Ejemplos resueltos de economía matemática 1

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1 Ejemplos resueltos de economía matemática Daniel Ricardo Casas Hernández * Resumen Este documento pretende acompañar el proceso de formación de los estudiantes de economía matemática ; a través de ejemplos resueltos y ejercicios propuestos, ellos y ellas pueden tener referencias adicionales en la manipulación de herramientas matemáticas, necesarias en el aprendizaje de economía. Palabras clave: métodos matemáticos en economía JEL: E Conjuntos Ejercicios. Sea A = {,,3,4}. Dar dos funciones biyectiva f y g en A. Mostrar que (f g) = g f.. Sea B = {a,b,c,d,e}. Hallar una biyección f en B y subconjuntos N y M de B tales que se cumpla f (N) = f(m). * ProfesordelprogramadeeconomíaenlaUniversidaddeLaSalleyEscuelaColombiana de Ingeniería Julio Garavito.

2 3. Dar una colección Ω de funciones tal que de dos elementos cualquiera de Ω,siempreunadeellasesunaextensióndelaotra,oseaque( f,g Ω) (f g g f). Mostrar que f Ω f. 4. Sea f : A B una función; sea N y N subconjuntos de B. Mostrar con un ejemplo que si N N f (N ) f (N ). Matrices y vectores Ejemplo La matriz inversa de B = 3 es B = Determinar bajo qué condiciones los vectores propios de A son iguales a los de A. SiA = a a a, A λi = λ a a 3 a 4 a λ = (a λ)(a 4 λ) a 3 a = 0. a 3 Así, para la matriz A, el polinomio característico es: a a 4 a λ a a λ a 3 a +λ = 0 λ (a +a 4 )λ+a a 4 a 3 a = 0. λ (tra)λ+ A = 0. Para la matriz A los valores propios se obtienen de a A λi = λ a a 3 a 4 λ = ( a λ)( a 4 λ) a a 3 = 0 El polinomio característico es: λ +a a 4 a a 3 +(a +a 4 ) = 0

3 λ +(tra)λ+ a = 0 λ +tr( A)λ+ A = 0 Para A la solución del polinomio característico es: λ = (a +a 4 )± (a +a 4 ) a A λ = a +a 4 +B, λ = a +a 4 B Para A las soluciones del polinomio características son: λ = (a +a 4 )± (a +a 4 ) a A (a λ +a 4 )+B, λ = ( a +a 4 ) B Si a +a 4 = (a +a 4 ), es decir a +a 4 = (a +a 4 ) = 0. Por tanto a = a 4, los valores propios de A y A son iguales. Ejercicios. Escribir la matriz A = (a ij ) 3 tal que a ij = i+j.. Probar que tr(a B) = tr(a)+tr(b). 3. SiA 3,B 3 yc 3,entonceshallareltamañodelamatriz((BA) T C T ) T. 4. Hallar todas las matrices que conmutan al multiplicarlas por A = x 5. Hallar los valores de x, tales que [x 4] Es el producto de matrices simétricas una matriz simétrica. Por qué? 3

4 7. Para las matrices A = 3, B = Hallar AT B T Probar que al intercambiar dos filas en una matriz 3 3, el determinante cambia de signo Hallar la matriz inversa de A = x+8w = ay 0. Hallar x, y en el siguiente sistema de ecuaciones z = 4yb+5xa.. Hallar las soluciones, si existen para el sistema de ecuaciones x 4z 9 = 0 3y x+5 = 0 z +x y = HallarlosmenoresymenoresprincipalesdelamatrizB = Demostrar que m es valor propio de la matriz A si y sólo si, m es valor propio de la transpuesta (A t ) de A Para que valores de m la matriz A = 5 m tiene inversa. 4 7 m 6 4

5 5. Bajo qué condiciones la matriz C = a b tiene valores propios números c d reales. 6. MuestrequeparamatricesA,sik esunnúmeroreal,entonces ka = k A. 7. Si A = [ ] [ ], B == 0 3, hallar B T A (AB T ) Hallar los menores y menores principales de A = Una firma fabrica parlantes en dos empresas. El costo de producción de x unidades en la empresa A es C A = 0,0x +4x+500. El costo de producir y unidades en la empresa B es C B = 0,05y +4y +75. Los parlantes se venden a 5 unidades monetarias. Hallar la cantidad que debe producir en cada empresa para tener máximo beneficio. 5

6 Funciones de varias variables Ejemplos Hallar las curvas de nivel z = 3, x =, para la función z = mín{x y, y +x }. x y, si x y y +x z = y +x, si y +x x y. Si x y y+x, entonces x x+ y+y. Es decir, x + y. x y, si x Para z = 3 = + y y +x, si x + y Así, 3 = x y, es decir y = x 3, si y x +. Si 3 = y +x, entonces y = 5 x, cuando y x +. y x 6

