UNIDAD: GEOMETRÍA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Y ELEMENTOS SECUNDARIOS

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1 u r s o : Matemática Material N 12 GUÍ TÓIO ÁTI Nº 10 UNI: GOMTÍ ONGUNI TIÁNGULO Y LMNTO UNIO ONGUNI TIÁNGULO INIIÓN os triángulos son congruentes si y sólo si existe una correspondencia entre sus vértices, de modo que cada par de lados y ángulos correspondientes sean congruentes. Δ Δ JMLO 1. Los triángulos T y XWZ de la figura 1, son isósceles congruentes de base y WZ, respectivamente. uál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? I) ΔT ΔZXW II) ΔT ΔZXW III) ΔT ΔWZX T X ) ólo I ) ólo II ) ólo III ) ólo I y II ) ólo II y III W Z fig.1 2. Los triángulos y TNM de la figura 2, son escalenos. i Δ ΔTNM, entonces cuál de las siguientes proposiciones es falsa? M ) TN fig. 2 T ) TM ) NM ) NMT ) TMN N

2 3. n la figura 3, si Δ Δ, entonces cuál es el valor de x? ) 4 ) 7 ) 12 ) 15 ) alta información 4. n la figura 4, ΔLMN ΔHIJ, entonces los ángulos correspondientes a los MNL y NML, respectivamente, son ) JIH y IJH ) IJH y JIH ) IHJ y JIH ) IJH y IHJ ) HIJ y HJI 7 5. n la figura 5, los triángulos UT y N son congruentes en ese orden. i U // N, entonces el mide U 36º L N M J x + 3 H I fig. 3 fig. 4 ) 144º ) 140º ) 76º ) 68º ) 36º G T 76º N fig Los triángulos y de la figura 6, son escalenos rectángulos en y en, respectivamente. i Δ Δ, entonces cuál de las opciones siguientes es verdadera? ) ) ) ) ) fig n la figura 7, Δ Δ, con perteneciente a, //, = 80º y = 40º, cuál es la medida del? ) 40º ) 60º ) 80º ) 90º ) No se puede determinar fig. 7 2

3 OTULO ONGUNI TIÁNGULO L : os triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado y los dos ángulos adyacentes a ese lado. c β c β LL: os triángulos son congruentes cuando tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente iguales. b c b c LLL : os triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales. b a b a c c LL > : os triángulos son congruentes cuando tiene dos lados y el ángulo opuesto al mayor de esos lados respectivamente iguales. γ b b γ b < c c c JMLO 1. Los segmentos LN y (figura 1), se intersectan en M, tal que M M y LM MN, entonces el ΔLM ΔNM por el criterio ) L ) LL ) LLL ) LL> ) L M N fig Los triángulos escalenos de la figura 2, son congruentes por el criterio ) L ) LL ) LLL ) LL> ) 80º 8 80º º 55º 12 fig. 2 3

4 3. Los triángulos escalenos de la figura 3, son congruentes por el criterio ) L ) LL ) LLL ) LL> ) º 100º 8 fig Los triángulos de la figura 4 son congruentes. i x = 7 e y = 5, estos triángulos son congruentes por el criterio ) L ) LL ) LLL ) LL> ) 11 9 x y + 50º x + 43º 17 y + 12 fig n la figura 5, y. i, entonces el triángulo es congruente con el triángulo en su orden ) ) ) ) ) fig l triángulo de la figura 6, es isósceles de base, y =. ntonces, cuál(es) de los siguientes pares de triángulos es (son) congruentes? I) Δ con Δ II) Δ con Δ III) Δ con Δ fig. 6 ) ólo I ) ólo II ) ólo III ) ólo I y II ) I, II y III 4

5 LMNTO UNIO L TIÁNGULO LTU s el segmento perpendicular que va desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación. H H = OTONTO (punto de intersección de las alturas) ITIZ γ γ I = INNTO (punto de intersección de las bisectrices) s el trazo que divide al ángulo en dos ángulos congruentes I β β TNVL GV s el trazo que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. G G = NTO GV (punto de intersección de las transversales de gravedad) OVIÓN: i Δ rectángulo en, entonces = =. IMTL s la recta perpendicular que pasa por el punto medio de cada lado del triángulo. O O = IUNNTO (punto de intersección de las simetrales) MIN s el segmento de recta que une los puntos medios de los lados del triángulo. // // // OVIÓN: Δ Δ Δ Δ 5

