Ciclo Académico: 2006 Año de la Carrera: Horas de Clases Semanales Régimen de Cursado

Transcripción

1 Ciclo Académico: 2006 Año de la Carrera: Horas de Clases Semanales Régimen de Cursado 2º Teoría Práctica s 1 (1) Anual 1er.Cuatr. 2do.Cuatr. s (2) 3 3 X (1) Observaciones: (2) Observaciones: Docente/s Teoría 2 Práctica R/I Apellido y Nombres Departamento/División R/I Apellido y Nombres Departamento/División R Mannucci Marcos RNT R Mannucci Marcos RNT I Gaspar César RNT I Gaspar César RNT Observaciones: Espacios Curriculares Correlativos Precedentes Aprobada/s Cod. Asig. Cursada/s Cod. Asig. Elementos de álgebra A 0179 Espacios Curriculares Correlativos Subsiguientes Aprobada/s Cod. Asig. Cursada/s Cod. Asig. 1- FUNDAMENTACIÓN Este curso pretende brindar una visión de los sistemas de ecuaciones lineales, y de las herramientas de cálculo utilizadas en los mismos para la determinación de soluciones, desde un punto de vista teórico más amplio al dado anteriormente. Constituye el elemento básico para ingresar en otras disciplinas tales como la programación lineal, así como es el instrumento imprescindible en la resolución de cierto tipo de problemas en análisis matemático, entre otras de sus muchas aplicaciones. Siempre que ello sea posible, se recurrirá a ejemplos tomados de los espacios R 2 y R 3, para apelar a nociones geométricas representables; no obstante, se tendrá siempre en la mira el carácter general de los resultados del álgebra lineal. 2- OBJETIVOS GENERALES: Adquirir destreza en el cálculo de matrices y determinantes y sus aplicaciones, especialmente en la resolución de sistemas lineales. Obtener conocimientos básicos de los elementos del álgebra lineal: sistemas lineales, espacios vectoriales, subespacios, dependencia e independencia lineal de vectores, bases, transformaciones y funcionales lineales. Utilizar dichos conocimientos en las distintas aplicaciones del álgebra lineal: geometría, solución de sistemas, análisis matemático. Alcanzar el concepto de producto interno y sus aplicaciones asi como su utilidad en la geometría analítica. Reconocer distintos tipos de transformaciones lineales y adquirir dominio en el cálculo. Usar algún paquete computacional para resolver problemas relativos al álgebra lineal. Lograr capacidad de abstracción, para aplicarlo en las argumentaciones lógicas necesarias en la obtención de los resultados principales de la materia. Conseguir dominio en el uso del lenguaje técnico específico, para traducir y expresar correctamente las situaciones capaces de ser tratadas matemáticamente. Introducir los desarrollos posteriores que usan ampliamente las herramientas del álgebra lineal. 1 Si el espacio curricular está implementado en una modalidad diferente de teóricos y prácticos, tildar en s y consignar esta característica en Observaciones. 2 Si el espacio curricular está implementado en una modalidad consignada por s y no pueden ser discriminados los miembros del equipo, incluirlos todos en la columna de teóricas y consignar esta característica en observaciones. En R/I se debe registrar si el docente es Responsable o Integrante. El Responsable del espacio curricular debe estar registrado en la columna de la Teoría. El responsable del espacio curricular no puede estar únicamente en la Práctica. Pág

2 3- CONTENIDOS MÍNIMOS: Espacios vectoriales. Subespacios. Producto interno. Espacios producto interno. Subespacios ortogonales. Transformaciones lineales. Determinantes. Autovalores y autovectores. Diagonalización de matrices. Triangulación de matrices. Forma canónica de Jordan. 4- ORGANIZACIÓN DE LOS CONTENIDOS PROGRAMA ANALÍTICO Unidad 1: Matrices Sistemas lineales Determinantes a) Matrices: definición. Dimensiones. Matrices especiales. Operaciones con matrices: suma, productos; propiedades de las operaciones. Matrices transpuesta e inversa. Operaciones elementales de fila. Matrices reducida y escalonada. Matrices elementales. Cálculo de la matriz inversa. b) Sistemas lineales. Representación matricial. Resolución de sistemas lineales. Sistemas homogéneos y no - homogéneos. Diagonalización. Solución única. Método de Gauss Jordan. Uso de inversas para la resolución de sistemas. c) Determinantes. Propiedades de los determinantes. Cálculo de determinantes. Menor complementario y cofactor de un elemento. Propiedades. Producto de determinantes. Adjunta de una matriz. Aplicaciones. Cálculo de inversas usando determinantes. Solución de sistemas lineales por determinantes, regla de Cramer. Unidad 2: Espacios vectoriales Subespacios Dimensión y bases a) Espacios vectoriales. Definición de espacios vectoriales. Ejemplos: espacios de funciones, de funciones continuas e integrables, de polinomios, de matrices, los espacios R n. Propiedades elementales de los espacios vectoriales. b) Subespacios. Concepto y propiedades. Ejemplos. Intersección de subespacios. c) Dependencia e independencia lineal. Combinación lineal de vectores. Vectores linealmente dependientes e independientes. Ejemplos. Conjunto de vectores linealmente independiente y maximal. Subespacio generado por un conjunto de vectores. d) Dimensión. Espacios vectoriales de dimensión finita. Existencia de bases. Bases de un espacio vectorial. Completamiento. Coordenadas de un vector. Bases canónicas de los espacios vectoriales usuales. Cambio de base. e) Suma. Suma de espacios vectoriales. Representación de vectores. Suma directa. Dimensión de la suma de dos espacios vectoriales. Unidad 3: Transformaciones lineales a) Transformaciones. Concepto de transformaciones lineales. Propiedades y ejemplos. Existencia de transformaciones lineales. b) Algebra de transformaciones. Operaciones con transformaciones lineales. Representación de transformaciones por matrices. c) Núcleo e imagen. Concepto de núcleo y de imagen. Propiedades. Teorema del núcleo y de la imagen. Transformaciones injectoras y sobreyectoras. Aplicaciones. Sistemas lineales. d) Transformaciones inversibles. Inversa de una transformación lineal. Propiedades. Isomorfismo de espacios vectoriales. El espacio de las transformaciones lineales. Funcionales lineales. El espacio dual. Transpuesta de una transformación lineal. Unidad 4: Producto interno Espacios con producto interno a) Producto interno. Concepto y ejemplos. Norma. Ortogonalidad. Complementos ortogonales. Desigualdad de Cauchy Schwarz. Aplicaciones. Bases ortogonales. Proyecciones. Proceso de Gram Schmidt. Bases ortonormales. b) Representación de los funcionales lineales. Bases duales. Teorema de la representación de los funcionales. Ejemplos y aplicaciones. Adjunta de una transformación lineal. Propiedades. Unidad 5: Autovalores y autovectores a) Autovalores y autovectores. Definición. Cálculo de los valores y vectores propios. Propiedades. Autovalores de matrices. b) Transformaciones especiales. Transformaciones autoadjuntas. Definición y propiedades. Ejemplos. Subespacios invariantes. Diagonalización de transformaciones. c) Transformaciones unitarias. Definición y propiedades. Ejemplos. d) Transformaciones normales. Definición y propiedades. Ejemplos. e) Movimientos rígidos en el plano y en el espacio. Aplicaciones. Formas bilineales y cuadráticas. La ecuación general de segundo grado: clasificación de las cónicas y cuádricas. Unidad 6: Triangulación de matrices Forma canónica de Jordan a) Polinomios. Polinomios anuladores y polinomios minimales. Polinomio característico. Subespacios invariantes. Triangulación. b) Descomposiciones en sumas directas. Subespacios independientes. Proyecciones. Sumas directas invariantes. c) Formas de Jordan. Subespacios cíclicos. Forma de Jordan. 5- CRITERIOS DE EVALCIÓN: La evaluación se hará de acuerdo a los siguientes ítems: Uso apropiado del lenguaje matemático; Dominio de las técnicas operatorias; Conocimiento y aplicación de los fundamentos teóricos; Pág

3 Resolución de problemas utilizando algún programa computacional. 6- METODOLOGÍA DE TRABAJO PARA LA MODALIDAD PRESENCIAL: El desarrollo de la asignatura se realizará por medio de clases teórico prácticas. El contenido teórico se efectuará del modo más completo posible; no obstante, algunas extensiones de la misma será dejado para completar a través de la lectura del material bibliográfico. Asimismo se dejará un espacio para consulta sobre los trabajos prácticos. Como está prevista la utilización de programas computacionales, se impletarán una serie de proyectos para ser realizados en forma individual o grupal. 7- ACREDITACIÓN: Alumnos Presenciales Regularización Corrección y aprobación del 75% de los trabajos prácticos. Los trabajos prácticos podrán presentarse individual o grupalmente. Aprobación de dos parciales (cada uno de los cuales contará con un recuperatorio). Asistencia: 75%. Aprobación Final Examen final escrito y oral, sobre los contenidos del programa analítico desarrollados. 8- METODOLOGÍA DE TRABAJO PARA ALUMNOS EN EL SISTEMA DE ASISTENCIA TÉCNICA PEDAGÓGICA (SATEP) Esta asignatura está en el nivel 0 del SATEP. 9- ACREDITACIÓN: Alumnos No Presenciales (SATEP) Regularización Aprobación Final Aprobación de un examen final, en las condiciones establecidas para los alumnos presenciales (vide, apartado 7). 10- METODOLOGÍA DE TRABAJO SUGERIDA PARA EL APRENDIZAJE AUTOASISTIDO (Alumnos Libres) Los alumnos libres deberán realizar una lectura del material bibliográfico obligatorio, en vistas de la presentación del trabajo práctico integrativo. Podrán realizar consultas con los profesores responsables. 11- ACREDITACIÓN: Alumnos Libres Aprobación Final Presentación y aprobación de un trabajo práctico integrativo. Aprobación de un examen escrito eliminatorio, de carácter práctico, sobre el contenido completo del programa analítico. Aprobación de un examen escrito y oral, en el contexto descripto para alumnos presenciales regulares (punto 7 arriba). Pág

4 12- BIBLIOGRAFÍA Libros (Bibliografía Obligatoria) Refer. Apellido/s Nombre/s Año Título de la Obra Capítulo/ Tomo / Pág. Lugar de ROJO A Álgebra II 1 a 9 Buenos Aires HOFFMAN KUNZE K. R Álgebra lineal 1 a 3 5 a 10 Editorial Unidad Bibliotec El Ateneo 1 6 X México Pearson 1 6 X APOSTOL T. M Calculus, volumen II 1 a 5 Barcelona Reverté, 2 da ed. 1 6 X COTLAR SADOSKY M. C. R Introducción al álgebra 5 a 10 Buenos Aires EUDEBA X Libros (Bibliografía Complementaria) Refer. Apellido/s Nombre/s Año SOBER LERNER CÁRDENAS RAGGI BIRKHOFF MAC LANE H. F. G. B. S. Título de la Obra Capítulo/ Tomo / Pág.. Lugar de Editorial Unidad Bibliotec 1996 Álgebra México Prentice - Hall 1 X 1999 Álgebra superior México Trillas X 1985 Álgebra moderna Barcelona Editorial Vicens Vives X Pág

5 Libros (Bibliografía Complementaria) Refer. Apellido/s Nombre/s Año VILLAMAYOR HALMOS LANG Título de la Obra Capítulo/ Tomo / Pág.. Lugar de O Álgebra lineal Washingto n P Finite dimensional vector spaces New York Springer Verlag S Introduction to linear algebra, 2 nd ed. New York Springer Verlag Editorial Unidad Bibliotec OEA X X X Artículos de Revistas Apellido/s Nombre/s Título del Artículo Título de la Revista Tomo/Volumen/ Pág. Fecha Unidad Bibliotec Recursos en Internet Autor/es Apellido/s Autor/es Nombre/s Título Datos adicionales Disponibilidad / Dirección electrónica s Materiales Pág

6 13- VIGENCIA DEL PROGRAMA AÑO Firma Profesor Responsable Aclaración Firma 2006 Mannucci Marcos 14- Observaciones El presente programa se considera un documento que, a modo de "contrato pedagógico", relaciona a los protagonistas del proceso de enseñanza-aprendizaje y constituye un acuerdo entre la Universidad y el Alumno. Los cuatrimestres tienen como mínimo una duración de 15 semanas. VISADO División Departamento Secretaría Académica Fecha: Fecha: Fecha: Pág