7 Para hallar la curva de nivel de x=, y, si y y z = y, si y y. 3 y, si Es decir, z = y 3 z y +, si y. z 3 x Hallar y graficar el dominio de la función z = f(x,y) = x y + x +y. Los elementos del dominio deben cumplir las siguientes dos condiciones: x y 0 y x +y 0. Es decir, el dominio es el conjunto D(f) = {(x,y) R ;x y x +y }. 7

8 Para la función z = f(x,y) = xy x +y, (a) Hallar el tipo de rendimientos a escala: f(λx,λy) = λxλy (λx) +(λy) = λ xy λ x +λ y = λ xy λ (x +y ) = xy x +y = λ 0 f(x,y), por tanto tiene rendimientos decrecientes a escala. (b) La elasticidad de z con respecto a y es El y z = z y. y z El y z = x(x +y ) y(xy) y(x +y ) (x +y ) xy El y z = (xy)(x +y ) y (x +y )(xy) (x +y ) (xy) El y z = (xy)(x +y )((x +y ) y ) (xy)(x +y )(x +y ) El y z = (x +y ) y x +y El y z = x y x +y. Determinar el tipo de rendimientos a escala de la función de producción F(λK,λL) = F(K,L) = m ((λk) r +(λl) r ) /r = m (K r +L r ) /r. m (λ r (K r +L r )) /r = λ F(K,L). Entonces la función de producción tiene rendimientos decrecientes a escala. Graficar la curva de nivel z = para la función z = mín{x y,3+x} x y, si x y 3+x z = = 3+x, si x y 3+x. 8

9 Si la línea de separación es y = x 3, de tal manera que: y = x si y x 3. x = si y x 3. y 3 x 4 Hallar el contorno superior CS() de y = f(x,x ) = mín{x x,4+x }. 9

10 Si y =, entonces = x x si x x 4+x 4+x si x x 4+x Es decir, = x x si x x 4+x si x x Así, el contorno superior es la región sombreada x x 3 0

11 Ejercicios. ParalafuncióndeproducciónQ = F(K,L) = (K a +L a ) /a,determinar si la función de producción es homogénea y de qué grado en caso de serlo. Interpretar este resultado económicamente.. Determinar si la función de producción q = f(x,y) = x + lny es homogénea y de qué grado: x representa la mano de obra, y el capital. 3. Representar gráficamente las curvas de nivel para la siguiente función e indicar la dirección hacia donde aumenta la variable dependiente. z = f(x,y) = min{6+x+y, +x+3y}. 4. Suponga que z = g(x,y) [ es una ] función homogénea de grado uno. Probar que f(x,y) = aln. g(x,y) x 5. Sea Q = F(K,L) = (KL) / ln(k/(k+l)), una función de producción quedependedelcapitalk ylamanodeobral.elingresodelaempresa se obtiene del producto del precio p y la cantidad producida Q. Si w es el salario de las unidades de mano de obra L y r la renta del capital K, entonces la función de costo es C(K,L) = wl+rk. Sea B(K,L) la función de beneficio de la empresa. (Recuerde que los beneficios son la diferencia entre el ingreso y el costo). Determinar si la función de beneficio es homogénea. Analizar e interpretar económicamente. 6. Para la función de producción Q = f(k,l) = 0K / L /3, hallar e interpretar económicamente las curvas de nivel: Q =,Q =,K = 8,K = 7.

12 7. Hallar y dibujar el dominio de la función z = f(x,y) = xy 3 x +y Hallar los menores principales y menores de la matriz Hessiana de la función z = f(x,y) = 3xy 4y 3 x en el punto (,). 9. Dibujar las curvas de nivel z =, x = para la función z = f(x,y) = mín{x y, 3+x+3y}. 0. Hallar el dominio de la función z = f(x,y) = ln(x+y +5) x +y.. Hallar los valores de β para que la siguiente función tenga rendimientos decrecientes a escala. ( ) β. y = g(x,x ) = A x / +x /

13 Derivadas de funciones de varias variables Ejemplos Sí u = f(x,y,z) = ln(x 3 +y 3 +z 3 3xyz) probar que (x+y+z)( u x + u y + u z ) = 3. u x = u y = u z = 3x 3yz x 3 +y 3 +z 3 3xyz 3y 3xz x 3 +y 3 +z 3 3xyz 3z 3xy x 3 +y 3 +z 3 3xyz x u x +x u y +x u z +y u x +y u y +y u z +z u x +z u y +z u z = = 3x3 3xyz +3y 3 3xyz +3z 3 3xyz x 3 +y 3 +z 3 3xyz = 3(x3 xyz +y 3 xyz +z 3 xyz) x 3 +y 3 +z 3 3xyz = 3(x3 +y 3 +z 3 3xyz) x 3 +y 3 +z 3 3xyz = 3. Sí z = f(x,y) = x 0 y 30, x = t+, y = (t+), entonces hallar la elasticidad de z con respecto a t. z = x 0 y 30, y = (t+), x = t+. z = x 0x9 y 30, z = z x + z y t x t y t z = y 30x0 y 9, z = t 0x9 y x 0 y 9 [(t+)] x =, t y t = (t+). z = t 0(t+)9 (t+) (t+) 0 (t+) 58 [(t+)] z t = 0(t+)79 +30()(t+) 79 3