6 JMLO 1. n la figura 1, el Δ es equilátero y el Δ es rectángulo isósceles. i es altura, entonces + β + γ = ) 105º ) 120º ) 135º ) 150º ) 165º β γ fig n la figura 2, es bisectriz del. uál es la medida del x? ) 10º ) 20º ) 50º ) 60º ) 110º 70º 60º x fig n el Δ de la figura 3, es transversal de gravedad y =. La medida del x es ) 40º ) 70º ) 80º ) 90º ) no se puede calcular 70º fig. 3 x 4. n la figura 4, es simetral de y //. uál es la medida del x? ) 139º ) 90º ) 51º ) 49º ) 41º 49º x 49º fig n el triángulo de la figura 5, = 80º y es mediana. uánto mide el x? ) 35º ) 45º ) 50º ) 55º ) 60º 55º x fig. 5 6

7 LGUNO TOM NT UN TIÁNGULO IÓL Y/O UILÁTO n todo triángulo isósceles coinciden los elementos secundarios correspondientes al lado distinto. = h c = t c = bγ = s c γ = n todo triángulo equilátero coinciden los elementos secundarios correspondientes a cualquier lado. demás, coinciden los puntos singulares G JMLO 1. n un triángulo isósceles, de base, se traza la altura h c correspondiente al vértice. i 2h c =, entonces se forman dos triángulos ) equilátero congruentes ) escalenos rectángulos congruentes ) isósceles rectángulos congruentes ) acutángulos congruentes ) escalenos congruentes 2. n el triángulo equilátero de la figura 1, se trazan las transversales de gravedad. ntonces, es falso afirmar que ) ) G G ) G G ) G G ) G G G fig. 1 7

8 3. n el triángulo de la figura 2, si y es transversal de gravedad, entonces la medida del es fig. 2 ) 60º ) 90º ) 100º ) 110º ) 120º 4. l Δ es isósceles de base (fig. 3). i se trazan las alturas y, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Δ Δ II) Δ Δ fig. 3 III) Δ Δ ) ólo I ) ólo II ) ólo III ) ólo I y II ) ólo I y III 5. l triángulo de la figura 4, es isósceles de base. i es punto medio de y = 50º, cuánto mide el ángulo? fig. 4 ) 25º ) 30º ) 40º ) 50º ) 80º 6. l triángulo GOL de la figura 5, es isósceles de base GO, H es el ortocentro y GLO = 40º. uánto mide el IHJ? L ) 140º ) 120º ) 100º ) 70º ) 50º I 40º fig. 5 J H 7. n el triángulo equilátero de la figura 6, es punto medio de y es bisectriz del ángulo. uánto mide el suplemento de ( x + y)? ) 150º y fig. 6 ) 120º ) 90º ) 60º x ) 30º 8 G O

9 JIIO 1. i en un triángulo equilátero se dibuja una de sus bisectrices, entonces se forman dos triángulos ) isósceles congruentes ) acutángulos congruentes ) isósceles acutángulos congruentes ) escalenos rectángulos congruentes ) isósceles rectángulos congruentes 2. n el triángulo de la figura 1, es bisectriz del. i = 70º y = 50º, entonces cuánto mide el ángulo x? ) 30º ) 50º ) 60º ) 70º ) 100º x fig n el triángulo T de la figura 2, TH es altura, = 110º y β = 140º. uál es la medida del ángulo x? ) 20º ) 30º ) 50º ) 60º ) 70º T x fig. 2 β H 4. n el triángulo de la figura 3, = =. uál es la medida del x? ) 35º ) 40º ) 60º ) 70º ) 110º 35º fig. 3 x 9

10 5. n la figura 4, los puntos, y son colineales, Δ Δ, = 36º y = 20º, cuánto mide el? ) 20º ) 36º ) 64º ) 108º ) 116º fig n el triángulo rectángulo en de la figura 5, es altura. uál es la medida del ángulo x? ) 140º ) 135º ) 125º ) 115º ) 100º 25º x fig. 5 40º 7. ué pareja(s) de triángulo(s) es(son) congruente(s)? I) II) III) º 10º 150º 7 115º 12 30º º 20º 150º 15 65º º ) ólo II ) ólo I y II ) ólo I y III ) ólo II y III ) I, II y III 8. uánto mide el x en el Δ de la figura 6, si es mediana? ) 90º ) 72º ) 60º ) 48º ) 42º x fig º 10

11 9. n la figura 7, Δ Δ. i, cuánto mide el ángulo exterior H? ) 62º ) 64º ) 74º ) 106º ) 116º 58º fig. 7 H 10. Las siguientes figuras están formadas por dos triángulos equiláteros. n cuál(es) de ellas se puede asegurar que los triángulos son congruentes? I) II) III) ) ólo en I ) ólo en II ) ólo en III ) ólo en II y III ) n ninguna de ellas 11. Los triángulos de la figura 8, son congruentes según el criterio ) LL ) LL ) L ) LLL ) 70º 4 70º º 50º fig L os triángulos y TU de la figura 9, son congruentes. i = = 5 cm, VU = 3 cm y TV es transversal de gravedad, cuánto mide? ) 2 ) 3 ) 4 ) 5 ) 6 V U fig. 9 T 11

12 13. n la figura 10, si el Δ es rectángulo en y es altura, cuáles de las afirmaciones siguientes nos permiten asegurar que los triángulos y son congruentes? I) Δ isósceles. II) III) punto medio de. fig. 10 ) ólo I y II ) ólo I y III ) ólo II y III ) I, II y III ) Ninguna de ellas 14. n el triángulo de la figura 11, rectángulo en, es transversal de gravedad. i = 60º, entonces el ángulo mide ) 40º ) 30º ) 25º ) 20º ) 5º fig Los triángulos de la figura 12, son congruentes por el(los) criterios I) LL II) L III) LLL 16 10º 16 ) ólo I ) ólo II ) ólo I y II ) ólo I y III ) ólo II y III º 30º º 6 fig

13 16. n la figura 13, // y //. uál(es) de las siguientes congruencias es (son) siempre verdadera(s)? I) Δ Δ II) Δ Δ III) Δ Δ ) ólo I ) ólo II ) ólo III ) ólo I y II ) ólo II y III fig n qué triángulo al trazar cualquier bisectriz se forman dos triángulos congruentes? ) ectángulo isósceles ) Isósceles acutángulo ) ectángulo escaleno ) quilátero ) n ninguno 18. n el Δ (fig. 14), es transversal gravedad y =. ntonces, la medida del ángulo es ) 110º ) 100º ) 90º ) 80º ) 60º fig Los ángulos exteriores de un triángulo están en la razón 3 : 2 : 3, luego el triángulo es ) escaleno obtusángulo ) escaleno rectángulo ) isósceles obtusángulo ) isósceles rectángulo ) isósceles acutángulo 13

14 20. n cuál de las alternativas se encuentra el dato que falta para afirmar que los triángulos y de la figura 15, son congruentes? ) ) ) // ) ) No se requiere dato adicional 80º 60º 40º 80º fig l Δ de la figura 16, es equilátero. uál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) = 120º II) i punto medio de, entonces Δ Δ. ) ólo I ) ólo II ) ólo I y III ) ólo II y III ) I, II y III III) i, entonces es punto medio de. fig uál de las siguientes afirmaciones es verdadera? ) os triángulos rectángulos que tienen un cateto respectivamente congruente, son congruentes. ) i dos triángulos rectángulos tienen la hipotenusa congruente, son congruentes. ) i dos triángulos rectángulos tienen dos ángulos correspondientes congruentes, son congruentes. ) i dos triángulos rectángulos tienen dos lados correspondientes congruentes, son congruentes. ) i dos triángulos rectángulos tienen un ángulo, respectivamente congruentes, son congruentes. 23. Los triángulos y de la figura 17, son congruentes por el criterio ) LLL ) L ) LL ) LL ) L fig

15 24. l Δ de la figura 18, es isósceles de base. i el = 80º, bisectriz del y T es altura, entonces el valor de x es ) 160º ) 125º ) 115º ) 90º ) 40º T x fig n la figura 19, ΔT y ΔV son congruentes. uál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) T // V II) // III) T V T β ) ólo I ) ólo II ) ólo I y II ) ólo I y III ) I, II y III β V fig n el Δ de la figura 20, es altura y =. l Δ es equilátero si : (1) Δ Δ (2) = 60º fig. 20 ) (1) por sí sola ) (2) por sí sola ) mbas juntas, (1) y (2) ) ada una por sí sola, (1) ó (2) ) e requiere información adicional 27. n el ΔMN de la figura 21, se puede afirmar que los triángulos ON y O son congruentes si : (1) punto medio de N. (2) ΔMO equilátero. fig. 21 ) (1) por sí sola ) (2) por sí sola ) mbas juntas, (1) y (2) ) ada una por sí sola, (1) ó (2) ) e requiere información adicional M O N 15

16 28. n el triángulo de la figura 22, es punto medio de. e puede determinar que el Δ es isósceles si : (1) β fig. 22 (2) β ) (1) por sí sola ) (2) por sí sola ) mbas juntas (1) y (2) ) ada una por sí sola, (1) ó (2) ) e requiere información adicional 55º 29. Los triángulos y son congruentes (fig. 23). e puede determinar la medida del si : (1) = 40º (2) ) (1) por sí sola ) (2) por sí sola ) mbas juntas (1) y (2) ) ada una por sí sola, (1) ó (2) ) e requiere información adicional fig Δ Δ (fig. 24). l Δ es equilátero si : (1) = 30º (2) = 120º fig. 24 ) (1) por sí sola ) (2) por sí sola ) mbas juntas, (1) y (2) ) ada una por sí sola, (1) ó (2) ) e requiere información adicional MNM12 uedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web 16