Diego Luis Aristizábal R., M. Sc. en Física Profesor Asociado Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia

Transcripción

1 Diego Lis Aristizábal R., M. Sc. en Física Profesor Asociado Escela de Física Universidad acional de Colombia Roberto Fabián Retrepo A., M. Sc. en Física Profesor Asociado Escela de Física Universidad acional de Colombia Carlos Alberto Ramírez M., M. Sc. en Física Profesor Asociado Escela de Física Universidad acional de Colombia

2 Página Laboratorio de Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica Objetivo General Representar adecadamente los números qe representan resltados eperimentales. Resmen Medidas directas Regla Si se realiza na sola medida, se reportará la lectra obtenida acompañada de la incertidmbre en la lectra del instrmento ( lectra ) separadas con ±: ± lectra La incetidmbre en la lectra del instrmento generalmente corresponde a la apreciación del instrmento (valor de la mínima división del instrmento si este es análogo o la última cifra signicativa reportada en la pantalla -display- si este es digital). En el caso de instrmentos análogos podría sceder qe el observador logre estimar n poco más qe la mínima división, en cyo caso pede reportar ésta como la incertidmbre en la medida en lgar de la apreciación del instrmento. Regla Sí na cantidad se mide veces con el mismo instrmento y procedimientos, y las medidas ; ; 3 ;...; se distribyen alrededor de s valor medio (ecación ) de acerdo a la denominada distribción normal o gassiana, la desviación estándar σ (ecación ) caracterizará la incertidmbre estadística de la medida y se garantizará qe el 68% de las medidas de estarán dentro del rango ±σ. En otras palabras, si se hace calqier otra medida sando los mismos métodos, la probabilidad es del 68% de qe s resltado tenga na incertidmbre menor σ ; o sea, de cada 00 medidas, alrededor de 68 deberán tener na incertidmbre menor qe σ. Por lo tanto, es sensato adoptar a σ como la incertidmbre estadística de la medida de na cantidad, siempre y cando medidas de estas se ditribyan normalmente. i i () σ ( ) i i () ota Es posible demostrar (esto corresponderá a n crso de estadística) qe si todas las fentes de incertidmbre son aleatorias (es decir, se han eliminado los errores sistemáticos, o al menos redcido

3 Universidad acional de Colombia Facltad de Ciencias, Escela de Física, Sede Medellín Página 3 a s minima epresión) y los errores son peqeños, la distribción de las medidas obedecerá la distribción normal. ota : Hay razones para conclir qe la mejor medida de la incertidmbre de la medición de na cantidad de la qe se obtvieron medidas es la desviación estándar dividida por el factor /. A esta cantidad se le denomina desviación estándar de la media (SDOM: Standard Deviation Of the Mean), (ecación 3), σ ( ) ( ) i i (3) y es mejor medida de la incertidmbre estadística. ota 3: La incertidmbre qe acompaña a la media (a la media aritmética) es la mayor de las dos cantidades sigientes: la incertidmbre estadística o la incertidmbre en la lectra del instrmento (la cal se obtiene tal como se describió en la regla ). También se podrían combinar las dos incertidmbres en forma geométrica, (ecación 4), ( ) ( ) σ + lectra (4) Medidas indirectas Una vez obtenida la incertidmbre de las medidas directas, se calclan las de las medidas indirectas. Regla Propagación de incertidmbre: Spóngase na medida indirecta qe se obtiene a partir de medidas directas mediante la epresión matemática, (,, ) y f, L en donde f es na fnción de variables independientes. La incertidmbre de y, y viene dada por, (ecación 5), y i f i i (5)

4 Página 4 Laboratorio de Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica en donde los i son las incertidmbres de las medidas directas. Es necesario decir qe esta epresión se pede aplicar sólo si las medidas directas de las cantidades ; ; ; son realmente independientes (no están correlacionadas entre sí) y están libres de errores sistemáticos (es decir, si todos son errores aleatorios y bajo distribción normal). Reporte de las medidas El resltado se reporta así, y ± y Se debe tener presente qe calclar la incertidmbre y y reportarla jnto al resltado, es na técnica diferente al simple so de cifras signicativas. Debido a esto, las reglas estipladas en la técnica de cifras signicativas no tienen qe segirse al realizar estos cálclos. Se recomienda qe, mientras se realizan los cálclos intermedios, tanto con el resltado como con la incertidmbre, se mantengan todas las cifras de qe disponga la calcladora o el comptador (o al menos dígitos "etras" más allá del número de cifras signicativas esperadas en el resltado). De esta mamera no se perderá información. Sólo al final de reportar el resltado, se aplicarán las sigientes normas para el redondeo. Regla Una convención de so frecente recomienda qe la incertidmbre se eprese con na cifra signicativa. Regla Una vez redondeada la incertidmbre, el resltado de la medición debe tener las mismas posiciones decimales qe s incertidmbre. o tiene sentido dar cifras qe se encentren a la derecha de aqella qe ya está afectada por la incertidmbre. Por ejemplo, si la medida de n intervalo de tiempo despés de calclada se obtvo 8,358 9 s y s incetidmbre calclada fe igal a 0,03 s se deberá escribir el resltado así: 8,36 s ± 0,03 s ya qe la incertidmbre nos afirma qe se empieza a ddar desde las centésimas (posición del 3 en la incertidmbre) de los segndos, por lo qe sería contradictorio reportar las milésimas (y de ahí en adelante). Ejemplo Para medir la aceleración de la gravedad se hizo oscilar n péndlo simple con peqeñas oscilaciones. Para obtener s período se midió con n cronómetro digital qe marca hasta centésimas de segndo 0 veces el tiempo qe inivirtió en hacer 0 oscilaciones siendo los resltados en s:,5;,83;,9;,4;,09;,40;,79;,38;,;,67. Para medir s longitd

5 Universidad acional de Colombia Facltad de Ciencias, Escela de Física, Sede Medellín Página 5 se realizaron 0 mediciones bajo condiciones de repetibilidad con na cinta métrica cya minima division está en mm y se obtvieron como resltados, en cm: 0,; 9,;8,3; 0,;0,3; 8,7;0,4;9,7;8,7;0,. Reportar la medida de la gravedad. Solción: El modelo físico es el sigiente, P l π g g 4π l P (6) La medida de la longitd es directa y se reporta el promedio: l,958 m La incertidmbre en la medida de la longitd tiene dos componentes: la debida a la lectra de la cinta métrica, qe se considerará igal a s apreciación, l 0,00 m, y la incertidmbre asociada con la repetibilidad de las medidas qe corresponde a la desviación estándar de la media, l 0,00 m. La combinación de estas es: l ( ) + ( ) 0,00 69 m l l La medida del tiempo para 0 oscilaciones es directa, y se reporta s promedio, t,968 s La incertidmbre en la medida del tiempo tiene dos componentes: la debida a la lectra del cronómetro, qe se considerará igal a s apreciación, t 0,0 s y la incertidmbre asociada con la repetibilidad de las medidas qe corresponde a la desviación estándar de la media, t 0,095 s. La combinación de estas es: t ( ) + ( ) 0,095 5 s t t

6 Página 6 Laboratorio de Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica La medida del periodo es indirecta, s valor es, P t 0 P,968 s 0,96 8 s y s incertidmbre se calcla mediante la ecación (5), P 0, s 0 t La medida de la gravedad, ecación (6) es, - g 9, m s Como es indirecta la incertidmbre se calcla mediante la ecación (5), g 8π l 4π - + 0,0 m.s 3 P P P l y por lo tanto el resltado de la medida de la gravedad se reporta así, - 9,76 m s ± 0,0 m s - Ejercicios. Se hacen seis mediciones del diámetro de na varilla delgada y se obtienen los sigientes resltados : 0,5 cm; 0,48 cm; 0,50 cm; 0,49 cm; 0,50 cm; 0,5 cm Cál será el mejor valor y cómo estimaría la incertidmbre en esta medición?. Para medir el espesor de na moneda se sigen los sigientes dos procedimientos. Diga cál permite obtener na mejor medida. a) Se mide el espesor de la moneda tilizando n vernier cya apreciación es de 0, mm y se obtiene,3 mm.

7 Universidad acional de Colombia Facltad de Ciencias, Escela de Física, Sede Medellín Página 7 b) Se mide la altra de na pila de 0 monedas igales tilizando na regla cya apreciación es de mm y se obtiene 6 mm. Lego se calcla el espesor de na moneda. 3. La velocidad de la lz es c km s ± km s. El tiempo de n destello de laser en ir desde la tierra a n reflector dejado en la Lna por los astronatas y regresar al laboratorio ha sido medido como t, s ± 0 6 s. Qé distancia ha recorrido el destello de laser? 4. Para medir la aceleración de la gravedad g se empleó n péndlo simple y se realizaron las sigientes medidas: l 9,9 cm ± 0, cm para s longitd y P,936 s ± 0,004 s para s período (en peqeñas oscilaciones). Reportar el valor de g. Rp. g 979 cm s ± 4 cm s 5. Un carrito de longitd l desciende sobre n plano inclinado. Para medir la aceleración a con la cal desciende se emplean dos fotogate separados na distancia sobre el plano igal a. Los intervalos de tiempo qe invierte el carrito en atravesar cada fotogate son respectivamente igales a t y t. Las medidas obtenidas son las sigientes: l 5,00 cm ± 0, 05 cm, 00,0 cm ± 0, cm, t 0, 054 s ± 0,00 s y t 0,03 s ± 0,00 s. Reportar el valor de la aceleración. Rp. a 87 cm s ± 8 cm s Ayda: Mostrar primero qe: a l t t 6. Para medir el índice de refracción n del vidrio, se mide el ánglo crítico de incidencia ϕ c para na pieza de vidrio smegida en aire, y se obtiene ϕ c 4 0 ± 0. Reportar la medida del índice de refracción. Rp. n,5 ± 0,03 Ayda: n sen ϕ c 7. Una rendija de difracción se sa para medir la longitd de onda de la lz sando la ecación d sinϕ λ, siendo ϕ la posición anglar del primer mínimo de difracción, d el ancho de la rendija y λ la longitd de onda de la lz. El valor medido de ϕ es de ±. Sponiendo qe el valor de d es m y qe se pede ignorar s incertidmbre, cál es la incertidmbre absolta y la relativa en el valor de λ? Rp: 0; 8 nm, 0,4%

8 Página 8 Laboratorio de Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica Referencias [] BIPM (Brea International des Poids et Mesres), VIM 008, [WEB] en/ pblications/gides/vim.html [último acceso, jlio 05 de 00) France, 00. [] SEA L. A., Unidades de las Magnitdes físicas y ss dimensiones, Editorial MIR, Moscú, 979. [3] TAYLOR, J.R., An Introdction To Error Analysis, the stdy of ncertainties I physical measrements, University Science Books, Edición, Sasalito, California, 98. [4] MAIZTEGUI A.P., Introdcción a las Mediciones de Laboratorio, Kapelz, Benos Aires, 980. Escela de Fïsica Facltadde Ciencias Universidadacional de Colombia Sede Medellín Escela de Física Correo: dfisica_med@nal.ed.co Profesor Diego Lis Aristizábal R Correo: daristiz@nal.ed.co