14 z t = 80(t+)79 yt z = z t = 80(t+)79 t = 80t. t z (t+) 0 (t+) 60 (t+) Hallar la derivada direccional de f(x,y) = x y en la dirección de z =, 3 en el punto (3,). Sif = (x y ) /,entonces Así, f = x y, y x y f x = (x y ) /, f y = (x y) / ( y). z = z, 3 = +( 3) 3, 3 D z f = f z = x y + 3y 3 x y 3 D z f(3,) = () 3 3 D z f(3,) = = 4 3 = = 4 6 = Hallar todos los valores del parámetro a para que la función f(x,y) = (a+4)xy 6x y +4ay sea cóncava. Si f(x,y) = (a+4)xy 6x y +4ay, entonces: f x = (a+4)y x, f xx =, f xy = a+4, f y = (a+4)x y+4a, f yx = a+4,f yy =. a+4 H = a+4 Para que sea cóncava debe cumplir: ( ) k Ĥ k > 0, es decir Ĥ > 0. Ĥ < 0 y 4

15 , Como: Ĥ =. Ĥ = 4 (a+4). Entonces: 4 (a+4) > 0 (a+4) < 4 4 < a+4 < < a < 4 4 La función es cóncava si, 4 < a < 4. Para la relación y = ln(xy) calcular la elasticidad El x xy. Como El x y = dy x dy y la derivada implícita es dxy dx = F x, cuando F y se obtiene De donde F(x,y) = ln(xy) y x dy dx = y(x+y) x(x y). El x y = y(x+y) x x(x y) y. El x y = x+y y x. Si x+y > y x, entonces es elástica la relación entre x e y; si x+y < y x, las variables tienen relación inelástica; si x+y = y x, entonces la elasticidad entre las variables es unitaria. Hallar Ĥ y H para la función F(x,y,z) = 3xy 4y 3 x + 4zy en el punto (,,). f x = 3y 4y 3 ; f xx = 0; f xy = 3 y ; f xz = 0 5

16 f y = 3x y x+4z; f yy = 4yx; f yz = 4 f z = 4y; f zz = 0 La matriz Hessiana para esta función es: H = 0 3 y 0 3 y 4yx De donde: Ĥ = (3 y ) = H = 8. Para Q = F(L,K) = 00(K / + L / ), hallar: elasticidad de Q con respecto a K (El K Q), tasa marginal de sustitución técnica de L por K (TMST KL ) y el tipo de rendimientos a escala. F K = 00(K/ + L / )( K / ). F L = 00(K/ + L / )( L / ). TMST KL = dl = F K dk FL = K / = ( L /. L K) / El K Q = Q K = 00(K/ +L / ) K / K K = /. K Q 00(K / +L / ) (K / +L / ) 6

17 F(λL,λK) = 00((λK) / +(λl) / ) = λ00(k / +L / ). Por tanto, tiene rendimientos constantes a escala. Hallar todos los puntos en los que la función z = f(x,y) = x 3 3xy+y 3 es cóncava, convexa. 6x 3 La matriz Hessiana para la función es:. 3 6y La función es cóncava si Ĥ 0 y Ĥ 0. Es decir, si 6x 0, 6y 0 y 36xy 9 0. Por tanto, la función es cóncava si, x 0, y 0 y xy 4. La función es convexa si Ĥ 0 y 36xy 9 0; es decir si, x 0, y 0 y xy 4. Hallar todos los valores del parámetro a para que la función f(x,y) = (a+4)xy 9x y +4ax sea cóncava. f x = (a+4)y 8x+4a, f xy = a+4, f xx = 8, f y = (a+4)x y, f yy =. 8 a+4 H = a+4 8 Ĥ Ĥ = 36 (a+4) Para que sea cóncava, Ĥ 0 y Ĥ 0. Es decir, si 36 (a+4) 0. (6 a 4)(6+a+4) 0. ( a)(0+a) 0. a a 0 a a 0. 7

18 [ 0,] φ= [ 0,] Si a [ 0,] la función es cóncava. Ejercicios. Hallar σ xy, para la función f(x,y) = xa+y a.. Para Q = A(K α +L α ) β, hallar El L K, TMS KL. 3. Suponga que la función de utilidad intertemporal de un consumidor es : U(x,x,t) = A(x a +x a ) (b+a)/a e ct. x representa el consumo de discos; x el consumo de libros; t es el tiempo. Hallar la variación del consumo de libros a través del tiempo para un nivel de utilidad constante y analizar e interpretar la respuesta económicamente. Hallar la elasticidad, consumo de discos de la utilidad e interpretar económicamente la expresión obtenida. 4. Dada un función de producción Q = A(K m +L m ) n/m en donde K es el capital y L representa la mano de obra. Hallar la elasticidad capital de la producción. Interpretar el resultado económicamente. Hallar la tasa marginal de sustitución TMST K,L e interpretar el resultado económicamente. Hallar la elasticidad de sustitución σ K,L e interpretar el resultado económicamente. 5. Sea x = am bp +cp una función de demanda con a,b y c constantes positivas. Determinar si el bien i es giffen, normal o inferior. 8

