Conexión entre la semejanza, la homotecia y el teorema de Thales. Una experiencia con estudiantes de a os

Transcripción

1 Conexión entre la semejanza, la homotecia y el teorema de Thales. Una experiencia con estudiantes de aos ÉlgarGualdrón GrupodeinvestigaciónenMatemáticaPurayAplicada UniversidaddePamplona egualdron@unipamplona.edu.co Resumen Enestetrabajo,sepresentanlosresultadospreliminaresdeunainvestigaciónenlacualseestán estudiando, entre otras cosas, las formas y la evolución del razonamiento que tienen los estudiantes al abordar tareas relacionadas con la semejanza, a través de una unidad de enseñanzasiguiendolaslíneasdecharalambos(1991)yelmodeloderazonamientodevanhiele siguiendolaslíneasdegutiérrezyjaime(1998).lamuestradelestudioesungrupodeestudiantesde noveno grado (1415 años) de un colegio de FloridablancaSantander (Colombia). Los análisis preliminaresdelconjuntodedatosnosmuestraninteresantesformasderesolucióndeciertastareasen lascualeslosparticipantesutilizanunlenguajericoymuestranvariadasformasderazonamiento. Fundamentaciónteórica Paraeldiseñoyposterioranálisisdelasactuacionesdelosestudiantesrespectodelaunidadde enseñanzadelasemejanzatuvimosencuentaelmodeloderazonamientodevanhiele(gutiérrezy Jaime,1998;Gualdrón,2007)ylosestudiosdeCharalambos(1991). Elestudio,desdeelpuntodevistadelaenseñanzadelasemejanza,tuvoencuentalosdeCharalambos (1991),quiencaracterizótresaproximacionesquedeberíantenersepresentescuandoseconsiderala semejanzacomoobjetodeenseñanza: Relaciónintrafigural:Dondesedestacalacorrespondenciaentreelementosdeunafiguraylos correspondientesdesusemejante,estandoausentelaideadetransformarunafiguraenotra. Dentrodeestaaproximacióndistingue: CuandolasfigurasformanpartedeunaconfiguracióndeThales,enlaqueseconsideranlos aspectosdeproyecciónyhomotecia,consuscorrespondientesrazones. Cuandolasfigurasaparecencomofigurasseparadas. Transformacióngeométricavistacomoútil:Latransformacióngeométricasepercibecomouna aplicacióndelconjuntodelospuntosdelplanoenélmismo.seutilizalasemejanzacomoútilenla resolucióndeproblemas. Transformación geométrica vista como objeto matemático: Se caracteriza porque hay un tratamientoenelquesebuscalatransformaciónresultantededosomástransformaciones. Vasco (1998) plantea que El currículo colombiano [en geometría] no se apoya en la geometría transformacional,.también,enrelaciónaloplanteadoporvasco,swobodaytocki(2002)plantean

