CAPITULO I SUPERFICIES: TEORÍA Y PROBLEMAS RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENCIONAL

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1 CAPITULO I SUPERFICIES: TEORÍA Y PROBLEMAS RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENCIONAL El presente trabajo empiea con presentar las técnicas de la Geometría Espacial en el campo de la Ingeniería trabajaremos usando una teoría adecuada de fácil entendimientos para estudiantes que recién empiean a trabajar el calculo de varias variables de tal manera que sea este curso amigable de fácil comprensión que en forma autodidacta el alumno aprecie las bondades de todos los temas tratados, a que el que sabe identificar la superficie ubicarlo en el espacio de tres dimensiones podrá bosquejar su grafica dar solución a los problemas que se les presente a sea de, funciones vectoriales, funciones vectoriales de varias variables de máimos mínimos, de integrales de línea de las aplicaciones de integrales múltiples. En este trabajo se describe en forma detallada la teoría ejercicios problemas e implementamos algunos graficadores en el especio de tres dimensiones. La matemática actual en especial el Cálculo se caracteria por la importancia que le confiere a la Geometría Espacial a las funciones de varias variables, por considerar que tanto las operaciones numéricas como las lógicas en las funciones de varias variables usando la Geometría Espacial representan procesos estrechamente ligados. Aquí sugerimos algunas características deseables del estudiante: Habilidad para encontrar similitudes relaciones entre cosas aparentemente distintas. Facilidad para abstraer. Tener pensamiento lógico ordenado. Que le guste aclarar las cosas hasta entenderlas perfectamente. Profundiar en los temas que sean necesarios. Perceverancia suficiente para trabajar en la resolución de los problemas que se le presenten hasta encontrar alguna solución. Habilidad para analiar construir. Capacidad para generaliar.

2 . SISTEMA DE COORDENADA RECTANGULAR EN EL ESPACIO Consideremos tres planos mutuamente perpendiculares, P, PX, P, que se cortan en un mismo punto O. En la figura identificamos los siguientes elementos geométricos. a) EJES COORDENADOS.- Los ejes generalmente son identificados por letras X, Y, Z se habla frecuentemente del eje X, del eje Y del eje Z, donde: El eje X es la recta determinada por la intersección de los planos P P, el eje Y es la recta determinada por la intersección de los planos P P El eje Z es la recta determinada por la intersección de los planos P P. La dirección positiva se indica por medio de una flecha. Los ejes coordenados tomados de dos en dos determinan tres planos, llamados planos coordenados. b) PLANOS COORDENADOS.- El plano coordenado XY que denotaremos por P, es determinado por las rectas: eje X eje Y. El plano coordenado XZ que denotaremos por P, es determinado por las rectas: eje X eje Z. El plano coordenado YZ que denotaremos por P, es determinado por las rectas: eje Y eje Z. Los planos coordenados dividen al espacio tridimensional en 8 sub-espacios llamados octantes. Consideramos un punto p(,, ), cualquiera en el espacio tridimensional, a través de p(,, ) se construe tres planos un plano perpendicular a cada uno de los ejes coordenados. Sean A(,, ) el punto en el cual el plano perpendicular corta al eje X, B(,, ) el punto en el cual el plano perpendicular corta al eje Y, sea C(,, )el punto en el cual el plano perpendicular corta al eje Z

3 . DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS TEOREMA.- La distancia no dirigida entre dos puntos p (,, ) p (,, ) del espacio tridimensional está dado por:, d p p DEMOSTRACIÓN Sea a pp un vector de origen p etremo p, entonces: a p p p p,, por lo tanto la longitud del vector a es:, d p p a. DIVISIÓN DE UN SEGMENTOSEGÚN RAZÓN DADA TEOREMA.- Si los puntos p (,, ) p (,, ) son etremos de un segmento dirigido; las coordenadas de un punto p(,, ) que divide al segmento pp en la Raón r pp pp es: r r r,,, r r r r DEMOSTRACIÓN Del gráfico se tiene: pp // pp r R tal que: pp r pp,de donde p p r p p al despejar p se tiene: p prp, ahora reemplaamos r por sus coordenadas respectivas:,,,, r,, r r r r,,,,, por igualdad r r r se tiene: r r r,,, r r r r

