Apuntes De Cálculo Multivariable.

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1 1 Apuntes De. Prof. Henry Lázaro. Departamento de Ciencias Básicas Unidades Tecnológicas de Santander uts Departamento De De Ciencias Básicas

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3 3 Contenido Introducción Función Multivariable Definición de Función Multivariable Función Polinómica y Racional Graficas de una Función de Varias Variables Curvas de Nivel Límites y Continuidad de Funciones Multivariables Métodos para el Cálculo de limites Método de sustitución Método de las Trayectorias Coordenadas Polares Continuidad de una Función Multivariable Derivadas Parciales de una Función Multivariable Interpretación Geométrica de la Derivada Derivadas Parciales de Orden superior Regla de la cadena Diagrama del Árbol Derivada Implícita Derivada Direccional Vector Gradiente Máximos y mínimos de una función Multivariable Extremos Relativos Puntos Críticos Criterio de la segunda derivada Multiplicadores de Langrage Integración de Funciones Multivariables Integrales Iteradas Región tipo I y II Momentos y centro de masa Integrales dobles en Coordenadas Polares Integrales Triples Aplicaciones de las integrales triples Integrales triples en otros sistemas de coordenados Coordenadas Cilíndricas

4 Coordenadas Esféricas Calculo Vectorial Campo Vectorial Integral de línea Método de Evaluación Teorema de Green Teorema de Stokes Bibliografía

5 5 INTRODUCCIÓN. El es la rama de las matemáticas que nos ayuda hacer una proyección del Cálculo Diferencial e Integral de funciones de una variable al estudio de funciones de varias variables. En esencia, el, se dedica al estudio de varias variables de modo simultáneo. Es decir, tomando un objeto y no sólo medimos un aspecto suyo sino que considera varios aspectos y tratamos de determinar la relación entre estas medidas. Es decir medimos no solo una de sus características como el peso, la altura, el ancho, sino que buscamos la relación entre ellas; lo mismo ocurre con el análisis Multivariable de funciones con múltiples incógnitas. Con el desarrollo de la informática, se hace posible el desarrollo e implementación de programas que ayudan con la construcción de gráficos en 3D haciendo más agradable y motivante el análisis de esta clases de funciones y de esta manera podemos dar solución a problemas donde el Cálculo Diferencial e Integral se limitado. Es por esto que podemos con confianza decir que el, no es más que otra cosa que el Cálculo Diferencial e Integral aplicado ya no solo a curvas planas en un plano cartesiano, sino el trabajo con niveles que son las superficies descritas por las funciones de varias variables y representadas en espacios de tres dimensiones.

6 6 FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES Una función de una variable es una regla que asigna un número nuevo a cada número de un dominio de determinado; pero es de aclarar que estas funciones son una idealización conveniente de un gran número de situaciones matemáticas o reales, pero si queremos pensar en ejemplos de funciones que estén relacionadas con la ingeniería, nos veremos tentados a ampliar este concepto de tal manera que incluya magnitudes que dependan de más de una variable. Cuando estudiamos la funciones con una variable siempre tomamos el conjunto de los números reales como el dominio de dichas funciones, es decir trabajos con la recta numérica para obtener una representación de la situación en el plano cartesiano; con respecto a las funciones de más de una variable debemos tener en cuenta que no vamos a trabajar sobre el plano cartesiano sino con el plano cartesiano; puesto que el dominio de las funciones de más de una variables son el plano cartesiano o un subconjunto de él. Algunos ejemplos comunes de esta clase de funciones son: a. El área de un rectángulo: b. El volumen de un cilindro circular: c. El perímetro de un rectángulo: d. El volumen del cono circular: La definición formal de una función de varia variables es: Una función de varias variables es una regla de correspondencia que le asigna a cada elemento del dominio de la forma de uno y solo un número del conjunto de los números Reales. El conjunto de los elementos se llama DOMINO de la función y el conjunto de los valores correspondientes a recibe el nombre de RANGO. Para facilitar el análisis de esta clase de funciones se trabajan con funciones de dos variables.

7 7 DEFINICION. 1 Una función de dos variables se puede escribir mediante z f x y y se lee "f de x de y" y se define como la regla de correspondencia que le asigna a cada para ordenado de los números reales x y R un nuevo valor numérico z R. El conjunto de pares ordenados x y se llaman Dominio de la Función y su representación gráfica es una región determina de R o plano cartesiano x y y el conjunto de los valores correspondientes a z f x y que se lee "f de z" se denomina RANGO de la función. Las variables x, y, y se denominan variables independientes y z es la variable dependiente. En forma general podemos afirmar que toda función de dos variables tiene como dominio un subconjunto de y como rango o conjunto de imágenes un subconjunto de. Hallar el domino, graficarlo y rango de cada una de las siguientes función Solución: Esta función está definida como la raíz cuadrada y para esto debemos tener en cuenta que el valor del subradical debe ser mayor o igual a cero; por tal razón el dominio de la función está dado por: { }

8 8 Ahora el dominio de f consiste en todos los pares ordenados que satisface la condición: es decir el dominio seria todos los puntos que están sobre las rectas además de todos los puntos por encima y entre ellas como se muestra en la figura: y = - x Y y = x Dominio de la función f X Por otro lado los valores de z correspondientes al resultado de la raíz cuadrada son siempre positivos y mayores e iguales a cero, luego el rango está dado por: { } Esta función está definida como el logaritmo natural de la raíz cuadrada de una función de dos variables al cuadrado y para esto debemos tener en cuenta que el valor del subradical debe ser estrictamente mayor que cero ya que el logaritmo de cero no existe; por tal razón el dominio de la función está dado por: { } La inecuación que hace parte del subradical: corresponde a una circunferencia con centro en el origen y radio uno y el dominio son todos los puntos que se encuentran por fuera de la circunferencia y los puntos de la frontera de la circunferencia no hacen parte del dominio porque allí la inecuación se hace igual a cero, como se muestra en la figura:

9 9 El rango está dado por todos los valores de un número siempre es positivo y estrictamente mayor a cero, luego mayores a cero, puesto que el logaritmo de { } Esta función está definida mediante un cociente, por lo tanto el denominador no puede ser igual a cero y por otra parte el numerador como es una raíz cuadrada el subradical debe ser mayor o igual a cero, luego: { } La gráfica corresponde a todos los puntos del plano cartesiano por encima del eje x excluyéndolo. Y Dominio de la función f X El rango está dado por todos los números reales R positivos, puesto que el denominador puede ser un número positivo o negativo pero diferente de cero, mientras que el numerador es positivo e igual a cero, luego:

10 10 La función está definida como una raíz cuadra por lo tanto el subradical debe ser positivo e igual a cero; luego: Para esto debemos analizar la gráfica de la función coseno, es decir: y 1 x -1 Para la función coseno se observa que solo es positiva cuando el ángulo está comprendido entre los valores: Como nuestra función tiene un ángulo: entonces para que esta función sea f(x)=cos(x positiva; es decir: luego: por consiguiente: { } Ahora, la gráfica del dominio será los círculos concéntricos cuando: Luego:

11 11 Esta función está compuesta por la suma de dos funciones y el domino de ella es la intersección de los dominios de cada una de las funciones que la compone; es decir que el dominio es el conjunto de puntos del plano que satisfacen las dos condiciones; luego el dominio está dado por: Así que: Ahora la gráfica está dada por: { } Si evaluamos las funciones en los pares ordenados del domino obtenemos que para la raíz cuadrada siempre abra un resultado positivo y menores que y para el logaritmo natural obtendremos valores estrictamente menores que ; ahora como entonces: { } ( ) FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES Una Función Polinomial de dos variables consiste en la suma de potencias donde m y n son números enteros no negativos. El cociente de dos funciones Polinomiales se denominan Función Racional. Por ejemplo: Funciones Polinomiales:

12 12 Funciones Racionales: El dominio de una función Polinomial es el plano XY y el domino de una función racional es el plano XY excepto aquellos pares ordenados donde la sea igual a la porque en esos puntos el denominador es igual a cero. GRAFICA DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES: Sea f una función de dos variables, entonces la gráfica de f es el conjunto de puntos para los cuales y ; es decir la grafica de una función de dos variables es una superficie tridimensional. La grafica de la función: La ecuación general de la esfera, donde A, B, C, D, E, F, G, H, I, J son constantes; está dada por la ecuación:

13 13 Mediante esta ecuación podemos identificar las superficies cuadradas como: ESFEROIDES, ELIPSOIDES, PARABOLOIDES, HIPERBOLOIDES, CONOS Y CILINDROS. ELIPSOIDE La superficie es una esfera si HIPERBOLE DE UN HOJA El eje del hiperboloide corresponde a la variable cuyo coeficiente es negativo.

14 14 HIPERBOLE DE DOS HOJAS El eje del hiperboloide corresponde a la variable cuyo coeficiente es positivo. No hay traza en el plano perpendicular al eje. CONO ELÍPTICO El eje del cono elíptico corresponde a la variable cuyo coeficiente es negativo. La trazas con los planos coordenado son rectas que se cortan.

15 15 CURVAS DE NIVEL Sea la función de dos variables entonces las curvas de nivel se definen como: donde c es constante que cumpla con la condición dada por la función f. Las curvas de nivel es un método útil para describir una función de dos variables mediante la trazas en el plano, trazas de la forma: 1. Trazar las curvas de nivel para la función Solución La ecuación general que describe la familia de curvas de nivel de la función está dada por: estos valores se cumplen para. Gráficamente se observa: C=3 C=2.5 C=2 C=1.5 C=1 C=0.5 z y CURVAS DE NIVEL x GRÁFICA DE LA FUNCIÓN 2. Trazar las curvas de nivel para la función Solución La ecuación general que describe la familia de curvas de nivel de la función está dada por, donde y esta familia de curvas son cilindros concéntricos de radio. Gráficamente se observa:

16 16 LÍMITES Y CONTINUIDAD LÍMITE Y CONTINUIDAD La definición de límite está basada en la noción de proximidad y ya hemos visto que la noción de límite y continuidad pueden ser extendidas a funciones entre dos espacios métricos y para esto debemos definir la distancia entre dos puntos del espacio ; es decir: Sean los puntos A y el punto que pertenecen a entonces la distancia dada por: Para toda función de dos variables cuyo dominio incluye puntos arbitrariamente cercanos al punto. Entonces decimos que el límite de la función cuando tiende a es igual a entonces se denota: Si para todo número hay un número correspondiente tal que siempre que y. El comportamiento de en el punto del dominio no es importante; es decir no necesariamente de estar definida en dicho punto puesto que lo que nos interesa es que:. PROPIEDADES DE LOS LIMITES DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES Sean y funciones de dos variables y si: Entonces: [ ] [ ] [ ]