2 queelenfoquedeenseñanzadelasemejanzaportransformacionessedirigemásalamatemáticavista comocienciaynoestáguiadaporlosaspectospsicológicosdelaprendizajedelasmatemáticas.en consecuencia, ydadaslasedadesdelosestudiantesenlasquepensamosdesarrollarelestudio(1415 años),decidimoscontemplarúnicamentelarelaciónintrafiguralylatransformacióngeométricavista comoútil. ElmodeloderazonamientodeVanHiele(VanHiele,1957;Usiskin,1982;BurgeryShaughnessy,1986; GutiérrezyJaime,1996)estádemostrandoqueesunexcelentereferenteteóricoparalaorganizacióny evaluacióndelaenseñanzayelaprendizajedelageometría.unbuenejemplodeelloesnctm(2003). Este modelo,desde su aparición, hasido ampliamente estudiado, no solamente en su aplicación (Jaime,1993;Guillén1997;DingyJones,2006)sinotambiénensuampliacióny/omejoramiento (Gutiérrez,JaimeyFortuny,1991;GutiérrezyJaime,1998).Noobstante,lasemejanzaesuntemade geometríaenelquelainvestigaciónsobrelaaplicacióndelmodelodevanhieleesmuylimitada (Gualdrón,2006).Ennuestroestudiohemosutilizadolosdescriptoresdenivelqueresultarondetener encuentalosestudiospreviosdegualdrón(2006)yunaampliacióndeestos. Metodología Lamuestradelestudioestuvoformadapor34estudiantes(1415años)deuncolegiodeFloridablanca Santander(Colombia).Eralaprimeravezqueestosestudiantesrecibíaninstrucciónsobreeltemade semejanza.enelmismocursoyahabíandesarrolladolorelacionadoalteoremadethalesy,enun cursoanterior,lorelacionadoalashomotecias. Launidaddeenseñanzasediseñóteniendoencuentalasfasesynivelesdelmodeloderazonamiento devanhiele(gutiérrezyjaime,1998)ylosresultadosdeestudiosdecharalambos(1991). Cadaactividadfuediseñadaparaserpresentadaenhojasindividuales,ysobrelascualeselestudiante debíajustificarcadaunodelosprocesosqueloconducíanhacialarespuesta(numéricay/ográficay/o verbal).paraeldesarrollodecadaunadelasactividadeselestudiantepodíautilizarreglas,escuadraso cintas métricas, compás, transportador de ángulos, tijeras y calculadora, entre otros elementos auxiliares. Metodologíadetrabajoenclase Enlaexperimentaciónestuvieronpresenteslaprofesoratitularyelinvestigador.Ésteasistióatodaslas clasesencalidaddeobservadorparticipativo,observandolaactividaddelosestudiantesy,almismo tiempo,colaborandoconlaprofesoraenlastareasdeasesoramientoyorientaciónalosestudiantes durantelassesionesdeclase. Lasactividadesdelaunidaddeenseñanzaseplantearondeformasecuenciadayfueronentregadas una a una a cada estudiante en fotocopias. El medio escolar en el que se llevó a cabo la experimentación de la unidad de enseñanza fue el aula de clase, cuyas características físicas permitieroneltrabajoenpequeñosgruposdetresestudiantes.todaslasactividadesfueronrealizadas dentrodelajornadaescolar. Entotallaexperimentaciónsecompusodenuevesesionesde100minutosytuvounaduraciónde8 semanas. Losestudiantesseorganizaronengruposdetres,loscualesdiscutíanlaposiblesoluciónyluego,cada unoredactabasuspropiasconclusiones. Enloquerespectaalaorganizacióndelaprendizaje,setuvieronencuentalasfasesdeaprendizajeque planteaelmodeloderazonamientogeométricodevan Hiele. Recogidadeinformación Elconjuntodedatosconstadecintasdevideo,hojasdetrabajodelosestudiantes,algunasentrevistas alosestudiantesynotasdecampo.

3 Lasgrabacionesenvideoserealizarondeltrabajorealizadoporlosgruposdeestudiantes.Serealizaron algunas entrevistas a estudiantes con el fin pedir más aclaraciones o justificaciones, pedir que explicaranloquehabíanhechoy/oparaplantearotratareaanáloga. ANÁLISISYDISCUSIÓN Acontinuaciónpresentamosalgunosdelosaspectosquenoshanparecidomásrelevantesdelanálisis delosdatosquehemosrecogido.presentaremosalgunosejemplosrepresentativosdeformasde razonamientoyharemosalgunoscomentariossobreellos. EnlaactividadNº24,comosemuestraacontinuación,quepedíalajustificacióndelasemejanzadelos triángulosformadosenlaspartes1y2,carlosutilizalahomoteciaparajustificarlasemejanza.esdecir, justificaprimeroporquésepresentalahomoteciayluego,lautilizaparajustificarlasemejanza. 24(1)LossegmentosAPyDPpertenecenarectassecantesquesecruzanenelpuntoPy,asuves,cortanala circunferenciacomoapareceenlafigura.justifiqueporquélostriángulosapcydpbsonsemejantes. Actividad24(1) RespuestadeCarlosalaactividad24(1) 24(2)Dibujeuntriángulocualquieray,desdecadavértice,traceunarectaparalelaalladoopuesto. Deestamaneraobtieneuntriángulomásgrande.Justifiqueporquéestetriánguloessemejanteal inicial.

4 RespuestadeCarlosalaactividad24(2) Enlaactividad21,comosemuestraacontinuación,CarlosutilizaelteoremadeThalesparajustificarla semejanzadelostriángulosdispuestosenlafigurayluego,utilizaunapropiedadmatemáticaquehan descubierto con su profesor ( Los triángulos en posición de Thales son semejantes ). RespuestadeCarlosalaactividad21 Enlaactividad37,comosemuestraacontinuación,FranciscoutilizaelteoremadeThalesparajustificar lasemejanzadelostriángulosdispuestosenlafigura.luego,utilizaunacorrespondenciaadecuada, entrefigurassemejantes,parajustificarquelossegmentosbcyacsoniguales.

5 RespuestadeFranciscoalaactividad37 El resultado del análisis parece indicar que el tratamiento dado a la semejanza (vinculándolo al conceptodehomoteciayalteoremadethales)fueunfactoraltamentepositivoenlaadquisición,por partedelosestudiantes,demásymejoresformasderazonamiento. Conclusiones Hemosanalizadolasargumentacionesquelosestudiantespropusieronparajustificarlasemejanzay hemosencontradoquelosestudiantesposeenmásymejoresherramientasderazonamientosilos comparamosconlosresultadosdeestudiosprevios(gualdrón,2006),endondenoseestablecióningún vínculoentrelasemejanzay,elteoremadethalesylahomotecia.nuestroshallazgossugierenqueen laenseñanzadeltemasedeberíaestablecerunvínculodirectoentrelasemejanzaylahomoteciayel teoremadethales. Losresultadosdeesteestudioaportanalaliteraturasobreformasefectivasdemejoramientodel razonamiento,específicamente,entareasrelacionadasconlasemejanza. Agradecimiento ElautordeseaagradeceraÁngelGutiérrezRodríguezdelaUniversidaddeValencia(España)ya JoaquínGiménezRodríguezdelaUniversidaddeBarcelona(España)porladireccióndeestetrabajo. ReferenciasBibliográficas Burger,W.F.,yShaughnessy,J.M.(1986).CharacterizingtheVanHielelevelsofdevelopmentin geometry.journalforresearchinmathematicseducation,17,1,3148. Charalambos,L.(1991).Analyseetréalisationd uneexpérienced enseignementdel homothétie. RecherchesenDidactiquedesMathématiques11(23),

6 Ding,L.,yJones,K.(2006).Students geometricalthinkingdevelopmentatgrade8inshangai.enj. Novotná, H. Moraová, M. Krátká y N. Stehlíková (Eds.), Proceeding of the 30 Conference of the InternationalGroupforthePsychologyofMathematicsEducation(Vol.1,pp.382).Praga,República Checa. Gualdrón,É.(2006).Losprocesosdeaprendizajedelasemejanzaporestudiantesde9ºgrado.Memoria deinvestigación,departamentodedidácticadelasmatemáticas.valencia:universitatdevalència. Gualdrón,É.(2007).UnaAproximaciónalosindicadoresdenivelderazonamientodeVanHieleparala semejanza.memoriasdelxisimposiodelasociedadespañoladeinvestigacióneneducaciónmatemática (Vol.1,pp ).Tenerife,España. Guillén,G.(1997).ELModelodeVanHieleaplicadoalageometríadelossólidos.Observacióndeprocesos deaprendizaje.tesisdoctoralnopublicada.valencia:universitatdevalència. Gutiérrez,Á.,yJaime,A.(1996).Usodedefinicioneseimágenesdeconceptosgeométricosporlos estudiantesdemagisterio.enj.giménez,s.llinaresym.v.sánchez(eds.),elprocesodellegaraserun profesordeprimaria.cuestionesdesdelaeducaciónmatemática(pp ).granada:comares. Gutiérrez,Á.,yJaime,A.(1998).OntheassessmentoftheVanHielelevelsofreasoning.Focuson LearningProblemsinMathematics,20,2y3,2746. Gutiérrez,Á.,Jaime,A.,yFortuny,J.M.(1991).Analternativeparadigmtoevaluatetheacquisitionof thevanhielelevels.journalforresearchinmathematicseducation,22,3, Jaime,A.(1993).AportacionesalainterpretaciónyaplicacióndelmodelodeVanHiele:Laenseñanzade lasisometríasdelplano.laevaluacióndelnivel de razonamiento. Tesis doctoral no publicada. Valencia:UniversitatdeValència. Swoboda,E.yJ.Tocki(2002).Howtoprepareprospectiveteacherstoteachmathematics:Some remarks.secondinternationalconferenceontheteachingofmathematics(attheundergraduate level).crete,grecia:110. Usiskin,Z.(1982).VanHielelevelsandachievementinsecondaryschoolgeometry,ERIC:Columbus, USA. Van Hiele, P. M. (1957). El problema de la comprensión (en conexión con la comprensión de los escolaresenelaprendizajedelageometría).utrecht,holanda(traducciónalespañolparaelproyecto deinvestigacióngutiérrezyotros,1991),universidaddeutrecht.holanda. Vasco, C. E. (1998). Dynamic geometry in the colombian school curriculum. Perspectives on the teachingofgeometryforthe21stcentury.anicmistudy.c.mammanaandv.villani.dordrecht, Holanda,KluwerAcademicPublishers.5: