UNIDAD: GEOMETRÍA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Y ELEMENTOS SECUNDARIOS

Transcripción

1 U R S O : MTMÁTI MTRIL N 012-I UNI: GOMTRÍ GUÍ TORIO PRÁTI Nº 11 ONGRUNI TRIÁNGULOS Y LMNTOS SUNRIOS ONGRUNI TRIÁNGULOS 1. INIIÓN os triángulos son congruentes si y sólo si existe una correspondencia entre sus vértices, de modo que cada par de lados y ángulos correspondientes sean congruentes. PQR PQ PR RQ P Q R P R Q JMPLOS 1. Los triángulos PQR y TNM de la figura 1, son escalenos. Si PQR TNM, entonces, cuál de las siguientes proposiciones es LS? M R ) PQ TN ) PR TM ) QR NM ) QRP NMT ) PQR TMN N P Q ig. 1 T 2. n la figura 2, con, //, = 80º y = 40º, cuál es la medida del? ) 40º ) 60º ) 80º ) 90º ig. 2 ) No se puede determinar

2 POSTULOS ONGRUNI TRIÁNGULOS P 1 L : os triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado y los dos ángulos adyacentes a ese lado. P 2 LL : os triángulos son congruentes cuando tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente iguales. P 3 LLL : os triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales. P 4 LL > : os triángulos son congruentes cuando tiene dos lados y el ángulo opuesto al mayor de esos lados respectivamente iguales. JMPLOS 1. n la figura 1, y. Si, entonces el triángulo es congruente con el triángulo en su orden ) ) ) ) ) ig l triángulo de la figura 2, es isósceles de base, y =. Luego, es(son) congruente(s) los siguientes pares de triángulos: I) con II) con III) con ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo III ) Sólo I y II ) I, II y III ig. 2 2

3 LMNTOS SUNRIOS L TRIÀNGULO 1. LTUR s la perpendicular que va desde el vértice al lado opuesto o a su prolongación. h c H H = ORTONTRO (punto de intersección de las alturas) 2. ISTRIZ s el trazo que divide al ángulo en dos ángulos congruentes. I = INNTRO (punto de intersección de las bisectrices) I OSRVIÓN: l punto de intersección de las bisectrices equidista de los lados del triángulo. JMPLOS 1. uál de las siguientes proposiciones es LS? ) n todo triángulo acutángulo, el ortocentro queda siempre en el interior del triángulo ) n todo triángulo rectángulo, el ortocentro siempre coincide con el vértice del ángulo recto ) n todo triángulo equilátero, el ortocentro queda siempre en el interior del triángulo ) n todo triángulo isósceles, el ortocentro siempre queda en el interior del triángulo ) n todo triángulo obtusángulo, el ortocentro queda siempre en el exterior del triángulo 2. n el triángulo isósceles de base de la figura 1, I es el incentro. Si I = 100º, cuánto mide el? ) altan datos para determinarlo ) 20º ) 40º ) 50º ) 80º I 100º ig. 1 3 ig. 3

4 3. TRNSVRSL GRV s el trazo que une el vértice con el punto medio del lado opuesto. t c R = R G G = NTRO GRV (punto de intersección de las transversales de gravedad) R OSRVIÓN: Si rectángulo en, entonces R = R = R. 4. SIMTRL s la recta perpendicular que pasa por el punto medio de cada lado del triángulo. O = IRUNNTRO (centro P PR de intersección de las R = R simetrales) R O O = O = O PROPIS l punto de intersección de las simetrales equidistan de los vértices del triángulo. JMPLOS 1. n el de la figura 1, transversal de Gravedad. La medida del ángulo x es ) 15º ) 20º 70º ) 25º ) 30º ) 35º ig O es el circuncentro del (fig. 2). Si O = 20º y O = 80º. La medida del x es x ) 10º ) 20º ) 50º ) 80º ) Otro valor 20º x 80º O ig. 2 4

5 MIN s el segmento de recta que une los puntos medios de los lados del triángulo. M = M No existe punto de N = N intersección de las medianas M N MN // m c PROPIS 1. n todo triángulo al trazar las 3 medianas se forman 4 triángulos congruentes. JMPLOS 1. n el triángulo MNT de la figura 1, MP = 8 cm, QN = 12 cm y PQ es mediana. ntonces, MN - MT es T ) 2 cm ) 4 cm P ) 6 cm ig. 1 ) 8 cm ) 10 cm M Q N 2. n el triángulo PQR de la figura 2, PRQ = 80º y es mediana. uánto mide x? ) 35º ) 45º ) 50º ) 55º ) 60º P R 55º x Q ig. 2 5

6 LGUNOS TORMS RRNTS UN TRIÁNGULO ISÓSLS Y/O QUILÁTRO Teorema 1: n todo triángulo isósceles coinciden los elementos secundarios correspondientes al lado distinto. = h c = t c = b y = s c α α = Teorema 2 n todo triángulo equilátero coinciden los elementos secundarios correspondientes a cualquier lado. demás, coinciden los puntos singulares. h a = h b = h c t a = t b = t c b α = b β = b γ S a = S b = S c h a = t a = b α = S a H = G = I = 0 G JMPLOS 1. l triángulo de la figura 1 es isósceles de base. R es punto medio de y = 50º. uánto mide el ángulo R? ) 25º ) 30º ) 40º ) 50º ) 80º R ig n el triángulo equilátero de la figura 2, es punto medio de y es bisectriz del ángulo. uánto es el suplemento de x + y? ) 150º ) 120º y ) 90º ) 60º ig. 2 x ) 30º 6

7 JRIIOS 1. onsiderando que la información dada en cada alternativa es acumulativa, determine en qué alternativa se puede asegurar que los triángulos de la figura 1, son congruentes. ) ) ) = 5 cm ) = 5 cm ig. 1 ) = 5 cm 2. uál de las siguientes afirmaciones es verdadera? ) os triángulos rectángulos que tienen un cateto respectivamente congruente, son congruentes. ) Si dos triángulos rectángulos tienen la hipotenusa congruente, son congruentes. ) Si dos triángulos rectángulos tienen dos ángulos correspondientes congruentes, son congruentes. ) Si dos triángulos rectángulos tienen dos lados correspondientes congruentes, son congruentes. ) Si dos triángulos rectángulos tienen un ángulo respectivamente congruentes, son congruentes. 3. n el de la figura 2,, y son puntos medios de los lados. ntonces, el triángulo es congruente al triángulo en su orden ) ) ) ) ) ig. 2 7

8 4. n la figura 3, MNT, si = 40º, = 80º y = 60º, entonces es LSO que ) el lado mayor del MNT es TM ) el NTM mide 60º ) el MNT es escaleno ) NT < MN ) > TM M T N ig n la figura 4, QRP. Si QP PR, cuánto mide el ángulo exterior H? ) 62º ) 64º ) 74º ) 106º ) 116º Q 58º P ig. 4 R H 6. Si en el triángulo de la figura 5, MN es mediana, entonces el ángulo NM mide ) 40º ) 100º ) 120º ) 130º M N ) 140º ig. 5 40º 7. n qué triángulo al trazar cualquier bisectriz se forman dos triángulos congruentes? ) Rectángulo isósceles ) Isósceles acutángulo ) Rectángulo escaleno ) quilátero ) n ninguno 8

9 8. n el triángulo SRT de la figura 6, TH es altura, α = 110º y β = 140º. uál es la medida del ángulo x? ) 20º ) 30º ) 50º ) 60º ) 70º T α x β S H R ig n el triángulo de la figura 7, es bisectriz del. Si = 70º y = 50º, entonces cuánto mide el ángulo x? ) 30º ) 50º ) 60º ) 70º x ig. 7 ) 100º 10. n el triángulo rectángulo en de la figura 8, Transversal de Gravedad. Si = 50º, entonces el ángulo mide ) 20º ) 25º ) 30º ) 40º ) 5º ig esde el vértice del triángulo de la figura 9, se ha trazado la altura y la bisectriz del ángulo. ntonces, el mide ) 25º ) 20º ) 15º ) 10º ) 5º ig. 9 40º 30º 9

10 12. n el triángulo LMN de la figura 10, H es el ortocentro y LMN = 66º. Luego, el LHN mide N ) 94º ) 114º ) 118º ) 123º ) 124º L H M ig n el (fig. 11), transversal gravedad y =. ntonces, la medida del ángulo es ) 110º ) 100º ) 90º ) 80º ) 60º ig n la figura 12, los puntos, y son colineales,, α = 36º y = 20º, cuánto mide el? ) 20º ) 36º ) 64º ) 108º ) 116º α ig n la figura 13, se tiene que. Si = 30º, entonces cuánto mide? ) 30º ) 60º ) 80º ) 90º ) 120º ig

11 16. n la figura 14, PQR PST y T pertenece a RQ. Se puede determinar el ángulo PTR si: (1) QPS = 50º R T (2) STP = 65º ) (1) por sí sola ) (2) por sí sola ) mbas juntas (1) y (2) ) ada una por sí sola, (1) ó (2) ) Se requiere información adicional P Q ig. 14 S 17. n la figura 15, el valor de α + δ se puede determinar si: (1) es bisectriz. (2) punto medio. ) (1) por sí sola ) (2) por sí sola ) mbas juntas (1) y (2) ) ada una por sí sola, (1) ó (2) ) Se requiere información adicional α δ ig n la figura 16, los triángulos y son rectángulos en y respectivamente y. ntonces, si: (1) (2) ) (1) por sí sola ) (2) por sí sola ) mbas juntas (1) y (2) ) ada una por sí sola, (1) ó (2) ) Se requiere información adicional G ig

12 19. Los triángulos y son congruentes figura 17, se puede determinar la medida del si: (1) = 40º (2) ) (1) por sí sola ) (2) por sí sola ) mbas juntas (1) y (2) ) ada una por sí sola, (1) ó (2) ) Se requiere información adicional ig (figura 18). l es equilátero si: (1) = 30º (2) = 120º ) (1) por sí sola ) (2) por sí sola ) mbas juntas (1) y (2) ) ada una por sí sola, (1) ó (2) ) Se requiere información adicional ig. 18 RSPUSTS jemplos Págs LVS PÁG IM012-I 12