17 17 MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DE LOS LÍMITES 1. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: Al igual que las funciones de una variable, los límites de una función de dos variables se pueden determinar sustituyendo el valor de cada una de las variables. Hallar cada uno de los siguientes límites si existen: ( ) Solución Sustituyendo el valor de las variables, tenemos que: ( ) Luego ( ) ( ) Solución Sustituyendo el valor de las variables, tenemos que: ( ) Como el resultado nos muestra una indeterminada, entonces empleando los casos de factorización trataremos de simplificar la función para eliminar la indeterminada. Luego ( )

18 18 ( ) Solución Sustituyendo el valor de las variables, tenemos que: ( ) Empleando los casos de factorización trataremos de eliminar la indeterminada. ( ) [ ] Luego ( ) [ ] Solución Sustituyendo el valor de las variables, tenemos que: [ ] Luego ( ) 2. MÉTODO DE TRAYECTORIAS: El límite de una función de una variable existe siempre y cuando el límite de la función cuando se cerca al punto crítico por la izquierda sea igual a límite cuando se acerca por la derecha. Para la definición del límite de una función de dos variables debemos tener en cuenta que en el plano no

19 19 vamos a encontrar dos caminos para llegar a un punto sino infinitos caminos; luego podemos decir que si distintas trayectorias de acercamiento conducen a distintos valores L, afirmamos que el límite no existe. Gráficamente, ilustramos la anterior apreciación: Se acercan a lo largo de la recta vertical y horizontal que pasa por (a, b) Se acercan a lo largo de todas las líneas rectas que pasa por (a, b) Se acercan a lo largo de toda curva que pasa por (a, b) Tres de las muchas maneras de aproximarse al punto (a, b). Hallar cada uno de los siguientes límites si existen: ( ) Solución Sustituyendo el valor de las variables, tenemos que: ( ) Ahora no hay forma de quitar la indeterminada por medio de los procesos algebraicos, entonces intentaremos determinar el límite por las trayectorias: A lo largo del eje x, es decir ; A lo largo del eje y, es decir ; a lo largo de la recta, a lo largo de las rectas, donde m es la pendiente de la recta que pasa por el punto (0, 0) Entonces cuando tenemos que: ( ) ( ) ( ) ( ) Luego el limite a lo largo del eje x es igual a cero (0).

20 20 Entonces cuando tenemos que: ( ) ( ) ( ) ( ) Luego el limite a lo largo del eje y es igual a cero (0). Entonces cuando tenemos que: ( ) ( ) ( ) Luego el limite a lo largo de la recta y = x es igual a. Entonces cuando tenemos que: ( ) ( ) ( ) Luego el limite a lo largo de la recta y = x es igual a. Como se observa que los límites son diferentes concluimos que el LÍMITE NO EXISTE. ( ) Solución Sustituyendo el valor de las variables obtenemos una indeterminada que no se puede eliminar mediante los procesos algebraicos. Ahora determinamos el límite empleando las trayectorias y utilizaremos dos de ellas: A lo largo del eje x; es decir tomando a y a lo largo del eje y; es decir ( ) ( ) ( ) ( ) Luego el límite de la función a lo largo del eje x está dado por: ( )

21 21 ( ) ( ) ( ) ( ) Luego el límite de la función a lo largo del eje y está dado por: ( ) Como los dos límites son diferentes concluimos que el LÍMITE NO EXISTE 3. COORDENADAS POLARES: En un sistema de coordenadas rectangulares o cartesiano se puede localizar un punto con una sola pareja de puntos estos valores son las distancias dirigidas, partiendo del origen, desde los ejes x e y respectivamente. El origen es el punto donde se intersectan los dos ejes coordenados; gráficamente tenemos que: Todo punto del plano cartesiano remplazando los valores de y, por: se puede localizar en el plano de coordenadas polares En algunos límites de funciones de dos variables es adecuado usar coordenadas polares, especialmente para límites que tienden al origen de coordenadas; es decir si y solo si Así que, algunas veces, los límites para funciones de dos variables pueden expresarse como límites que incluyen sólo una variable, que en este caso es:

22 22 Hallar los siguientes límites empleando las coordenadas polares: [ ] Solución Sustituyendo por las coordenadas polares, tenemos que: [ ] [ ] Luego: [( )( )] [ ] Solución Sustituyendo por las coordenadas polares, tenemos que: [ ] [ ] [ [ ] ] [ ] [ ] Luego: [ ]

23 23 CONTINUIDAD DE FUNCIONES MULTIVARIABLES Se dice que la función de dos variables es continua en el punto si y solo si cumple con las tres condiciones, que se plantean a continuación: Si una función no es continua en se afirma que la función es discontinua. La gráfica de una función de dos variables, es una superficie sin huecos; es decir que si es continua en una región R del plano XY entonces afirmamos que es continua para todo punto de la región R del plano. Determinar si la función es continua en el punto crítico: { Solución Primero calculamos el valor de entonces; por definición de la función tenemos que: Ahora el límite Ahora podemos eliminar la indeterminada empleando los procesos algebraicos: Como entonces la función { es continua en el punto

24 24 { Solución Primero calculamos el valor de entonces; por definición de la función tenemos que: Ahora el límite Como entonces la función { es continua en el punto