4 COROLARIO.- Si p(,, ) es el punto medio segmento pp pp entonces r pp. Luego las coordenadas del punto medio son: 4. ÁNGULOS DIRECTORES, COSENO DIRECTORES Y NÚMEROS DIRECTORES a a, a, a en el espacio tridimensional los Consideremos el vector ángulos, formados por los ejes de coordenadas positivos el vector a a, a, a ; es decir: i, a (recta) donde a a, a, a,,. Si a// L, j, a, k, a diremos que: i) a, a, a son los números directores de la recta L. ii) Los ángulos, se llaman ángulos directores de la recta L, son formados por los raos positivos de los ejes coordenadas la recta, respectivamente. Los ángulos directores toman valores entre o 8, es decir:,, 8 iii) A los cosenos de los ángulos directores de la recta L, es decir: se denominan cosenos directores. 5. EXPRESIONES DE LOS COSENOS DIRECTORES DE UNA RECTA DETERMINADOS POR DOS DE SUS PUNTOS Sea L una recta que pasa por los puntos,, p,, p Si d p, p p p, son los ángulos directores de la recta L, entonces se tiene: cos d p, p, cos d p, p cos d p, p, 4

5 6. RELACIÓN ENTRE LOS COSENOS DIRECTORES DE UN RECTA TEOREMA La suma de los cuadrados de los cosenos directores de una recta L igual a, es decir: cos cos cos Aplicando la parte 5 se tiene: cos, cos, cos, de donde d d d d, por lo tanto cos cos cos d d d LA RECTA OBSERVACIÓN a a, a, a es un vector dirección de la recta L, donde: Si a a a a, entonces: i. a a ia, cos a a cos a a j. a a ja, cos a a cos a a ka. a ka, cos a a cos a a cos, cos, cos cos,cos,cos a a a a a 7. LA RECTA EN EL ESPACIO TRIDIMENCIONAL,, a a, a, a no nulo, llamaremos Dado un punto p un vector recta que pasa por p,, paralela al vector a a, a, a cos cos cos L pr / p p ta, t R al conjunto. 8. ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA Sea L la recta que pasa por el punto p,, paralelo al vector a a, a, a. Si p,, de R es un punto cualquiera de la recta L, entonces el 5

6 vector pp es paralelo al vector a, es decir: p p // a t R tal que: p p t a, de donde entonces p p ta, por lo tanto la recta L es dado por: L p p ta t R / Ecuación vectorial de la recta L. OBSERVACIONES. Para cada par de puntos distintos de R, ha una solo una recta que pasa por ellos. Consideramos la recta L p ta / t R recta L si p p ta para algún t en R, es decir:. Un punto p de R pertenece a la 9. ECUACIÓN PARAMÉTRICA DE LA RECTA EN EL ESPACIO Consideremos la ecuación vectorial de la recta L: De la observación anterior se tiene: p L p p ta para algún t real L P ta t R / p L p p ta para algún t real De donde, al reemplaar las coordenadas de P, P de las componentes del vector a se tiene:,,,, t a, a, a, es decir: at L : at, t R at Las cuales se conocen con el nombre de ecuaciones paramétricas de la recta L. OBSERVACIÓN Las ecuaciones paramétricas de la recta L que pasa por el par de puntos P (,, ) P (,, ) esta dado por t L : t, t R t 6

7 . ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA Consideremos las ecuaciones paramétricas de la recta L: Suponiendo que a, a, a, despejando el parámetro t de cada ecuación tenemos: t, de donde por igualdad: L : a a a Que se denomina simétrica de la recta L. OBSERVACIÓN. Si a =, la ecuación simétrica de la recta L se describe en la forma L : a a. Si a a. La ecuación simétrica de la recta L se escribe en la forma L :. RECTAS PARALELAS Y ORTOGONALES Las relaciones de paralelismo ortogonalidad entre dos rectas se dan comparando sus vectores direccionales Consideremos las ecuaciones vectoriales de dos rectas. Y L q b / R L p ta t R / a t L : at, t R at La recta L la recta L son paralelas (L // L ) si solo si, sus vectores direccionales son paralelos, es decir: L// L a // b La Recta L la recta L son ortogonales L L si solo si sus vectores sus vectores direccionales son ortogonales, es decir: L L a b OBSERVACIOES. Si L L son paralelas (L // L ), entonces L = L ó LL 7

