Ejercicios de Optimización y Simulación. Hoja 1

Transcripción

1 Ejercicios de Optimización y Simulación. Hoja 1 1. Deducir razonadamente la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones. Sea x 0 R tal que las funciones f(x) y g(x) tienen un extremo local en x 0 (a) La función h(x)=f(x)+g(x) tiene un extremo local en x 0. (b) La función h(x)=f(x)-g(x) tiene un extremo local en x 0. (c) La función h(x)=f(x).g(x) tiene un extremo local en x 0. (d) La función h(x)=f(x)/g(x) tiene un extremo local en x Deducir razonadamente la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones. Sean f(x) y g(x) funciones reales que tienen un mínimo local en los puntos x = x 0 y x = 0. (a) La función h(x) = f(f(x)) tiene un extremo local en x 0. (b) La función h(x) = f(g(x)) tiene un extremo local en x 0. (c) La función h(x) = f 1 (x) tiene un extremo local en x 0. (d) La función h(x) = f 1 (g(x)) tiene un extremo local en x (3 puntos) Decir razonadamente la verdad o falsedad de la siguiente afirmación: Sea f(x) función continua y convexa en R. Si el conjunto S R es convexo, entonces el conjunto S 1 = {x R/f(x) S} también es convexo. 4. Sean f(x) y g(x) R R funciones convexas en el intervalo [a,b]. Demostrar la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones. (a) f(g(x)) también es convexa en [a,b]. (b) f(x) 2 también es convexa en [a,b]. (c) f 1 (x) no es convexa en [a,b]. (d) Si g(x) 0 en [a,b] entonces f(x) g(x) es convexa en [a,b]. 5. Deducir razonadamente la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones. Sean A,B R conjuntos convexos (a) El conjunto A B es convexo. (b) El conjunto A B es convexo. (c) El conjunto A B = {x A tal que x / B} es convexo (d) El conjunto A B R 2 = (x,y) tal que x A e y B es convexo. 6. Demostrar que el conjunto { } n n X = x = λ i x i : λ i 0, λ i = 1, donde x i R n i = 1,...,n es convexo. i=1 i=1 1

2 7. Sea A matriz de orden m n, b R m, demostrar que S = {x R n tales que Ax b} es un conjunto convexo. 8. Sea S un conjunto convexo en R n y sea A una matriz m n y α un escalar. Demostrar que los siguientes conjuntos son convexos: (a) AS = {y/y = Ax,x S} (b) αs = {αx/x S} 9. Sea P(x) polinomio real de grado n, demostrar que a lo mas, P tiene n-1 extremos locales. 10. Considerar la función f(x,y) = x 2 xy + 2y 2 2x + e x+y (a) Escribir la condición de optimalidad de primer orden. (b) Es (0,0) un punto crítico?. (c) Obtener una direccion d a lo largo de la cual la función deba decrecer. (d) Calcular el mínimo de la función en esa dirección. 11. Resolver gráficamente el siguiente problema de optimización: max y (x + 5)2 x x y Demostrar que si f(x) es positiva y tiene dos derivadas continuas en x 0, si f(x) tiene un mínimo local en x 0 entonces f 2 (x) también tiene un mínimo local en x Resolver el siguiente problema de optimizacion: min 1 xy x 1 2x x 0, y Resolver el siguiente problema de optimizacion: min(x 4) 2 + (y 2) 2 3 x y 0 4 x 2y Resolver gráficamente el siguiente problema de optimización: min (x 3)2 4 + (y 5)2 3 y 1 x + x Donde la función x es la función suelo de x. 2

3 16. Resolver el siguiente problema de optimización: min x 9 + y 6 9 x y x y 0 (1) 17. Resolver gráficamente el siguiente problema de optimización: min(x 5) 2 (y 7)2 + 4 sen(y) x 0 x 0 y 0 (2) 18. Para cada una de las funciones siguientes dar su dominio, buscar si existen extremos locales o globales y analizar la curvatura de la función (a) f(x) = x 1 x 2 (b) f(x) = x2 +1 x 2 1 (c) f(x) = ex x 1 (d) f(x) = cos(x)sen(x) (e) f(x) = ln(x) x (f) f(x) = x 2 3 (2x 5) (g) f(x) = xsen(x) 19. Supongamos que el coste total de fabricacion de x artículos viene dado por C(x) = 3x 2 + x + 48 euros. (a) Cuál es el coste de fabricación de 20 artículos? (b) Cual es el coste de fabricacion del vigésimo articulo? (c) Expresar el coste de fabricación medio como funcion de x (d) Para qué valor de x es mínimo el coste medio? 20. Dadas las funciones de ingresos y costes totales de una empresa I(x) = x x para 2 x 5 C(x) = 3 4 x + 1 para 2 x 5 siendo x la producción en miles de unidades, determinese la producción óptima para obtener el máximo beneficio. 3

4 21. La curva de coste total de un artículo es y = 2x 2x 2 +x 3, donde y representa el coste total y x es la cantidad producida. Suponga que las condiciones de mercado indican que deberán producirse entre 0 y 10 unidades. (a) Obtener la curva de coste medio. (b) Estudiar los óptimos de la curva de coste medio. (c) Comparar los óptimos obtenidos con los valores de la función de coste medio en los extremos del intervalo de producción que indica el mercado. 22. A una empresa que cuenta con un taller de reparación de maquinaria que utiliza se le presenta el problema de determinar el número de obreros que constituye la plantilla óptima del taller. Para ello se estudian las condiciones de trabajo y el coste de mantenimiento, obteniendose los siguientes datos: (a) La reparación de una maquina requiere, por termino medio, 3 obreros por dia. (b) La capacidad del taller permite reparar x maquinas al dia. El número medio de máquinas pendientes de reparación que un día cualquiera hay en el taller viene determinado por N(x) = 10/(x 10). (c) La jornada de trabajo es de 8 horas con un salario de 200 unidades/h por obrero. (d) El coste de inactividad de una maquina es de 1920 unidades/dia. Determinese el número óptimo de obreros. 23. Con el fin de adquirir una empresa se efectúa un estudio de la estructura de costes totales y de la demanda de la misma, obteniendose: (a) Los costes fijos vienen dados por la función K(x) = y los costes variables por la función CV (x) =.01xK(x) + L(x) siendo x las unidades producidas y L(x) = 12000x 0,005x 2 el coste de mano de obra. (b) La demanda del mercado viene dada por la función f(p) = p donde p es el precio de cada unidad vendida. En el supuesto de que la empresa es capaz de colocar en el mercado toda la producción, se pide: (a) El nivel de producción que proporciona el beneficio máximo. (b) El precio por unidad para ese nivel de producción 24. Una firma de plásticos ha recibido un pedido para fabricar 800 tablas especiales de espuma de plástico para entrenamientos de natación. La firma posee 10 máquinas, cada una de las cuales puede producir 30 tablas de entrenamientos cada hora. El coste de adaptacion de las maquinas para producir las tablas especiales es de 20 unidades por maquina. Una vez las máquinas han sido adaptadas, la operación es completamente automática y puede ser supervisada por un solo capataz, cuyo salario es de 4,8 unidades/hora. Cuantas máquinas deben adaptarse para reducir al mínimo el coste de fabricación de dichas tablas. 4

5 25. Una empresa recibe el encargo de fabricar piezas, para lo cual pedirá al INEM que le facilite la contratación de un número de trabajadores entre 3 y 13. Cada pieza del encargo se compone de 100g de hierro y 200g de aluminio, siendo los precios de compra del kilogramo de hierro y alumunio respectivamente de 2000 y 1500 unidades. Se sabe que el salario por hora de cada trabajador es de 800 unidades, que los gastos de administración y gestión son de unidades y que el número de piezas que los trabajadores pueden realizar en una hora de trabajo viene dado por la función p(x) = x 2 +16x 36 donde x es el número de trabajadores contratados. Se pide: (a) La función de costes totales del pedido en función del número de trabajadores contratados. (b) El número de trabajadores a contratar para que se minimicen los coestes totales del pedido. En cuanto tiempo realizaran el pedido? (c) El numero de trabajadores a contratar si se desea entregar el pedido lo antes posible. Cual sería entonces el coste del pedido? 26. Suponga que usted es gerente de una empresa que comercializa un producto con la siguiente estructura de costes (a) Costes fijos unidades (b) Coste de mano de obra por unidad de producto 120 unidades (c) Coste de materia prima: El 40% del coste de la mano de obra. Sabiendo que la curva de demanda es p = 400 (1/q) donde p es el precio de venta al público y q es el nivel de producción, se pide: (a) El nivel de producción y precio al que se maximiza la función de ingresos (b) El nivel de producción y precio al que se maximiza la función de beneficios (c) Si el coste de la materia prima fuese un 20% del precio de venta al público, Crees que la empresa obtendría mayores beneficios? 27. Una empresa compra y vende anualmente litros de la bebida X. La política actual de compras consiste en adquirir una vez al mes 1000 litros de dicha bebida. El precio de coste de un litro de la bebida X es de 300 unidades, los gastos administrativos de realizar cada pedido son de unidades y el coste diario de mantenimiento en almacen es de 1,5 unidades por litro. Si es estima que el número de litros que, en promedio, hay en el almacen es la mitad de los litros que contiene un pedido, y que el año tiene 360 dias, se pide: (a) Calcular el coste total que actualmente soporta la empresa cada año, entendiendo como tal el coste de la bebida, los costes de realizar los pedidos y el coste de mantenimiento en almacen. (b) Suponiendo que se mantienen las ventas, modificar la actual política de compras para que se minimice la función de costes totales anuales. 5

6 28. Calcular puntos críticos de las siguientes funciones y determinar cuales de ellos son máximos o mínimos locales y cuales son puntos de silla (a) f(x,y) = x 2 y 2 + xy (b) f(x,y) = x 2 y 2 xy (c) f(x,y) = x 2 y 2 + 2xy (d) f(x,y) = x 2 y 2 + 3xy (e) f(x,y) = e 1+x2 +y 2 (f) f(x,y) = log(x 2 + y 2 + 1) (g) f(x,y) = x 2 3xy + 5x 2y + 6y (h) f(x,y) = 3x 2 + 2xy + 2x + y 2 + y + 4 (i) f(x,y) = (y 3x 2 )(y x 2 ) (j) f(x,y) = sen(x 2 +y 2 ) (Estudiar solamente el punto critico (0,0)) (k) f(x,y) = cos(x 2 +y 2 ) (Estudiar solamente los puntos criticos (0,0),( π/2, π/2),(0, π)) (l) f(x,y) = y + xsen(y) (m) f(x,y) = e x cos(y) (n) f(x,y) = (x y)(xy 1) (o) f(x,y) = xy + 1 x + 1 y (p) f(x,y) = log(2 + sen xy) (q) f(x,y) = x sen(y) (r) f(x,y) = (x + y)(xy + 1) 29. Calcular el punto del plano 2x y + 2z = 20 más cercano al origen. 30. Mostrar que la caja rectangular de volumen fijo que tiene superficie mínima es un cubo. 31. Mostrar que la caja rectangular con superficie mímima que tiene el volumen máximo es un cubo. 32. Escribir el numero 120 como suma de tres números, de modo que la suma de los productos tomados dos a dos sea máxima 33. Calcular el mínimo de la función f(x) = 6e 2x + 2x 2 Por cada uno de los siguientes métodos (a) Método de la razón aúrea (b) Método de la busqueda dicotómica (c) Método de Newton (d) Método de la bisección (e) Método de Fibonacci Tomar como longitud final admisible l =.01 y como intervalo de incertidumbre ( 3, 3). Tomar ǫ =