25 25 DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN MULTIVARIABLE En esta parte estudiaremos el comportamiento de algunas funciones mediante el cambio de una de sus variables respecto a la otra; en esta unidad estudiaremos el concepto de derivada, sus principales propiedades, el vector gradiente y sus propiedades y una variedad de ejemplos resueltos, y algunos ejercicios propuestos. Recordemos que la derivad de una función de una variable está dada por el límite: Exactamente de la misma manera, podemos definir las derivadas parciales de una función de dos variables con respecto a cada una de ellas. Para esto recordemos algunas reglas de las derivadas de una función de una variable. 1. k 0 2. x 1 n n 1 3. x nx n n kx knx u v w u v 6. ku ku n n 1 7. u nu u 8. uv u v uv u u v uv 9. 2 v v 5. w e u e u u 10. ln u u sin u u cos u u 11. a a u a 12. ln u 13. u 14. cos u u sin u tan u u sec u cot u u csc u 17. sec u u secu tan u 18. csc u u cscu c tan u 19. arcsin u u 2 1 u u arccos u 2 1 u u arctan u 1 u u arccot u 1 u u arc secu u u 2 1 u arccsc u u u

26 24 Definición Sea una función de dos variables, que en adelante simbolizaremos como: entonces las derivadas parciales, es decir las derivadas respecto a cada una de las variables están dadas por: Derivada de la función respecto a la variable x: Derivada de la función respecto a la variable y: Siempre que el límite exista. Hallar las derivadas parciales de cada una de las funciones dadas: Solución Derivada respecto a la variable x: [ ] Luego Derivada respecto a la variable y: [ ] Luego

27 25 Solución: Derivada respecto a la variable x: [ ] Luego Derivada respecto a la variable y: [ ] Luego Este mismo procedimiento, de calcular las derivadas parciales lo podemos hacer utilizando las reglas de las derivadas de una variable teniendo en cuenta que si derivas respecto a una de las variables las otras variables se comportan como constante; es decir si derivas con respecto a la x la y se comporta como una constante y viceversa, también hay que tener en cuenta que la derivada de una constante es igual a cero Solución Derivada respecto a la variable x: Luego: Derivada respecto a la variable y:

28 26 Luego: Solución Observamos que hay una función de tres variables, entonces; debemos derivadas por cada una de las variables, es decir: Derivada respecto a la variable x: Luego: Derivada respecto a la variable y: Luego: Derivada respecto a la variable z: Luego: Solución Derivada respecto a la variable x:

29 27 ( ) Luego: ( ) Derivada respecto a la variable y: Luego: ( ) ( ) ( ) Solución Derivada respecto a la variable x: Derivada respecto a la variable y:

30 28 INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA Sea la función que representa una superficie y el punto donde por otro lado el plano vertical que intersecta la superficie en la curva y el plano que intersecta la superficie en la curva Tal y como se muestra en las figuras: Entonces las derivadas parciales de la superficie; es decir y evaluadas en el punto representa la recta tangente a las curvas y dichas rectas se observan en la gráfica como y Por otra parte las derivadas parciales se pueden interpretar como la razón de cambio de la función respecto a cada una de sus variables; es decir: 1. Si entonces representa la razón de cambio de con respecto a 2. Si entonces representa la razón de cambio de con respecto a Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva que se obtiene de la intersección del paraboloide y el punto de la superficie Solución Como el punto de la superficie está dado por se especifica el plano entonces se mantiene constante el valor de x para todos los puntos en esa región. Entonces calculemos la derivada parcial de con respecto a

31 29 Ahora del punto se observa que entonces es la pendiente de la recta tangente a la curva que forma el plano y la superficie Si calculemos la derivada parcial de con respecto a Ahora del punto se observa que entonces es la pendiente de la recta tangente a la curva que forma el plano y la superficie Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva que se obtiene de la intersección del paraboloide Solución y el plano cuando Par poder hallar la pendiente de la recta tangente; calculamos la derivada y la evaluamos en el punto del dominio formado por: ( ) es decir: ( ) ( ) Ahora el punto por el cual pasa la recta tangente está dada por: ( ) ( ) Luego el punto de la superficie por donde pasa la Recta tangente es: ( ) entoces la recta tangente está dada por: Gráficamente: z x Superficie z x y z x Q ( )

32 30 DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR Una función de dos variables da lugar a dos derivadas parciales o derivadas de primer orden. Estas son a su vez funciones de dos variables que puede ser derivada nuevamente para dar lugar a las cuatro derivadas de segundo orden así: 1. Segunda derivada respecto a la variable ; es decir se deriva dos veces por la misma variable. ( ) 2. Segunda derivada primero respecto a la variable y después respecto a la variable ( ) 3. Segunda derivada primero respecto a la variable después respecto a la variable ( ) 4. Segunda derivada respecto a la variable ; es decir se deriva dos veces por la misma variable. ( ) Las derivadas y se conocen también con el nombre de derivadas cruzadas. Frecuentemente, estas derivadas son iguales. Hallar las derivadas parciales de segundo orden de la función, tenga en cuenta que: Solución Primera derivada respecto a la variable Ahora segunda derivada de x respecto a x: ( ) ( ) ( ) Ahora segunda derivada de x y después respecto a :

33 31 ( ) ( ) ( ) Primera derivada respecto a la variable Ahora segunda derivada de después respecto a x: ( ) ( ) ( ) Segunda derivada de y respecto a la : ( ) ( ) Hallar las derivadas parciales de segundo orden de la función: ( ) Solución Primera derivada respecto a la variable ( ) ( ) Segundas derivadas: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Primera derivada respecto a la variable ( ) ( ) Segundas derivadas: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

