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6 Catalogación en la publicación Biblioteca Nacional de Colombia Gutiérrez Carmona, Jairo Matemáticas financieras con formulas, calculadora financiera y excel / Jairo Gutiérrez Carmona. -- Bogotá : Ecoe Ediciones, p. (Ciencias exactas. Matemáticas) Incluye complemento virtual SIL (Sistema de Información en Línea) -- Incluye bibliografía ISBN Matemáticas financieras - Fórmulas 2. Matemáticas financieras - Instrumentos 3. Matemáticas financieras - Problemas, ejercicios, etc. 4. Excel (Programa para computador) I. Título II. Serie CDD: ed. 20 CO-BoBN a Colección: Ciencias Exactas Área: Matemáticas Edición: Bogotá., 2012 ISBN: Jairo Gutiérrez Carmona gutierrezcarmona@gmail.com Ecoe Ediciones correo@ecoeediciones.com Carrera 19 No. 63C-32, Pbx: , fax Coordinación editorial: Alexander Acosta Quintero Diseño y Diagramación: Olga L. Pedraza R. Diseño de Carátula: Edwin Penagos Palacio Impresión: Imagen Editorial Impresores imagenimvega@yahoo.com Impreso y hecho en Colombia.

7 Tabla de contenido Capítulo Interés Interés y tasa de interés Interés Tasa de interés Diagramas de flujos de efectivo Valor presente ( P ) Valor futuro ( F ) Interés simple y compuesto Interés simple Interés compuesto Tasa de interés nominal y efectivo Interés nominal Interés efectivo Interés vencido y anticipado Interés vencido Interés anticipado Tasas especiales Tasa de inflación Tasa de devaluación Tasa de interés de oportunidad Tasas compuestas DTF UVR PRIME / LIBOR La tasa de interés con la calculadora y el Excel Calculadora financiera Hoja de cálculo Excel Función financiera interés efectivo Función financiera tasa nominal Función personalizada tasa efectiva Función personalizada tasa nominal... 47

8 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Resumen del capítulo... Cuestionario de autoevaluación... Ejercicios propuestos... Capítulo 2... Equivalencia de tasas de interés Concepto de equivalencia Equivalencias con fórmula Equivalencias con calculadora Equivalencias con Excel Equivalencias especiales Resumen del capítulo Cuestionario de autoevaluación Ejercicios propuestos Capítulo 3... Pago único Conceptos generales Capitalización Capitalización con fórmula Capitalización con calculadora Capitalización conociendo la tasa del período... Capitalización conociendo la tasa nominal anual Capitalización con Excel Función financiera VF Ejemplos de aplicación de la capitalización Descuento Función financiera VA Casos especiales Notación estándar Resumen del capítulo Cuestionario de autoevaluación Ejercicios propuestos Capítulo Series uniformes Conceptos generales Anualidad vencida VI

9 Tabla de contenido Jairo Gutiérrez Carmona Anualidad vencida con fórmula Anualidad vencida con calculadora Valor futuro, anualidad, tasa y número de períodos Anualidades vencidas con Excel Anualidad anticipada Anualidad diferida Anualidad perpetua Resumen del capítulo Cuestionario de autoevaluación Ejercicios propuestos Capítulo Series variables Conceptos generales Gradiente aritmético Gradiente geométrico Gradientes con la calculadora Gradientes con Excel Gradiente perpetuo Gradiente aritmético perpetuo Gradiente geométrico perpetuo Gradiente diferido Gradiente aritmético diferido Gradiente geométrico diferido Gradiente escalonado Gradiente aritmético escalonado Gradiente geométrico escalonado Gradiente escalonado con la calculadora financiera Resumen del capítulo Cuestionario de autoevaluación Ejercicios propuestos Capítulo Amortización, capitalización y saldos Amortización Saldo adeudado Composición de las cuotas VII

10 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Tablas de amortización Tabla de amortización del sistema de abonos constantes a capital Distribución de la cuota: abonos constantes a capital Tabla de amortización del sistema de cuotas constantes Distribución de la cuota: cuota constante Tabla de amortización del sistema de gradiente aritmético Distribución de la cuota: gradiente aritmético Tabla de amortización del sistema de gradiente geométrico Distribución de la cuota: gradiente geométr ico Créditos en UVR Metodología de cálculo de la UVR Sistemas de amortización en UVR Capitalización Saldo capitalizado Tablas de capitalización Tabla de capitalización del sistema de cuotas constantes Tabla de capitalización del sistema de gradiente aritmético Tabla de capitalización del sistema de gradiente geométrico Resumen del capítulo Cuestionario de autoevaluación Ejercicios propuestos Capítulo Indicadores de conveniencia económica Valor presente neto (VPN) Cuota anual uniforme equivalente (CAUE) Tasa interna de rentabilidad (TIR) Tasa de rentabilidad verdadera (TRV) Relación beneficio - costo (B/C) Indicadores de conveniencia con calculadora Resumen del capítulo Cuestionario de autoevaluación Ejercicios propuestos Anexo Convenciones VIII

11 Tabla de contenido Jairo Gutiérrez Carmona Anexo Glosario Anexo Fórmulas Anexo Funciones financieras del Excel Anexo Funciones financieras personalizadas Anexo Cómo crear funciones personalizadas en Excel Cómo incorporar las funciones personalizadas a su equipo Bibliografía Índice IX

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13 PRESENTACIÓN Este libro tiene como objetivo contribuir con una herramienta académica integral en la instrucción de todas aquellas personas interesadas en las matemáticas financieras, tanto a nivel de pregrado como de posgrado, especialmente de los estudiantes del área financiera. Es una herramienta porque sirve como libro de texto para cualquier curso de matemáticas financieras, ya que además de los temas principales, que se incluyen en todos los libros, se presentan análisis y explicaciones detalladas de aspectos particulares del valor del dinero en el tiempo; y es una herramienta integral porque en los numerosos ejemplos que se aportan, se muestra la solución por diversos sistemas, de manera que no se encasille al estudiante con uno o dos sistemas de solución. En el libro se utilizan cuatro sistemas para solucionar los problemas de matemáticas financieras: Primero, con notación estándar (ver página 102) que facilita el planteamiento de las soluciones, pero que finalmente requiere de tablas o calculadora para encontrar el valor de los factores; Segundo, con fórmulas que por ser un sistema universal siempre está disponible, pero que en algunos casos requiere operaciones engorrosas debido a la complejidad de la fórmula; Tercero, con calculadora financiera que produce la respuesta de una manera rápida, pero que no tiene disponible el menú necesario para solucionar todas las clases de problemas que se presentan. Este libro incluye algunos algoritmos para grabar en el solucionador de la calculadora financiera Hewlett Packard 17BII o 19BII; Cuarto, con hoja de cálculo que además de ser muy rápida para producir las respuestas, tiene un alto potencial para sensibilizar y analizar los problemas, pero no dispone de todas las funciones que se requieren para solucionar todas las clases de problemas que se presentan. Este libro tiene soporte en el Sistema de Información en Línea (SIL) de la

14 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Editorial ECOE ( donde podrá encontrar funciones personalizadas para utilizar en la hoja de cálculo Excel. Por lo anterior, los numerosos ejemplos que se incluyen en este libro son de vital importancia para introducir o aclarar conceptos, de manera que el estudiante debe analizarlos con detenimiento, en especial porque en muchos de ellos se combinan los sistemas de solución de problemas para hacer más eficiente el trabajo. En el SIL se encuentra el archivo F.xls en Excel donde se desarrollan funciones financieras personalizadas que complementan las funciones financieras que vienen con la hoja de cálculo Excel; además reúne por capítulos la solución de los ejemplos en los que se haya utilizado hoja de cálculo y presenta la solución detallada de los ejercicios propuestos múltiplos de diez. En el ANEXO 6: COMO CREAR FUNCIONES PERSONALIZADAS EN Excel (ver página 351) se comenta como instalar en su computador el archivo con las funciones personalizadas. La solución detallada de los ejercicios múltiplos de diez es un aporte importante, especialmente para los estudiantes, ya que los ejemplos tratados dentro de los capítulos, aunque se solucionan por varios sistemas, sólo sirven para ilustrar el tema que se está tratando y por lo tanto son ejercicios sencillos. La solución de algunos ejercicios propuestos, se incluye para presentar la utilización de los temas en problemas más complicados y además combinados con temas tratados en los capítulos anteriores. XII

15 c apít ulo 1 Interés En este capítulo se presentan los conceptos fundamentales de las matemáticas financieras, por lo tanto se trata todo lo relacionado con el interés, la tasa de interés y sus diferentes formas de cálculo, tanto desde el punto de vista de quien es propietario de un capital y lo invierte o lo entrega en préstamo, como desde la perspectiva de quien no cuenta con el capital y lo recibe en préstamo. Se estudian aquellas tasas de interés especiales que también se utilizan para el cálculo del costo de créditos o de la rentabilidad de inversiones, como son la inflación, la devaluación, la DTF y el PRIME. Finalmente se muestra como operan todas las tasas de interés vistas en el capítulo en la calculadora financiera y en la hoja de cálculo Excel. El capítulo contiene los siguientes temas: 1.1 Interés y tasa de interés 1.2 Diagramas de flujos de efectivo 1.3 Interés simple y compuesto 1.4 Tasa de interés nominal y efectiva 1.5 Interés vencido y anticipado 1.6 Tasas especiales 1.7 Tasas compuestas 1.8 La tasa de interés con la calculadora y el Excel