19 6. Dada la función de producción Q = F(K,L) = K a L a. Determinar si la función de producción es homogénea y de qué grado en caso de serlo. Analizar e interpretar este resultado económicamente. Hallar la tasa marginal de sustitución TMS KL interpretar y analizar el resultado. 7. Para la función de producción Q = f(k,l) = 0K / L /3, hallar e interpretar económicamente cada uno de los siguientes resultados: 8. Si u = f(x,y) = Ax / y /5, tal que x = g(p,p,m) = m(p p ) y y = h(p,p,m) = 3m p. hallar u m cuando p = = p, m =. Elasticidad de Q con respecto a L. Tasa marginal de sustitución técnica de K por L. Tipo de rendimiento a escala de la función de producción. 9. Sea u = f(x,y) = xy x+y, tal que x = g(r,w) = erw, y = h(r,w) = ln(rw). Hallar u w cuando (r,w) = (,). 0. Dada la función de utilidad u(x,y) = Ax a y b e nt con x, y cantidades de consumo, A es constante, a,b (0,) y x,y 0. Hallar e interpretar económicamente la tasa marginal de sustitución TMS yx.. Sea f(x,y) = Ax a y b ; donde A es constante, a,b (0,) y x,y 0. Muestre que si a + b, entonces la función f es cóncava, pero si a+b > la función f es cuasicóncava.. Hallar los valores de las constantes a,b y c, tal que z = f(x,y) = ax y +bxy +xy +c sea convexa. 9

20 Máximos y mínimos Ejemplos Hallar los puntos críticos de y = f(x,x ) = 3x x x 3 +5x 8x. () f x = 3x +0x 8 = 0, () f x = 3x 6x = 0. De la ecuación (), x = 3x Reemplazando en () se obtiene: 9x x = 0; que es equivalente con 60x +9x 4 = 0. De la solución de la cuadrática se obtiene: x = 3± Así, para x = , x = Para x = , x = Los puntos críticos son: ( 39 3 ) 649, , ( , Hallar los puntos críticos de la función y = f(x,x ) = x x +x x. Las derivadas parciales son: f x = ( x x ) / ( x )+x = 0. f x = ( x x ) ] / ( x ) 4x = 0. Sí x [ = 0, entonces x = 0 o = 0. x x x x [ ] Sí x +4 = 0 entonces x = 0 o +4 = 0. x x x x Por tanto (0,0) es punto crítico. Si = 0, implica x x +x x = 3. Así, x 4 = 0, entonces x = 3; 4 ( ) ( ) 3 es decir x = ±. De donde, 3,0 3,,0, también son puntos críticos. 0 ).

21 Si + 4 = 0, entonces x x x + x = 5; por tanto, si x 6 = 0, entonces x = 5; es decir, x 5 6 = ±. Otros puntos críticos son 6 ( 0, ) ( 5,, 0, ) Así,lospuntoscríticosdelafunciónf(x,x ) = x x +x x son: ( ) ( ) ( ) ( ) (0,0), 0, 4,, 0,, 4 4,0, 4,0. Hallar los punto críticos de z = f(x,y) = (x ) (y +4). Como, f x = (x )(y +4) = 0, f y = (x ) (y +4) = 0, entonces x = es punto crítico, independiente de la cantidad de y. Análogamente, y = 4, para cualquier x. Así, (,y),(x, 4) forman un conjunto infinito de puntos críticos. Hallar los puntos críticos de y = g(w,x) = w 3 +wx+x +w y clasificarlos. g x = w +x = 0 g w = 3w +x+ = 0 Si w = x, entonces x x = 0. De donde: x = 3 y x = 4. Si x =, entonces w 3 =. Si x 3 = entonces w 4 =. La matriz Hessiana para esta función es H = 6w. Para (, ) ( ) 3 3, H, = 4. Donde, H 3 3 = 4, H = 7. En (, ) hay mínimo relativo para y. 3 3

22 Para (, ) 4, H(, ) = 4 3. Donde H = 3, H = 7. Luego en (, ), hay punto de silla para y. 4 Minimizar w = f(x,y,z) = x+4y +3z s.a. x +y + 3 z = b. L = x 4y 3z λ[x +y + 3 z b]. L x = λx = 0. De donde λ = x. L y = 4 4λy = 0. Reemplazando λ, = ( x )y. L z = 3 3 λz = 0. Reemplazando λ, 3 = 3 ( x )z. L λ = x +y + 3 z = b. Si x = y, 9x = z, entonces x +(4x )+ 3 (8x ) = b. Es decir, 9x +7x = 36x = b. De donde x = b. 36 Luego x = b 6, y = b 3, z = 3 b, λ = 3 b. x = b 6, y = b 3, z = 3 b, λ = 3 b. El mínimo está en el punto cuyas coordenadas son: x = b 6,y 6 3, z = 3 b. Con valor mínimo para w, b 6 4 b 3 9 b = b 8 b 7 b 6 = 36 b 6 = 6 b. Hallar todos los valores de las constantes a,b y c tal que z = f(x,y) = ax y + bxy + xy + c, tenga un mínimo local en el punto ( 3, 3 ) con valor mínimo: 9. f x = axy +by +y = 0, f y = ax +bx+4xy = 0. Reemplazando los puntos críticos se obtiene: f x = ( 3 )( 3 a+ b 3 )+( 3 ) = 0, es decir 4 9 a+ b = 0. f y = ( 3 ) a+ 3 b+4( 3 )( 3 ) = 0, es decir 4 9 a+ 3 b+ 8 9 = 0.

23 Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales se obtiene: b =, a =. Reemplazando el punto crítico y las constantes a y b en la función se tiene: 4 7 a+ 9 b c = 9.De donde c = 9. Max z = f(x,y) = 00 e x e y s.a. px+qy = m. L = 00 e x e y λ(px+qy m). L x = e x λp = 0, L y = e y λq = 0, L λ = px+qy = m. Despejando e igualando λ se obtiene e x p = e y q. e x e y = e y x = p q y x = lnp lnq De donde y = ln( p q )+x. px+qln( p p )+qx = m x(p+q) = m qln( p q ) x = m qln(p q ) p+q y = ln( p q )+ m qln(p q ) p+q. El máximo de z está en x = m qln(p q ) p+q, y = ln( p q )+ m qln(p q ) p+q. El valor máximo de z es 00 e m qln( p q ) p+q p q ) e ln(p q )+m qln( p+q. Maximice w = f(x,y,z) = xyz s.a. x+y +z = 3, x y +z = 0. L = xyz λ (x+y +z 3) λ (x y +z). L x = yz λ λ = 0 () L y = xz λ +λ = 0 () L z = xy λ λ = 0 (3) 3

24 L λ = x+y +z 3 = 0 (4) L λ = x y +z = 0 (5) De(), λ = yz λ. Reemplazando en () y (3) se obtiene: xz λ + yz λ = 0, es decir, xz +yz λ = 0 (6). xy λ yz +λ = 0, es decir, yx yz = 0 (7). De (5) y = x+z. Reemplazando en (4),(6),(7) se obtiene zx λ +z = 0 (8) x z = 0 (9) x+z = 3 (0) De (0), x = 6 z. Reemplazando (8) y (9) se obtiene z = 8. Luego x = 8, y = 6. Así, λ = 96, λ = 3. Luego el máximo valor de w es 8 3 (). Hallar extremos de la función w = f(x,y,z) = x + y + z s.a. x + y +z =, x y 3z = 4. L = x +y +z λ [x+y +z ] λ [x y 3z 4]. L x = x λ λ = 0, de donde, λ = x λ. L y = y λ +λ = 0, reemplazando λ, y (x λ )+λ = 0. L z = z λ +3λ = 0reemplazandoλ, z (x λ )+3λ = 0. Es decir: y 4x+5λ = 0, y z = x. L λ = x+y +z = 0. L λ = x y 3z 4 = 0. Reemplazando x = y z, se obtiene: y = 3, z = 5, x = 48 5, λ = 54 75, λ = Para determinar si es máximo o mínimo, la función L es convexa por 4

25 ser suma de funciones convexas, por tanto en x = 48 5, y = 3, z = 5 hay un mínimo. Maximizar z = f(x,y) = y +x +3y s.a. x+y. L = y +x +3y λ(x+y ). L x = 4x λ = 0. L y = +6y λ = 0. Si λ = 0, entonces x = 0, y = 6. Si x+y =, entonces 4x = +6y; es decir, 4( y) = 8 4y = +6y. De donde 7 = 0y, es decir y = 7 0, x = 3 0, λ = 5 0. Hay dos puntos que satisfacen las condiciones K-T-K. Reemplazándolos en la función objetivo z = f(x,y) = y +x +3y, se obtiene: ( f 0, ) 6 ( 3 f 0, 7 ) 0 =. = 0. El máximo está en ( 3, 7 ), con valor máximo z = Maximizar z = f(x,y) = x +y s.a. y 0, y x, y x. L = x +y λ [ y] λ [ +x y] λ 3 [y x]. L x = x λ +λ 3 = 0. L y = +λ +λ λ 3 y = 0.. λ = 0 λ = 0 λ 3 = 0. λ = 0 λ = 0 x = y 3. λ = 0 y = x λ 3 = 0 4. λ = 0 y = x x = y 5

