Métodos Matemáticos en Física

Transcripción

1 L4G. Método de Fourier: problemas de Sturm-Liouville ( según Cap.4, libro APL) Obtendremos ahora una visión mas amplia de los usos potenciales del método de Fourier. Siguiendo esta línea, presentaremos una formulación general del problema de Sturm-Liouville Hemos introducido problema SL con 3 distintos tipos de condiciones de contorno HOMOGENEAS CC1, CC2, CC3 1 1

2 L4G. Método de Fourier: problemas de Sturm-Liouville ( según Cap.4, libro APL) Para unos valores propios, o autovalores, las correspondientes soluciones Funciones propias o autofunciones del problema de Sturm-Liouville + CC1, CC2, CC3 2

3 Comprobamos ortogonalidad de autofunciones para TODOS 3 especies de condiciones de contorno: Xn, Xm son 2 autofunciones distintas *X m y integramos entre 0 L *X n y integramos entre 0 L Restando resultados 3

4 Integrando por partes 1-er termino: L L `` ` L ` ` n m = n m 0 n m 0 0 X X dx X X X X dx L L `` ` L ` ` m n = m n 0 m n 0 0 X Xdx X X X Xdx 1-er termino: 4

5 Para TODOS 3 especies de contorno homogéneas es ZERO NOTA: para caso de CC de 3 ra especie usamos relación Con h- constante 5

6 De aquí se deduce la ortogonalidad: 6

7 Signo de autovalores? Multiplicando por X Ec. 1 y integrando (primer termino por partes) entre 0 L 1 2 7

8 Autovalores λ son siempre positivos >0 para CC1,2 8

9 EXCEPCION: Autovalor λ=0 es posible solo para solución X=const. (esto suscede solo para AMBOS CC de segunda especie ) 9

10 Para CC3 hay que realizar estudio mas detallado 1. Supongamos que CC3 se dan solo en extremo derecho de cuerda 10

11 Antes obtuvimos (2) Como por definición de ecuaciones de recuperación ( muelle, cuerda) (ver discusión cap. 4 APL) β, α >0 λ no pueden ser negativos 11

12 Presencia de autovalores λ positivos también es importante Para que ecuación para magnitudes de modos en función del tiempo NO tenga soluciones disminuyentes exponencialmente con tiempo 12

13 Condiciones de contorno homogéneas de segunda especie: expresiones para las auto funciones y los autovalores Autovalor CERO es permitido y describe Desplazamiento con velocidad constante 13

14 Frecuencia mas baja Esta relacionada con autovalor 14

15 CLASE: a partir de Condiciones de contorno homogéneas de tercera especie: HALLAR autofunciones y autovalores de SL Caso: cuerda fija sobre muelle en extremo derecho+ fija en extremo izquierdo Como y antes, indicamos que por definición de ecuaciones de recuperación ( muelle, cuerda) β, α >0 15

16 1.AUTOFUCIONES Para satisfacer condición de contorno en x=0 16

17 2. Ec. Para hallar AUTOVALORES para satisfacer condición de contorno en x=l 17

18 Dichas soluciones son puntos de corte de funciones 18

19 Cuerda no homogénea ( densidad NO uniforme) Condición de ortogonalidad? Igual como antes buscamos solución como sumatoria por todos autovalores del problema SL correspondiente En general problema NO tiene soluciones analíticas 19

20 Problema SL para autovalores y autofunciones 20

21 Condición de Ortogonalidad? Operando como antes: llegamos a Antes demostramos que con CC1,2,3 el primer termino se anula 21

22 Condición de Ortogonalidad: Cuerda NO homogénea De la misma manera como antes se demuestra que autovalores ( cap.4, APL) NO son negativos 22

23 Autofunciones y autovalores: una cuerda homogénea a trozos Solucionamos problema SL CONCRETO con 23

24 Buscamos dos soluciones correspondiente a cada trozo AutoFunciones que satisfacen a CC en puntos x=0, L son: con 24

25 Además, imponemos condición de continuidad: Además, La función debe tener derivada continua en punto de unión PORQUE? Se obtiene integrando para 25

26 Imponiendo DOS condiciones anteriores 26

27 Soluciones serán NO triviales (DET=0) para 27

28 Dividiendo por Ecuación para autovalores con Recordamos que 28

29 Del sistema anterior: Podemos ver que: 29

30 Tutoria Extraordinaria AU.404 AULA 404 DEL MÓDULO 3 Fecha: 17/10/2012( Miercoles ) Hora : 16:30

31 las funciones propias para este problema SL son De SOL. GENERAL + CI Sol Final 31

32 Cuerda suspendida La función u describe los Desplazamientos transversales 32

33 Con tensión debido a campo gravitatorio 3 33

34 problema SL a solucionar: Condiciones de contorno para x=l son algo mas complicadas La respuesta estrictamente es que no hay ninguna CC en este caso La única condición es que auto funciones de (3) sean finitos para x=l 34

35 Se comprueba respectivamente ortogonalidad de funciones SL ( Cap.4, APL): Asi como de autovalores NO negativos ( ver Cap 4-APL ) 35

36 Autovalores y auto funciones Realizando cambio Según veremos adelante, esta ecuación se puede reducir a la ecuación de Bessel de orden cero. 36

37 Por ahora nos basta con saber que, para cualquier valor de λ, existen soluciones de esta ecuación que permanecen acotadas en (x = 0) Autofunciones Autovalores usando PC 37

38 COMENTARIO sobre Modo de buscar solución cuando tenemos Ec. con Condiciones de contorno no son homogéneas siempre es posible reformular problema como un problema con una ecuación no homogénea + unas condiciones de contorno homogéneas 38

39 Por ejemplo: cuerda con extremos desplazados en función del tiempo Introducimos función que tiene valores μ 1,2 en extremos 1,2 39

40 Con cambio Ecuación para v(x,t) tendrá CC homogéneas Que sabemos como resolver! 40

41 L.4. Método Fourier: Cuerda RECORDATORIO (L4A): Caso de oscilaciones forzadas de una cuerda: Resolvemos el problema usando coordinadas normales Buscamos solución u(x,t) en forma 41

42 L.4. Método Fourier: Cuerda Multiplicando por X m y integrando entre 0 L Llegamos a Ec. diferencial a resolver: Con 42

43 III 1. FORMULACION MATEMATICA Cond. Contorno Partial Diff Ecuations PROCESOS Fisicos 2. SOLUCION Ec. Onda Ec.Fourier, Laplace, Poisson Ec. No-hom. Met. D Alembert Met. Series Fourier SL F Green Met transformada Fourier (sistemas infinitas) 43

44 L4G4. Método Fourier: Cuerda TABLA de Soluciones de problemas SL con CC1,2,3 homogeneas Creada por cada alumno de manera individual 44

45 L.4. Método Fourier: Cuerda PROBLEMA CLASE: Libro Levanuyk 4.6 A la cuerda NO-HOMOGENEA considerada en esta Leccion se le da un golpe en el punto central que le transfiere un impulso I (antes del golpe la cuerda se encuentra en reposo en la configuración de equilibrio). Hallar el desplazamiento de la cuerda como función del tiempo. mv=i 1. Solucion GENERAL 2. Aplicar CI 3. Hallar coeficientes ρ 1 45

46 L.4. Método Fourier: Cuerda 1. Solucion GENERAL Ya hemos usado CI-1 (cuerda en reposo a t=0) = = u Q ( t) X ( x) A Senω t X ( x) n n n n n n n NOTA: aquí C n =1 46

47 L.4. Método Fourier: Cuerda Aplicamos CI-2 L 0 ( x < ε ) 2 I L L ut( x,0) = ωnancos(0) Xn( x) = ( ε < x < + ε ) n ( ρ1+ ρ2) 2 2 2ε 2 L 0 ( x > ε ) 2 47

48 ω Métodos Matemáticos en Física L.4. Método Fourier: Cuerda Multiplicamos ambas partes por X n *ρ(x) y integramos de 0 L L 2 I na n X n x ρ x dx= Xn ( 0 ρ1+ ρ2) L ( ) ( ) ( )( ερ1+ ερ2) 2 2ε 2 A n = ω n L 0 I X 2 n n L ( ) 2 X ( x) ρ( x) dx 48

49 L.4. Método Fourier: Cuerda Frecuencias propias? ω n =? Q`` TQ X`` = = ( x) X ρ λ n = > TQ ω 2 = n n n Q``+ λ = 0 => λ T 49