8 . Si L L no son paralelas (L // L ), entonces LL (las rectas se cruan) ó L L consta de un solo punto.. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS Consideremos las ecuaciones de dos rectas L q b / R L p ta t R / Un ángulo entre las rectas L L se define como el ángulo formado por sus vectores direccionales a b, es decir:,, L L a b, es dado por la formula ab. cos, a b. DISTANCIA MÍNIMA ENTRE DOS RECTAS (RECTAS QUE SE CRUZAN) Si L p ta / t R L q b / R son dos rectas no paralelas (rectas que se cruan), entonces a la distancia mínima entre L L denotaremos por d(l,l ) es definido como el segmento perpendicular común entre ambas rectas. Si las rectas L L se cruan, quiere decir que eisten planos paralelos que contienen a las rectas L L respectivamente. Si d es la distancia entre los planos P P de donde N es normal al plano P ; por lo tanto N es ortogonal a los vectores a b entre N a b. Ahora consideremos el vector unitario en la dirección de la normal N ; N como, entonces N N AC N N. AC N. AC cos, de donde N. AC AC cos...() AC AC N Por otro lado en el triángulo rectángulo ABC se tiene: d AC cos () de donde al comprar () () se tiene: d L L,. AC N 8

9 4. TEOREMA Sean L p ta / t R L q b / R dos rectas no paralelas (rectas que se cruan). La distancia mínima entre L L esta dado por: 5. TEOREMA d L, L pq. a b a b La distancia del punto P a la recta L p ta / t R es dado por: p p a p p. a d L, L a 6. PROYECCION ORTOGONAL SOBRE UN PUNTO Consideremos una recta L p ta / t R un punto p, que no pertenece a la recta L. Entonces la proección ortogonal del punto p sobre la recta L es el punto A de la recta L, al cual denotaremos ortogonal a la recta L. Observando el gráfico se tiene: P pro L de tal manera que el vector AP sea P A pro de donde A P pro PP PP a a A P pro P L PP a, es decir: A pro p pro PP a 9

10 PROBLEMAS DE RECTAS EN R. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(,,-) es perpendicular corta a la recta L : SOLUCIÓN Si L,, t,, / t R La recta pedida que pasa por A(,,-) es: Como L L a b c a b c,,.,, L,, a, b, c / R ab c...() Sea pl L entonces p L p L de donde: pl p t, t, t, pl p a, b, c, Si entonces: t, t, t a, b, c de donde: t a t b t c 5 a c b a Entonces c 5b 4a...() De () () se tiene: a = b, c = -b, (a,b,c)= (b,b,-b) = b(,,-) Por lo tanto la recta pedida: L,,,, / R. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (,-,4) es perpendicular a 7 cada una de las rectas L : L : 5 SOLUCION Rectas L L en su forma vectorial L,, t,,5 / t R L,7/,,, / R como L L,,5 a, b, c,,5 a, b, c L L,, a, b, c,, a, b, c entonces a b 5c a b c de donde a c, 8 a 8 a a a b, a, b, c a,, 8,, Por lo tanto L,, 4 t 8,, / t R