26 5. y = 0 λ = 0 λ 3 = 0 6. y = 0 λ = 0 x = y 7. y = 0 y = x λ 3 = 0 8. y = 0 y = x x = y Las alternativas, 3,5,6 quedan descartadas Por qué? De(), λ = 0, λ = 0, x = y. De donde, x+λ 3 = 0, = λ 3 y. Así λ 3 = x =. Es decir, = y y3. Luego y = 3, x = 3 4, λ 3 = 3, que no sirve. 4 De(4), λ = 0, y = x, x = y, es decir, y y = 0. Luego y =, o y =. Además, x λ +λ 3 = 0, +λ λ 3 y = 0. Si y =, entonces x = 4, λ 3 = 0 3, restricciones. Si y =, entonces x =, λ 3 = 4. No sirve. 3 λ = 34. Los cuales cumplen las 3 De (7), si y = 0, y = x, es decir, x =. λ 3 = 0, x = λ es decir, λ = 4, +λ +4 = 0, λ = 6. No sirve. De(8), y = 0, y = x, es decir x =. No sirve. El máximo está en x = 4, y = con cantidad máxima 0. Maximizar z = f(x,y) = y x s.a. y 0, y x, y x. L = y x +λ (y)+λ (y x+) λ 3 (y x). L x = x λ +λ 3 = 0. L y = +λ +λ yλ 3 = 0. Las condiciones de K T K para las tres restricciones son:. λ = 0, λ = 0, λ 3 = 0.. λ = 0, λ = 0, y = x. 6

27 3. λ = 0, y = x, λ 3 = λ = 0, y = x, y = x. 5. y = 0, λ = 0, λ 3 = y = 0, λ = 0, y = x. 7. y = 0, y = x, λ 3 = y = 0, y = x, y = x. Si λ = 0, λ = 0, λ 3 = 0, entonces = 0, lo cual es falso. Si λ = 0, λ = 0, y = x, entonces = 4y 3, es decir y = 3 4. Así, x = 3 6, λ 3 = 3 6 = 3. Los cuales cumplen todas las condiciones. Si λ = 0, y = x, λ 3 = 0, entonces λ =, que no cumple la condición λ 0. Si λ = 0, y = x, y = x, entonces y y = 0. Luego y =, y =. Para y =, x = 4. Entonces 8 λ + λ 3 = 0, + λ 4λ 3 = 0. Luego λ 3 = 7, que no cumple la condición 3 λ 3 0. Para y =, entonces x =, λ 3 = 3 y λ = 5 7 0, que no cumple la condición. Si y = 0, λ = 0, λ 3 = 0, entonces λ =. No cumple la condición λ 0. Si y = 0, λ = 0, y = 0, entonces λ =. No sirve. Si y = 0, y = x, λ 3 = 0, entonces x =. Pero, λ = 4, que no cumple λ 0. 7

28 Si y = 0, y = x, y = x, entonces x =, y = ; pero no cumple y = x; por lo tanto no sirve esta alternativa. El valor máximo es z = frac34 4/3, cuando x = 4 /3, y = 4 /3. Maximizar z = f(x,y) = (5 x)x+(0 y)y (x+y) s.a. y, x+y 7. L = (5 x)x+(0 y)y (x+y) λ (y )+λ (x+y 7.) L x = 5 4x y +λ = 0, L y = 0 4y x λ +λ = 0. Las condiciones de K T K son:. λ = 0 λ = 0.. λ = 0 x+y = y = λ = y = x+y = 7. De (), 5 4x y = 0, 0 4y x = 0. Resolviendo el sistema se obtiene: x = 0, y = 5 que no cumple la restricción y. De (), 0 4y x+λ = 0, 5 4x y+λ = 0, x+y = 7. Igualando λ se logra 5+x = y. Ahora, si y = 7 x, entonces x =, y = 3, que no cumple: y. De (3), x = 4 ; pero no cumple la restricción x+y 7. De (4), x = 3, y =. Reemplazando en: L x = 0 y L y = 0 se obtiene λ = 4, λ = 5. Así, el máximo es 9 en x = 3, y =. Para maximizar: z = y x s.a. y x, y x. L = y x+λ (y x+) λ (y x). 8

29 L x = λ +λ = 0. L y = +λ yλ = 0. Las condiciones de K T K son:. λ = 0, λ = 0.. λ = 0, y = x. 3. y x+ = 0, λ = y x+ = 0, y = x. De (), = 0 que es falso. Luego se descarta esta alternativa. De (), λ =, = yλ. Luego y =, x =. Los cuales cumplen 4 todas las condiciones. De (3), λ =. No cumple la condición λ 0. De (4), y x =, y = x, λ +λ = 0, +λ yλ = 0. Así y y + = 0. Es decir y =, y =. Si y =, entonces x = 4. Además λ =, λ 3 =, que no cumple la condición. Si y =, 3 x =. Pero λ =, que tampoco cumple condición. 3 Así el máximo está en: x =, y =, con valor máximo de. 4 4 ( Sí G(p,p,u) = p 3 + ) p p + p 3 u, entonces u = V(p,p,m) = Además, m 3 p +. p p + 3 p ( G = x h = u p 3 + ) (p p ) / p ( G = x h = u p (p p ) / p + ) 3 ( = u 3 + ( = u 3 + ( p p ( p p ) / ) ) / ) 9

30 ( ) Ahora sí, x h p,p,v(p,p,m) = x m, entonces ( ) m + (p x m 3 p / p ) = p 3 + p p + p. 3 ( ) m + (p x m 3 p ) / p = p 3 + p p + p. 3 Si las funciones de demandas Hicksianas son: x h = ū, x h = ū, entonces la función de gasto es: G(p,p,ū) = ū(p +p ). Usando las ecuaciones de demanada se obtiene la función de utilidad indirecta. m = (p +p ) v es decir ( v(p,p,m) = ) m p +p Reemplazando la función de utilidad indirecta en las funciones de demanda Hicksianas se obtienen las funciones de demanda Marshalianas: x m = ( m p +p ) = m p +p ( ) x m m = p +p = m p +p K = ( w r ) [ p r 4w(w+r) ]4/3. Sea u(x,x ) = x x / una función de utilidad. Además p,p los precios de x y x respectivamente. Las funciones de demanda Marshallianas se obtienen de resolver el problema de maximizar u(x,x ) s.a. p x +p x = m. Donde m representa el ingreso del consumidor. l = x x / λ(p x +p x m). () l x = x x / λp = 0 30

31 () l x x x / λp = 0 (3) p x +p x = m Dividiendo () entre () se obtiene: 4x x = p p ; x = p x 4p Reemplazando en (3) p x + p x p 4p De donde: = m x m = 4m 5p x m = m 5p son las demandas Marshallianas. La función de utilidad indirecta se obtiene de reemplazar las anteriores funciones de demanda en la función de utilidad. v(p,p,m) = 6m5/ 5 5/ p p/ la función de gasto mínimo es: ( u5 5/ p p / 5 ) /5 = G(p,p,ū). Las funciones de demanda Hicksiana se pueden obtener reemplazando la función de gasto por el ingreso, en las funciones de demandas Marshallianas, así: x h = 4 (ū5 5/ p p/ 5p 6 x h = ( ū p 4 6 p 4 ) /5. ) /5 = ( ū p 4p ) /5 Para la función de utilidad indirecta V = (p,p,m) = (p +p )m p p, hallar las funciones de gasto, demanda Hicksiana y Marshalliana. Reemplazando m por G(p,p,u) se obtiene [ ] / (p +p )G(p,p,u) V = (p,p,m) = u =. p p Despejando G(p,p,u) se llega a G(p,p,u) = u p p (p +p ). 3

32 Así, G P = u p (p +p ) u p p (p +p ) = u p (p +p ) = x h. G P = u p (p +p ) = x h x m = p (p +p = (p +p )m ) p p = mp (p +p )p x m = p (p +p )m (p +p ) p p = mp (p +p )p. Hallar las demandas Marshallianas, si la función de utilidad indirecta es ( a V(P,P,m) = m + b ). P P La funcion de gasto se obtiene despejando m y reemplazando U por V(P,P,m). Asi m = G(P,P,Ū) = UP P ap +bp. Por el lema de Shephard se obtiene: G P = G P = ap U (ap +bp ) = X h (P,P,U) bp U (ap +bp ) = X h (P,P,U) Reemplazando U por la función de utilidad indirecta se obtienen las funciones de demanda Marshallianas X m = X m = amp P (ap +bp ) amp P (ap +bp ). Sea la función de gasto G(p,p,u) = e u ( p a )a ( p b )b. Hallar la función de utilidad indirecta, las funciones de demanda compensada y Marshalliana. 3

33 Si G(p,p,u) = e u ( p a )a ( p b )b, entonces x h = G = e u (a pa p a )(p upa a b )b = e x h = e u ( a p ) a ( p b )b. a a (p b )b = e u ( p a )a ( p b )b y h = G = e u ( p p a )a b pb b b = e u ( p )apb a b = b eu ( p a )a ( b ) b p G(p,p,u) = e u ( p a )a ( p b )b m = e v(m,p,p ) ( p a )a ( p b )b m( a p )( b p ) b = e v(m,p,p ) v(m,p,p ) = lnm+aln( a p )+bln( b p ) x u = v p v m y u = v p v m = a p m = b p m = am p = bm p ln(e v(m,p,p ) ) = ln[m( a p ) a ( b p ) b ] Si G(p,p,u) = e u ( p a )a ( p b )b, igualando G(p,p,u) = m y despejando u se obtiene m( a p ) a ( b p ) b = e u,ln[m( a p ) a ( b p ) b ] = u = v(p,p,m), la función de utilidad indirecta. Derivando con respecto a los precios se obtienenlasfuncionesdedemandacompensadas. G p = e u(p b ) b ( p a ) a =x h (p,p,u) Si E(P,P,U) = P P U P +P es una función de gasto mínimo, hallar las funciones de demandas Marshallianas. Despejando U se obtiene la función de utilidad indirecta ( ) / m(p +P ) U = V(P,P,m) =. P P 33