16 Objetivos General Introducir los conceptos y fórmulas básicas de las matemáticas financieras, con el fin de preparar al estudiante para enfrentar la comprensión de los problemas y hacer un planteamiento lógico de la solución. Específicos a) Diferenciar y ejemplificar los conceptos de interés y tasa de interés que se utilizarán en las fórmulas y definiciones a lo largo del libro. b) Presentar los diagramas de flujo de efectivo que servirán de base para el planteamiento gráfico de los problemas. c) Conocer las características de las diferentes clasificaciones de la tasa de interés, tales como simple y compuesto, nominal y efectiva, vencido y anticipado. d) Estudiar las tasas de interés especiales que se utilizan en los problemas financieros, como son la inflación, la devaluación, la tasa de interés de oportunidad (TIO), las tasas compuestas (DTF y UVR) y las tasas para transacciones en moneda extranjera (PRIME y LIBOR). e) Introducir el trabajo de las tasas de interés con la calculadora financiera y la hoja de cálculo Excel.

17 Capítulo 1: Intereses Jairo Gutiérrez Carmona 1.1 Interés y tasa de interés Los recursos tienen propietario y cada uno espera utilizarlos en beneficio propio. Cuando el propietario de un recurso puede usarlo para sí mismo, espera una utilidad o alguna satisfacción; pero cuando no puede utilizar directamente los recursos que posee o tiene algún recurso en exceso, busca alquilarlo a otra persona y por ello espera una retribución. Quiere decir que los recursos, además de propietario también tienen precio, ya sea el que estime su propietario o el que le determine el mercado. Los poseedores de fuerza de trabajo que no pueden emplearla en su propio negocio, la alquilan por un salario; quienes poseen finca raíz y no la emplean en su beneficio, trasfieren su utilización a cambio de un arrendamiento. Y así ocurre con todos los recursos, incluyendo el dinero o capital que como retribución recibe el interés Interés El interés se ha definido como el precio del dinero, sea éste un capital propio o ajeno; es decir que el dinero, cuando se utiliza como capital, debe tener una retribución como ocurre con todos los recursos (el salario para el trabajo o la renta para la tierra). No siempre el capital invertido es dinero, puede ser cualquier otro recurso como maquinaria, finca raíz o semovientes, lo importante es que se aporte para la explotación de un negocio, en el cual se espera tener una retribución por el uso del recurso; en estos casos el recurso debe valorarse en dinero para efectuar los cálculos. Ejemplo No. 1.1 Un capitalista invierte quince millones de pesos en un negocio, por lo tanto espera que al finalizar el negocio, éste le haya retribuido los quince millones de pesos que invirtió inicialmente más un interés, que es un valor adicional al invertido dado que durante un tiempo renunció al uso de sus recursos y se arriesgó en un negocio. El capital inicial de quince millones pudo estar representado en dinero, en especie o en ambos (quince millones de pesos en efectivo o un vehículo valorado en diez millones de pesos y cinco millones de pesos en efectivo, por ejemplo). Así mismo, el capital que recibe al final puede estar representado en dinero, en especie o en ambos (veinte millones de pesos en efectivo o el mismo vehículo valorado en ocho millones de pesos y doce millones de pesos en efectivo, por ejemplo). Esto significa que, cuando se invierte un capital se espera que después de un tiempo de tenerlo invertido se obtenga un valor superior al que se invirtió inicialmente: el capital más el interés. Lo mismo ocurre cuando se recibe un capital en préstamo, después de un tiempo de utilizarlo se debe pagar un valor superior al que se recibió inicialmente: el capital más el interés. 3

18 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Ejemplo No. 1.2 En el ejemplo anterior, sin importar la forma que tomen el capital y el interés (efectivo, especie o ambos), el capital inicial es de quince millones de pesos y el interés es de cinco millones de pesos; ya que este último es igual a la diferencia entre el valor invertido inicialmente y el valor recibido finalmente. Ejemplo No. 1.3 Una persona recibe un préstamo de quinientos mil pesos con el compromiso de pagar quinientos sesenta mil pesos dentro de seis meses. En este caso el capital inicial son los quinientos mil pesos y el interés los sesenta mil pesos adicionales que paga. Este pago adicional se debe hacer por usar un recurso ajeno y al mismo tiempo disfrutar de los beneficios que le produce ese uso. Como se aprecia, quien otorgó el préstamo renuncia al uso de su capital y por ello debe cobrar un valor; por otra parte, quien recibió el préstamo pudo disfrutar de unos beneficios sin tener capital y por lo tanto debe pagar un valor por haber utilizado un capital ajeno. De los conceptos anteriores se deduce que en el uso del capital intervienen por lo menos cuatro conceptos: un valor inicial, un período de tiempo, un valor final y el interés. Estos conceptos se aclaran a continuación: Valor inicial: Es el capital que se invierte o se recibe en préstamo al comienzo de un negocio, también se conoce como valor presente. Período de tiempo: Son las unidades de tiempo que transcurren durante el negocio, se conoce como plazo y puede estar expresado en cualquier unidad: días, semanas, meses, etc. Valor final: Es el monto que se recibe o se paga al finalizar el negocio, también se conoce como valor futuro y tiene como principal característica que es igual al valor inicial más los intereses. Interés: Es la retribución que reciben los inversionistas y prestamistas por ceder el uso de su capital propio o el costo que pagan los prestatarios por utilizar el capital ajeno. Si el valor al final del negocio es igual el valor inicial más los intereses, se tienen las siguientes fórmulas: F = P + I P = F I I = F P (1) donde F Valor final o futuro. P Valor inicial o presente. I Interés o retribución al valor invertido (P). 4

19 Capítulo 1: Intereses Jairo Gutiérrez Carmona Ejemplo No. 1.4 En el caso del préstamo de los $500,000, en el que se pagan $560,000 seis meses después, se tienen las siguientes convenciones: VALOR IGUAL A: RESULTADO F = P + I 500, ,000 = 560,000 P = F I 560,000 60,000 = 500,000 I = F - P 560, ,000 = 60,000 Ejemplo No. 1.5 Si un producto se vende de contado por $1,200,000 y se puede comprar a crédito con un plazo de tres meses por $1,296,000, se está hablando de los siguientes valores: VALOR RESULTADO Inicial o presente P = 1,200,000 Final o futuro F = 1,296,000 Intereses I = 96, Tasa de interés La tasa de interés es la relación matemática que existe entre el monto del interés que se retribuye al capital y el monto del capital que se ha invertido inicialmente. Por lo tanto: (2) donde i Tasa de interés. F Valor final o futuro. P Valor inicial o presente. I Interés o retribución al valor invertido (P). De las fórmulas (1) y (2) se concluye que, así como el interés se expresa en un valor absoluto ($), la tasa de interés se expresa en un valor relativo (%). 5

20 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Ejemplo No. 1.6 Para los ejemplos anteriores se tienen las siguientes tasas de interés: VALORES FÓRMULA RESULTADO PERÍODO INTERPRETACIÓN P = 15,000,000 F = 20,000,000 I = 5,000, No se ha determinado La inversión genera un interés de $5,000,000, que equivalen a una tasa de interés del 33%, durante el tiempo que dure. P = 500,000 F = 560,000 I = 60, Seis meses El préstamo se recibe a una tasa de interés del 12%, por un semestre. Ya que por $500,000 se pagan $60,000 de intereses. P = 1,200,000 F = 1,296,000 I = 96, Tres meses El producto se financia a una tasa de interés del 8% trimestral. Combinando las fórmulas (1) y (2) se pueden despejar otras fórmulas que son de utilización permanente: (3) por lo tanto (4) (5) Ejemplo No. 1.7 El capitalista del Ejemplo No. 1.1 espera que su inversión le retribuya un 40%. Cuál debe ser el valor final de su inversión? Siendo i = 40% y P = $15,000,000 es posible encontrar el valor de F utilizando la fórmula (1) F = P + I, como el valor de los intereses ( I ) es desconocido, se debe calcular utilizando la fórmula (3) I = i P que reemplazando es I = 0.4 (15,000,000) = 6,000,000, con lo cual ya se puede llegar a que F = 15,000, ,000,000 = 21,000,000 También puede resolverse utilizando el siguiente raciocinio: Siendo i = 40% y P = $15,000,000, es posible encontrar el valor de F utilizando la fórmula (4) F = P (1 + i). F = 15,000,000 ( ) = 21,000,000 6

21 Capítulo 1: Intereses Jairo Gutiérrez Carmona Es decir que, se debe definir cuál es la incógnita y para resolverla utilizar la fórmula con la cual se halle su valor. Ejemplo No. 1.8 Si el producto que se vende de contado por $1,200,000 y a crédito con un plazo de tres meses por $1,296,000, se compra con un plazo de seis meses. Cuál será su precio? Según el la tasa de interés de financiación es del 8% trimestral (i = 96,000 / 1,200,000), por lo tanto si se ha de financiar a dos trimestres, debe cobrarse dos veces el interés F = P + 2 I donde sigue siendo I = i P como la tasa de interés es i = 8% trimestral, entonces se pagan intereses de I = 96,000 cada trimestre, por lo tanto 2 I = 192,000 siendo entonces F = 1,200, ,000. Se concluye que si se desea comprar el producto con un plazo de dos trimestres el precio será de $1,392,000 En este ejemplo se aprecia que el plazo del negocio es un semestre, pero como los intereses se liquidan trimestralmente, el plazo total se debe expresar en las unidades de tiempo del período de liquidación de los intereses, diciéndose por lo tanto que el negocio se hace a dos trimestres y no a un semestre, aunque cronológicamente sean lo mismo. Para facilitar su solución, en todos los problemas de matemáticas financieras el período de liquidación de los intereses deben coincidir con: las unidades en que se exprese el plazo y el período en que se exprese la tasa de interés. Si los tres no coinciden, hay que ejecutar los pasos necesarios para que ello ocurra. Esto quiere decir que en todo problema de matemáticas financieras, en realidad existen dos problemas: a) el problema como tal, que se va a resolver y b) hacer coincidir el plazo y el período de expresión de la tasa de interés, con el período de liquidación de los intereses. Este último problema es el que primero debe resolverse. 1.2 Diagramas de flujos de efectivo Un diagrama de flujos de efectivo es la representación gráfica de las entradas y salidas de efectivo de un negocio. Consiste en un gráfico de dos dimensiones: una área para los flujos de efectivo positivos (ingresos, entradas de dinero, préstamos recibidos, cobros de cartera, etc.) y otra área para los flujos de efectivo negativos (egresos, salidas de dinero, inversiones efectuadas, pagos o abonos de deudas, etc.). El diagrama de flujos de efectivo consiste en una línea recta que representa el tiempo, subdividida en los períodos de liquidación de intereses, en la cual se representan los movimientos reales de dinero que ocurren en un negocio. 7

22 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Los diagramas de flujos de efectivo se utilizan para dibujar los problemas, de manera que se facilite su comprensión y por lo tanto su solución, constituyéndose entonces en una herramienta necesaria para el planteamiento de problemas de matemáticas financieras. La siguiente es la organización general de un diagrama de flujos de efectivo: Ejemplo No. 1.9 Hacer el diagrama de flujos de efectivo de una inversión que tiene los siguientes movimientos: se invierten hoy $100,000 y a los tres meses se reciben $60,000, a los siete meses se reciben $50,000 y a los doce meses se reciben $40,000. Como se aprecia, la longitud de las fechas sólo sirve para dar una idea de las proporciones de los valores, el punto más importante es la dirección de las flechas (ingresos o egresos) y el momento del tiempo en que ocurren. En un diagrama de flujos de efectivo, los conceptos que se han trabajado hasta el momento, se representarían de la siguiente forma: 8

23 Capítulo 1: Intereses Jairo Gutiérrez Carmona n períodos de liquidación de interés a una tasa i% Valor presente ( P ) El valor presente es el monto con el que inicia un negocio (inversión inicial) y no necesariamente está ubicado en el día de hoy; el valor presente en relación con el día de hoy se puede ubicar cronológicamente en el pasado o en el futuro, dependiendo de cuándo se haya iniciado o se inicie el negocio que se evalúa. Se concluye que la terminología presente se utiliza únicamente en relación con la fecha de inicio del negocio y no tiene nada que ver con la fecha en que se analiza la inversión. Ejemplo No Hacer el diagrama de flujos de efectivo de un préstamo de $1,300,000, con un plazo de seis meses, por cual se deben pagar $1,456,000: a) Si el crédito se recibió hace dos meses. b) Si el crédito se recibe hoy. c) Si el crédito se recibirá dentro de tres meses. Como se aprecia en el siguiente gráfico los diagramas de flujos de efectivo son iguales, sin importar en qué momento se encuentren en relación con la fecha actual; para el problema sólo interesa que P = 1,300,000, F = 1,456,000 y que n = 6, ya que con estos datos puede resolverse cualquier pregunta que se haga, cuánto es el interés ( I ) o cuál es la tasa de interés ( i ). 9

