El Problema de Pick y el Teorema de Cole-Lewis-Wermer

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1 Divulgaciones Matemáticas Vol. 10 No. 1(2002), pp El Problema de Pick y el Teorema de Cole-Lewis-Wermer The Pick Problem and The Cole-Lewis-Wermer Theorem Gladys Cedeño (gmcedeno@cantv.net) Departamento de Formación General y Ciencias Básicas Universidad Simón Bolívar Apartado Postal 89000, Baruta 1086, Edo. Miranda. Resumen Reformulando el concepto de medida dominante, y con dos hipótesis adicionales, se extiende el teorema de Cole-Lewis-Wermer a subespacios vectoriales B C () que separan puntos de y contienen a las funciones constantes. Palabras y frases clave: Espacio vectorial uniforme, estado, medida dominante, medida dominante de un subespacio. Abstract Reformulating the concept of dominant measure and adding two hypothesis, the Cole-Lewis-Wermer theorem is extended to vector subspaces B C () that separate points in and contain the constant functions. Key words and phrases: Uniform vectorial space, state, dominant measure, dominant measure of a subspace. 1 Introducción Si A es un álgebra uniforme y M 1,..., M n son puntos distintos del espacio de Gelfand de A, o sea, son funcionales lineales no nulos tales que M j (f g) = M j (f) M j (g) para todo f, g A y j = 1,..., n; e I := {f A : M j (f) = 0 para j = 1,..., n} Recibido 2001/04/21. Revisado 2002/05/29. Aceptado 2002/05/30. MSC (2000): Primary 43A99; Secondary 47B35, 32A50.

2 14 Gladys Cedeño entonces, I es un ideal cerrado en A de codimensión finita n, y el espacio cociente A /I es un álgebra de Banach con la norma definida por: donde := inf { g : g } := {g A : g f I}. Para toda n-upla de números complejos (w 1,..., w n ) = w existe la clase [f w ] tal que para toda g [f w ] M j (g) = w j para j = 1,..., n. El problema de Cole-Lewis-Wermer (C-L-W) [3], consiste en dar condiciones necesarias y suficientes para que [f w ] 1. En [3] y [4] se destacan dos ideas fundamentales. Por una parte, está el concepto de conjunto hiperconvexo de C n, introducido por estos autores, relacionado con una generalización de la desigualdad de Von Neumann. La otra idea es la de las medidas dominantes, relacionado con representaciones isomorfas del álgebra cociente A /I por álgebras de operadores en un espacio de Hilbert. En este artículo presentamos una versión del problema anteriormente señalado, reemplazando el álgebra uniforme A, por un espacio vectorial uniforme B, y el espacio de Gelfand de A, por el espacio de los estados de B (ver definiciones más abajo). Señalemos que, para el problema de Cole-Lewis-Wermer no tiene sentido plantearse un problema de clasificación o unicidad de las soluciones, ya que de existir solución, entonces ésta es la clase, [f w ] y por lo tanto es única. Sin embargo, como veremos más adelante, el problema de Cole-Lewis-Wermer es equivalente al problema de Pick en Hµ, para toda medida dominante µ, y este último problema puede tener infinitas soluciones. Aquí tratamos un problema sencillo de unicidad. 2 Notación y resultados básicos Sea un espacio compacto Hausdorff, C () el espacio de las funciones continuas a valores en C. Definición 2.1. Se llamará espacio vectorial uniforme sobre, a todo subespacio vectorial cerrado B de C () tal que:

3 El Problema de Pick y el Teorema de Cole-Lewis-Wermer 15 a) B separa puntos de, b) B contiene a las funciones constantes, c) f B = f = sup { f (x) : x }. En lo que sigue, B es un espacio vectorial uniforme sobre, fijo, B su espacio dual. Definición 2.2. Un elemento F B se dice que es un estado de B si, y sólo si, F (1) = 1 = F. El espacio de los estados de B lo denotamos por (B) o sea, (B) := {F B : F es un estado de B}. Evidentemente, (B) B. A (B) se le da la topología débil cerrado en esta topología. Es fácil demostrar: y es 1. Fijados M 1,..., M n (B) linealmente independientes y dados w 1,..., w n C existe f B tal que M j (f) = w j para j = 1,..., n. 2. Si I es un subespacio de B, entonces I tiene codimensión finita n si, y sólo si, existen M 1,..., M n B linealmente independientes tales que I = {f B : M j (f) = 0 para j = 1,..., n}. 3. Si I es un subespacio de B, entonces el espacio cociente B /I := { : f B} donde := {g B : g f I} = f + I, es un espacio vectorial con las operaciones entre clases dadas por + [g] = [f + g], c = [cf] para todo f, g B, c C. Además, toda norma en B induce una seminorma p ( ) en el espacio cociente B /I dada por p () := inf { g : g } = inf { g f : g I} y esta seminorma es una norma si, y sólo si, I es cerrado en B respecto de la norma. La norma en B /I se denota por para B /I. Definición 2.3. Sea I un subespacio cerrado de B de codimensión finita n. Se llamará n-upla definidora del subespacio I a toda n-upla M 1,..., M n B tal que I = {f B : M j (f) = 0 para j = 1,..., n} y M j = 1 para j = 1,..., n. I se llamará subespacio asociado a la n-upla (M 1,..., M n ) y B /I espacio cociente asociado al subespacio I o a la n-upla.

4 16 Gladys Cedeño Por lo señalado anteriormente sabemos que, fijados M 1,..., M n (B) B linealmente independientes, y dados w 1,..., w n C existe f B tal que M j (f) = w j para j = 1,..., n. De manera que si I y B /I son los asociados a la n-upla (M 1,..., M n ) entonces, existe la clase [f w ] B /I tal que para toda g [f w ] M j (g) = w j para j = 1,..., n. Esto nos indica que podemos plantear el problema de Cole-Lewis-Wermer en el contexto de los espacios vectoriales uniformes en los siguientes términos: Fijados M 1,..., M n (B) linealmente independientes, y w 1,..., w n C y dada [f w ] B /I tal que para toda g [f w ] M j (g) = w j para j = 1,..., n. Dar condiciones necesarias y suficientes para que [f w ] 1. 3 Respuesta al problema de Cole-Lewis-Wermer Fijemos un subespacio cerrado I B de codimensión finita n y sea B /I el espacio cociente asociado. Toda medida de probabilidad, µ, en determina, para cada p, (1 p < ) un espacio de Lebesgue L p (µ) = L p (, µ) con la norma f p,µ = f p = ( f (x) p dµ ) 1/p. Definimos H 2 µ como la clausura de B en L 2 (µ), I µ como la clausura de I en H 2 µ y E µ := H 2 µ I µ = (I) (F) Denotaremos con P Iµ y P Eµ a las proyecciones ortogonales de H 2 µ sobre I µ y E µ respectivamente, y con P + y P a las proyecciones ortogonales de L 2 (µ) sobre H 2 µ y ( H 2 µ). De modo que para toda f H 2 µ f = P Iµ f + P Eµ f y para toda g L 2 (µ) g = P + g + P g = g + + g. Proposición 3.1. Si E µ está definido como en (F), entonces dim E µ n. La dimensión puede ser igual a cero.(la demostración puede verse en [1]). Teorema 3.1. Sea B /I. Si = 1 entonces, existe una medida de probabilidad, λ, tal que (P Eλ f) (x) = 1 c.t.p. λ. Demostración. Como 1 = = dist (f, I), existe un único funcional lineal complejo l en I + {cf} c C tal que: l = 1 l (f) = 1 l (y) = 0 para todo y I. (3.1)

5 El Problema de Pick y el Teorema de Cole-Lewis-Wermer 17 Por el teorema de Hahn-Banach l se extiende a un funcional continuo l en C () preservando la norma, y por el teorema de representación de Riesz, existe una medida compleja ν en, tal que: l (g) = ν (g) = g (t) dν (t), g C () (3.2) ν = l = 1 (3.3) l (g) = l (g) = g (t) dν (t), g B. (3.4) Por (3.1) y (3.2) resulta que ν (I) = 0 pues, ν (y) = y (t) dν (t) = l (y) = l (y) = 0, y I (3.5) y ν (f) = 1 pues, ν (f) = f (t) dν (t) = l (f) = l (f) = 1. (3.6) Sea λ = ν, la variación total de ν, entonces, λ (1) = ν (1) = ν = 1 = λ, por lo tanto, λ es una medida de probabilidad, además ν es absolutamente continua respecto de λ y por el teorema de Radon-Nikodym, existe una función medible ϕ tal que dν = ϕdλ ϕ (x) = 1 c.t.p. λ ϕ L (λ). (3.7) Usando la definición de obtenemos una sucesión {y m } m 1 I tal que 1 = f y m < m 2. Por lo tanto, la sucesión {f y m} m 1 es uniformemente acotada, como {f y m } m 1 B L (λ) = ( L 1 (λ) ) y por el teorema de Bourbaki-Alaoglu, las bolas cerradas son compactas, entonces, existe una subsucesión {f y mk } k 1 y una función g L (λ) tal que (f y mk ) g débil si k, o sea, h (f y mk ) dλ como lím k f y m k = 1 resulta, hgdλ si k para toda h L 1 (λ) (3.8) g = 1. (3.9) Por ser L 2 (λ) L 1 (λ) entonces(3.8) vale para toda h L 2 (λ) y por (3.9) debe ser g (x) = 1 c.t.p. λ. Combinando (3.6),(3.7) y (3.8) resulta,

6 18 Gladys Cedeño 1 = fdν = (f y m k ) dν = (f y m k ) ϕdλ gϕdλ si k o sea, por lo tanto, g (t) ϕ (t) dλ (t) = 1 (3.10) g (x) = 1 y ϕ (x) = g (x) c.t.p. λ. (3.11) Combinando (3.5), (3.7) y (3.11) resulta, 0 = ν (y) = ydν = yϕdλ = ygdλ = y, g L 2 (λ) para todo y I o sea, g (I) = E λ. (3.12) Como g es límite débil en L 2 (λ) de la sucesión {f y mk } k 1 B Hλ 2, entonces, g Hλ 2 y f g es límite débil de la sucesión {y m k } I, por lo tanto, f g I λ, luego, f = (f g) + g con f g I λ y g E λ, en consecuencia, P Eλ f = g y (P Eλ f) (x) = 1 c.t.p. λ. Observemos que por ser B C (), para toda f, g B, f g C () pero no necesariamente f g B, por consiguiente imponemos a I la siguiente: Hipótesis 1 El subespacio cerrado I es tal que y f I para toda y I, f B. Lema 3.1. Sea µ una medida de probabilidad en, fija. Para cada f B sea S µ f : E µ E µ definido por S µ f e := P E µ P + fe para todo e E µ, entonces, a) Para cada f B S µ f L (E µ) y b) Si f I entonces, S µ f = 0. c) Para toda f, g B, c C S µ f f. S µ cf+g = csµ f + Sµ g Si f (x) = 1 para todo x, entonces S µ f = 1 E µ donde 1 Eµ es el operador identidad en E µ. Demostración. b) Si f I entonces, para todo e E µ tanto, S µ f e = P E µ P + ef = P Eµ ef = 0 para todo e E µ. fe I µ. Por lo

7 El Problema de Pick y el Teorema de Cole-Lewis-Wermer 19 Se deduce del lema anterior que, si f B es fijo, entonces S µ f+y = Sµ f para todo y I. En consecuencia, obtenemos el siguiente resultado: Proposición 3.2. Sea µ una medida de probabilidad en. Para cada B /I sea S µ : E µ E µ definido por S µ e = Sµ f e para e E µ. Entonces, a) Para cada B /I S µ L (E µ) y S µ. b) La aplicación S µ es un homomorfismo continuo del espacio cociente B /I en el espacio de operadores L (E µ ). Lema 3.2. a) Si µ es una medida de probabilidad en, entonces f = 1 E µ si, y sólo si, µ (y) = 0 para todo y I. b) Si µ = λ, la medida de probabilidad del teorema 3.1, entonces 1 E µ. Demostración. a) E µ = H 2 µ I µ = (I), luego 1 E µ y I 0 = y, 1 = y1dµ = ydµ = µ (y). b) Es suficiente demostrar que λ (y) = 0 para todo y I. En las condiciones del teorema 3.1 se tiene: ν (y) = 0 para todo y I, dν = ϕdλ, ϕ (x) = g (x), g (x) = 1 c.t.p. λ y g = lím (f y n k ) (débil ). Sea y I, entonces k yϕ L 1 (λ), y por la convergencia débil resulta, λ (y) = ydλ = yggdλ = ygϕdλ = lím k y (f y n k ) ϕdλ = lím k y (f y n k ) dν = lím ν (y (f y n k )) = lím l (y (f y nk )) = 0. k k Lema 3.3. Sea B /I, entonces = 1 si, y sólo si, { } S µ sup : µ es probabilidad = µ { } S µ sup : µ es probabilidad y µ (I) = 0 = 1. µ Demostración. Si = 1 entonces, { } S µ sup : µ es probabilidad y µ (I) = 0 { } S µ sup : µ es probabilidad = 1. Si µ = λ la probabilidad del teorema 3.1 entonces, λ (y) = 0 y

8 20 Gladys Cedeño ( S λ 1 2 ) = P Eλ f 2 = (P E λ f) (x) dλ = 1 luego, S λ 1 por lo tanto, { } S µ sup : µ es probabilidad y µ (I) = 0 1. { } S µ Recíprocamente, supongamos que sup : µ es probabilidad = { } S µ sup : µ es probabilidad y µ (I) = 0 = 1 y que = 1. Si < 1 sería > para alguna probabilidad µ, en contradicción con la S µ proposición 3.2. Si = 1 + b con b > 0. Poniendo f 1 = 1 1+bf resulta que [f 1 ] = 1 y por la implicación anteriormente demostrada será { } S µ 1 = sup [f 1] : µ es probabilidad = { } 1 S 1+b sup µ : µ es probabilidad = 1 1+b < 1, contradicción. Por lo tanto, debe ser = 1. Definición 3.1. Se dice que la medida de probabilidad µ es dominante de la n-upla definidora (M 1,..., M n ) del subespacio I, o dominante, si existe una constante c > 0 (independiente de los M j ) tal que ( ) 1 M j (f) c f (x) 2 2 dµ para toda f B, j = 1,..., n. Definición 3.2. Diremos que la medida de probabilidad µ es dominante del subespacio I si B I µ = I o sea si el subespacio I es cerrado en B respecto de la norma de L 2 (µ). La definición (3.1) fue dada por Cole-Wermer en [4] y la definición (3.2) es dada en [1]. Proposición 3.3. La medida µ es dominante de la n-upla (M 1,..., M n ) definidora del subespacio I si y sólo si es dominante del subespacio I. Demostración. Sea µ una medida dominante y f B I µ, entonces existe una sucesión {y m } m 1 I tal que lím f y m m 2 = 0. Existe una constante c > 0 tal que para todo j = 1,..., n y m = 1,... se verifica M j (f) = M j (f y m ) c f y m 2 0 si m

9 El Problema de Pick y el Teorema de Cole-Lewis-Wermer 21 luego, M j (f) = 0 para j = 1,..., n y por lo tanto f I. Si la medida µ es dominante del subespacio I, entonces µ := inf { g 2 : g } es una norma en el espacio de dimensión finita B /I y por lo tanto existe una constante c > 0 tal que c µ para toda f B. Como para toda f B = f + I y M j (I) = 0 para j = 1,..., n se tiene: M j (f) = M j () c µ c f 2. Observación 3.1 a) Existen medidas dominantes de la n-upla definidora (M 1,..., M n ) del subespacio I. b) Si además, M j (1) = 1 para j = 1,..., n entonces, existen medidas dominantes µ, tales que µ (y) = 0 para toda y I. Proposición 3.4. Sea µ una medida de probabilidad tal que µ (I) = 0. Entonces, la medida µ es dominante del subespacio I si, y sólo si, la aplicación es un isomorfismo lineal. S µ : B /I L (E µ ) S µ Demostración. Supongamos que la medida µ es dominante del subespacio I. Si f B y S µ = 0 entonces, para todo e E µ P Eµ P + fe = 0. Como µ (I) = 0 entonces 1 E µ y S µ 1 = P E µ P + f1 = P Eµ f = 0 por lo tanto, f I µ o sea, f B I µ = I, luego = I y S µ es un isomorfismo lineal. Recíprocamente, si S µ es un isomorfismo y B I µ I, existe f B I µ y f / I entonces, I por lo tanto S µ 0, luego, existe e E µ tal que P Eµ P + fe 0 o sea, P + fe / I µ como f B I µ existe {y m } m 1 I tal que lím f y m m 2 = 0, por ser e E µ existe {g n } n 1 B tal que lím e g n n 2 = 0. Se tiene entonces, y m g n I para m, n = 1, 2,... Fijando n = 1, 2,... se tiene lím fg n y m g n m 2 lím g n m f y m 2 = 0 luego, fg n I µ para todo n = 1, 2,... y como lím fe fg n n 2 lím f n e g n 2 = 0

10 22 Gladys Cedeño resulta P + fe = fe I µ y esto es una contradicción. Corolario 3.1. Si µ es una medida dominante tal que µ (I) = 0, entonces, dim E µ 1. Teorema 3.2. Sea B /I, entonces = 1 si, y sólo si, { } S µ sup : µ es dominante = { } S µ sup : µ es dominante y µ (I) = 0 = 1. Demostración. Supongamos que = 1, entonces { } S µ sup : µ es dominante y µ (I) = 0 { } S µ sup : µ es dominante = 1. Sean λ la medida de probabilidad del teorema 3.1 y 0 < ε < 1. Consideremos una n-upla definidora del subespacio I, (M 1,..., M n ) tal que M j (1) = 1 para j = 1,..., n entonces, existe una medida dominante ν, tal que ν (I) = 0. Sea µ ε = εν + (1 ε) λ entonces, la medida µ ε es dominante y µ ε (I) = 0 por lo tanto, 1 E µε. Se tiene: a) S µε 1 2 = P P Eµ ε +f1 2 = P Eµ f 2 = dist dist (f, I) = inf { f y 2 : y I} ( f, (E µε ) ) = dist (f, I µε ) = (todas las distancias tomadas respecto de la norma del espacio L 2 (µ ε )). b) S λ 1 2 = P Eλ f 2 = dist (f, I) = inf { f y 2 : y I} (todas las distancias tomadas respecto de la norma del espacio L 2 (λ)). Como para todo y I se verifica la desigualdad: resulta, } inf { f y L 2(µε) : y I f y L 2 (µ ε ) > 1 ε f y L 2 (λ) } > (1 ε) inf { f y L 2(λ) : y I. Por a) y b) se tiene S µ ε 1 2 > (1 ε) S λ 1 2

11 El Problema de Pick y el Teorema de Cole-Lewis-Wermer 23 como S λ 1 = P E λ f y por el teorema 3.1 es P Eλ f 2 = 1 resulta, S µε 1 2 > 1 ε por lo tanto, S µε > 1 ε. Observemos que en el problema de Cole-Lewis-Wermer la n-upla fijada, (M 1,..., M n ), es la definidora del subespacio I y como para j = 1,..., n los M j son estados linealmente independientes, entonces se cumple que: Dados w 1,..., w n C existe la clase [f w ] B /I tal que para toda f [f w ] M j (f) = w j para j = 1,..., n. Tenemos el siguiente resultado: Teorema 3.3. Fijados M 1,..., M n (B) linealmente independientes y dados w 1,..., w n C y la clase [f w ] B /I tal que para toda g [f w ] M j (g) = w j para j = 1,..., n. si y sólo si, { S µ sup [f w] [f w ] 1 } : µ es dominante y µ (I) = 0 1. Demostración. Para toda medida µ, se cumple que S µ [f w] [f w ] 1. { } S µ Recíprocamente, supongamos que sup : µ es dominante y µ (I) = 0 1 y [f w ] = 1 + a con a > 0. Definiendo f 1 = 1 1+a f w entonces [f 1 ] = 1 y por el teorema 3.2 se tiene { } S µ 1 = sup : µ es dominante y µ (I) = 0 = { S µ Luego, sup una contradicción. [f 1 ] { 1 S 1+a sup µ [f w] [f w] [f w ] } : µ es dominante y µ (I) = 0. } : µ es dominante y µ (I) = 0 = 1 + a > 1 y esto es Para cada medida dominante µ, tal que µ (I) = 0, los estados M 1,..., M n tienen extensiones continuas, M 1,..., M n a H 2 µ, y por el teorema de representación de Riesz, existen η 1 (µ),..., η n (µ) H 2 µ tales que para toda h H 2 µ M j (h) = h, η j (µ) = h (t) η j (µ) (t)dµ (t) para j = 1,..., n. (3.13)

12 24 Gladys Cedeño Como µ (I) = 0 entonces, η j (µ) (I) = E µ para j = 1,..., n y son linealmente independientes, por lo tanto dim (E µ ) = n. De manera que las matrices asociadas a los operadores S µ tienen orden n. Para expresar la condición S µ 1 en términos de matrices positivas definidas, necesitamos una base de vectores propios de estos operadores, y para ello imponemos las siguientes hipótesis adicionales: Hipótesis 2 a) Todas la medidas dominantes satisfacen: Para todo f B y e E µ fe H 2 µ. b) Las extensiones M 1,..., M n de los estados M 1,..., M n a H 2 µ verifican: Para todo f B y e E µ Mj (fe) = M j (f) M j (e) para j = 1,..., n. Con estas hipótesis adicionales se tiene: Proposición 3.5. Para toda medida dominante µ, tal que µ (I) = 0 los vectores η 1 (µ),..., η n (µ) verifican: ( a) S ) µ ηj (µ) = M j (f)η j (µ) para j = 1,..., n. b) ( S ) µ 1 si, y sólo si, la matriz es positiva semidefinida. (( ) ) n 1 M i (f)m j (f) η i (µ), η j (µ) i,j=1 Demostración. a) Sea µ una medida dominante fija, y sean f B, e E µ y η j = η j (µ) para j = 1,..., n entonces, ( S ) µ ηj, e = η j, S µ e = η j, P Eµ P + fe = η j, fe = fe, η j = M j (fe) = M j (f) M j (e) = M j (f) e, η j = M j (f) η j, e = M j (f)η j, e. Luego, para todo e E µ (S) µ ηj, e = M j (f)η j, e por lo tanto, ( S ) µ ηj = M j (f)η j para j = 1,..., n. b) Para todo e E µ e = n ) n c j η j (S µ e = c j M j (f)η j j=1 j=1

13 El Problema de Pick y el Teorema de Cole-Lewis-Wermer 25 ( n c i η i, i=1 la matriz n j,i=1 ) ( ) 1 e Eµ S µ 2 e e ) e E µ e 2 2 (S µ 2 e 0 2 n n n c j η j c i M i (f)η i, c j M j (f)η j 0 S µ j=1 c i c j η i, η j n j,i=1 i=1 n j,i=1 j=1 c i c j M i (f)m j (f) η i, η j 0 ) c i c j (1 M i (f)m j (f) η i, η j 0 (( 1 M i (f)m j (f) ) ) n η i, η j es positiva semidefinida. i,j=1 Con las hipótesis 2, completamos la respuesta al problema de Cole-Lewis- Wermer para el espacio vectorial B, en el siguiente resultado. Teorema 3.4. Fijados M 1,..., M n (B) linealmente independientes y dados w 1,..., w n C y la clase [f w ] B /I tal que Para toda g [f w ] M j (g) = w j para j = 1,..., n. Las siguientes condiciones son equivalentes: a) [f w ] 1. b) Para toda medida dominante µ, tal que µ (I) = 0 S µ [f w] 1. c) Para toda medida dominante µ, tal que µ (I) = 0 la matriz (( ) ) n 1 M i (f w )M j (f w ) η i (µ), η j (µ) i,j=1 es positiva semidefinida. El teorema 3.4 da la respuesta al problema de Cole-Lewis-Wermer para espacios vectoriales uniformes, B, que satisfacen las hipótesis 1 y 2. Cambiando B por un álgebra uniforme A, y fijando M 1,..., M n en el espacio de Gelfand de A, entonces el subespacio cerrado I es un ideal y los funcionales M 1,..., M n son multiplicativos, o sea, se satisfacen las hipótesis requeridas para establecer el teorema 3.4 y por lo tanto, todos los resultados son válidos para el álgebra uniforme A. Definiendo para cada medida dominante µ, (fija)

