Análisis de Redes. 1. Introducción

Transcripción

1 nálisis de Redes. Introducción Los problemas de redes son comunes en la vida diaria. Problemas de transporte, distribución eléctrica, localización de instalaciones, producción y logística son típicos en los modelos de negocios. 2 Nodo rco Figura. Representación gráfica de una red xiste una terminología típica para definir los elementos de una red. Una red consiste en conjunto definido de puntos y líneas que unen ciertos pares de puntos. Se conoce como nodos (vértices) a dichos nudos y como arcos a las líneas que los unen. Los arcos de una red pueden tener flujo de algún tipo que pase por ellos. Se dice que un arco es dirigido si permite flujo en una sola dirección, de lo contrario se conoce como un arco no dirigido o ligadura. Por convención, el arco se denomina en función a su dirección. sí, en la figura el arco -2 indica que su dirección se del nodo al nodo 2 y no viceversa. Una red que tiene solamente arcos dirigidos se conoce como red dirigida, de lo contrario se conocerá como una red no dirigida. n caso que se quiera representar flujo en ambas direcciones, se considerará el mismo como dos arcos dirigidos uniendo una pareja dada de nodos. e lo contrario, en un arco no dirigido, se considerará el flujo neto del mismo como la diferencia entre los flujos en ambas direcciones. Una red no dirigida, o con arcos no dirigidos puede representarse como una red dirigida uniendo los nodos con dos arcos dirigidos en direcciones contrarias, tal como lo muestra la figura 2. Fig. 2 rcos no dirigidos y dirigidos Una trayectoria entre dos nodos es una sucesión de arcos distintos. Una trayectoria dirigida del nodo i al nodo j es una sucesión de de arcos cuya dirección es hacia el nodo j. n la figura, los nodos y están conectados por las trayectorias - o -2-. Un ciclo es una trayectoria que comienza y termina en el mismo nodo. n una red dirigida, un ciclo puede ser o no dirigido, según la trayectoria en cuestión. Se dice que dos nodos están conectados si la red contiene al menos una trayectoria no dirigida entre ellos. Una red conexa o conectada es una red en la que cada par de nodos está conectado. Fig. Árbol de expansión F Supóngase un conjunto de n nodos. s posible hacer un árbol se agrega un arco (o rama) que conecte cualquier par de nodos. e ahí en adelante, cada arco nuevo debe agregarse entre un nodo ya conectado y otro nodo no conectado, de tal manera que no se formen ciclos. sí, un árbol es una red conexa para algún subconjunto de nodos que no contiene ciclos. e Investigación de peraciones 2 H. R. Álvarez., Ph..

2 manera general, un árbol de expansión, es una red que conecta los n nodos sin formar ciclos. l número mínimo de ramas de dicho árbol es n-, que es el número mínimo de arcos necesarios para conectar todos los nodos. La capacidad de un arco es la cantidad neta máxima de flujo que puede circular en arco dirigido. Un nodo generador de flujo se conoce como nodo fuente u origen. Un nodo fuente tiene la propiedad de que el flujo que sale del nodo supera al que entra e él. Un nodo demanda o destino es aquel en el que el flujo que llega excede al que sale. Finalmente, un nodo de trasbordo o intermedio satisface la conservación de flujo, o sea, el flujo que sale es igual al que entra. 2. l Árbol de xpansión Mínima onsiderar una red conectada no dirigida, donde se tiene alguna medida de longitud positiva distancia, costo, tiempo, etc. asociada con cada conexión. l problema consiste en conectar cada par de nodos con un árbol de expansión que minimice el tamaño total de las ramas. n otras palabras, encontrar el árbol con n- ramas que conecte de manera mínima todos los nodos. lgoritmo de solución: - Se selecciona de manera arbitraria cualquier nodo y se conecta al nodo no conectado más cercano. 2- Se identifica el siguiente nodo no conectado más cercano a cualquiera de los ya conectados y se conecta con dicho nodo. - n caso de empate, se selecciona el nodo de manera arbitraria. - ste proceso se repite tantas veces sea necesario hasta que se alcanza la solución óptima. jemplo (Hillier y Lieberman) La dministración de una reserva forestal necesita determinar los caminos bajo los cuales se deben tender las líneas telefónicas para conectar las estaciones de los guardaparques con una longitud mínima de cables de acuerdo a la tabla siguiente: Fig. atos y gráfica del ejemplo (WinQS) Solución (salidas tomada de WinQS): Investigación de peraciones 2 H. R. Álvarez., Ph.. 2

3 Partiendo de, se selecciona la distancia más corta y se une con el nodo correspondiente, en este caso, con distancia de 2 l nodo no conectado más cercano a cualquiera de los dos es, con distancia de 2 2 continuación se muestran, de manera gráfica, las diferentes iteraciones del problema: 6 Solución final. l Problema de la Ruta Más orta Fig. Proceso iterativo de solución onsidera una red conectada no dirigida, con dos nodos específicos de rigen y estino. ada conexión se asocia con una distancia no negativa. l objetivo es encontrar la ruta más corta la trayectoria con la mínima distancia total - del origen al destino. fin de encontrar la solución de este problema, se hace necesario analizar toda la red a partir del origen identificando de manera sucesiva la ruta más corta a cada uno de los nodos. Investigación de peraciones 2 H. R. Álvarez., Ph..

4 lgoritmo de solución: - bjetivo de la n-ésima iteración: encontrar el n-ésimo nodo más cercano al origen. 2- atos de la n-ésima iteración: n- nodos más cercanos al origen, incluida su ruta más corta la distancia desde el origen. stos nodos y el origen se llaman nodos resueltos. - andidatos para el n-ésimo nodo más cercano: - álculo del n-ésimo nodo más cercano: cada nodo resuelto que tiene conexión directa con uno o más nodos no resueltos proporciona un candidato. n caso de empate seleccionar de manera arbitraria. para cada nodo resuelto y sus candidatos, se suma la distancia entre ellos y la distancia más corta desde el origen para este nodo no resuelto. l candidato con la distancia total menor es el n-ésimo nodo más cercano y su ruta más corta es que genera esta distancia. n caso de empate, se tienen más candidatos. jemplo, para el mismo caso anterior, encontrar la distancia más corta entre el origen y el destino final. Fig. 6 atos y gráfica del ejemplo 2 (WinQS) n la siguiente página se podrá apreciar el proceso de solución, seleccionando la ruta más corta a partir del rigen. Investigación de peraciones 2 H. R. Álvarez., Ph..

5 N Nodos resueltos conectados directamente a nodos no resueltos Nodo no resuelto más cercano conectado istancia total n-ésimo nodo más cercano istancia mínima Última conexión = 2+=9 += += =9 +=8 +=8 8+= += l ver las conexiones, es posible ver que hay dos rutas con la misma distancia: La trayectoria formada por y la formada por, ambas con una distancia total recorrida de unidades de longitud. 2 Solución Final Fig. Proceso iterativo y solución final (WinQS) Investigación de peraciones 2 H. R. Álvarez., Ph..

6 . l problema del Flujo Máximo onsiderar una red conectada y dirigida que tiene un solo nodo fuente y un solo nodo destino, y el resto son nodos de trasbordo. ada la capacidad de los arcos, el objetivo es determinar el patrón factible de flujos a través de la red que maximice el flujo total, desde el nodo fuente al destino. fin de resolver este problema, se aplica el algoritmo de trayectorias aumentadas, el c ual se basa en dos conceptos importantes: la red residual y la trayectoria aumentada. La red residual o red de capacidades residuales muestra las capacidades restantes para recibir flujos adicionales. Por ejemplo en la figura 8, considerar el arco que se muestra en la figura 8a. ste arco tiene una capacidad inicial de unidades, y no se le ha asignado ningún flujo inicial. n la figura 8b, se puede apreciar el mismo arco con una asignación o flujo de unidades. La capacidad residual de dicho arco es ahora 2, aunque también tendría una capacidad residual de vuelta de unidades para enviar de. sí, siempre que se asigne algún flujo en un arco, esa cantidad se resta de la capacidad residual en la misma dirección y se suma a la capacidad residual en dirección contraria. Una trayectoria de aumento, por otro lado, es una trayectoria dirigida del nodo fuente al nodo destino en una red residual, tal que todos los arcos en esta trayectoria tienen capacidad residual estrictamente positiva. l mínimo de estas capacidades residuales se llama capacidad residual de la trayectoria. Por lo tanto, cada trayectoria de aumento proporciona una oportunidad de aumentar más el flujo a través de la red original. lgoritmo de la trayectoria de aumento para el problema del flujo máximo: 8a - Se identifica una trayectoria de aumento encontrando alguna trayectoria dirigida del nodo origen al nodo destino en la red residual tal que cada arco sobre esta trayectoria tenga capacidad residual estrictamente positiva. 2- Se identifica la capacidad residual c* de esta trayectoria de aumento encontrando el mínimo de las capacidades residuales sobre esta trayectoria. Se aumenta en c* el flujo el flujo de esta trayectoria. - Se disminuye en c* la capacidad residual de cada arco en esta trayectoria de aumento. Se aumenta en c* la capacidad residual de cada arco en la dirección opuesta en la trayectoria. - Si existe otra posible trayectoria, regresar a la etapa. SI no existe una, los flujos netos asignados constituyen un patrón de flujo óptimo. Se tiene el ejemplo que se muestra a continuación (tomado de Hillier y Lieberman): 2 Fig. 8 Flujo en rcos 8b Fig. 9 jemplo Investigación de peraciones 2 H. R. Álvarez., Ph.. 6

7 Investigación de peraciones 2 H. R. Álvarez., Ph.. Solución: Iteración : Se escoge la trayectoria ya que permite el mayor flujo del origen. Se envía un flujo min{,, 6} = Iteración 2: Para el siguiene flujo, se escoge la trayectoria con min{,,9} =. l flujo total es ahora 8 unidades. Iteración : Se asigna a la trayectoria, quedando el flujo en

8 Investigación de peraciones 2 H. R. Álvarez., Ph.. 8 Iteración : Se asignan 2 a la trayectoria, quedando el flujo en Iteración : Se asigna un flujo de a la trayectoria, quedando el flujo en 2 Iteración 6: Se asigna un flujo de a la trayectoria, quedando un flujo de Iteración : Se asigna un flujo de a la trayectoria, quedando un flujo de

9 No existen trayectorias de aumento, por lo que la solución es óptima Gráficamente queda la siguiente red de flujo máximo: 8 6 Fig. Red óptima WinQS permite encontrar una solución alterna la cual se muestra en la figura : Fig. Solución alterna por WinQS. dministración de Proyectos con PR y PM Uno de los mayores retos de un administrador de proyectos es el poder coordinar las diferentes actividades a través de una organización a fin de finalizar, con éxito, proyecto. os técnicas de investigación de operaciones apoyan esta labor, PR (Program valuation Review echnique) y PM (ritical Path Method) apoyan en este reto. fin de explicar los métodos, se presentará un ejemplo simple. Una empresa constructora se ganó una licitación para construir un proyecto privado por /.. millones. l cliente necesita el proyecto terminado en el plazo de un año. fin de garantizar esto, el contrato incluye las siguientes provisiones: - Una multa de /. mil si el proyecto no se termina dentro de la fecha de semanas a partir de la orden de proceder. - Un bono de /. mil si se termina dentro de las primeras semanas. Investigación de peraciones 2 H. R. Álvarez., Ph.. 9

10 continuación se muestran las actividades para completar dicho proyecto, junto a sus predecesores y su duración estimada: jemplo escripción Predecesor inmediato xcavación - 2 Fundaciones Paredes echo 6 Plomería exterior F Plomería interior G Repello exterior H Pintura exterior, G 9 I rabajo eléctrico J Repello interior F, I 8 K Piso J L Pintura interior J M cabado exterior H 2 N cabado interior K, L 6 ctividad uración estimada (semanas) n esta tabla, se puede apreciar que existen predecesores para ciertas actividades. n este caso, estas actividades deben ser terminadas antes que la siguiente actividad pueda iniciarse. sí, si hay más de un predecesor, estos deben todos terminarse antes que inicie la siguiente actividad. La Red del Proyecto l igual que las redes estudiadas anteriormente, la red del proyecto está compuesta de una serie de nodos y arcos que representan las actividades, el tiempo de duración de las mismas y el orden (actividades predecesoras) de las mismas. xisten dos enfoques para desarrollar dichas redes: - ctividades en los arcos (): donde cada actividad está representada por un arco. Un nodo se utiliza para separar una actividad (arco que sale) de cada uno de los predecesores inmediatos (arcos que llegan). ntonces, la secuencia de arcos muestra las relaciones de procedencia entre las actividades. - ctividades en nodos (N): donde cada actividad es representada por un nodo. Los arcos se utilizan sólo para mostrar las relaciones de precedencia entre las actividades. n particular, el nodo para cada actividad con los predecesores inmediatos tienen un arco que llega desde cada uno de estos predecesores. unque las versiones originales de PR y PM utilizaban redes del tipo, las redes de proyecto tipo N se han venido utilizando de manera más frecuenta ya son más sencillos de construir y de revisar que las anteriores. n la página siguiente se muestra la red correspondiente al proyecto de construcción mostrado en la tabla. icho diagrama muestra las actividades con sus correspondientes predecesores y tiempos estimados de trabajo. Investigación de peraciones 2 H. R. Álvarez., Ph..

