Proporciones notables en geometría. Ricardo Alonso Liarte IES Salvador Victoria

Transcripción

1 Ricardo Alonso Liarte IES Salvador Victoria

2 Proporción En Geometría el elemento más sencillo al que se puede aplicar el concepto de proporción es el segmento, dividiéndolo en dos partes. La proporción que aparece es el resultado de dividir las longitudes de ambas. Si construimos un rectángulo en el que cada lado mida como cada una de las partes en que se divide el segmento, tendremos entonces un rectángulo con dicha proporción.

3 Proporción La proporción se mantiene cuando los rectángulos son semejantes.

4 Compás de proporciones b q p q a b p Triángulos isósceles semejantes a

5 Tipos de proporciones Hay dos tipos de proporción geométrica: Proporción estática: La que establece entre dos elementos una razón simple, expresable como dos múltiplos de una unidad o módulo: 3/, 5/3, 5/4

6 Tipos de proporciones Hay dos tipos de proporción geométrica: Proporción estática: La que establece entre dos elementos una razón simple, expresable como dos múltiplos de una unidad o módulo: 3/, 5/3, 5/4

7 Tipos de proporciones Proporción dinámica: La que relaciona dos valores por una razón inconmensurable. Algunos ejemplos son los siguientes: Proporción n Proporción áurea Proporción cordobesa Proporciones metálicas

8 Proporción n Son fáciles de construir con regla y compás utilizando como base matemática el teorema de Pitágoras

9 Proporción raíz de El caso más sencillo es el de raíz de, que representa la relación entre la diagonal de un cuadrado y el lado del mismo.

10 Proporción raíz de Cómo dividir un segmento en estas proporciones? +x.- Trazar BC=AB, perpendicular.- Buscar el punto E, EC=BC 3.- Hallar F: AE=AF +x ( 4x x x x x) ( x x) 4 ( 4x x) x

11 Proporción raíz de Cómo construir un rectángulo de estas proporciones? x y ) ( x y x La proporción es

12 Proporción raíz de

13 Proporción raíz de COMPROBACIÓN DE LA PROPORCIÓN DOBLANDO PAPEL b b =

14 Proporción raíz de Es importante a nivel práctico porque resuelve el problema de la duplicación manteniendo las proporciones. Si dividimos un cuadrado en dos rectángulos iguales, está claro que éstas ya no mantienen la forma cuadrada. Esto sucede también en cualquier rectángulo estático.

15 Proporción raíz de Sin embargo las dos mitades de un raíz de tienen esta misma proporción. a/ a a / a a a a

16 Proporción raíz de La serie DIN-A ha normalizado los formatos de papel a partir de un rectángulo de un metro cuadrado de superficie con sus lados en proporción raíz de, que es el formato A0. Dividiendo sucesivamente por la mitad ese rectángulo se van obteniendo los formatos A, A, A3, A4 Imagen: Wikipedia

17 Proporción raíz de Para hallar las dimensiones hay que resolver: a. b b a a a b 4 4 0,84m 4,89m

18 Proporción raíz de 3 Partiendo de un triángulo equilátero h h h ,

19 Proporción raíz de 3 3

20 Proporción raíz de 3 Cómo dividir un segmento en estas proporciones?

21 Proporción raíz de 3 Cómo construir un rectángulo de proporción raíz de 3?

22 Proporción raíz de 3 Vesica Piscis: Tomando como centro cada uno de los extremos de un segmento, se traza la circunferencia que pasa por el otro extremo.

23 Proporción raíz de 3 Vesica Piscis: Tomando como centro cada uno de los extremos de un segmento, se traza la circunferencia que pasa por el otro extremo.

24 Proporción raíz de 3 Vesica Piscis

25 Proporción raíz de 3 Vesica Piscis. El rectángulo en el que se encuadra tiene proporción 3/. Se le llama también rectángulo egipcio

26 Proporción raíz de 3 Vesica Piscis Pantócrator de San Isidoro de León

27 Proporción áurea Es la relación entre la diagonal y el lado de un pentágono regular Los triángulos sombreados son isósceles y semejantes x x x x x x 0

28 Proporción áurea x x x x x x x 0 Resolviendo la ecuación se obtiene el valor positivo: Cuyo valor aproximado es,6803 5

29 Proporción áurea El todo es a la parte, como la parte al resto A C B AB AC AC BC Si el segmento AC=x y el BC=, entonces AB=x+ x x x x x x x 0

30 Proporción áurea CÓMO CONSTRUIR UN RECTÁNGULO DE ESTAS PROPORCIONES? ( 5 )

31 Proporción áurea Cómo comprobar que un rectángulo es áureo?

32 Proporción áurea CÓMO CONSTRUIR UN RECTÁNGULO DE ESTAS PROPORCIONES? Primero, dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Luego, lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.

33 Proporción áurea 5

34 Proporción áurea Otra forma de construirlo Papiroflexia

35 Proporción áurea Otra forma de construirlo Papiroflexia

36 Proporción áurea El rectángulo áureo tiene la propiedad de que al quitar el mayor cuadrado posible, el rectángulo que queda es semejante al inicial. x x x x 0 x

37 Proporción áurea Repitiendo el proceso de quitar un cuadrado Taza gigante volante con anexo inexplicable de cinco metros de longitud. ( ) Salvador Dalí ( )

38 Proporción áurea Podemos llegar a una construcción similar de rectángulos con un proceso inverso:

39 Proporción áurea La sucesión de Fibonacci y el número áureo,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89,

40 Proporción áurea La sucesión de Fibonacci y el número áureo : = : = 3 : = 5 5 : 3 = : 5 = 6 3 : 8 = 65 :3 = : = :34 = :55 =

41 Proporción áurea Podemos construir rectángulos cuyos lados sean términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89, TTM Zaragoza, mayo de 04

42 Proporción áurea

43 Proporción áurea Rombos de Penrose Cuánto mide cada uno de los ángulos de los dos rombos?

44 Proporción áurea Rombos de Penrose Investigación: DE CUÁNTAS MANERAS SE PUEDE RODEAR UN PUNTO CON LAS TESELAS RÓMBICAS? Buscar un manera sistemática de clasificarlas

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65 Para terminar Un cortometraje inspirado en números, la geometría sagrada y la naturaleza. Realizado por Cristóbal Vila. De Etérea Estudios Zaragoza

66 Bibliografía - FERNÁNDEZ I., REYES E. Geometría del hexágono y el octógono. Proyecto Sur de ediciones. Granada, VVAA. Papiroflexia y Matemáticas, Revista, nº 53. Editorial Grao, 00 - VVAA. La proporción: arte y matemáticas. Biblioteca de UNO. Editorial Grao, SKINNER S. Geometría Sagrada. Gaia Ediciones. Madrid, 007 -CORBALÁN F. La proporción áurea. Colección El mundo es matemática. RBA editores, 00 -Sobre el video: