Dinámica Espacial en la Formación de Órganos Florales. Yuriria Cortés Poza. 21 de febrero, 2018

Transcripción

1 Dinámica Espacial en la Formación de Órganos Florales Yuriria Cortés Poza 21 de febrero, 2018

2 Problema biológico Configuración espacial de las Angiospermas (250,000 aprox.)

3 Problema biológico Configuración espacial de las Angiospermas (250,000 aprox.) Lacandonia schismática Única excepción conocida: posición de estambres y carpelos está invertida.

4 Arabidopsis thaliana Arabidopsis thaliana: primera planta cuyo genoma completo fue secuenciado.

5 Arabidopsis thaliana Arabidopsis thaliana: primera planta cuyo genoma completo fue secuenciado. Pariente cercano del brócoli y la coliflor.

6 Arabidopsis thaliana Arabidopsis thaliana: primera planta cuyo genoma completo fue secuenciado. Pariente cercano del brócoli y la coliflor. Pertenece a las plantas crucíferas, una familia de la división de angiospermas dicotiledóneas.

7 Objetivo Entender qué mecanismos biológicos son los responsables de determinar la configuración espacial de los órganos florales. Implementar una herramienta numérica capaz de atacar problemas de tipo minimax.

8 Introducción Construimos un modelo matemático, basado en información biológica detallada que reproduce correctamente la configuración espacial de los órganos florales. El modelo consta de un sistema ecuaciones diferenciales parciales de reacción difusión.

9 Introducción Solución mediante Teoría de Sturm- Liouville

10 Introducción Solución mediante Teoría de Sturm- Liouville Implementación de un Algoritmo Genético, utilizando la estructura variacional del sistema.

11 Diferenciación celular

12 Red de regulación genética Red de interacciones entre diferentes genes que controlan, mediante la producción de proteínas, funciones específicas de una célula. Son importantes en muchos aspectos de la vida, incluyendo la diferenciación celular. Su estudio permite entender mecanismos de enfermedades que ocurren cuando estos procesos celulares fallan. Kauffman (1969) utilizó por primera vez redes bo0leanas para modelarlas. Los métodos computacionales para su análisis han demostrado ser muy útiles.

13 Construcción del modelo Datos experimentales Sistema dinámico discreto Puntos de equilibrio # de CI en cada cuenca Paisaje epigenético Campo potencial Sistema de ecuaciones de reacción difusión Solución Buscamos entender a través de la RRG de la flor Arabidopsisthaliana los mecanismos que llevan a determinar la arquitectura de la flor durante la determinación de destino celular.

14 Datos experimentales

15 Datos experimentales Reglas lógicas: 1. FUL (Entradas: AP1, TFL) 00 --> > > > 0 2. FT (Entradas: EMF1) 0 --> > 0 3. AP1 (Entradas: FT, LFY, AG, TFL1, PI, AP3) > > > > > > 0...

16 Construcción del modelo Datos experimentales Sistema dinámico discreto Puntos de equilibrio # de CI en cada cuenca Paisaje epigenético Campo potencial Sistema de ecuaciones de reacción difusión Solución

17 Sistema dinámico discreto Trece nodos, cada uno de los cuales representa a uno de los genes: (FUL, FT, AP1, EMF1, LFY, AP2, WUS, Ag, TFL1, PI, SEP, AP3, UFO) Reglas lógicas que rigen la interacción entre los nodos obtenidas experimentalmente. Estados posibles: 0, 1.

18 Sistema dinámico discreto Iteramos: 2 13 condiciones iniciales. Diez puntos fijos (4 inflorescencias, sépalos, pétalos (con y sin UFO), estambres (con y sin UFO) y carpelos q S = 0,1,1,0,1,1,0,0,0,0,1,0,0, q P = 0,1,1,0,1,1,0,0,0,1,1,1,1, q E = 1,1,0,0,1,1,0,1,0,1,1,1,1, q C = 1,1,0,0,1,1,0,1,0,1,1,0,0. Número c i de condiciones iniciales que van a dar a cada uno de los 4 puntos de equilibrio: c S = 152, c P = 160, c E = 3744 y c C = 3608 (sépalos, pétalos, estambres y carpelos).