34 32 REGLA DE LA CADENA. La regla de la cadena es la propiedad que permite identificar la derivada de una función compuesta; es decir que si tenemos la función f(x) y a su vez x es otra función u(x); entonces: Esto ocurre para funciones de una variable. Ahora vemos para funciones de varias variables: DEFINICIÓN: Sea la función una función de dos variables y diferenciable en ; además y funciones diferenciables en ; es decir que a su vez es diferenciable en, luego: Calcular la derivada para la función: teniendo en cuenta que y Solución: Si tenemos en cuenta que: entonces: Calcular la derivada y para la función: teniendo en cuenta que y Solución: Ahora proyectando la formula a las variables y tenemos que:

35 33 Entonces: [ ] [ ] [ ] [ ] DIAGRAMA DEL ÁRBOL El diagrama del árbol es una forma gráfica de visualizar la relación entre las variables que posee una función compuesta. Es decir si la función de dos variables y las variables y son funciones que poseen variables y entonces el diagrama del árbol está dado por: Ahora para una función de tres variables, el diagrama del árbol quedara: Construya el diagrama del árbol del siguiente caso: donde

36 34 Solución: Del ejercicio se observa que la función f depende de los valores de y y a su vez depende de y depende de entonces: Luego la regla de la cadena nos quedara: DERIVADA IMPLICITA Sea la función una función de dos variables, tal que a como una función implícita de ; es decir y que y si suponemos que sea diferenciable. Entonces; aplicado la regla de la cadena; tenemos que: Sustituyendo entonces: Despejando tenemos que:

37 35 Ahora, si es una función de tres variables, la derivada implícita está dada por: Sea la ecuación definir a implícitamente como una función de y ; es decir calculando: y Solución: Calculamos por lo que tomamos a como una constante, entonces: ( ) Ahora, tenemos que: despejando la derivada implícita; tenemos que: Calculamos por lo que tomamos a como una constante, entonces: ( )

38 36 Ahora, tenemos que: despejando la derivada implícita; tenemos que: Calculamos por lo que tomamos a como una constante, entonces: ( ) Ahora, tenemos que: despejando la derivada implícita; tenemos que: DERIVADA DIRECCIONAL. Sea una función de dos variables y con un vector unitario. Se llama Derivada Direccional de en el punto en la dirección a la derivada:

39 37 VECTOR GRADIENTE. Se llama Gradiente de una función decir: al vector cuyas componentes son las derivadas parciales; es ( ) Usando el gradiente, la derivada direccional se puede calcular mediante el producto escalar: La derivada direccional y el vector gradiente para una función de tres variables en la dirección del vector unitario son: en el punto Y el vector gradiente está dado por: ( ) Determine la derivada direccional de la función en el punto en la dirección del vector unitario cuyo ángulo con la parte positiva del eje x es. Solución: Las derivadas parciales están dadas por: Ahora, el vector gradiente está dado por: Para el punto el gradiente tiene un valor de: Ahora como nuestro vector unitario será igual a entonces:

40 38 Por lo tanto la derivada direccional está dada por: ( ) PLANO TANGENTE. Sea un punto sobre la superficie de nivel donde el gradiente en dicho punto está dado por diferente de cero; es decir: El plano tangente en es aquel plano que pasa por el punto P y que es perpendicular a Plano Tangente en (x 0, y 0, z 0 ) Encuentre la curva de nivel en el punto Grafique el gradiente en dicho punto (Dennis G. Zill (2011). Pág. 725) Solución: Como entonces el valor para el punto se determina mediante: Luego la curva de nivel está dada por Ahora el gradiente está dado por: por lo tanto

41 39 La grafica es: 6j f 2 3 4i 6j 4i A = (2,3) MÁXIMOS Y MÍNIMOS PARA FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Para una función de una variable, se puede determinar los valores máximos y mínimos mediante el comportamiento de la primera y segunda deriva, a este estudio se le denomina CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA. Para las funciones de varias variables este criterio es viable por lo que trataremos de extender dicho criterio al caso de funciones de dos variables. Empezamos por definir los puntos extremos relativos o locales para funciones de variables y EXTREMOS RELATIVOS: Sea una función de dos variables se dice que el punto es un extremo relativo si cumple con alguna de estas condiciones. i. Un número es un MÁXIMO RELATIVO de una función si para todo en algún disco abierto que contengo. ii. Un número es un MÍNIMO RELATIVO de una función si para todo en algún disco abierto que contengo. TEOREMA. (Condiciones necesarias de extremo relativo) Sea una función de dos variables definida en un conjunto abierto y. Si es diferenciable en el punto y alcanza un máximo o un mínimo relativo en dicho punto se verifica que:

42 40 PUNTOS CRITICOS. Un PUNTO CRÍTICO de una función es un punto en el dominio de para el cual y o si una de sus derivadas parciales no existe en el punto. Para conocer si los puntos críticos de una función diferenciable corresponden a un máximo o a un mínimo o a ninguna de las cosas, se puede utilizar el criterio de la segunda deriva. CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA. Sea un punto crítico de y suponga que y continua en un disco cerrado en. Considerando que: [ ] i. Si y, entonces es un Mínimo Relativo. ii. Si y, entonces es un Máximo Relativo. iii. Si, entonces es un punto de silla. iv. Si, entonces el criterio no puede afirmar nada. Encuentre los puntos críticos para Solución: Hallamos las derivadas parciales d primer orden están dadas por: y Como y entonces: Como por lo tanto existen cuatro puntos críticos: y Determinar los máximos y mínimos para Solución: En primer lugar hallamos las derivadas parciales de primer orden:

43 41 Como y entonces: y Ahora remplazando en la ecuación tenemos que: ( ) Remplazando en entonces por lo tanto los puntos críticos son: y Ahora podemos aplicar el criterio de la segunda derivada, entonces: [ ] Para el primer punto tenemos que: [ ] Como: y es un Punto de silla. Para el primer punto tenemos que: [ ] Como: y es un Punto de silla. Para el primer punto tenemos que: [ ] Como: y es un Punto Mínimo Relativo. Para el primer punto tenemos que:

44 42 [ ] Como: y es un Punto Máximo Relativo. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE El método de Multiplicadores de LaGrange para calcular el valor máximo o el valor mínimo de una función con restricciones. Por lo tanto llamaremos al extremo condicionado de una función, al valor máximo o mínimo de esta función alcanzado con la condición de que sus variables están ligadas entre sí por la ecuación: Ahora para calcular el extremo condicionado de la función con esta condición; trabajaremos con la función de LaGrange: Donde es el multiplicador de LaGrange y se buscan los extremos de. Las condiciones necesarias para que haya un extremo se reducen al sistema de las siguientes tres ecuaciones: Con las cuales podemos calcular los valores de las variables y, Para probar que en este punto hay un extremo, se muestra de para el máximo y para el mínimo; teniendo en cuenta que: Determinar los extremos de la función con la condición de que Solución: Aplicando la función de LaGrange, tenemos:

45 43 Ahora calculando las ecuaciones de restricción, tenemos que: De estas ecuaciones aparece el sistema de ecuaciones lineales: Si resolvemos dicho sistema obtenemos el punto, y, Para determinar si es un valor máximo o un valor mínimo, tenemos que: Como entonces el valor máximo es: entonces el valor máximo de la función con la restricción es. Hallar el valor máximo y el valor mínimo de intersección de y, Solución: Como la función presenta tres variables y dos restricciones, entonces: sobre la curva de Ahora hallamos las ecuaciones de restricción: ; ; ;

46 44 Aparece el sistema de ecuaciones lineales: Resolviendo dicho sistema tenemos que: y obtenemos los puntos para el análisis cuando y el punto cuando Probemos estos datos para identificar cuál de ellos es un máximo o un mínimo: Luego: Para cuando tenemos que: ( ) ( ) Como entonces en el punto hay un mínimo y su valor es: ( ) Para ( ) cuando tenemos que: ( ) ( ) Como entonces en el punto hay un máximo y su valor es: ( ) ( )

47 45 INTEGRACIÓN DE UNA FUNCIÓN MULTIVARIABLE El concepto de la integral definida de una función de una sola variable se puede ampliar a una función de varias variables. La integral de una función de una variable recibe el nombre de integral simple para poder distinguirla de un integral múltiple la cual incluye una función de varias variables. INTEGRAL ITERADAS. Sea una función de dos variables definidas sobre una región cerrada del plano. Entonces la Integral Iterada Doble de sobre, denotada por: PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES MULTIPLES Sean f y g funciones de dos variables que son integrables sobre una región R del plan XY. Entonces: [ ] REGIONES DE TIPO I Y II Antes de continuar necesitamos examinar algunas regiones R especiales en el plano. REGIÓN TIPO I La región R que se muestra en la figura es de tipo I ya que: Donde las funciones y son continuasen la región R. Las integrales cumplen con:

48 46 [ ] REGIÓN TIPO II La región R que se muestra en la figura es de tipo II ya que: Donde las funciones son continuasen la región R: Las integrales cumplen con: [ ] Evalué la integral iterada de sobre la región que se muestra en la figura: Solución: Según la gráfica la región es de tipo I, entonces la integral esta dad por: [ ] [ ] [ ]

49 47 [ ] [ ] Luego el área de la región R es igual a unidades cuadradas. Evalué la integral iterada Solución: Por la forma de la integral observamos que es una integral de tipo II entonces su grafica seria: Ahora nuestra integral será: [ ] ] [ ] [ ] Luego:

50 48 Nota: La Integral: Esta última integral se resuelve por pates. CENTRO DE MASA Y MOMENTOS. Suponga que una lámina ocupa una región del plano y que su densidad viene dada por la función continua para todo en. Se define la masa de la lámina mediante la integral doble: Los Momentos de la lámina respecto del eje y el eje respectivamente, se definen mediante las integrales dadas por: Por otro lado; las coordenadas del centro de masa de la lámina vienen dadas por: ( ) El centro de masa es el punto donde consideramos que se concentra toda la masa de la lámina. Si es una constante, se dice que la lámina será homogénea y su centro de masa recibe el nombre de centroide de la lámina Hallar el centro de masa de una lámina triangular con vértices densidad es Solución: Como la cantidad de masa está dada por: si la función de Ahora, las coordenadas del centro de masa están dadas por:

51 49 Luego: Centro de Masa: ( ) ( ) MOMENTO DE INERCIA: El momento de inercia (también llamado segundo momento) de una partícula de masa alrededor de un eje se define como, donde es la distancia de la partícula al eje. El momento de inercia de un cuerpo es considerado como una medida de la resistencia al girar cuando actúa en él una fuerza de rotación. En particular si el eje de giro es el eje o el eje entonces el momento de inercia respecto al eje o el eje es respectivamente: La suma de estos dos momentos se llama Momento Polar de Inercia y se denota como tiene que:. Asi se Una lámina tiene la forma de la región limitada por Calcular los momentos y. Solución: Los momentos de inercias están dados por: y su densidad es Como:

52 50 INTEGRALES DOBLE EN COORDENADAS POLARES. Algunas integrales dobles al calcularlas se nos hacen más fácil cuando empleamos las coordenadas polares que las coordenadas rectangulares; en especial cuando contamos con regiones circulares; es decir cuando aparecen integrandos de la forma: Como sabemos la relación entre las coordenadas polares y las coordenadas cartesianas están dadas por: Es decir; sea la región constituida por todos los puntos que satisfacen las condiciones Si y so funciones continuas en [ ] y es una función continua en la región entonces: La región debe cumplir con alguna de las siguientes graficas tanto para como para Evaluar la integral doble: donde es la región en el semiplano superior acotado por los círculos y Solución: La región R se puede describir como: { } gráficamente se puede observar que:

53 51 Es la mitad del anillo mostrado en la figura que en coordenadas polares esta dad por: Por lo tanto la integral es igual a: y [ ] [ ] [ ] Libro Stewart 6 edición. Use las coordenadas polares:

54 52 Solución: De los límites de las integrales podemos identificar la región de la siguiente forma: y entonces la gráfica de la región es: En consecuencia, las coordenadas polares están dadas por: y entonces la integral se convierte en: ] ( ) Dennis G. Zill (2011).

55 53 Encuentre el volumen del sólido que está bajo el hemisferio y sobre la región acotada por la gráfica de la circunferencia Solución: De la gráfica tenemos que: En coordenadas polares las ecuaciones del hemisferio y la circunferencia se vuelven, respectivamente: y ahora, usando simetría tenemos que: [ ] [ ] [ ] [ ] ( )] Dennis G. Zill (2011).

56 54 INTEGRALES TRPLES. Sea una función de tres variables y continua en una región cerrada del espacio tridimensional; entonces la integral triple de la función sobre la región que se denota y se define como: El orden de indica cómo se realiza la integral como en el caso de las integrales dobles, se cumple el teorema de Fubini si f es continua; en otras palabras, una integral triple se puede reducir a una triple integral iterada. La idea de considerar regiones acotadas tal que entonces la región se clasifica en los siguientes tipos de regiones: Región tipo I: La región de tipo I está delimitada por: y Es decir la integral está dada por: Región tipo II: La región de tipo I está delimitada por: y Es decir la integral está dada por: Región tipo III: La región de tipo I está delimitada por: y Es decir la integral está dada por: APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES. A continuación relacionamos algunas aplicaciones prácticas de las integrales triples: VOLUMEN: Sea la función definida en el solido entonces el volumen esta dado por:

57 55 MASA: Sea la función que representa la densidad entonces la masa del solido está dada por: PRIMEROS MOMENTOS Y CENTRO DE MASA. Los primeros momentos del sólido alrededor de los planos están dados por las siguientes integrales: Ahora, el centro de masa del sólido está dado por: ( ) SEGUNDOS MOMENTOS. Los Segundos momentos son también conocidos como momentos de inercia de ejes de coordenadas que se muestran en las siguientes integrales: alrededor de los Evaluar la integral iterada indicada: Solución: ]

58 56 ( )] ( ) ( ) [ ] Encuentre el volumen del sólido en el primer cuadrante acotado por las gráficas de, y (Dennis G. Zill (2011). Pág. 779) Solución: Gráficamente tenemos que: Como se indica en la figura la primera integral es con respecto a y sus límites son: a y las otras están dadas por: [ ] ( ) [ ]. INTEGRALES TRIPLES EN OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS. Al igual que con las integrales dobles, en ocasiones un cambio de coordenadas puede facilitar la resolución de un integral triple.

59 57 Un cambio de coordenadas cartesianas a otras coordenadas es una aplicación biyectiva entre dos regiones y de. COORDENADAS CILINDRICAS. Sea el punto de coordenadas como se muestra en la gráfica: del espacio, en coordenadas cilíndricas está dado por: De la gráfica también vemos que las coordenadas rectangulares coordenadas cilíndricas mediante las ecuaciones: de un punto se obtienen las Por otra parte tenemos que: Entonces, si en la región R está dada por: es una función continua sobre la región, la integral triple de dicha función

60 58 COORDENADAS ESFERICAS. Sea el punto de coordenadas del espacio, en coordenadas cilíndricas está dado por: como se muestra en la gráfica: De la gráfica también vemos que las coordenadas rectangulares coordenadas esféricas mediante las ecuaciones: de un punto se obtienen las Por otra parte tenemos que: Por consiguiente, una integral triple común en coordenadas esféricas tiene la forma: Un sólido en el primer octante tiene la forma determinada por la gráfica del cono de un solo manto y los planos y Determinar el centro de masa si la densidad está dada por (Dennis G. Zill (2011). Pág. 785) Solución: Como entonces Gráficamente tenemos que:

61 59 Ahora el centro de masa está dado por: De la gráfica, podemos identificar los límites de cada una de las integrales; es decir: ] ( )] ] ] ] ( )] ] Ahora, empleando: y, tenemos también que: ]

62 60 ( )] ] ] ( ) ] ( )] ] ] ( ) Como el centro de masa está dado por: ( ) entonces; tenemos que: Por lo tanto, el centro de masa tiene las coordenadas aproximadas de:

63 61 Hallar el centro de masa de la región sólida inferiormente por la hoja superior del cono de densidad uniforme, limitada o acotada y superiormente por la esfera (Larson R (2006). Pág. 1039) Solución: En coordenadas esféricas, la ecuación de la esfera es: entonces. Ahora la esfera y el cono se intersectan en: y entonces Remplazando tenemos que: entonces: Ahora como despejando el ángulo tenemos que ( ) remplazando tenemos que: ( ) ( ) ( ) Por consiguiente se puede utilizar el orden de integración donde ;. Entonces el volumen es: ( ) ( ) ( )

64 62 CALCULO VECTORIAL. Hasta este momento hemos estudiado, en el cálculo de tres tipos de integrales como son las integrales definidas, las integrales dobles y triples; en este capítulo estudiaremos dos tipos de integrales como son las integrales de línea y las integrales de superficie y el estudio de estos dos conceptos dependen directamente de métodos vectoriales, que a su vez están relacionados con un con las funciones vectoriales. CAMPO VECTORIAL En forma general un campo vectorial es una función cuyo dominio es un conjunto de puntos de o, y el rango esta determinar mediante un conjunto de vectores; es decir: Sea un conjunto de puntos de, una región plana. Un campo vectorial sobre es un función que asigna a cada punto en un vector bidimensional La mejor manera de representar un campo vectorial es dibujar la flecha que representa al vector que inicia en el punto. Como es un vector bidimensional entonces se puede expresar en términos de sus componentes; es decir: Para facilitar nuestro trabajo con las componentes; remplazaremos a por y por entonces: Para el campo vectorial es de la forma: INTEGRALES DE LÍNEA Sea la curva definida en el intervalo [ ] y diferenciable, con su derivada es no nula en dicho intervalo (Por lo tanto afirmamos que la curva es suave en dicho intervalo). Luego denotamos a la curva con como. Sea una función de dos variables y definida en una región del plano que contiene una curva entonces la integral de línea se define como:

65 63 i. La integral de línea de f con respecto a x a lo largo de C de A hasta B es: ii. La integral de línea de f con respecto a y a lo largo de C de A hasta B es: iii. La integral de línea de f con respecto a la longitud s a lo largo de C de A hasta B es: Para comprender mejor la definición de la integral de línea debemos tener en cuenta que el punto sobre el subarco está dado por: Punto de muestra sobre el arco K - ésimo MÉTODO DE EVALUACIÓN: C definida por Si la curva C está definida por una función explícita es posible utilizar como un parámetro. Con y [ ] las integrales de línea señaladas anteriormente se transforman en:

66 64 [ ] Una integral de línea a lo largo de una curva C suave por partes se define como la suma de las integrales sobre las distintas curvas suaves cuya unión compone a C. Es decir: En muchas aplicaciones, las integrales de línea aparecen como una suma, es decir: Es común escribir esta suma sin el segundo símbolo de integral, es decir: O simplemente: (Dennis G. Zill (2011). Pág. 804) Evalué cada una de las integrales dadas sobre el cuarto de círculo C definido por como se indica en la figura: (Dennis G. Zill (2011). Pág. 803)

67 65 Solución: [ ] [ ] ( ) [ ] Evalué la integral indicada, sobre la curva dada por donde (Dennis G. Zill (2011). Pág. 805) Solución: En primer lugar construimos la curva C, es decir:

68 66 La curva C se define mediante la función explícita como parámetro. Con se deduce que: Por consiguiente, podemos usar [ ] ] TEOREMA DE GREEN Suponga que es una curva cerrada simple suave por partes con una orientación positiva que limita una región simplemente conexa. Si son continuas sobre, entonces: ( ) Evalúe la integral cerrada donde C está definida como la frontera de la región en el primer cuadrante que está acotada por las gráficas de y Solución: Como el teorema de Green afirma que Entonces: luego: Por otro lado la gráfica que corresponde a: Ahora:

69 67 ] Luego: TEOREMA DE STOKES Sea una superficie orientada suave por partes acotada por una curva cerrada simple suave por partes. Sea: Un campo vectorial para el cual y son continuas y tienen primeras derivadas parciales continuas en una región abierta del espacio tridimensional que contiene a. Si se recorre en a dirección positiva, entonces: Donde n es una normal unitaria a en la dirección de la orientación de. Sea la parte del cilindro para Verifique el teorema de Stokes para el campo vectorial Suponga que se orienta hacia arriba. Solución: La superficie la curva (la cual está compuesta por la unión de ) y la región se ilustra en la gráfica:

70 68 La INTEGRAL DE SUPERFICIE para la función: Estada por: En este caso, define el cilindro, la normal es Por lo tanto Para evaluar la última integral de superficie usamos entonces: [ ] La INTEGRAL DE LÍNEA la integral de línea es: Como es suave por partes, escribimos Sobre por lo tanto

71 69 Sobre, por lo tanto Sobre, por lo tanto Sobre, por lo tanto En consecuencia, Por lo tanto se comprueba el Teorema de Stokes cuando comparamos la integral de superficie y la integral de línea.

72 70 BIBLIOGRAFIA Dennis G. Zill (2011). Cálculo. Trascendentes Tempranas. 4 a Edición. Stewart J (2008). Cálculo. Trascendentes Tempranas. 6 a Edición. Leithold L. (1998). Cálculo con Geometría Analítica. 7 a Edición. Larson P. (2006). Cálculo de Varias Variables. 8 a Edición. DerivadaParcial/node2.html PlanoTangente/index.html. Grafica del plano tangente a/linea.html Integral de línea