11 G Inicio M Finalización 2 I H N K 6 F 8 L J Fig. 2 Red para el ejemplo e esta red se pueden hacer varias preguntas: - uánto es la duración total del proyecto? - uáles son las actividades críticas del proyecto? - Hay cuellos de botella? - Hay actividades que pueden iniciarse antes o retrasarse sin afectar el proyecto? n cuanto a la primera pregunta, si se suman directamente las actividades de manera secuencial, se tendría una duración total de 9 semanas, lo que en la realidad no es cierto ya que hay actividades que pueden hacerse en paralelo. fin de poder analizar la duración correcta del proyecto es necesario definir la trayectoria de las actividades. al y como se ha visto a lo largo de este documento, una trayectoria es una de las posibles rutas desde un nodo inicio a un nodo final y la longitud de las mismas es la suma de las longitudes de los diferentes arcos que comprenden la trayectoria o ruta dada. Por ejemplo, considerando las diferentes trayectorias que pueden trazarse desde el inicio hasta la finalización del proyecto, y cumpliendo con las restricciones técnicas que existen en el mismo, es posible trazar las siguientes: Posibles trayectorias de terminación en el jemplo rayectoria Longitud (duración en semanas) Inicio G H M Fin = Inicio H M Fin = Inicio F J K N Fin = Inicio F J L N Fin = Inicio I J K N Fin = Inicio I J L N Fin = 2 La duración de un proyecto no será mayor que una trayectoria en particular. sta trayectoria será la ruta más larga a través de la red. Las actividades a lo largo de esta ruta se deben realizar sin interrupción. sí, la duración estimada del proyecto es igual a la longitud de la ruta más larga a través de la red del proyecto, y se conoce como la ruta crítica. n el caso de este proyecto la ruta crítica estará definida por la trayectoria Inicio F J L N Fin la cual tomará un estimado de semanas desde el inicio del proyecto. Las actividades a lo largo de esta ruta son el cuello de botella del proyecto. ualquier atraso en las mismas hará que la duración del proyecto sea mayor que las semanas estimadas. Por otro lado, estas son las actividades que hay que revisar para reducir el tiempo total del proyecto. Investigación de peraciones 2 H. R. Álvarez., Ph..

12 hora bien, a fin de analizar el inicio y finalización de las diferentes actividades, en función a la duración del proyecto, será necesario calcular los tiempos más cercanos de inicio y terminación de las diferentes actividades. Sean: I: el tiempo de inicio más temprano o cercano de una actividad dada, : el tiempo de terminación más temprano o cercano de una actividad dada, entonces = I + tiempo de duración estimada. l tiempo de inicio más cercano de una actividad será igual al mayor de los tiempos de terminación más cercanos de sus predecesores inmediatos, esto es, I = max. { inmediatos}. ste procedimiento de ir hacia adelante a partir del inicio de la red del proyecto se le conoce como la pasada hacia adelante y permite determinar los tiempos de inicio más temprano. Para el ejemplo presentado, la red con sus tiempos de inicio y terminación más temprano se muestran a continuación (Ver a Hillier para mayores detalles): 2 > 2 Fig. iempos más tempranos para el ejemplo Investigación de peraciones 2 H. R. Álvarez., Ph.. 2

13 n este caso se supone que el tiempo que tomará la actividad será el tiempo estimado de la misma. hora bien, en caso de que hubiese retraso la pregunta sería qué tanto se puede retrasar una actividad sin que afecte la duración del proyecto? fin de poder determinar esto hay que considerar los tiempos de inicio y terminación más tardíos o lejanos. l tiempo de inicio más lejano para una actividad es el tiempo más lejano posible de comenzar una actividad sin retrasar la duración del proyecto, suponiendo que no hay retrasos subsecuentes. l tiempo de terminación más lejano será lo más tarde que se puede terminar una actividad sin retrasar la duración total del proyecto. Sean: IL: el tiempo de inicio más lejano para una actividad dada, L: el tiempo de terminación más lejano para una actividad dada, entonces IL = L duración estimada de la actividad. n caso de varias actividades precedentes, el tiempo de terminación más lejano será igual al menor de los tiempos de inicio más lejano de sus sucesores inmediatos, esto es, L = min {IL sucesores inmediatos}. n este caso, la determinación de los tiempos más lejanos se hace iniciando en a partir de la terminación del proyecto y se hace una pasada hacia atrás en las diferentes actividades de la red. La figura muestra los tiempos más lejanos después de la pasada hacia atrás de la red (ver a Hillier para más detalles). fin de determinar la ruta crítica de un proyecto, es necesario calcular las holguras de las diferentes actividades. La holgura para una actividad es la diferencia entre su tiempo de terminación más lejano y su tiempo de terminación más cercano (o su inicio más lejano menos su inicio más cercano) tal que: Holgura = L = IL I Una actividad será crítica si la holgura es cero, esto es, no se puede atrasar porque no existe una holgura que permita iniciar más tarde sin afectar al proyecto. La trayectoria compuesta por las actividades con holgura cero será entonces la ruta crítica del proyecto. La tabla que se muestra a continuación expresa las diferentes holguras para las actividades del proyecto mostrado en el ejemplo. Fig. iempos más lejanos para el ejemplo Investigación de peraciones 2 H. R. Álvarez., Ph..