19 Modelo Datos experimentales Sistema dinámico discreto Puntos de equilibrio # de CI en cada cuenca Paisaje epigenético Campo potencial Sistema de ecuaciones de reacción difusión Solución

20 Paisaje epigenético Paisajes epigenéticos: introducidos por Waddington (1975), simulan la forma en la que la regulación genética modula el desarrollo. Campo potencial F(u, v) con cuatro cuencas. La ubicación y su profundidad son datos biológicamente significativos.

21 Paisaje epigenético Posición Consideramos las 6 distancias (distancia de Hamming) entre los cuatro puntos: q S, q P, q E, q C. Elegimos mediante un ajuste de mínimos cuadrados, el plano bidimensional que mejor se ajusta a los cuatro puntos fijos. Proyectamos cada uno de los puntos en este plano. Tamaño El tamaño de cada cuenca (su profundidad) será inversamente proporcional al número de condiciones iniciales que van a dar a cada una de ellas.

22 Posición cuencas u S, v S = , ; u P, v P = , u E, v E = , ; u C, v C = ( ,0.2067)

23 Campo potencial F u, v = min *s,p,e,c+ a s u u 2 s + v v 2 2 s, a p u u p + v vp a e u u e 2 + v v e 2, a c u u c 2 + v v c 2, 2, Donde a s = 1 c s, a p = 1 c p, a e = 1 c e, a c = 1 c c.

24 Modelo Datos experimentales Sistema dinámico discreto Puntos de equilibrio # de CI en cada cuenca Paisaje epigenético Campo potencial Sistema de ecuaciones de reacción difusión Solución

25 Sistema de EDP Sistema ecuaciones diferenciales parciales de reacción difusión cuya dinámica está gobernada por un campo potencial F(u, v), u t = d 1 Δu + f u, v v t = d 2 Δv + g u, v, (1) donde f, g = F (definido localmente) y d 1, d 2 son constantes de difusión.

26 Sistema de EDP Sistema ecuaciones diferenciales parciales de reacción difusión cuya dinámica está gobernada por un campo potencial F(u, v), u t = d 1 Δu + f u, v v t = d 2 Δv + g u, v, (1) donde f, g = F (definido localmente) y d 1, d 2 son constantes de difusión. Esto es una aplicación de la propuesta de Turing (La base química de la morfogénesis): «Un sistema de dos moléculas que interactúan, llamados morfógenos podrían establecer gradientes químicos mediante sistemas de reacción difusión.»

27 Modelo Datos experimentales Sistema dinámico discreto Puntos de equilibrio # de CI en cada cuenca Paisaje epigenético Campo potencial Sistema de ecuaciones de reacción difusión Solución

28 Solución analítica Resolvemos analíticamente el sistema de ecuaciones, como un problema de valores en la frontera utilizando Teoría de Sturm-Liouville. Para verificar el correcto funcionamiento del modelo se repite el procedimiento tanto para la flor silvestre como para sus tres mutantes homeóticos.

29 Problema Nos interesa encontrar las soluciones estacionarias de (1): d 1 Δu + f u, v = 0, d 2 Δv + g u, v = 0. (2) r ε R Dada la geometría de la flor, tomaremos un dominio anular Ω definido como Ω=*z: r ε z R+ (eliminamos el centro para evitar singularidades).

30 Ecuaciones desacopladas En coordenadas polares: d 1 (u rr + 1 r u r + 1 r 2 u θθ) + f u, v = 0 d 2 (v rr + 1 r v r + 1 r 2 v θθ) + g u, v = 0. Dado que f, g = F = 2a k u u k, 2a k v v k, donde k es tal que F u, v = a k ( u u k 2 + v v k 2, las dos ecuaciones resultan estar desacopladas.

31 Ecuación diferencial ordinaria Consideramos soluciones son radialmente simétricas. Obtenemos entonces las ecuaciones diferenciales ordinarias siguientes: d 1 u + 1 r u + f u = 0 d 2 v + 1 r v + g v = 0 donde f u = 2a k u u k, g v = 2a k v v k.