14 26 Gladys Cedeño H µ := H 2 µ L (µ) se tiene que, si F H µ y e E µ entonces, F e H 2 µ. En consecuencia, obtenemos el siguiente resultado: Proposición 3.6. Sea µ una medida dominante, fija. Para cada F H µ sea S µ F : E µ E µ definido por S µ F e := P E µ F e para e E µ. Entonces, a) Para cada F H µ S µ F L (E µ) y S µ F F. b) Si F Hµ y {f n } n 1 B tal que lím f n F n 2 = 0 entonces, para todo e E µ B lím S µ f n e S µ F e 2 = 0. n Por ser Hµ Hµ 2 la igualdad (3.13) es cierta para toda F Hµ y nos planteamos el siguiente problema: Fijados M 1,..., M n (B) linealmente independientes y dados w 1,..., w n C, dar condiciones necesarias y suficientes para que, para toda medida dominante µ tal que µ (I) = 0, exista F Hµ que verifique F 1 y M j (F ) = w j para j = 1,..., n. Proposición 3.7. Fijados M 1,..., M n (B) linealmente independientes y dados w 1,..., w n C, para toda medida dominante µ tal que µ (I) = 0, existe F Hµ tal que F 1 y M j (F ) = w j para j = 1,..., n si y sólo si existe [f w ] B /I tal que para toda g [f w ] M j (g) = w j j = 1,..., n y para [f w ] 1. 4 Problema de Unicidad Si [f w ] 1, el teorema 3.1 establece la existencia de una medida compleja, ν, que determina una medida de probabilidad, λ, y ésta origina una función, g, que es límite débil de la sucesión {f w y nk } k 1 con f w g I λ y g 1, o sea, g H λ. Así que, definiendo M j (g) = M j (f w ) para j = 1,..., n resulta, M j (g) = w j para j = 1,..., n y la función g será solución del problema en H λ.

15 El Problema de Pick y el Teorema de Cole-Lewis-Wermer 27 Entonces, nos planteamos el problema de la unicidad de la medida compleja, ν, que origina a la medida de probabilidad, λ, y a la función, g, del teorema 3.1. La medida compleja, ν, proviene de una extensión Hahn-Banach del funcional, l, definido en el subespacio L = I + {cf} c C C (). En consecuencia, podemos aplicar el criterio general de unicidad para las extensiones de funcionales señalada en [2]. Consideramos que C () satisface el segundo axioma de numerabilidad. Así pues, C () es separable, por lo tanto, existe {f n } n 1 C () tal que C () = L + Lin {f 1, f 2,...} donde Lin {f 1, f 2,...} es la cápsula lineal generada por f 1, f 2,... De la sucesión {f n } n 1, tomamos f 1,..., f n 1 tales que B = L + Lin R {f 1,..., f n 1 } (Acá consideramos la cápsula lineal real). Como para todo h L h = y + (a + ib) f con y I, (a + ib) C entonces, l (h) = a + ib y el funcional lineal real, l 1, asociado a l está definido por la seminorma, p, es l 1 (h) = Rel (h) = a para h L y a R p (h) = h para h L p (f) = inf {a + h f : h L, a R} para f C (). El criterio establece que hay unicidad de la extensión si, y sólo si, p (f n ) = p ( f n ) para n = 1, 2,... Pero, como siempre es cierta la desigualdad p (f n ) p ( f n ), entonces la condición se reduce a que sea cierta la desigualdad contraria y esta última la podemos escribir: p (f n ) + p ( f n ) 0 para n = 1, 2,... Resumiendo, tenemos el siguiente resultado: Proposición 4.1. Hay unicidad de la medida, ν, de la demostración del teorema 3.1 si, y sólo si, para todo n 1 inf {a + b + f n h 1 + f n h 2 : h 1, h 2 L, a, b R} 0.

16 28 Gladys Cedeño Referencias [1] Cedeño, G., Tesis de Maestría, Universidad Central de Venezuela, Caracas, [2] Cedeño, G., Cotlar, M., Condición de Unicidad para el Problema de Pick, Divulgaciones Matemáticas, 8 (2) (2000), [3] Cole, B., Lewis, K., Wermer, J., Pick Conditions on a Uniform Algebra and Von Neumann Inequalities, Jour. of Funct. Anal., 107 (2) (1992), [4] Cole, B., Wermer, J., Pick Interpolation, Von Neumann Inequalities and Hyperconvex Sets, (Preprint).