Transferencia de Masa ª

Transcripción

1 Transferencia de Masa ª

2 Modelos de coeficiente de transferencias de masa para interfase fluida (largo alcance): Película estancada (repaso); Superficie renovada (teoría de penetración), Higbie; Superficie renovada, Danckwerts; Relación de equilibrio físico (repaso); Sistema líquido/gas: coeficientes de transferencia de masa globales.

3 Coeficientes de transferencia de masa k g y de energía h Modelos de transporte tipo ley de enfriamiento de Newton [transporte]=[transformación] ejemplos de continuidad hat T H r C,T k a C C r C,T g 0 S S S S 0 S S La forma de calcular k g y h depende del modelo que se utilice para describir las características de la interfase y el modo en el que ocurre el transporte de dichas propiedades conservativas. Fenomenológicamente, los coeficientes globales de transferencia de masa k g y energía h se definen como el cociente del flux difusivo de la propiedad conservativa dividido por la fuerza motriz correspondiente: k g flux difusivo de masa y flux difusivo de calor C C T T 0 S S 0 Para explicar un poco el significado del coeficiente de transferencia de masa k g, se consideran algunos de los modelos que se han empleado para modelarlo, tales como el de la película estancada y el de la superficie renovada. h

4 Modelo de la película estancada (ya se presentó) Sea un sistema interfase/intrafase, isotérmico: Fluido que fluye C 0 T 0 Interfase (película de fluido estancada) δ C S T 0 Intrafase (catalizador poroso) En la vecindad (el umbral) de la interfase y la intrafase debe cumplirse que el flux de reactivo que sale de la interfase debe ser igual al flux de reactivo que entra en la intrafase. Suponiendo que en la interfase el transporte de reactivo obedece la ley de enfriamiento de Newton, y que en la intrafase el transporte del reactivo es únicamente por difusión (no hay convección efectiva), se tiene: dc... (continuidad) kg C0 CS D dy y

5 Modelo de la película estancada:.- La película de fluido no se mueve;.- El sistema esta en condiciones de estado estacionario; 3.- El sistema es isotérmico; 4.- El transporte es por difusión; 5.- El transporte es unidireccional; 6.- No hay reacción química; 7.- No hay transporte de masa desde (o hacia) una interfase. Interfase C 0 T 0 C S T 0 δ C C C C C C C t x y z x y z vx vy vz DB R S con: C C en y y C C en y 0 0 S C dc D 0 a y dy C CS C0 CS y

6 y como: C CS C0 CS dc D dy y D C C 0 S dc dy y... (a) C C 0 S Comparando la ecuación (a) con la ecuación que establece la continuidad que debe haber en la interfase sólido/fluido (el flux de reactivo que sale de la interfase debe ser igual al flux de reactivo que entra en la intrafase) se obtiene una expresión para k g : dc D k C C dy y g 0 S... (continuidad) k g D Cualitativamente, esta igualdad confirma que el coeficiente convectivo de transferencia de masa (de largo alcance) k g es un coeficiente de transporte. Sin embargo, este modelo tiene la incertidumbre que implica la evaluación del espesor de la película estancada δ.

7 Transporte Molecular; Superficie Renovada. [] Supone que el transporte turbulento de la(s) propieda(es) conservativa(s) ocurre mediante remolinos que se mueven de un lado del sistema a otro. Transporte de calor antecedente []: Introduction to transport phenomena, W. J. Thomson, Prentice Hall, 000, Caps. 7,9 0.

8 Transporte Turbulento-Molecular. Modelo de la Superficie Renovada. Calor Modelo Pared fija que tiene una temperatura relativamente alta (T=T w ); Debido a la turbulencia del fluido, llegan a la pared remolinos del fluido que tienen una temperatura (T b ) menor que la de la pared (T b <T w ); Cada remolino se mantiene en contacto con la pared un tiempo relativamente corto, pero lo suficiente para que ocurra la transferencia molecular de una cantidad finita de calor. Conociendo (balanceando) la cantidad de calor que transporta un remolino y contabilizando (de alguna manera) la contribución de todos los remolinos que entran en contacto con la pared, se estima la cantidad total de calor transferida de la pared al fluido.

