimode30000eurosyun máximo de euros. Las acciones del tipo B garantizan una ganancia del 5% anual, siendo obligatorio invertir en ellas un mínimo de euros. La cantidad invertida en acciones del tipo B no puede superar el triple de la cantidad invertidaen accionesdeltipoa. Cuáldebeserladistribucióndelainversiónparamaximizarlagananciaanual?Determínesedichaganancia máxima. 30.0junio2009 Unarefineríautilizadostiposdepetróleo,AyB,quecompraaunpreciode350eurosy400eurosportonelada,respectivamente. Por cada tonelada de petróleo de tipo A que refina, obtiene 0.10 toneladas de gasolina y 0.35 toneladas de fuelkoil. Por cada tonelada de petróleo de tipo B que refina, obtiene 0.05 toneladas de gasolina y 0.55 toneladas defuelkoil.paracubrirsus necesidadesnecesitaobteneralmenos10toneladasdegasolinayalmenos50toneladasdefuelkoil.porcuestionesdecapacidad, nopuedecomprarmásde100toneladasdecadatipodepetróleo. Cuántastoneladasdepetróleodecadatipodebecomprarla refineríaparacubrirsusnecesidadesamínimocoste?determinardichocostemínimo. 31.0septiembre2009 UnacarpinteríavendepanelesdecontrachapadodedostiposAyB.Cadam 2 depaneldetipoarequiere0.3horasdetrabajopara su fabricación y 0.2 horas para su barnizado, proporcionando su venta un beneficio de 4 euros. Cada m 2 depaneldeltipob requiere0.2horasdetrabajoparasufabricacióny0.2horasparasubarnizado,proporcionandosuventaunbeneficiode3euros. Sabiendo que en una semana se trabaja un máximo de 240 horas en el taller de fabricación y de 200 horas en el taller de barnizado,calcularlosm 2 decadatipodepanelquedebevendersemanalmentelacarpinteríaparaobtenerelmáximobeneficio. Calculardichobeneficiomáximo. 32.0modelo2010 Unaempresadeinstalacionesdisponede195kgdecobre,20kgdetitanioy14kgdealuminio.Parafabricar100metrosdecable detipoasenecesitan10kgdecobre,2kgdetitanioy1kgdealuminio,mientrasqueparafabricar100metrosdecabledetipob senecesitan15kgdecobre,1kgdetitanioy1kgdealuminio.elbeneficioqueobtienelaempresaporcada100metrosdecable detipoafabricadoesiguala1500euros,yporcada100metrosdecabledetipobesiguala1000euros.calcúlenselosmetrosde cabledecadatipoquehandefabricarseparamaximizarelbeneficiodelaempresaydetermínesedichobeneficiomáximo. 33.0junio2010.Faseespecífica Unclubdefútboldisponedeunmáximode2millonesdeeurosparafichajesdefutbolistasespañolesyextranjeros.Seestimaque elimportetotaldelascamisetasvendidasporelclubconelnombredefutbolistasespañolesesigualal10%delacantidadtotal invertida por el club en fichajes de españoles, mientras que el importe total de las camisetas vendidas con el nombre de futbolistasextranjerosesigualal15%delacantidadtotalinvertidaporelclubenfichajesdeextranjeros.losestatutosdelclub limitanaunmáximode800000euroslainversióntotalenfichajesextranjerosyexigenquelacantidadtotalinvertidaen fichajes de futbolistas españoles sea como mínimo de euros. Además, la cantidad total invertida en fichajes de españoleshadesermayoroigualquelainvertidaenfichajesextranjeros. Quécantidaddebeinvertirelclubencadatipode fichajesparaqueelimportedelascamisetasvendidasseamáximo?calcúlesedichoimportemáximo.justifíquese. 34.0junio2010.Fasegeneral Seconsideralafunción Sujetaalasrestricciones: a)represénteselaregiónsdelplanodeterminadaporelconjuntoderestricciones. b)calcúlenselospuntosdelaregiónsdondelafunciónfalcanzasusvaloresmáximoymínimo. c)calcúlensedichosvaloresmáximoymínimo MADRID

6 35.0septiembre2010.Faseespecífica Ungrupoinversordisponedeunmáximode9millonesdeeurosparainvertirendostiposdefondosdeinversiónAyB.Elfondo deinversióndeltipoatieneunarentabilidaddel4%anualyunalimitaciónlegalde5millonesdeeurosdeinversiónmáxima.el fondodeinversióndeltipobtieneunarentabilidaddel3%anual,debeninvertirsealmenos2millonesdeeurosynohaylímite superiordeinversión.elgrupoinversordeseainvertirenelfondodeltipob,comomáximo,eldobledeloinvertidoenelfondodel tipo A. Qué cantidad debe invertir el grupo en cada tipo de fondo para obtener el máximo beneficio anual? Calcúlese dicho beneficiomáximo. 36.0septiembre2010.Fasegeneral Unpintornecesitapinturaparapintarcomomínimounasuperficiede480m 2.Puedecomprarlapinturaadosproveedores,AyB. ElproveedorAleofreceunapinturaconunrendimientode6m 2 porkgyunpreciode1europorkg.lapinturadelproveedorb tieneunpreciode1.2eurosporkgyunrendimientode8m 2 porkg.ningúnproveedorlepuedeproporcionarmásde75kgde pinturayelpresupuestomáximodelpintoresde120euros.calcúleselacantidaddepinturaqueelpintortienequecomprara cadaproveedorparaobtenerelmínimocoste.calcúlesedichocostemínimo. 37.0septiembre2011 SeconsideralaregiónSacotadaplanadefinidaporlascincocondicionessiguientes: ; ; ; ; a)dibújesesycalcúlenselascoordenadasdesusvértices b)calcúlenselosvaloresmáximoymínimodelafunción cualessealcanzandichosvaloresmáximoymínimo. enlaregiónsyespecifíquenselospuntossenlos MADRID

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