M. En C. Eduardo Bustos as

Transcripción

1 PROBLEMS. Hillier, Frederick S. & Hillier, Mark S. Introduction to Management Science.. 2nd. Ed. USA, Mc Graw Hill - Irwin, pp. M. En C. Eduardo Bustos Farías as

2 2

3 3

4 Software for Solving LP s M. En C. Eduardo Bustos Farías

5 SOLVER 5

6 Se Se tiene tiene el el siguiente problema: 6

7 Instrucciones 1. Descargue, descomprima e instale el software 2. Abra Excel 7

8 Ejemplo 8

9 Fórmulas =C7*C12+D7*D12 =C8*C12+D8*D12 =C9*C12+D9*D12 =SUMAPRODUCTO(C4:D4,C12:D12) 9

10 Clic a Menú Herramientas y Solver 10

11 11

12 12

13 Clic Clic a agregar 13

14 14

15 Clic Clic a aceptar aceptar 15

16 Verificamos máximo 16

17 Clic a opciones 17

18 Verificamos Las opciones 18

19 Clic a aceptar 19

20 Clic a Resolver 20

21 21

22 Se Se seleccionan los los informes 22

23 Clic Clic a aceptar 23

24 Se Se generan generan varias varias pestañas pestañas as en en el el libro libro de de Excel Excel 24

25 25

26 26

27 La La solución D= 2 W= 6 Z= $ 3,600 27

28

29 Seleccionamos Seleccionamos TORA.exe TORA.exe de de la la ubicación ubicación n don don de de hallamos hallamos copiado copiado los los archivos archivos 29

30 Aparece la la siguiente pantalla 30

31 Clic Clic a cualquier tecla tecla y aparece 31

32 Seleccionamos Seleccionamos linear linear programming programmingy y luego luego Enter Entera new newproblem 32

33 Resolvemos Resolvemos el el siguiente siguiente problema problema Max Z = 8X1 + 5X2 (ganancia semanal) Sujeto a: 2X1 + 1X2 <= 1200 (Cantidad de plástico) 3X1 + 4X2 <= 2400 (Tiempo de producción) X1 + X2 <= 800 (Limite producción total) X1 - X2 <= 450 (Producción en exceso) X j >= 0, j= 1, 2. (Resultados positivos) 33

34 Anotamos los los datos datos y enter enter 34

35 Presionamos F8 F8 35

36 Enter Enter 36

37 Enter Enter 37

38 38

39 39

40 F6 para salir al menú de optimización F9 para salir del programa 40

41 LINDO 6.1

42 42

43 Vamos Vamos a resolver resolver el el siguiente siguiente problema problema MAX Z = P1T P1T P2T P2T I1T I1T I2T I2T E1T E1T E2T E2T2-20 C1T1-20 C1T2-20 C2T1-20 C2T NDT NDT2-20 R1T1-20 R1T2-20 R2T1-20 R2T2-300 N1T1-300 N1T2-300 N2T1-300 N2T2 43

44 Sujeto Sujeto a: a: 2) P1T1 + P2T1 - NDT1 = 130 3) P1T2 + P2T2 - NDT2 = 190 4) 900 B1T T1T1 <= ) 900 B1T T1T2 <= ) 600 B2T T2T1 <= ) 600 B2T T2T2 <= ) I1T1 + I2T1 <= ) I1T2 + I2T2 <= ) - I1T1 - E1T1 + 6 B1T1 = 0 11) - I2T1 - E2T1 + 6 B2T1 = 0 12) - I1T2 - E1T2 + 6 B1T2 = 0 13) - I2T2 - E2T2 + 6 B2T2 = 0 14) P1T1 + N1T1 - B1T1 = 5 15) P1T2 - N1T1 + N1T2 - B1T2 = 0 16) P2T1 + N2T1 - B2T1 = 2 17) P2T2 - N2T1 + N2T2 - B2T2 = 0 18) C1T1 + R1T1 + B1T1 - T1T1 = 6 19) C1T2 - C2T1 - R1T1 + R1T2 + B1T2 - T1T2 = 0 20) C2T1 + R2T1 + B2T1 - T2T1 = 4 21) - C1T1 + C2T2 - R2T1 + R2T2 + B2T2 - T2T2 = 0 44