34 Por el lema de Shephard se obtienen las funciones de demanda Hicksianas: E = U P P (P +P ) = X h E = P P (P +P ) = X h U Reemplazando U por la utilidad indirecta en las funciones de demanda Hicksianas, se obtienen las demandas Marshallianas: X m = P m (P +P )P X m = P m (P +P )P. Ejercicios. Hallar todos los valores del parámetro a para que la función z = f(x,y) = (a+4)xy 6x y +4ay sea cóncava.. Hallar los puntos críticos de la función z = f(x,y) = x 3 +y 3 3xy, y clasificarlos. 3. Hallar los puntos estacionarios o críticos de la función z = f(x,y) = ln(+yx ), y clasificarlos. 4. Hallar el máximo o mínimo de z = f(x,y) = e x +y sujeto a x y = Minimizar x+4y +3z s.a. x +y + 3 z = b. 6. máx (mín) x +y +z s.a. 7. máxx +4xy +y s.a. x+y = 00. x+y +z = x y 3z =

35 8. máxx y s.a. 3x+4y =. 9. máxy = mín{x +8, 3x +4} s.a. x +3x =. 0. máxy = mín{x, x +x } s.a. 3x +x = 6.. máxy = mín{x, x } s.a. x = x 3.. Maximizar (x ) 3y s.a. 0y +7x = 70, x = 6, y = Maximizar (x ) +3y s.a. 0y +7x 70, x 6, y Maximizar (x ) +3y s.a. 0y +7x < 70, x > 0, y > Maximizar (x ) +3y s.a. 0y +7x 70, x > 0, y = Comparar los ejercicios anteriores. 7. Maximizar x y s.a. x + e x y, x 0. Determinar si la restricción del problema es un conjunto convexo. 8. Max y x sujeto a y 0, y x,y x. 9. Max 4z x y z s.a. z xy; x +y z Maximizar y x s.a. (0 x y) 3 0, (3/4)x + (9/)x y 0,x 0,y 0.. Maximizar 00+lnx+lny s.a. 98 x y 0, 48 x 6y 0.. Maximizar G(x,y) = (5 x)x+(0 y)y (x+y) s.a. y ; x+y Minimizar xy +x +3y s.a. x+y. 35

36 4. Si la función de utilidad es u = mín{3x + x, 4x + 5}, hallar la demanda de bienes x y x que maximiza la utilidad, dado que p es el precio del bien x ; p es el precio del bien x ; p p > 3 ; si el ingreso del consumidor es m, hallar las demandas Marshallianas de los bienes x y x. Hallar las máxima utilidad del consumidor. Además, hallar el tipo de rendimientos de la función de utilidad y analizar e interpretar el resultado. Hallar la utilidad marginal del bien x e interpretar el resultado. 5. Si la utilidad de un consumidor es U = f(x,x ) = a lnx +a lnx, hallar las demandas Marshallianas, demandas compensadas (Hicksianas), función de utilidad indirecta, función de gasto; determinar si el bien x es giffen, y si el bien x es normal. 6. Para U(x,y ) = a ln(x y ) + ( a)ln(x y ),x > y, x > y, hallar la función de utilidad indirecta V(p,p,m). Verificar que la función de utilidad indirecta es homogénea de grado cero. Interpretar económicamente cada resultado. 7. Para la función de costo C(K,L) = wl+rk, hallar la función de costo mínimo, las demandas compensadas cuando la empresa produce bajo la tecnología Q = min{ak,bl}. 8. Para la función de costo C(K,L) = wl+rk, hallar la función de costo mínimo, las demandas compensadas cuando la empresa produce bajo la tecnología Q = A(L r +K r ) a/r. 9. La función de utilidad indirecta para Luna es V(p,p,m) = lnm alnp ( a)lnp. Hallar la función de utilidad directa que refleja 36

37 las preferencias de bienes x y x. 30. Sea U(x,y) = m (p r +pr )/r una función de utilidad indirecta. Hallar El p U e interpretar el signo. Determinar el grado de homogeneidad de la función de utilidad e interpretarlo. Hallar las funciones de demanda Marshalliana, demandas compensadas y función de gasto. 3. Dada la función de gasto E(p,U) = ( 3 p + p p + 3 p )U. Obtener las demandas Marshalliana, las demandas Hicksianas y la función de utilidad indirecta. 3. Sea la función de gasto G(p,p,u) = e u( p a ) a ( p ) b. b Hallar la función de utilidad indirecta, las funciones de demanda compensada y Marshalliana. 33. Una empresa produce a través de la siguiente relación: f(k,l) = (K / +L / ) /. Si p es el precio del bien producido por la empresa, w el salario y r la renta del capital, entonces el beneficio de la empresa es: (K,L) = p(k / +L / ) / wl rk. Hallar el beneficio máximo y las cantidades de factores que utiliza (demanda de factores). 34. Hallar x,x que minimizan el gasto para una función de utilidad u(x,x ) = x α x β. 35. Si la función de utilidad indirecta es V(p,p,m) = ( ) (p +p )m p p las demandas compensadas, Marshallianas y la función de gasto., hallar Bibliografía Casas D. (0) Elementos de economía matemática. Ed. Unisalle. 37