32 Problema de valores en la frontera Tenemos un problemas diferente por cada cuenca que se visita. u, v R = (u 0, v 0 ), un punto en la cuenca de sépalos. Para trabajar con un problema de Valores en la Frontera homogéneas, hacemos un cambio de coordenadas, obteniendo: 0 R r ε d 1 u + 1 r u + f u = 0 u R r ε = 0, u 0 = 0, d 2 v + 1 r v + g v = 0 v R r ε = 0, v 0 = 0, donde f u = 2a S (u + u 0 u S ) y g v = 2a S (v + v 0 v S ).

33 Problema de Sturm-Liouville Reescribimos en forma de S-L donde c 1 = 2a S /d 1 y c 2 = c 1 u S u 0. Definimos el operador diferencial ru + c 1 ru = c 2 r (4) L = d dr r d dr + c 1r y consideraremos ahora el problema de eigenvalores L φ r = λφ(r)ς(r) sujeto a las condiciones de frontera φ R r ε = 0, φ 0 = 0, donde λ es el eigenvalor asociado a la eigenfunción φ y ς es una función de peso por ajustar. Resolviendo reducimos el problema (4) a la ecuación de Bessel: r 2 φ + rφ + r 2 ξ 2 φ = 0 Utilizamos el método de Frobenius, con φ (0)=0.

34 Solución al PVF (u(r)) La solución al problema de valores en la frontera estará dada por d 1 u + 1 r u 2a S u + u 0 u S = 0 u R r ε = 0, u 0 = 0 u(r)= n=2 b n π π cos (r senθ nθ)dθ 0 con b n = u S u 0 π R rε π 0 r( 0 cos r senθ nθ dθ)dr n 2 R rε 1 π cos r senθ nθ dθ)2 dr 0 r ( 0

35 Solución al PVF (v(r)) Análogamente, para el segundo problema de valores en la frontera d 2 v + 1 r v 2a S v + v 0 v S = 0 v R r ε = 0, v 0 = 0 encontramos la solución v(r)= n=2 c n π π cos (r senθ nθ)dθ 0 con c n = v S v 0 π R rε π 0 r( 0 cos r senθ nθ dθ)dr n 2 R rε 1 π cos r senθ nθ dθ)2 dr 0 r ( 0

36 Segunda condición de frontera Queda por ajustar el valor de R. Para esto utilizamos la segunda condición de frontera u, v R r ε = 0. Buscamos entonces el valor de R para el cual la solución evaluada en ese valor sea cero, resolviendo iterativamente las integrales que aparecen en las soluciones, ajustando los valores de R hasta alcanzar el valor deseado. Llamamos a esta primera solución u S, v S.

37 Solución por trozos La solución u S, v S será válida mientras esté en la cuenca de sépalos. Al salir de esta primera cuenca, contaremos con la ubicación y la pendiente de la solución en el punto de salida. De esta forma, los siguientes problemas a resolver (en el resto de las cuencas), P S serán problemas de valores iniciales. (u 0, v 0 ) E C

38 Solución por trozos Si la solución u S, v S cruza la frontera de sépalos en r = r 1, será entonces válida para todo r (r 1, R-. Sea u 1, v 1 = u S, v S r 1, el valor de la solución en el punto de cruce. P S (u 1, v 1 ) r 1 R E C

39 Problema de valores iniciales Problemas de valores iniciales: d 1 u + 1 r u + f u = 0 u r 1 = u 1, u r 1 = u 1 d 2 v + 1 r v + g v = 0 v r 1 = v 1, v r 1 = v 1 donde f u = 2a k u u k, g v = 2a k v v k. Como en el caso anterior, las soluciones u = u k r, v = v k (r) serán válidas sólo en la cuenca k y en un intervalo (r 2, r 1 -, con r 2 < r 1.

40 Problema de valores iniciales Tendremos un conjunto de j soluciones, donde la i-ésima solución será válida en el intervalo (r j, r j 1 -. Pegando suavemente el conjunto de soluciones obtendremos la solución al problema, la cuál será continua y diferenciable (por la forma en la que fue construida). r 2 r 1 R

41 Soluciones u(r), v(r), r Solución en la cuenca de : sépalos pétalos estambres carpelos solución u(r) solución v(r)

42 Solución en el espacio u-v Centros de la cuenca: sépalos pétalos estambres carpelos solución (u,v)(r) contorno cuencas

43 Distribución del tamaño de los radios Solución en la cuenca de : sépalos pétalos estambres carpelos

44 Mutantes Utilizamos mutantes homeóticos (los genes homeóticos son los responsables de estructuras específicas en plantas y animales) para validar el modelo.

45 Mutante APT1

46 Mutante Pi

47 Mutante Ag

48 Solución numérica Estructura variacional Técnicas minimax: Teorema de Paso de Montaña La solución de mínima energía del funcional será justamente aquella que recorra las cuatro cuencas en el orden correcto, pasando entre cada pareja por el paso de montaña correspondiente. Utilizamos Algoritmos Genéticos para encontrar esa solución de mínima energía.

49 Teorema de Paso de Montaña Ambrosetti, Rabinowitz. Sea X un espacio de Banach y Φ C 1 (X R) un funcional que satisface la condición de Palais-Smale (condición de compacidad), si se cumple que i) Φ 0 = 0 ii) Existen constantes ρ > 0, tales que Φ u α si u = ρ iii) Existe e X con e > ρ tal que Φ e 0 entonces Φ tiene un punto crítico c α de la forma c = inf Φ γ t, max γ Γ t,0,1- donde Γ = *γ C 0,1, R : γ 0 = 0, γ 1 = e+. Cuando X = R 2 las condiciones (ii) y (iii) implican que se encuentra en un valle rodeado de montañas.

50 Estructura variacional Definimos el Lagrangiano L como: L = 1 2 d 1 u 2 + d 2 v 2 + F u, v, y consideramos el funcional φ u, v = Ω L(u, v) dxdy (3) Las ecuaciones de Euler-Lagrange para el funcional φ son las soluciones estacionarias de nuestro sistema: d 1 Δu + f u, v = 0, d 2 Δv + g u, v = 0. El problema se reduce a encontrar los puntos críticos del funcional (3).

51 Algoritmo genético Implementamos un AG para minimizar el funcional. Los métodos numéricos para implementar el TPM y técnicas minimax son muy escasos, debido a la naturaleza inestable de las soluciones obtenidas por el TPM. Los Algoritmos Genéticos (AG) son eficientes incluso con este tipo de complicaciones y sin embargo hay muy poco trabajo hecho al respecto. Nuestro AG buscará la pareja de soluciones al sistema de ecuaciones anterior, encontrando los puntos críticos del funcional (3). Esto es una implementación del Teorema del Paso de Montaña para n valles.

52 Algoritmo genético Dominio Ω: disco de radio R Iniciaremos las iteraciones en r = R, en algún punto (u 0, v 0 ) dentro de la cuenca de sépalos, es decir: u, v R = u 0, v 0. (4) Buscaremos soluciones polinomiales de grado 4.

53 Simetría radial Considerando que las soluciones son radialmente simétricas u = v θ θ i.e. = 0, obtenemos la EDP: y u u = x x y. Resolviéndola concluimos que las características son círculos con centro en el origen u es función par de x y de y además u es constante en las características por lo que: u = ξ x 2 + y 2, donde ξ C 1 (R) es arbitraria y toda solución tendrá esa forma. Análogamente v = η x 2 + y 2, η C 1 (R) arbitraria.

54 Soluciones Buscaremos entonces soluciones polinomiales de la forma u = ξ x 2 + y 2 = ξ 2 r 2 = α i=1 α i r 2i v = η x 2 + y 2 = η 2 r 2 = β i=1 β i r 2i.

55 Coeficientes Utilizando la condición inicial u, v R = u 0, v 0 se determina α 0, β 0. 4 α 0 = u i α i R 2i, β 0 = v i β i R 2i Así: i=1 4 u r = u i + α i r 2i R 2i, 4 i=1 i=1 (5) 4 i=1 (6) v r = v i + β i r 2i R 2i.. El algoritmo determinará los coeficientes α i, β i, i = 1,, 4 de (5), (6) y que minimicen el funcional (3).