45 Capturamos los los datos datos 45

46 Resolvemos 46

47 47

48 48

49 QSB

50 50

51 51

52 52

53 53

54 54

55 55

56 56

57 57

58 58

59 59

60 60

61 61

62 62

63 63

64 64

65 LA IMAGEN

66 ABPOM

67 Instrucciones 1. Copiar archivos en un subdirectorio de c: que se llame abpom 2. Ejecutar install 3. Ejecutar pom.exe 67

68 68

69 Data file:prueba Linear Programming Data Screen Number of constraints (2-99) 2 Number of variables (2-99) 2 maximize PRUEBA Options-> NO step PRINT OPTION = do not print x1 x2 RHS maximize const ¾ 4.00 const ¾ INSTRUCTION Use first (highlighted) letter to select option Help New Load Main Util Quit Save Prnt Run 69

70 Data file:prueba Linear Programming Solution Number of constraints (2-99) 2 Number of variables (2-99) 2 maximize PRUEBA Options-> NO step PRINT OPTION = do not print x1 x2 RHS maximize Shadow const ¾ const ¾ Values -> $4, INSTRUCTION Press <Esc> key to return to data screen or highlighted key or function key for options Investigación de F1=Help F2=Display solution table F3=Graph F9=Print Esc 70

71 EL MÉTODO M SIMPLEX ALGEBRAICO M. En C. Eduardo Bustos Farías as

72 EL EL METODO SIMPLEX Es un procedimiento general para resolver problemas de programación lineal. Fue desarrollado en el año de 1947 por George Dantzig. Exceptuando los casos más pequeños y sencillos, su ejecución se lleva a cabo en las computadoras a través de programas desarrollados con ese propósito particular. 72

73 EL EL METODO SIMPLEX Es un algoritmo sistemático que examina las vértices, esquinas o puntos extremos (cuando el problema se puede representar geométricamente) o de un conjunto factible en busca de una solución optima. El algoritmo arranca en la fase 1 determinando un vértice inicial. Si el problema es inconsistente en esta fase 1 se descubrirá este hecho. En la siguiente iteración el algoritmo empieza a recorrer el conjunto factible de un vértice a otro adyacente. Cada vértice del conjunto factible puede representarse en forma algebraica como una clave particular de solución de un conjunto de ecuaciones lineales. 73

74 Los problemas de PL que solo incluyen dos variables y en ocasiones tres resultan susceptibles de solucionarse en forma gráfica, sin embargo al volverse más complicados la solución gráfica resulta imposible. Por lo tanto se requiere una forma más eficiente que mantenga los cálculos al mínimo, esto lo hace el método simplex con el procedimiento algebraico. El procedimiento algebraico al igual que el gráfico, consiste en resolver puntos seleccionados del polígono de factibilidad técnica y llega a la solución óptima por medio de iteraciones o pasos sucesivos. 74

75 EL EL MÉTODO M SIMPLEX INICIA: Con una solución básica y factible, pero no óptima. BUSCA: La optimalidad TERMINA: Con una solución que conserva la factibilidad y, además, es óptima. 75

76 TIPOS TIPOS DE DE SOLUCIONES: 1. SOLUCIÓN: Cualquier conjunto de valores para las variables. 2. SOLUCIÓN ÓPTIMA: Es una solución factible que maximiza o minimiza el valor de la función objetivo. 3. SOLUCIÓN FACTIBLE: Es una solución que satisface a todas las restricciones. 4. SOLUCIÓN BÁSICA: Dado un programa lineal en forma estándar, con n variables y m restricciones se obtiene una solución básica igualando a 0 n-m de las variables y resolviendo las ecuaciones de restricción para encontrar los valores de las otras m variables. 5. SOLUCIÓN BÁSICA FACTIBLE: Es una solución básica que también es factible; es decir que incluso satisface las condiciones de no- negatividad. Una solución básica factible corresponde a un punto extremo. 76

77 Ecuaciones en forma estándar

78 Cualquier programa lineal, sin importar el sentido de sus restricciones se puede transformar en un problema equivalente, en que todas las restricciones sean igualdades. Esto se efectúa agregando variables de holgura y excedente. Por ejemplo: X1+X2<=5, se transforma en igualdad al agregarle la variable de holgura s1: X1+X2+S1=5 Vemos que S1 es el faltante para alcanzar la igualdad. Si ahora el caso es 2X1+4X2>=13, para transformarla en igualdad se requiere de una variable de excedente y queda: 2X1+4X2-S2=13 Vemos que S2 es el exceso para alcanzar la igualdad. 78

79 Ejemplo 1. Tecnología Agrícola, S.A. Maximización

80 Tecnología Tecnología a Agrícola, Agrícola, S.A. S.A. es es una una compañí compañía a fabricante fabricante de de fertilizantes. fertilizantes. El El gerente gerente desea desea planear planear la la combinación combinación n de de sus sus dos dos mezclas mezclas a fin fin de de obtener obtener las las mayores mayores utilidades. utilidades. Las Las mezclas mezclas son son Hay un costo de $15 por tonelada por mezclado de los fertilizantes. 80

81 El El modelo modelo de de programación n lineal lineal para para este este problema es: es: Maximizar Z=18.5 X X 2 Sujeto a 0.05 X X 2 <= X X 2 <= X X 2 <= 2000 X 1, X 2 >= 0 81

82 Conversión Conversión n a a la la forma forma estándar estándar (inecuación (inecuación n a a ecuación): ecuación): Z=18.5X1+20X2+0S1+0S2+0S3 Sujeto a 0.05 X X2+S1= X X2+S2= X X2+S3=2000 X1, X2, S1, S2, S3 = 0 82

83 Conversión Conversión n a a la la forma forma estándar estándar (inecuación (inecuación n a a ecuación): ecuación): Z = 18.5X1+20X2+0S1+0S2+0S3 Sujeto a 0.05 X X2+S1+0S2+0S3 = X X2+0S1+S2+0S3 = X X2+0S1+0S2+S3 = 2000 X1, X2, S1, S2, S3 =0 83

84 La La tabla tabla del del simplex algebraico Variables no básicas Variables básicas X1 X2 S1 S2 S3 Valor solución S1 aij aij b1 Variables básicas S2 aij aij b2 S3 aij aij b3 Zj Cj-Zj C1 C Zj= contribución que se pierde por unidad fabricada Cj-Zj= costo de oportunidad Si= variables de holgura Xi= variables de decisión 84

85 Elaborar la tabla simplex que permita obtener la primera solución n básica b factible

86 Llenado de la tabla: Renglón S1 Z Z = = 18.5X1+20X2+0S1+0S2+0S3 18.5X1+20X2+0S1+0S2+0S3 Sujeto Sujeto a a X1 X X2+S1+0S2+0S3 X2+S1+0S2+0S3 =1100 = X1 X X2+0S1+S2+0S3 X2+0S1+S2+0S3 = = X1 X X2+0S1+0S2+S3 X2+0S1+0S2+S3 = = X1, X1, X2, X2, S1, S1, S2, S2, S3 S3 >=0 >=0 Variables básicas X1 X2 S1 S2 S3 Valor solución S S2 S3 Zj Cj-Zj 86

87 Llenado de la tabla: Renglón S2 Z Z = = 18.5X1+20X2+0S1+0S2+0S3 18.5X1+20X2+0S1+0S2+0S3 Sujeto Sujeto a a X1 X X2+S1+0S2+0S3 X2+S1+0S2+0S3 =1100 = X1 X X2+0S1+S2+0S3 X2+0S1+S2+0S3 = = X1 X X2+0S1+0S2+S3 X2+0S1+0S2+S3 = = X1, X1, X2, X2, S1, S1, S2, S2, S3 S3 >=0 >=0 Variables básicas X1 X2 S1 S2 S3 Valor solución S S S3 Zj Cj-Zj 87

88 Llenado de la tabla: Renglón S3 Z = 18.5X1+20X2+0S1+0S2+0S3 Sujeto Sujeto a X1 X X2+S1+0S2+0S3 X2+S1+0S2+0S3 =1100 = X1 X X2+0S1+S2+0S3 X2+0S1+S2+0S3 = X1 X X2+0S1+0S2+S3 X2+0S1+0S2+S3 = X1, X1, X2, X2, S1, S1, S2, S2, S3 S3 >=0 >=0 Variables básicas X1 X2 S1 S2 S3 Valor solución S S S Zj Cj-Zj 88

89 Llenado del Renglón Zj Z = 18.5X1+20X2+0S1+0S2+0S3 Sujeto Sujeto a X1 X X2+S1+0S2+0S3 X2+S1+0S2+0S3 =1100 = X1 X X2+0S1+S2+0S3 X2+0S1+S2+0S3 = X1 X X2+0S1+0S2+S3 X2+0S1+0S2+S3 = X1, X1, X2, X2, S1, S1, S2, S2, S3 S3 >=0 >=0 Variables básicas X1 X2 S1 S2 S3 Valor solución S1 S2 S Zj Cj-Zj 89

90 Llenado de la tabla: Renglón Cj-Zj Variables básicas Z = 18.5X1+20X2+0S1+0S2+0S3 Z = 18.5X1+20X2+0S1+0S2+0S3 Sujeto a 0.05 Sujeto X a X2+S1+0S2+0S3 = X1 X X2+0S1+S2+0S3 X2+S1+0S2+0S3 = = X1 X X2+0S1+0S2+S3 X2+0S1+S2+0S3 = = X1, X X2, S1, X2+0S1+0S2+S3 S2, S3 >=0 = 2000 X1, X2, S1, S2, S3 >=0 X1 X2 S1 S2 S3 Valor solución S S S Zj Cj-Zj

91 Determinar la variable que ingresa y la que la sale.

92 Regla de de entrada (criterio de de optimalidad): Entra aquella variable no básica con la mayor ganancia unitaria (en el caso de MAX) o el menor costo unitario (en el caso de MIN). En nuestro ejemplo: comparo los valores de la fila Cj-Zj, determino la columna pivote, entra X2 por que 20 es mayor que

93 Entra Entra X2 X2 a la la base base PASO 1. Columna pivote Entra X2 = 20 > x1 = 18.5 Variables básicas X1 X2 S1 S2 S3 Valor solución S S S Zj Cj-Zj

94 Regla Regla de de salida salida (criterio de de factibilidad): Sale aquella variable cuyo resultado de dividir el valor solución entre el coeficiente de la columna pivote sea menor. En nuestro ejemplo sale S2, ya que al dividir es el que tiene menor valor positivo (ceros y negativos e infintos no cuentan) 94

95 Sale S2 S2 de de la la base: Divido la la columna de de valor solución entre X2 X2 (la (la variable que entra a la la base) Variables básicas X1 X2 S1 S2 S3 Valor solución S S S /0.05= /0.1= /0.05=40000 Zj Cj-Zj

96 Se Se identifica el el elemento pivote: pivote: intersección entre entre x2 x2 y s2 s2 (la (la variable que que sale sale y la la que que entra entra a la la base) base) Variables básicas X1 X2 S1 S2 S3 Valor solución S X S Zj Cj-Zj Sustituyo S2 por X2 96

97 Se reestructuran los valores de la tabla 1

98 Transformo Transformo el el renglón renglón X2, X2, que que contiene contiene el el elemento elemento pivote pivote en en uno: uno: lo lo multiplico multiplico por por su su inverso inverso multiplicativo multiplicativo (10) (10) Variables básicas X1 X2 S1 S2 S3 Valor solución S X2 10(0.05) 10(0.1) 10(0) 10(1) 10(0) 10(1800) S Zj Cj-Zj