11 . Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto M(-,,-) es perpendicular al vector a 6,, se corta con la recta L : 5 SOLUCION Escribiendo la recta L en su forma vectorial: L,, t,, 5 / t R Sea pl L pl P L : Si p L p t, t, 5t para algún t R Como b MP P M t, t, 5t 6 Además a b a. b 6,,. t, t, 5t 6 t t t t, b,, Por lo tanto: L,, t,,6 / t R 4. Dados los puntos A(,,) B(,-,4). Hallar el punto C de la recta SOLUCIÓN L,, t,, / t R tal que Sea C L C t. t, AB, AC 6 AB. AC AB AC cos 6, donde,,,,, AB AC t t 9 9 AC t t AB, Como AB. AC AB AC cos 6, reemplaando: 6 t. t t t de donde t como t entonces C t, t, para t 5. Una recta pasa por el punto p(,,) es paralela al vector a,,, otra recta pasa por el punto Q(,,) es paralela al vector b,8,. Demostrar que las dos rectas se cortan determinar su punto de intersección. SOLUCION Sean L t t R L,,,, /,,,8, / R Las recatas L L se cortan si solo si P tal que P L L como P L L P L P L

12 Si P L P t, t, t P L P, 8, Como P es punto común a L L entonces: t, t,t, 8, t t 8 resolviendo se tiene t 4, t Remplaando el punto de intersección es P (5,9,) 6. Dadas las rectas L R L,, t,, / t R,,,, / Hallar el punto Q que equidista de ambas rectas una distancia mínima, además hallar esta distancia SOLUCION A L A t,, t, B L Sea B,,, AB B A t,, t,,. t,, t a AB a. AB, de donde t () b AB b. AB,,. t,,t 5 t () formando el sistema de () () se tiene t 5 t 4 resolviendo el sistema se tienet, A B como Q es punto equidistante de A B entonces Q Q,, La distancia mínima d d A, B Dadas las tres rectas,,,, / L L t t R,,,, / R L,, r 5,, / r R

13 7. Hallar la ecuación de la recta que corte a estas tres rectas en M, N P respectivamente de tal manera que MN NP SOLUCION M L,, t,, / t R M t, t, N L,,,, / R N,, PL,, r 5,, / r R P 5 r,, r Como MN donde vectores se tiene NP entonces se tiene t, t, = 5r,,r MN N M t, t, NP P N 5r,,r, de, por igualdad de t 5r t r 5r t...() t...() r...() de () () se tiene tr, ahora reemplaamos en la ecuación (). t,, r, Luego 7 5 M,,, N,,, P,, L,, t 8,5, / t R Por lo tanto: 8. Hallar la ecuación de la recta que pasa por p(9,,) corta a las rectas L 5,, t,, / t R, L,, r,, / r R SOLUCION

14 AL 5,, t,, / t R A t 5, t, t Sean BL,, r,, / r R B r, r, como los puntos P, A, B son colineales, entonces: PA// AB m R tal que PA mab de donde A P m B A que al reemplaar por sus coordenadas se tiene: t 4, t, t mr t 6, r t, t t 4 mr mt 6 m...() por igualdad de vectores se tiene: t rm mt r...() t mt m...() m m de la ecuación () () se tiene: t, r de la ecuación() m m m t mr 6m 4 reemplaando t r se tiene: m, t, r luego a PA t 4, t, t para t, a,, L 9.. t 54, 8,5 / t R 9. Encuentre el punto de intersección de las rectas: 7 L,7,7 t,, / t R L : 4 5 SOLUCION Escribiendo la ecuación L en forma vectorial. L 7,, 4,,5 / R Sea pl L entonces p L p L. t t t Si p L p t,7 t,7 t p L p 7 4,,5 como p L L,7,7 7 4,, 5 t t 7 t 5 entonces t 4, Luego: p,,5. Hallar la ecuación vectorial de la recta que intercepta en ángulo recto a las rectas L,,4 t,, / t R, L,6,,, / R SOLUCION 4

15 Sean A L A t, t,4 t B L B,6, como A, B son puntos sobre la recta L entonces el vector dirección de la recta L es a AB B A de donde se tiene: a t, t, 5 t como L L, L entonces: a.,, a.,, 7t resolviendo el sistema se tiene t = -, = - t 5 8 por lo tanto los puntos son A(,,), B(,,-), a AB B A entonces la recta pedida es: L,, t,, / t R,.,. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto p(7,-,9) es perpendicular a las rectas SOLUCION: Los vectores direcciones de L L a (,,), b (,5, ) respectivamente. Sea L la recta que pasa por el punto p(7,-,9), luego la recta pedida L= (7,-,9)+t b / t R pero como L L,L en tonces c a, b entonces: i j k c ab - (,,4) 5 - Por lo tanto: L= (7,-, 9)+t(,,4) / tr. Hallar la ecuación vectorial de la recta que intercepta en ángulo recto a las rectas L = (,,4)+t(,,) / t R,L = (,6,-)+ (,,) / R SOLUCION: Sean A L A( t, t,4 t) B L B(, 6, ) Como A,B son puntos sobre la recta L entonces el vector dirección de la recta L es 5

16 a AB B A de donde se tiene: a ( t, t, 5 t) como L L,L entonces: a.(,,) 7t resolviendo el sistemas se tiene t= -,, a(,,) t 5 8 por lo tanto los puntos son A(,,), B(,,-), a AB B A (,, ). Luego la ecuacion vectorial de la recta pedida es: L= (,,)+t(,,) / t R. Determinar una recta tal que con las rectas L (,, 4) t(,,) / t R L (,, ) / R triangulo de area 5u. determinan un SOLUCION: Sea p L L p L p L Si p L p( t, t,4) p L p(,, ) como p L L, entonces: ( t, t,4) (,, ) t de donde: t al resolver el sistema se tiene que: t= 4 por lo tanto el punto p es p(,,4), ahora tenemos en t cercano a p asi como t= entonces el punto A de L es A(4,,4), ademas B L B(,, ) entonces se tiene: a AB B A (,, ) por otra parte b AP P A (,, ) ademas el area A= a b 5 de donde a b = entonces 49 de donde se tiene: 5, 5 por lo tanto las rectas pedidas son: L= (4,,4)+t(- 5,- 5,5 ) / t R L= (4,,4)+t(- 5,- 5, 5 ) / t 4.Sea A(,,) un punto supongamos que la recta L tiene por ecuaciones paramétricas a: =4-t, =5+t,=+t, t R, encontrar un punto B en L, tal que A-B la recta sean perpendicular. R 6

17 SOLUCION: Sea L= (4,5,)+t(-,,) / t R b P A A P (, 4, ) b ab. P B pro. a a a (,,).(, 4, ) PB.(,,) PB (,,) (,, ) PB B P (,, ) B(4,5, ) B(,, ) 5. Determinar los ángulos entre una recta L paralela al vector los ejes coordenadas. SOLUCION: Sea L P ta / t R, donde a (,,) es la dirección de la recta L a entonces: a a cos arc cos( ) a a a a cos arc cos( ) cos arc cos( ) 6. Hallar la longitud del menor segmento horiontal (paralelo al plano XY) que une las rectas SOLUCION: L = (,,) t(,,) / tr L = (,,) (,,) / R Si AL A( t, t, t), BL B(,, ) 7

18 como AB // al plano XY entonces t Luego A( t, t, t) B( t, t, t) d AB t de donde f ( t) t 4t 5 t f '( t) t número critico t 4t5 d AB d 7. Dadas las rectas.hallar la ecuación de la perpendicular comun. SOLUCION: Las rectas L L no son paralelas, es decir L // L. Ahora veremos si p L L p L p L Si p L p( t, t,5 4 t), p L p(,, ) ( t, t,5 4 t) (,, ) de donde t t 5 t 5 4t por lo tanto las rectas L L son rectas que se cruan i j k a 4 i 4 j k t R R L= (, -,5) t(, 4,) / ; L'= (-,,-) (, 4, ) / 8. Determinar bajo que dirección debe ser lanada rectilíneamente una partícula L (,, ) / R para que lo desde el punto A(,,), hacia la recta alcance al cabo de dos segundos, siendo su velocidad V u / seg Sea BL B(,, ) para algún R además e vt donde e d( A, B) para t seg. V u, e d A B (, ) 4 ( ) ( ) de donde Luego B(,,) entonces está dado por el vector AB B A (,, ) AB (,, ) 8

19 9. Determinara la ecuación de la recta que pasa por el punto medio de AB corta bajo un ángulo de 6º a la recta que pasa por los puntos R S, donde A(,4,), B(,,-), R(,,), S(-,,). SOLUCION El punto medio del segmento AB es M(,,-), observando el grafico este problema tiene dos soluciones. La ecuación de la recta L que pasa por R S es: L (,,) t(,,) / t R Sea N el Punto de intersección de L con L es decir: Si N L N( t,,) pasa algún t R. Definimos b MN N M ( t,,4), como 6º ( L, L ) ( a, b) entonce s : ab. cos 6 ; donde a (,,) b ( t,,4) a. b (,, ).( t,, 4) ( t ) cos6 ( t ) 6 ( t ) por lo tanto las soluciones son: 7 7 L (,, ) (,,4) / R; L' (,, ) r(,,4) / r R ( t ) 7 4( t ) t b (,, 4). Dados los vértices del triángulo A(,-,-), B(,,-7) C(-5,4,-). Hallar las ecuaciones simétricas de la bisectri del ángulo interno del vértice B. SOLUCION Tomemos los vectores unitarios u v en las direcciones de BA BC respectivamente donde: BA (,, 6), BC ( 6,, 4) BA BC u (,,6) v (,6,) BA 7 BC 7 (,,6) 7 entonces sea b u v el vector de la dirección de la directri BD es decir: 9

20 b (,,8) (,, 8). Luego los números directores de la bisectri BD son 7 7,, 8. Si B(,,-7) pertenece a la bisectri, entonces sus ecuaciones simétricas son: 7 L : 8 EL PLANO DEFINICIÓN.- Un plano es un conjunto P de puntos p(,,) de R. Si eiste un punto p (,, ) de R dos vectores no paralelos a ( a, a, a) b ( b, b, b ) de R de tal manera que: P P R P P ta b t R (,, ) / (,, ) (,, ),, ECUACIÓN VECTORIAL DEL PLANO.- Consideremos un plano P que pasa por el punto p (,, ) que es paralelo a los vectores paralelos a ( a, a, a) b ( b, b, b). Sea p P entonces eisten t, R tal que: p p ta b p p,de donde ta b entonces: Que es la ecuación vectorial del plano P. OBSERVACION.- p p ta b, luego P p ta b /, t R /,. De la ecuación vectorial del plano P p ta b t R se obtiene la normal del plano que es una recta perpendicular a dicho plano: N a b.

21 . Si N /, es una normal al plano P p ta b t R entonces N es ortogonal a p p p p. si p, p P. Si N /, es la normal al plano P p ta b t R a N entonces p P. si p p es ortogonal 4. Si p es un punto fijo del plano P N es su normal, entonces la ecuación del P : N.( p p plano es ) Es la ecuación del plano que pasa por p cua normal es N. ECUACIONES PARAMÉTRICAS DEL PLANO.- /, Consideremos el plano. P p ta b t R Si p P p p entonces ta b para t, R, reemplaando por sus respectivas (,,) = ( componentes se tiene:,, )+t( a, a, a) ( b, b, b ) de donde por igualdad se tiene:

22 at b P: at b t,, R at b Que son las ecuaciones paramétricas del plano P. ECUACION GENERAL DEL PLANO.- Sea P el plano que pasa por el punto p (,, ) cuo vector normal es: N =(A,B,C). Si p P entonces: p p N, de donde p p. N N.( p p entonces: ). Ahora reemplaando por sus componentes: (A,B,C).(-,-,- ) = entonces A(- ) + B(- ) + C(- ) = A + B + C + (-A -B -C ) =, de donde P: A + B +C + D =. Que es la ecuación general P. PLANOS PARALELOS Y ORTOGONALES.- Consideremos los planos: P : A + B + C + D = P : A + B + C + D =, donde N ( A, B, C ) N ( A, B, C) son sus normales, respectivamente, entonces: i)el plano P es paralelo al plano P (P // P ) si solo si sus normales N N son paralelas, es decir: P // P N // N Si,