14 Holguras para el ejemplo ctividad Holgura ctividad crítica Si Si Si No Si F Si G No H No I 2 No J Si K No L Si M No N Si sí, la ruta crítica estará dada por las actividades Inicio F J L M Fin, la que es equivalente a la trayectoria encontrada por las distancias más largas. xisten diferentes programas que permiten calcular tanto la ruta crítica como las actividades críticas de un proyecto. Por ejemplo el WinQS permite hacer de manera sencilla estos cálculos. tros programas, como el Microsoft Project, son programas profesionales que permiten no solo el cálculo de la ruta crítica sino llevar el control presupuestario y operativo de las diferentes actividades. La figura muestra las salidas correspondientes para el ejemplo utilizando WinQS, Fig. Salidas en WinQS para el ejemplo Investigación de peraciones 2 H. R. Álvarez., Ph..

15 dicionalmente WinQS permite generar el gráfico de Gantt que se muestra, con la secuencia de actividades y duración estimada del proyecto tomando en cuenta actividades que pueden llevarse a cabo de manera paralela y en diferentes tonos las actividades que pueden iniciarse antes y después sin afectar la duración total del proyecto de semanas. Manejo de incertidumbre en PR/PM n la práctica la duración de las diferentes actividades de un proyecto puede representarse como una variable aleatoria, donde lo que se tiene es una duración estimada en función a consideraciones pudieran afectar la ejecución del proyecto. PR considera que el tiempo estimado de las actividades proviene de tres escenarios: - scenario más probable (m): es el estimado más probable de duración de una actividad. - scenario optimista (o): es el estimado de duración bajo las condiciones más favorables de ejecución. - scenario pesimista (p): es el estimado de duración bajo las condiciones más desfavorables. PR supone que los escenarios pesimista y optimista están en los extremos de lo que es posible, mientras el escenario más probable proporciona el punto más probable de probabilidad. Igualmente se supone que dichos escenarios se siguen la forma de una distribución beta con parámetros: o m p ; 6 o - p 6 La tabla a continuación muestra la información de los escenarios optimista, más probable y pesimista de los tiempos de duración, así como la media y desviación estándar correspondiente: Investigación de peraciones 2 H. R. Álvarez., Ph..

16 scenarios para el jemplo ctividad scenarios ptimista Más probable Pesimista F..... G H I J K..... L..... M N l tiempo medio de duración y la desviación estándar de la duración del proyecto estarán dados por: p = i y 2 p = 2 i respectivamente, para i = {ruta crítica}. Si se supone que las actividades son independientes y que hay un suficiente número de ellas, es posible utilizar la aproximación normal para determinar la probabilidad de duración de un tiempo de proyecto t p. sí, p = semanas y p = semanas. sto permite calcular la probabilidad de que proyecto se termine en un tiempo dado. sí, por ejemplo la probabilidad de que el proyecto se termine en t semanas o menos será de aproximadamente 8% (utilizando la tabla normal es posible hacer este cálculo), por lo que hay que tener cuidado con las actividades críticas para no incumplir y tener que pagar la multa. on respecto a si se puede hacer en semanas, la probabilidad de lograr esto es de apenas 9% por lo que pareciera que la empresa debe concentrarse en acabar dentro del plazo de semanas o menos. Finalmente, si se define el osto celerado, como el costo de lograr una reducción de tiempo en una actividad dada, es posible determinar el costo de acelerar una actividad o proyecto por unidad de tiempo como: n esta ecuación:, a i t t i a : es el costo de acelerar una actividad o proyecto por unidad de tiempo a : es el costo acelerado de una actividad o proyecto i : es el costo estimado de la actividad o proyecto t a : es el tiempo de completar la actividad de manera acelerada t i : es el tiempo estimado de terminación de una actividad o proyecto Investigación de peraciones 2 H. R. Álvarez., Ph.. 6