24 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel F= 1,456,000 F= 1,456,000 P= 1,300,000 P= 1,300,000 F= 1,456,000 P= 1,300, Valor futuro ( F ) El valor futuro es el monto que se recibe cuando termina el negocio y no necesariamente estará ubicado en el futuro en relación con el día de hoy. En el valor futuro están involucrados los intereses (utilidad) que produce el negocio. Ejemplo No Cuánto recibe un inversionista hoy por un pagaré que compró hace 45 días, si desembolsó $23,345,000 y la tasa de interés es del 5% durante todo el período, liquidada diariamente? Como el período de liquidación de intereses es el día, la tasa de interés debe estar expresada en días. n= 45 días i= 0.11% F=? P= 23,345,000 Puede verse que el valor futuro está ubicado en la fecha de hoy, lo importante de su ubicación es que frente a P, lo relacione n = 45 e i = 0.11% diario. 10

25 Capítulo 1: Intereses Jairo Gutiérrez Carmona 1.3 Interés simple y compuesto En el e se aprecia que durante el plazo de un negocio es posible que se liquide varias veces el interés, las condiciones que se pacten para tratar los intereses que se liquiden en cada período, determinan teórica y matemáticamente la clase de interés que se esté manejando y por lo tanto la fórmula que debe emplearse para su cálculo. En general, existen tres condiciones que se pueden pactar para los intereses que se liquiden: a. Liquidarlos y pagarlos en ese mismo momento. b. Liquidarlos y no pagarlos, para quedarlos debiendo como intereses. c. Liquidarlos y no pagarlos, para sumárselos al capital inicial. En el primer caso no hay ningún problema, ya que I = i P por lo tanto basta con saber cual es la tasa de interés del período de liquidación ( i ) para liquidar y pagar los intereses. Ejemplo No Un crédito de $2,350,000 concedido con un plazo de seis meses, liquida y paga intereses cada mes a una tasa del 2%. Cuál será el valor de los pagos mensuales de intereses? Como se dijo, este caso no tienen problema pues basta utilizar la fórmula (3): I = i P. Como coincide el período de expresión de la tasa de interés con el período de liquidación de los intereses, basta reemplazar en la fórmula, así: I = 0.02 (2,350,000) = 47,000 Deben liquidarse y cancelarse cada mes $47,000 por el crédito, sin importar en qué mes del plazo se encuentre, tal como se aprecia en la siguiente tabla: MES SALDO INICIAL LIQUIDACIÓN INTERÉS PAGO DE INTERÉS ABONO A CAPITAL PAGO TOTAL SALDO INTERESES SALDO CAPITAL SALDO TOTAL 1 2,350,000 47,000 47, , ,350,000 2,350, ,350,000 47,000 47, , ,350,000 2,350, ,350,000 47,000 47, , ,350,000 2,350, ,350,000 47,000 47, , ,350,000 2,350, ,350,000 47,000 47, , ,350,000 2,350, ,350,000 47,000 47,000 2,350,000 2,397, En el segundo caso, cuando los intereses se liquidan, no se pagan y se acumulan como una deuda para pagar al final del plazo, también se utiliza la fórmula (3) I = i P para liquidar el monto que cada mes se suma a la deuda de los intereses por pagar. Ejemplo No

26 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Un crédito de $2,350,000 concedido con un plazo de seis meses, liquida intereses cada mes a una tasa del 2%, los intereses liquidados se adeudan y se pagan al final del plazo. Cuál será el valor de los intereses liquidados cada mes y cuánto debe cancelar por intereses al final del plazo? Como coinciden el período de expresión de la tasa de interés y el período de liquidación de los intereses, basta reemplazar los valores en la fórmula (3): I = i P, así: I = 0.02 (2,350,000) = 47,000 Se deben liquidar cada mes $47,000 por el crédito y sumarlos a una deuda por intereses, sin importar en qué mes del plazo se encuentre. Al finalizar el plazo, se adeudan seis cuotas de interés, por lo tanto se debe 6 x 47,000 = 282,000. La deuda de los intereses se mantiene independiente del capital adeudado, por lo tanto no genera nuevos intereses, tal como se aprecia en la siguiente tabla: MES SALDO INICIAL LIQUIDACIÓN INTERÉS PAGO DE INTERÉS ABONO A CAPITAL PAGO TOTAL SALDO INTERESES SALDO CAPITAL SALDO TOTAL 1 2,350,000 47, ,000 2,350,000 2,397, ,350,000 47, ,000 2,350,000 2,444, ,350,000 47, ,000 2,350,000 2,491, ,350,000 47, ,000 2,350,000 2,538, ,350,000 47, ,000 2,350,000 2,585, ,350,000 47, ,000 2,350,000 2,632, En el tercer caso, cuando los intereses se liquidan, no se pagan y se suman al capital, también se utiliza la fórmula (3) I = i P para liquidar el monto de los intereses que cada mes se suma al capital. La gran diferencia es que para cada período el valor de P es diferente, ya que incluye los intereses que se han vuelto capital es decir que han tenido capitalización. Ejemplo No Un crédito de $2,350,000 concedido con un plazo de seis meses, liquida intereses cada mes a una tasa del 2%, los intereses liquidados se capitalizan y se pagan al final del plazo. Cuál será el valor de los intereses liquidados cada mes? Como coinciden el período de expresión de la tasa de interés y el período de liquidación de los intereses, basta reemplazar los valores en la fórmula (3): I = i P, sin embargo existe un problema y es que el valor de P no se mantiene constante, por lo tanto hay que conocerlo primero; para ello se utiliza la siguiente tabla: MES SALDO INICIAL LIQUIDACIÓN INTERÉS PAGO DE INTERÉS ABONO A CAPITAL PAGO TOTAL SALDO INTERESES SALDO CAPITAL SALDO TOTAL 12

27 Capítulo 1: Intereses Jairo Gutiérrez Carmona 1 2,350,000 47, ,397,000 2,397, ,397,000 47, ,444,940 2,444, ,444,940 48, ,493,839 2,493, ,493,839 49, ,543,716 2,543, ,543,716 50, ,594,590 2,594, ,594,590 51, ,646,482 2,646, Con la solución de estos problemas, pueden plantearse los conceptos de interés simple y de interés compuesto Interés simple Interés simple, es aquella forma de liquidar los intereses en la cual para su cálculo se toma como base únicamente el capital, ignorando los intereses liquidados y no pagados en períodos anteriores. Por lo tanto el valor del capital adeudado permanece constante y sólo cambia la deuda por concepto de intereses. Esto hace que para efectos de utilización de las fórmulas, se emplee siempre el mismo valor para el capital al inicio del período ( P ). Para el cálculo del interés simple de un período, siempre se utilizará la fórmula (3): I = i P donde I es el valor absoluto ($) del interés a pagar o cobrar que se constituye en deuda. i es la tasa de interés (%) del período. P es el valor del capital al inicio del período que se está liquidando. Como los intereses así calculados se acumulan en una deuda independiente, para calcular el valor total de la deuda, en un momento dado, basta con multiplicar el monto de los intereses de un período por el número de períodos que hayan transcurrido, con lo cual la fórmula (3) toma el siguiente aspecto: I = n i P donde I es el valor absoluto ($) del interés a pagar o cobrar. n es el número de períodos que han transcurrido desde el inicio del negocio. i es la tasa de interés (%) del período. P es el valor del capital al inicio del período que se está liquidando. Es importante interpretar el cambio que acaba de mostrarse para la fórmula (3): a) Al generalizar la fórmula como I = n i P, puede decirse que no ha cambiado nada cuando n = 1 y que por lo tanto para calcular el interés de un período se sigue utilizando la fórmula original. b) Puede interpretarse que el número de períodos (n) está multiplicando todo el interés calculado, por lo tanto se agruparía así: I = n (i P). 13

28 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel c) También puede interpretarse suponiendo que el número de períodos (n) esta multiplicando sólo la tasa de interés del período, por lo tanto se agruparía así: I = (n i) P. Vale aclarar que las tres interpretaciones son válidas y todo se reduce a decisiones matemáticas según sean los datos que se conozcan en cada problema. Ejemplo No Para una deuda de $500,000 que paga interés simple del 2.5% mensual. Cuánto se debe liquidar de intereses cada mes y cuánto al término de cuatro meses? Para conocer cuánto se debe liquidar en un mes, se emplea la fórmula (3) con n = 1, por lo tanto: I = i P I = (500,000) = 12,500 Para calcular cuánto debe de intereses al término de cuatro meses, se emplea la fórmula (3) con n = 4, por lo tanto: I = n i P I = 4 (0.025) (500,000) = 50,000 A continuación se presenta la tabla de evolución de la deuda, en la cual se aprecia que cada mes se liquida el mismo interés, sobre la misma base ( P ), utilizando la misma fórmula: LIQUIDACIÓN DE INTERESES SALDOS ADEUDADOS MES SALDO INICIAL DEL PERÍODO (P) FÓRMULA VALOR INTERESES CAPITAL TOTAL 1 500,000 I = i P 12,500 12, , , ,000 I = i P 12,500 25, , , ,000 I = i P 12,500 37, , , ,000 I = i P 12,500 50, , ,000 Ejemplo No Cuánto se esta pagando de tasa de interés mensual, en un crédito de $2,220,000, que durante un semestre cobra intereses por valor de $240,000? Como el período de liquidación de los intereses es el mes, el plazo y la tasa de interés deben expresarse también en meses, por lo tanto se hablará de un plazo de seis meses y no de un semestre. Para resolver el problema debe emplearse alguna de las expresiones de i presentadas en la fórmula (2), dependiendo de los valores conocidos que son 14

29 Capítulo 1: Intereses Jairo Gutiérrez Carmona n = 6 P = 2,220,000 e I = 240,000. I F - P i = i = i = P P F P - 1 Por lo tanto i = 240,000 / 2,220,000 = o también expresado en porcentaje como 10.81%. El valor de i así calculado es el que se cobra durante todo el plazo, es decir seis meses, lo cual nos indica que 10.81% = n i, dado que el período de liquidación de los intereses es el mes. Esto nos lleva a plantear la siguiente expresión para la tasa de interés de un mes: i = 10.81% / 6 = 1.8% Interés compuesto Interés compuesto, es aquella forma de liquidar los intereses en la cual para su cálculo se toma como base el capital más los intereses liquidados y no pagados en períodos anteriores. Quiere decir, que los intereses liquidados en el pasado se han convertido en capital y por lo tanto generan nuevos intereses, este fenómeno es conocido como capitalización de los intereses. El fenómeno de la capitalización, lleva a que el valor adeudado por concepto de capital aumente al finalizar cada período y por lo tanto, que el valor que se emplea para calcular los nuevos intereses sea cada vez mayor. La capitalización de intereses, que consiste en sumar los intereses no pagados al capital, es un fenómeno real en el mercado financiero y no significa que se estén cobrando intereses sobre intereses. Para el cálculo del interés compuesto de un período siempre se utilizará la fórmula (3): I = i P donde I es el valor absoluto ($) del interés a pagar o cobrar que se suma al capital. i es la tasa de interés (%) del período. P es el valor del capital al inicio del período que se está liquidando (este valor es el que cambia cada período). Como los intereses así calculados se suman al capital, para calcular el valor total de la deuda, en un momento dado, debe emplearse una fórmula diferente, que se deduce 15

30 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel a continuación, explicando los pasos intermedios necesarios para calcular el nuevo valor de P en cada período: Ejemplo 1.17 Para una deuda de $500,000 que paga interés compuesto del 2.5% mensual. Cuánto se debe liquidar de intereses cada mes y cuánto al término del cuarto mes? La siguiente tabla muestra la evolución de la deuda: SALDO INICIAL LIQUIDACIÓN DE INTERESES SALDO FINAL MES SIGNO VALOR FÓRMULA INTERÉS VALOR INTERÉS CAPITAL SIGNO FÓRMULA SALDO 1 P 500,000 I = i P 12, ,500 P1 P1 = P + I = P + i P = P (1 + i) 2 P1 512,500 I = i P1 12, ,313 P2 3 P2 525,313 I = i P2 13, ,445 P3 4 P3 538,445 I = i P3 13, ,906 P4 P2 = P1 + I = P1 + i P1 = P1 (1 + i) = P (1 + i) (1 + i) = P (1 + i)2 P3 = P2 + I = P2 + i P2 = P2 (1 + i) = P (1 + i)2 (1 + i) = P (1 + i)3 P4 = P3 + I = P3 + i P3 = P3 (1 + i) = P (1 + i)3 (1 + i) = P (1 + i)4 Se corrobora que para calcular el interés de un solo período, siempre utiliza la misma fórmula, tal como se aprecia en la columna FÓRMULA INTERÉS, la diferencia frente al interés simple, es que el valor empleado como base cambia en cada período debido a la capitalización de los intereses. Por lo tanto, el valor mensual de los intereses cambia y su valor aparece en la columna VALOR INTERÉS del cuadro anterior. Para calcular el saldo adeudado (F), después de una serie de períodos (n) se utiliza la fórmula deducida en la columna FÓRMULA SALDO : F = P (1 + i) n (6) 16 donde F es el valor acumulado en la deuda o inversión después de una serie de períodos. P es el valor invertido o recibido en préstamo al inicio del plazo i es la tasa de interés del período de liquidación que se aplica compuesta. n es el número de períodos que han trascurrido desde el inicio del negocio. De la fórmula (6) es posible deducir otras fórmulas así: