Tlamati Sabiduría Volumen 8 Número Especial 2, Octubre Las derivadas

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1 Tlamati Sabiduría Volumen 8 Número Especial 2, Octubre r. Encuentro de Jóvenes en la Investigación de Bachillerato-CONACYT Memorias Las derivadas Christopher García Mendoza (Becario) christogarm@gmail.com Unidad Académica Preparatoria No. 13, Universidad Autónoma de Guerrero. Tanya Jannette Villalba Vega (Asesora) villalba.tanya@gmail.com Unidad Académica de Matemáticas - Chilpancingo Universidad Autónoma de Guerrero. Introducción La Historia De La Derivada Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a. C.), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta diecinueve siglos después (en el siglo XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz). En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen: El problema de la tangente a una curva (Apolonio de Perge) El Teorema de los extremos: máximos y mínimos (Pierre de Fermat) En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo diferencial. Siglo XVII Los matemáticos perdieron el miedo que los griegos le habían tenido a los infinitos: Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal.

2 Tlamati Sabiduría Volumen 8 Número Especial 2, 2017 A mediados del siglo XVII las cantidades infinitesimales fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral. Newton y Leibniz A finales del siglo XVII se sintetizaron en dos conceptos los algoritmos usados por sus predecesores, en lo que hoy llamamos «derivada» e «integral». La historia de la matemática reconoce que Isaac Newton y Gottfried Leibnitz son los creadores del cálculo diferencial e integral. Ellos desarrollaron reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación) e Isaac Barrow demostró que la derivación y la integración son operadores inversos. Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión, que para él era la velocidad con la que una variable «fluye» (varía) con el tiempo. Gottfried Leibniz, por su parte, formuló y desarrolló el cálculo diferencial en Fue el primero en publicar los mismos resultados que Isaac Newton descubriera 10 años antes. En su investigación conservó un carácter geométrico y trató a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad, viendo el sentido de su correspondencia con la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto. Leibniz es el inventor de diversos símbolos matemáticos. A él se deben los nombres de: cálculo diferencial y cálculo integral, así como los símbolos de derivada dy dx y el símbolo de la integral. Objetivos El propósito de este proyecto es la introducción al área del cálculo diferencial mediante el estudio de los siguientes temas (vecéis [1]- [3]): I. Introducción a los conceptos básicos del cálculo y la Teoría de conjuntos. II. III. IV. Los números reales: Sus axiomas y propiedades de campo Funciones y sus graficas: ideas generales y ejemplos. Idea Intuitiva de continuidad y límite de una función.

3 Memorias del 4 Encuentro de Jóvenes en la Investigación de Bachillerato-CONACYT V. Introducción histórica al cálculo diferencial VI. VII. Derivada de una función. Ejemplos. Interpretación geométrica de la derivada. Metodología 1. Los Números Reales Considérese al conjunto de todos los números (racionales e irracionales) que pueden medir longitudes, junto con sus inversos aditivos y el cero. Esos números se llaman números reales. Existen símbolos estándar para identificar los números. De aquí en adelante, N designar al conjunto de los números naturales (enteros positivos), Z (del alemán zahlen) designara al conjunto de los números enteros, Q (coeficientes de enteros) al de los números racionales y R al de los reales. N Z Q R Aquí, es el símbolo de inclusión o contención de conjuntos. Las cuatro operaciones aritméticas. Dados dos números reales x y y podemos sumarlos o multiplicarlos para obtener dos nuevos números reales x + y y x y. La adicción y la multiplicación tienen las siguientes propiedades que se llaman propiedades de campo. PROPIEDADES DE CAMPO 1. Leyes conmutativas. x + y = y + x y xy = yx 2. Leyes asociativas. x + y + z = y + x + z y x(yz) = yx z 3. Ley distributiva. x y + z = xy + xz 4. Elementos neutros. Hay dos números distintos, 0 y 1, que satisfacen las identidades: x + 0 = x + 0 y x 1 = x 5. Inversos. Cada número tiene un inverso aditivo (también llamado negativo) x, que satisface la expresión: x + ( x) = 0. Además, cada número x, excepto 0, tiene un inverso multiplicativo (también llamado reciproco), x -1, que satisface la expresión x x 56 = 1

4 y La sustracción y la división se define por: Tlamati Sabiduría Volumen 8 Número Especial 2, 2017 x y = x + ( y) x = x y56 y Orden. Los números reales distintos de cero se separan en forma adecuada en dos conjuntos ajenos los números reales positivos y los números reales negativos. Estos nos permiten introducir la relación del orden mediante: x < y y x es positivo PROPIEDADES DE ORDEN 1. Tricotomía. Si x y y son números, se cumple una y sólo una de las siguientes propiedades: x < y o x = y o x > y 2. Transitividad. x < y y y < z x < z 3. Aditiva. x < y x + z < y + z 4. Multiplicativa. Cuando z es positivo x < y xz < yz. Si z es negativo, x < y xz > yz La relación de orden se define como: x y y x es positiva o cero por y. Las propiedades de orden 2, 3 y 4 se cumplen cuando los símbolos < y > son reemplazados Desigualdades Notación de Conjuntos Notación de Intervalos Gráfica x: a < a < b a, b x: a a b a, b

5 Memorias del 4 Encuentro de Jóvenes en la Investigación de Bachillerato-CONACYT x: a a < b a, b x: a < a b a,b x: x b,b x: x < b,b x: x a a, x: x > a a, R, Valor Absoluto, Raíces Cuadradas y Cuadrados. El valor absoluto de un número x se designa mediante x y se define como: x = x si x 0 x = x Si x < 0 Una de las mejores formas de pensar en el valor absoluto consiste en hacerlo como distancia (no dirigida). En particular, x es la distancia entre x y el origen. En forma semejante, x-a es la distancia entre x y el origen. En forma semejante, x-a es la distancia entre x y a. Propiedades del Valor Absoluto 1. ab = a b 2. a b = a b 3. a + b a + b (Desigualdad de triángulos) 4. a b a b Raíces cuadradas: Definición: Sea x R, enteros

6 Tlamati Sabiduría Volumen 8 Número Especial 2, 2017 x 2 = x Cuadrados: Definición: Sea x R, entero x 2 = x 2 Sistema de Coordenadas Rectangulares Coordenadas Cartesianas. En el plano se reproducen dos copias del eje o rectángulo real, uno horizontal y el otro vertical, de modo que se intersecten en los puntos cero de las dos rectas. Estos se llaman ejes coordenados; su intersección se marca como 0 y se llama origen. Por convención, la línea horizontal se llama eje de las x o eje de las abscisas y la vertical eje de las y u ordenadas. La mitad positiva de las x va hacia la derecha; la mitad positiva del eje de las y, hacia arriba. Los ejes de las coordenadas dividen el plano en cuatro regiones, llamadas cuadrante, marcados como I, II, III y IV. A cada punto P del plano se le puede asignar un par de números, llamados coordenadas cartesianas del punto. Si una recta horizontal y una vertical que pasen por P intersectan los ejes de las x y las y en a y b, respectivamente, entonces P tiene coordenadas (a, b). Llamaremos a (a,b) un par ordenados de números debido a que tiene importancia cuál de los va primero. El primer número, a, es la coordenada x (o abscisa); el segundo número, b, es la coordenada y (u ordenada). Recíprocamente, tómese un par ordenado números cualesquiera (a, b). La línea vertical que pasa por a en el eje de las x y la horizontal que pasa por b en el eje de las y se cortan en un punto P, cuyas coordenadas son (a, b).

7 Memorias del 4 Encuentro de Jóvenes en la Investigación de Bachillerato-CONACYT Resultados problema: Después de los conocimientos ya obtenidos en la estancia, logramos resolver el siguiente Un objeto se mueve a lo largo del eje coordenado de modo que su posición s satisface s= 12t 2-12t + 8, donde s se mide en centímetros y t en segundos con t 0. Determine la velocidad del objeto cuando t =1 y cuando t = 6. Cuándo es 0 la velocidad? Cuándo es positiva? v t = IJ IK Velocidad cuando t =1 y cuando t = 6 s = 2t N 12t + 8 s = 4t 12 v 1 = = 8 v 6 = = 12 Cuando la velocidad es 0 4t 12 = 0 4t = 12 t = 6N Cuando es positiva 4t 12 > 0 4t > 12 t > 6N S S t = 3 t > 3 Conclusiones En esta estancia logramos observar grandes características de las matemáticas, así como conceptos básicos en el cálculo diferencial, así como definiciones formales de algunas propiedades de los números reales, y/o operaciones que se utilizan en las funciones o los limites, por otra parte aprendimos notación matemática y logramos aplicar las derivadas y unas de sus aplicaciones. Referencias bibliográficas Apóstol Tom M., Calculus Volumen I, Cálculo con funciones de una variable, con una introducción al álgebra lineal, Segunda edición, Editorial Reverte Leithold Louis, El Cálculo con geometría analítica, segunda edición (Universty of southern California). Purcell Edwin J., Varberg Dale, Calculo deferencial e Integral. Prentice Hall. Sexta Edición 2002