Razones trigonométricas.
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- María Soledad Maidana Arroyo
- hace 9 años
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1 UNIDAD 1: UTILICEMOS LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS. Razones trigonométricas. 5.1 Definición de razones trigonométricas. Un trianguo rectánguo es aque que tiene un ánguo recto (de 90 grados: 90º). En todo triánguo rectánguo, e ado mayor es a hipotenusa (c). Además, cada ánguo tiene un ado o cateto opuesto (enfrente) y uno adyacente (cercano). Para e ánguo mostrado, b es e ado opuesto; y a es e ado adyacente. Y para, a es e ado opuesto; y b es e ado adyacente. Además, en todo triánguo a suma de os ánguos internos es 180º: 90º + + = 180º. Y recordando a Pitágoras, se tiene que: a 2 + b 2 = c 2 a c 90º b Las razones trigonométricas son 6: seno (Sen), coseno (Cos), tangente (Tan), cotangente (Cot), secante (Sec) y cosecante (Csc). Cada razón trigonométrica es a división de un ado entre otro. Para e ánguo se tiene que: Sen = opuesto/hipotenusa = b/c Cos = 1 / Sec Tan = opuesto/adyacente = b/a Cot = 1 / Tan Sec = hipotenusa/adyacente = c/a Csc = 1 / Sen Cos = adyacente/hipotenusa = a/c Cot = adyacente/opuesto = a/b Csc = hipotenusa/opuesto = c/b Si tomamos e ánguo, obtenemos: Sen = opuesto/hipotenusa = a/c Tan = opuesto/adyacente = a/b Sec = hipotenusa/adyacente = c/b Cos = adyacente/hipotenusa = b/c Cot = adyacente/opuesto = b/a Csc = hipotenusa/opuesto = c/a 5.2 Razones trigonométricas para ánguos de 30 o, 45 o y 60 o. Una razón trigonométrica sóo depende de a abertura de ánguo. Para e caso, e seno de 30º será siempre 0.5 sin importar as dimensiones de opuesto y de a hipotenusa. Partiendo de esto, cacuemos as razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º. Lo haremos a partir de un triánguo equiátero (aque que tiene sus tres ados iguaes) Atura 30º A un triánguo equiátero, a atura o divide en 2 triánguos rectánguos iguaes, como puede verse. A apicar Pitágoras, resuta que a atura es 3 / 2. Tengamos presente que a atura es un cateto de triánguo rectánguo; así como o es /2. 60
2 2 60º 60º /2 /2 Sen30º = opuesto/hipotenusa = (/2) / = ½ = 0.5 Cos30º = adyacente/hipotenusa = 3 = 3 = Tan30º = opuesto/adyacente = (/2) / ( 3 /2) = 1/ 3 Cot30º = adyacente/opuesto = ( 3 /2) / (/2) = 3 Cot = 1 / Tan Sec30º = hipotenusa/adyacente = () / ( 3 /2) = 2/ 3. Equivae a 2 3 /3 Sec = 1 / Cos Csc30º = hipotenusa/opuesto = () / (/2) = 2. Csc = 1 / Sen Por un proceso semejante egamos a que: Sen60º = opuesto/hipotenusa = 3 2 Cos60º = adyacente/hipotenusa = 1/2. Tan60º = opuesto/adyacente = 3 Cot60º = adyacente/opuesto = 3 /3 Sec60º = hipotenusa/adyacente = 2. Csc60º = hipotenusa/opuesto = 2/ 3. Equivae a 2 3 /3. Para 45º construyamos un triánguo rectánguo con 45º. 45º 2 Puede observarse que si un ánguo es de 45º, e otro obigadamente es de 45º. Además, por Pitágoras se cacua que a hipotenusa es 2. 90º 45º
3 Sen45º = opuesto/hipotenusa = / 2 = 1/ 2. Equivae a 2/2 Cos45º = adyacente/hipotenusa = / 2 = 1/ 2. Equivae a 2/2 Tan45º = opuesto/adyacente = / = 1 Cot45º = adyacente/opuesto = / = 1 Sec45º = hipotenusa/adyacente = 2 / = 2. Csc 45º = hipotenusa/opuesto = 2 / = 2. Ejempos. 1. Para e triánguo siguiente cacua as 6 razones trigonométricas para. 2. Se sabe que sen Ω = 7/10, cacua as otras razones trigonométricas de Ω. 4 cm 3 cm Soución. Apiquemos Pitágoras para encontrar a hipotenusa: (hipotenusa) 2 = = = 25 Saquemos raíz cuadrada en ambos ados: (hipotenusa) 2 = 25 hipotenusa = 5 Sen = opuesto / hipotenusa = 3/5 Cos = adyacente / hipotenusa = 4/5 Tan = opuesto / adyacente = 3/4 Cot = adyacente / opuesto = 4/3 Sec = hipotenusa / adyacente = 5/4 Csc = hipotenusa / opuesto = 5/3 Sen Ω = 7 / 10. Como seno = opuesto / hipotenusa, se tiene que:
4 Opuesto = 7 e Hipotenusa = 10. Necesitamos conocer e otro ado: e adyacente. Apiquemos Pitágoras. Hipotenusa 2 = a 2 + b = b 100 = 49 + b = b 2 51 = b 2 51 = b b = 7.14 Cos Ω = adyacente / hipotenusa = 7.14 / 10 = Tan Ω = opuesto / adyacente = 7 / 7.14 = 0.98 Cot Ω = adyacente / opuesto = 7.14 / 7 = 1.04 Sec Ω = hipotenusa / adyacente = 10 / 7.14 = 1.4 Csc Ω = hipotenusa / opuesto = 10 / 7 = 1.43 Actividad cm 1. Cacua as razones trigonométricas para y. Sen = Cos = Tan = Cot = Sec = Csc = Sen = Cos = Tan = Cot = Sec = Csc = 8 cm 2. Se sabe que Cot = 2/5. Cacua as razones trigonométricas para y e otro ánguo. Sen = Cos = Tan = Cot = 0.4 Sec = - Csc = Cos = Sen = Cot = Tan = Sec = Csc = - discusión Se sabe que Sen = Cacuen as otras razones trigonométricas para. Sec = Csc = Cos = Tan = Cot = 2. Por qué a expresión Sen = 20/15 no tiene ógica matemática? 3. Se sabe que en un triánguo rectánguo e opuesto de es e dobe de adyacente. Cacua as razones trigonométricas. Sen = Cos = Tan = Cot = Sec = - Csc = 4. Se sabe que en un triánguo rectánguo e opuesto de es de 3 cm. Además, Sen = Cacuen os otros ados de triánguo. Adyacente = Hipotenusa =
5 5. Se sabe que Sen = Cacuen e vaor de ado X y e vaor de a hipotenusa. 52 X 3cm X = Hipotenusa = 6. Discutan cuá puede ser e mínimo y e máximo que puede acanzar a razón trigonométrica Sen. Mínimo = Máximo = 5.3 Cácuo de vaor de una razón trigonométrica para un ánguo agudo (uso de cacuadora). Un ánguo agudo es aque menor de 90º. Para cacuar as razones trigonométricas en una cacuadora, debemos primero cuidarnos de estar trabajando en grados. Luego escribimos e vaor de grado: 10, 15, 60, y oprimimos a razón trigonométrica deseada. Aparecerá e vaor respectivo. En a actuaidad se han popuarizado cacuadoras que operan de diferente forma: primero se oprime a razón trigonométrica, uego se escribe e grado y finamente se oprime EXE. En otras se escribe a abreviatura de a razón trigonométrica y uego e grado. Para cacuar e seno de 45º se opera así: S I N 4 5 EXE SIN es a abreviatura en ingés de seno Muchas cacuadoras sóo traen seno, coseno y tangente. Entonces se hace necesario saber que: Cotangente = 1/ tangente, cosecante = 1/seno y secante = 1/coseno. En todo caso, este es un tema que se entenderá mejor con cacuadora en mano y con e auxiio de maestr@. Actividad 18. Usando a cacuadora, ena a taba siguiente: Sen Cos Tan 0º 10º 20º 30º 40º 50º 60º 70º 80º 90º discusión En a útima fia, escriban e resutado de dividir e seno entre e coseno. Qué observan? Podemos afirmar que a tangente es seno / coseno?
6 2. Tomen de a taba 2 ánguos: y, de manera que sumen 90º. Puede afirmarse que sen = cos? 5.4 Cácuo de ánguo correspondiente a vaor de una razón trigonométrica (uso de cacuadora). Si sabemos que e seno de un ánguo es 0.966, surge a pregunta: cuá es e vaor de ánguo? Se tiene que: Si Sen = k, entonces = (Sen) -1 K (Sen) 1 es e inverso de seno. (Cos) 1 es e inverso de coseno. (Tan) 1 es e inverso de a tangente. Escritos así se encuentran en muchas cacuadoras. En as modernas se debe escribir: ASN: inverso de seno, ACS: inverso de coseno, ATN: inverso de a tangente. Luego se escribe e ánguo y se oprime EXE. De nuevo este tema se comprenderá mejor cacuadora en mano. Ejempos. Se sabe que Sen = Cacuemos os ánguos y. Si Sen = 0.342, con a cacuadora resuta que = 20º. Por o tanto = 70º. Recuerda que... en un triánguo rectánguo, os ánguos menores suman 90º. E astrónomo y matemático Caudio Toomeo vivió hace muchos sigos. Sus teorías y expicaciones astronómicas dominaron e pensamiento científico hasta e sigo XVI. Toomeo también contribuyó sustanciamente a as matemáticas a través de sus estudios en trigonometría y apicó sus teorías a a construcción de astroabios y reojes de so. En su Tetrabibon, apicó a astronomía a a astroogía y a creación de horóscopos. Amagesto es a primera y más famosa obra de Toomeo. En esta obra, Toomeo panteó una teoría geométrica para expicar matemáticamente os movimientos y posiciones aparentes de os panetas, e So y a Luna contra un fondo de estreas inmóvies. En os tiempos de Toomeo, se tomaba como cierto que a Tierra no se movía, sino que estaba en e centro de Universo. Por razones fiosóficas, se consideraba que os panetas y as estreas se movían con movimiento uniforme en órbitas perfectamente circuares.
7 Toomeo comenzó por aceptar a teoría mantenida de forma generaizada en aque entonces de que a Tierra no se movía, sino que estaba en e centro de Universo. Por razones fiosóficas, se consideraba que os panetas y as estreas se movían con movimiento uniforme en órbitas perfectamente circuares. Posibemente, Toomeo nació en Grecia, pero su nombre verdadero, Caudius Ptoemaeus, refeja todo o que reamente se sabe de é: Ptoemaeus indica que vivía en Egipto y Caudius significa que era ciudadano romano. De hecho, fuentes antiguas nos informan de que vivió y trabajó en Aejandría, Egipto, durante a mayor parte de su vida. En a pintura vemos a astrónomo y matemático sosteniendo una esfera armiar. Este aparato están compuestas por varios círcuos, con una pequeña esfera en e centro, que representa a tierra.
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