9 Modelos para la transferencia de masa en la interfase Teoría de penetración (Higbie, 935) Pretende tomar en cuenta la inestabilidad que existe en la interfase de sistemas fluido-fluido (no lo pueden hacer los modelos anteriores). Se plantea el caso de un sistema gas-líquido. El modelo consiste en considerar que se tiene un líquido B el cual se mueve mediante paquetes de fluido; dichos paquetes entran en contacto con un gas durante el tiempo suficiente como para que ocurra el transporte de la especie de interés (hacia ó desde la fase gas); después de lo cual dichos paquetes se mueven hacia el seno del líquido, y son reemplazados por otros. En este sentido, este modelo supone la difusión del soluto en condiciones de estado no-estacionario en una cierta zona de líquido, que para facilitar el manejo matemático se considera que tiene un espesor infinito. Líquido,B Gas,

10 El modelo matemático tiene las siguientes restricciones: ) Transporte por difusión; ) Unidireccional: x; 3) Estado no-estacionario; 4) Isotérmico 5) Espesor de la capa de líquido es infinito: x= Por lo tanto el modelo queda: C d C = DB t dx Con las siguientes condiciones límite: C 0 x cuando: t 0 La solución es de la forma : 0 C x cuando: t 0 0 C x 0 cuando: t 0 i C C 0 x =-erf C C 4tD i 0 B Hines. L., Mass Transfer Fundamentals and pplications, Prentice Hall, 984. bramowits, Handbook of Mathematical Functions, Dover, 97.

11 Como el transporte es únicamente por difusión, el flux de esta dado por: N = D x=0 B C x C x i 0 x td 4tD B B x=0 C C 0 x como: - erf Ci C 0 4tD B C C exp... (*) Por lo tanto, el flux de que entra (o sale) instantáneamente del paquete líquido es: C 0 N D x 0 B DB Ci C0 exp x x0 td 4tD B B D B x=0 i 0 N = C C t (*) Hines. L., Mass Transfer Fundamentals and pplications, Prentice Hall, 984. bramowits, Handbook of Mathematical Functions, Dover, 97.

12 D B Como: N = Ci C0 x0 t Por otro lado, el flux promedio de que se transporta en el tiempo t s, que el paquete líquido está en contacto con la fase gas, se obtiene aplicando el concepto de valor medio: N = N dt t s B N = Ci C0 Ci C0 prom t t prom 0 s 0 ts D dt 4D B s t ts 0 dc Por continuidad: kg Ci C0 D N x0 dx Por lo tanto, de acuerdo con la teoría de penetración de Higbie, la cual considera que los paquetes de líquido que entran en contacto con el gas permiten la transferencia del soluto y tienen un tiempo de contacto t s, que es constante (el mismo para todos): 0 k g 4D t Este modelo de k g es diferente del que predice la película estancada: B s k g D

13 Teoría de renovación en la superficie (Danckwerts, 95) Objetivo: mejorar la teoría de penetración de Higbie. El modelo de Danckwerts considera que los paquetes de líquido tienen un de tiempo de contacto que puede describirse con una función de distribución τ(t), en lugar de uno constante t s, como se considera en la teoría de penetración de Higbie. Por lo tanto, el flux promedio de se calcula con una función de la forma: 4D B i 0 prom / ts t 0 t N C C dt Se pueden proponer diferentes funciones para τ(t); Danckwerts propuso una que implica que la rapidez con la que desaparecen los paquetes de cierta edad es de primer orden con respecto al número de elementos que tiene esa edad: d dt t S Donde S es la rapidez de renovación de remolinos en la superficie, y es igual al recíproco del tiempo de exposición de dichos elementos. d t Sdt K exp St

14 Para evaluar la constante de integración K se aprovecha que τ(t) es una cantidad fraccional, por lo cual debe cumplir con: como: 0 como: como: t K exp St 0 K exp( St )d St K S S t dt K exp( St )dt D B S exp i 0 prom t 0 0 t S exp S hora, aplicando esta función de distribución de tiempos de contacto a la expresión de flux molar promedio se tiene: S N C C dt

15 Como: k c D B S exp i 0 prom t 0 S N C C dt Resolviendo la integral se tiene el flux promedio de de acuerdo con el modelo que propone Danckwerts: S es un parámetro empírico. SD B N C C SD prom i 0 B al compararla con: N k C C ' c i 0 k c D Este modelo es diferente que los de la película estancada y de la teoría de penetración de Higbie, que son respectivamente: D 4D B kg kg ts B

16 Equilibrio físico nálisis de sistemas de dos fases que están en equilibrio: gas-líquido y líquido-líquido. Cuando se conoce la composición de una fase y las relaciones de equilibrio que guardan los componentes del sistema, se puede conocer la composición de la otra fase. y m x j k j Donde y j es la fracción molar de j en la fase gas; m k es el coeficiente de partición (constante de equilibrio); x j es la fracción molar de j en la fase liquida. Este tipo de relaciones se aplican para mezclas con comportamiento ideal y no-ideal. El coeficiente m k es una función que depende del estado del sistema (T, P, C ). # Soluciones ideales y diluidas Ley de Henry Donde P es la presión (total) del gas; y j es la fracción molar de j en el gas p p j j j Donde p j es la presión parcial de j, (es proporcional a la fracción molar de j en el gas); H j es la constante de Henry (empírica); x j es la fracción molar de j en el liquido. x p H x # Soluciones ideales y con concentración relativamente alta Ley de Raúl v pj es la presión de vapor de j p j v j j j y P j

17 Ejemplo Transporte de un soluto en un sistema un líquido/gas Considere el esquema siguiente: Descripción de la figura: El soluto (material de interés) a sale de la parte baja del sistema (difusor, sólido que se disuelve ); luego, a se transporta a través del líquido y llega a la interfase líquido/gas, en donde alcanza el equilibrio, lo cual significa que el proceso global no esta controlado por dicho equilibrio (partición de a en la interfase), sino por su transporte; luego a se transporta en el gas; y finalmente, es arrastrado por la corriente de aire que circula el la parte superior del recipiente, y por lo que la concentración de a en esa posición es constante. Preguntas a) Obtener el perfil de la composición de a en cada fase, en términos de la fracción molar de a: x a (z), para el líquido; y y a (z), para el gas; b) El modelo del flux, tanto en el líquido como en gas: N ax y N ay, respectivamente; c) La expresión del coeficiente invidual de transferencia de masa para el líquido y el gas: k x y k y, respectivamente. d) La expresión del coeficiente global de transferencia de masa para el líquido y el gas: K Cx y K Cy, respectivamente. Plawsky, J. L., Transport Phenomena Fundamentals, Marcel Dekker, Inc., 00

18 Solución Modelo (restricciones) para el líquido:. Estado estacionario;. Transporte unidireccional (z); 3. Soluciones ideales y diluidas: 3. La concentración molar total C t es constante; 3. El coeficiente de partición (equilibrio) m k es constante; 3.3 La fracción molar de a (x a )es pequeña (ver 4.); 4. Transporte convectivo es despreciable; 5. Sistema isotérmico. Para obtener el perfil de a en cada fase, se debe resolver el balance de masa (molar) correspondiente: El balance molar que satisface la restricciones establecidas es: d N a 0 dz dca como: Na Dam vc como: C... constante a a xact Ct dz dxa dxa Na DamCt vct x como: vc a t Na Nm N D C x N N dz dz dxa dxa pero: xa es "pequeña" DamCt xa Na Nm Na DamCt dz dz a am t a a m

19 Como: d N a 0 y: dz d xa dz 0 N dx D C dz a am t Por lo tanto, el perfil de a en el liquido es de la forma: x z a... (L) Las constantes de integración κ y κ se obtienen con las condiciones límite. sumiendo que en el gas también se satisfacen las restricciones del líquido, el modelo del gas sería: y z... (G) a 3 4 También en este caso, las condiciones límite determinan el valor de κ 3 y κ 4 Las condiciones límite [() y (4)] y las condiciones que se deben cumplir en la interfase líquido/gas [() y (3)] son las que se muestran enseguida, y con ellas se pueden obtener las expresiones (valores) de las constantes κ : x z L... () a y z L... (4) a ya mk z 0... () dxa dya Ct Dax Ct z 0... (3) dz dz a

20 Los perfiles de a en el liquido x a (z) y en el gas y a (z), y los modelos del flux en el líquido N ax y en el gas: y N ay, se obtienen combinando la ecuaciones (L), (G), (), (), (3) y (4): x z... (L) y z... (G) a a 3 4 x z L... () y z L... (4) a ya mk z 0... () dxa dya Ct Dax Ct z 0... (3) dz dz Los perfiles de a en el liquido x a (z) y en el gas y a (z), así como del flux en el líquido N ax y en el gas: y N ay, son: Day y mk x yday xdax xa z... xa z... (5) LDax mk Day Dax mk D ay Dax y mk x mk y Day xdax ya z... yaz... (6) LDax mk Day Dax mk D ay Ct Dax Day Nax Nay y mk x... L D a (7) ax mk Day

21 Coeficientes individuales de transferencia de masa de cada una de las fases: Del líquido: Por definición: Nax Ct kcx x xai Para obtener la expresión del coeficiente de transferencia del líquido k cx se considera: como: x a Nax Ct kcx x D y m x y D x D z LDax mk Day Dax mk Day ay k ay ax y D x D ay ax D m D ax k ay ai a x x z 0 x ai y D D ay x D m D ax k ay C k D N m x y... ax (8) t cx ay ax k Dax mk Day l comparar la ecuación (8) con la expresión del flux N ax ecuación (7) se obtiene la expresión del coeficiente individual de transferencia de masa en el líquido k x Ct Dax Day N ax Nay y mk x... (7) Dax L Dax mk D k x... (9) ay L Procediendo de manera análoga se obtiene la expresión del coeficiente individual de transferencia de masa en el líquido k y : Day k y... (0) L

22 Cuando no se conoce la composición en la interfase (x ai o y ai ), se utilizan los coeficientes globales de transferencia de masa (K cx o K cy ). Para el líquido: y hora, la definición de flux es: Nax CtK cx x yao donde: mk mk C D D como: Nax Nay y mk x... (7) L D t ax ay ax mk Day m k y rearreglando: y m x y m x x m mk mk Ct Dax Day y Nax Nay x mk L D m ax mk Day k k k k Ct Dax Day mk y Nax Nay x L D m ax mk Day k Comparando esta última expresión con la definición de flux en términos de K cx se tiene: Dax Daym K k cx Kc x L l LDa x mk D ay m D D k ay ax x ai

23 La expresión del coeficiente global a partir del gas, K cy, se obtiene de manera análoga: Por definición: Nay Ct Kcy mk x y donde: mkxao yai C D D como: Nax Nay y mk x... (7) L D Comparando esta última expresión con la definición de flux en términos de K Cy se tiene: K cy L D D D ax ay m D ax k ay t ax ay ax mk Day K cy L D ay m D Las expresiones de K cx y K cy son diferentes, porque para calcular el flux de a cada una de ellas se multiplica por un fuerza motriz diferente; sin embargo, ambas expresan la capacidad global del sistema para transferir a en las condiciones (restricciones) del caso: k ax K cx L m D l D k ay ax K cy L D D D ax ay m D ax k ay

24 Transferencia de Masa Fin de ª