99 Quedando la la tabla tabla como como sigue: sigue: Variables básicas X1 X2 S1 S2 S3 Valor solución S X S Zj Cj-Zj

100 Los Los valores valores de de las las celdas celdas de de las las variables variables básicas bbásicas de de la la columna columna pivote pivote (X2) (X2) deben deben valer valer cero cero y y también también n la la Cj-Zj Cj-Zj: Zj: Variables básicas X1 X2 S1 S2 S3 Valor solución S X S Zj Cj-Zj

101 Uso Uso el el renglón renglón n pivote pivote Variables básicas X1 X2 S1 S2 S3 Valor solución S X S Zj Cj-Zj

102 Empezamos con con el el renglón n S1, S1, quiero quiero convertir el el en en cero. cero. Busco Busco que que número n multiplicado por por uno uno y sumado con con da da cero. cero. Variables básicas X1 X2 S1 S2 S3 Valor solución S X S Zj Cj-Zj

103 Multiplico por el renglón n pivote y lo sumo al renglón n S1 Multiplico por el renglón pivote y lo sumo al renglón S1 Variables básicas X1 X2 S1 S2 S3 Valor solución S1 (0.5)(-0.05) (1)(-0.05) (0)(-0.05) + 1 (10)(-0.05) + 0 (0)(-0.05) + 0 (18000)(-0.05) X S Zj Cj-Zj

104 Resultado los los nuevos valores del del renglón n S1 S1 en en la la Tabla Tabla 2 del del simplex Variables básicas X1 X2 S1 S2 S3 Valor solución S X S Zj Cj-Zj

105 Ahora Ahora el el renglón renglón n S3: S3: quiero quiero convertir convertir en en cero cero 0.05, 0.05, busco busco qué quénúmero multiplicado multiplicado por por uno uno y sumado sumado a da da cero. cero. Variables básicas X1 X2 S1 S2 S3 Valor solución S X S Zj Cj-Zj

106 Multiplico Multiplico por por el el inverso inverso aditivo aditivo de de Multiplico Multiplico el el renglón renglón n pivote pivote por por y lo lo sumo sumo al al renglón renglón n S3 S3 Variables básicas X1 X2 S1 S2 S3 Valor solución S X S3 (0.5)(-0.05) (1)(-0.05) (0)(-0.05) + 0 (10)(-0.05) + 0 (0)(-0.05) + 1 (18000)(-0.05) Zj Cj-Zj

107 Resultado Variables básicas X1 X2 S1 S2 S3 Valor solución S X S Zj Cj-Zj

108 Ahora vamos a transformar el el renglón Zj. Zj. Multiplico el el renglón n pivote por por y lo lo sumo a Zj. Zj. Variables básicas X1 X2 S1 S2 S3 Valor solución S X S Zj Cj-Zj

109 Las operaciones son: Variables básicas X1 X2 S1 S2 S3 Valor solución S X S Zj (0.5)(20) + 0 (1)(20) + 0 (0)(20) + 0 (10)(20) + 0 (0)(20) + 0 (18000)(20) + 0 Cj-Zj

110 El resultado es: Variables básicas X1 X2 S1 S2 S3 Valor solución S X S Zj Cj-Zj

111 Ahora seguimos con con Cj-Zj,, quiero convertir el el en en cero. Variables básicas X1 X2 S1 S2 S3 Valor solución S X S Zj Cj-Zj

112 Multiplico el el renglón n pivote por -20 y lo lo sumo a Cj-Zj Variables básicas X1 X2 S1 S2 S3 Valor solución S X S Zj Cj-Zj (0.5)(-20) (1)(-20) + 20 (0)(-20) + 0 (10)(-20) + 0 (0)(-20)

113 Resultado Variables básicas X1 X2 S1 S2 S3 Valor solución S X S Zj Cj-Zj

114 Tabla Tabla 2 (Resumen) Variables básicas X1 X2 S1 S2 S3 Valor solución S X S Zj Cj-Zj

115 La La solución n se se puede mejorar ya ya que aún a n hay valores positivos en en el el renglón Cj-Zj de de las variables no no básicas. b Variables básicas X1 X2 S1 S2 S3 Valor solución S X S Zj Cj-Zj

116 Determinar la variable que ingresa y la que la sale.

117 Regla de entrada (criterio de optimalidad): Entra aquella variable no básica con la mayor ganancia unitaria (en el caso de MAX) o el menor costo unitario (en el caso de MIN). En nuestro ejemplo: comparo los valores de la fila Cj-Zj, determino la columna pivote, entra X1 por que 8.5 es mayor que 0 117

118 Variable que que entra entra a la la base: base: X1 X1 Variables básicas X1 X2 S1 S2 S3 Valor solución S X S Zj Cj-Zj

119 Regla de de salida (criterio de de factibilidad): Sale aquella variable cuyo resultado de dividir el valor solución entre el coeficiente de la columna pivote sea menor. En nuestro ejemplo sale S1, ya que al dividir es el que tiene menor valor positivo (ceros y negativos no cuentan) 119

120 Variable que sale de de la la base S1: divido la la columna de de valor solución n entre X1 X1 Variables básicas X1 X2 S1 S2 S3 Valor solución S X S /0.025= /0.5= /0.075= Zj Cj-Zj

121 Identifico el el elemento pivote: la la intersección n de de variable que que entra (X1) (X1) y la la variable que que sale sale de de la la base (S1) (S1) Variables básicas X1 X2 S1 S2 S3 Valor solución S X S Zj Cj-Zj

122 Convierto el el elemento pivote en en uno: multiplico por su su inverso multiplicativo (1/.025=40) el el renglón S1 S1 Variables básicas X1 X2 S1 S2 S3 Valor solución S1 (40)(0.025) (40)(0) (40)(1) (40)(-0.5) (40)(0) (40)(200) X S Zj Cj-Zj

123 Resultando Variables básicas X1 X2 S1 S2 S3 Valor solución X X S Zj Cj-Zj

124 Transformo los valores de de la la tabla para los renglones X2, S3, Zj Zjy Cj-Zj Variables básicas X1 X2 S1 S2 S3 Valor solución X X S Zj Cj-Zj

125 Variables básicas X1 X2 S1 S2 S3 Valor solución X X2 (1)(-0.5)+0.5 (0)(-0.5)+1 (40)(-0.5)+0 (-20)(-0.5)+10 (0)(-0.5)+0 (8000)(-0.5) S3 (1)(-0.075) (0) (-0.075)+0 (40) (-0.075)+0 (-20) (-0.075)+(-0.5) (0) (-0.075)+1 (8000) (-0.075)+1100 Zj (1)(8.5)+10 (0)(8.5)+20 (40)(8.5)+0 (-20)(8.5)+200 (0)(8.5)+0 (8000)(8.5) Cj-Zj (1)(-8.5)+ 8.5 (0)(-8.5)+ 0 (40)(-8.5)+ 0 (-20)(-8.5) + (-200) (0)(-8.5)

126 Tabla Tabla 3 (final) (final) Variables básicas X1 X2 S1 S2 S3 Valor solución X X S Zj Cj-Zj

127 La La solución solución n no no puede puede mejorar, mejorar, ya ya que que no no hay hay valores valores positivos positivos en en el el renglón renglón Cj-Zj Cj-Zj de de las las variables variables no no básicas, bbásicas, por por lo lo que que se se ha ha alcanzado alcanzado una una solución solución n factible factible óptima. óptima. Variables básicas X1 X2 S1 S2 S3 Valor solución X X S Zj Cj-Zj

128 Resultados finales finales Variables básicas X1 X2 S1 S2 S3 Valor solución X X S Zj Cj-Zj

129 Solución X1 = 8000 X2 = S1 = 0 S2 = 0 S3 = 500 (hay una holgura del tercer recurso) Z = $ 428,