56 Algoritmo genético Algoritmo: Inicialización Generación g=1 Población de N individuos Evaluación Óptimo sin encontrar Selección Cruza Óptimo encontrado FIN Generación g=g+1 Mutación

57 Inicialización Se inicializa aleatoriamente (dentro de un rango adecuado) una población de N individuos: α 1 α 2 α 3 α 4 β 1 β 2 β 3 β 4 Cada uno define una pareja de funciones suaves u, v Ω (en este caso polinomios). α 0, β 0 quedan fijos a partir de la condición inicial.

58 Evaluación Se evalúa el funcional, en cada pareja de funciones (u, v) de cada individuo: φ(u, v) = Ω L u, u, v, v, r dr. Se le asigna una medida de desempeño a cada individuo, que será inversamente proporcional al valor de φ(u, v).

59 Selección con elitismo Método de la ruleta: se eligen a los individuos que sobrevivirán para la siguiente generación. La probabilidad de cada individuo de ser elegido es proporcional a su valor de desempeño. Cada individuo podrá ser elegido más de una vez o ninguna. El número de individuos en cada generación se mantiene constante. Elitismo: los E mejores individuos siempre pasan a la siguiente generación sin modificarse, garantizando así que el mejor individuo en cada generación sea al menos igual de apto que el mejor de la generación anterior.

60 Cruza y mutación Cruza Mutación

61 Criterio de paro Una vez encontrado un individuo con un desempeño satisfactorio, el programa se detiene. Puesto que no se conoce de antemano el mínimo buscado, se considera que el programa ha encontrado un óptimo (pseudoóptimo) cuando la mejora en desempeño de una generación a otra es tan pequeña como se desea.

62 Resultados Después de ejecutar el algoritmo genético, éste encuentra la solución en menos de 120 iteraciones y obtenemos los siguientes resultados: Los coeficientes α i, β i de las funciones polinomiales 4 u r = u i + i=1 α i r 2i R 2i, v r = v i + 4 i=1 β i r 2i R 2i encontradas por el Algoritmo son: α 1 = α 2 = α 3 = α 4 = β 1 = β 2 = β 3 = β 4 = y el valor de φ evaluado en las funciones encontradas es φ =

63 Resultados El orden en el que se visitan las cuencas y el valor de r al cambiar de una a otra son las siguientes: Cuenca r Sépalos [1, 0.93) Pétalos [0.93, 0.73) Estambres [0.73, 0.45) Carpelos [0.45, 0]

64 Parámetros Núm. de individuos 30 Max núm de generaciones 200 Probabilidad de cruza 80% Probabilidad de mutación 20% Elitismo 2

65 Resultados u r v(r)

66 Resultados

67 Resultados

68 Resultados

69 Resultados Nuestros resultados (en ambos casos) coinciden con la distribución espacial que se observa en la gran mayoría de las angiospermas tanto en la flor silvestre como en los mutantes homeóticos. Este resultado sugiere que este patrón espacial emerge como resultado de las interacciones entre los genes de la RRG (las proteínas que éstos sintetizan) y la acción del campo difusivo.

70 Conclusiones Consideramos que este trabajo tiene un doble interés. Por un lado, la metodología propuesta para la construcción del modelo proporciona una forma de entender el funcionamiento de las redes de regulación genética y en el caso de las angiospermas abre camino hacia la identificación de los genes responsables de la determinación de la configuración espacial que presentan. La metodología propuesta es lo suficientemente general, como para ser utilizada para estudiar otros organismos. Una aportación importante en este trabajo es considerar a los morfógenos de Turing como combinaciones de actividades de genes (proteínas sintetizadas por éstos).

71 Conclusiones Por otro lado, el algoritmo genético que implementamos aprovecha la estructura variacional del problema, que se vuelve uno de optimización no estándar. Consideramos que el algoritmo implementado es lo suficientemente general para poderse adecuar a otros problemas de optimización no estándar.

72 Trabajo en curso Demostrar analíticamente que la solución de mínima energía, en efecto pasa por los cuatro puntos de montaña (generalización del Teorema de Paso de Montaña). Lacandonia: Explorar con algoritmos genéticos dónde se dan cambios en el orden de los verticilos a partir del paisaje epigenético. Contamos ahora con más información experimental de la Lacandonia que estamos utilizando para el modelo y comparar con los resultados que tenemos. Atacar otros problemas variacionales con el método numérico propuesto en este trabajo.

73 Gracias.