23 N // N r R tal que N N, lo que quiere decir que los coeficientes de las ecuaciones cartesianas de los planos deben ser proporcionales, o sea que debe cumplirse: A A B B C C r Si los planos P P son paralelos puede ocurrir que: P P ó P es decir: P P // P P P ó P P ii) El plano P es ortogonal al plano P ortogonales, es decir: P P N N P si solo si sus normales N N son P Si N N N. N A A B B CC P P A A B B CC, por lo tanto INTERSECCIÓN DE PLANOS.- Consideremos los planos: P : A + B + C + D = P : A + B + C + D =. Si el plano P no es paralelo al plano P (P // P ) entonces la intersección de P P nos da una recta L. es decir: Si P // P L tal que P P L

24 ECUACIÓN BIPLANAR DE LA RECTA.- A la ecuación de una recta que es la intersección de dos plano se denomina ecuación biplanar de la recta se epresa en la forma siguiente: A B C D L : A B C D La ecuación biplanar de la recta se epresa en forma vectorial, paramétrica simétrica. El vector dirección a de la recta se determina en la forma siguiente: a= N N, donde N N P respectivamente: son las normales de los planos P i j k a= N N A B C (,,) A B C p (,, ) El punto por donde pasa la recta se determina resolviendo el sistema de ecuaciones de los planos P P. INTERSECCIÓN ENTRE RECTA Y PLANO.- Consideremos la ecuación general de un plano: P: A + B + C + D = la ecuación vectorial de la recta L p ta / t R si L P no son paralelos entonces al intercectarse nos da un punto Q, es decir: L P Para calcular el punto Q de intersección se resuelve el sistema de ecuaciones de la recta L el plano P. PLANO PARALELO A UNA RECTA Y PLANO PERPENDICULAR A UNA RECTA.- Q Consideremos la ecuación general del plano P: A + B + C + D =. donde N = (A,B,C) es la normal la ecuación vectorial de la recta L p ta / t R donde a es el vector dirección. 4

25 La recta L es paralela al plano P si solo si el vector dirección a es ortogonal al vector normal N es decir: L// P a N Si la recta L es paralela al plano P puede ocurrir que la recta L está contenida en el plano P ó que la intersección es el, es decir: Si L//P L P ó LP La recta L es perpendicular al plano P si solo si el vector dirección a de L paralelo al vector normal N de P, es decir: L P a // N FAMILIA DE PLANOS.- En forma similar que en la geometría analítica plana, en donde se consideraba una familia de rectas, en este caso se puede considerar una familia de planos, por ejemplo, la ecuación D = representa una familia de planos paralelos donde su normal es N = (,-,). Una familia de planos importante, es el sistema de planos que pasan por la intersección de dos planos dados, cuas ecuaciones se epresan: P : A + B + C + D =.() P : A + B + C + D = Los puntos p(,,) que satisfacen a la ecuación () están sobre la recta de intersección, dichos puntos p(,,) también satisfacen a la ecuación: K (A + B + C + D ) + K (A + B + C + D ) =.() donde K K son números reales cualesquiera ecepto que sean ceros simultáneamente. Si en la ecuación () se tiene que K, entonces a la ecuación () se puede epresar en la forma: A + B + C + D + K (A + B + C + D ) =.() A la ecuación () se denomina la familia ce planos que pasan pors la intersección de los planos P P 5

26 DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO.- Consideremos la ecuación general de un plano P: A + B +C + D = un punto p (,, ) que no pertenece al plano P. Consideremos un vector unitario N en la dirección del vector normal, es decir N N N A B C ( A, B, C) como = ( p p, ) entonces p p. p p cos N N En el triangulo rectangulo se tiene: d( p P) p p cos, de () () se tiene que: d( p, P) p p. N ( A, B, C).(,, ) A B C A ( ) B( ) C( ) A B C ( A B C) A B C A B C d( p P), A B C D A B C OBSERVACION.- Dadas las ecuaciones generales de dos planos paralelos P : A + B + C + D = P : A + B + C + D = La distancia entre dichos planos esta dado por la formula. d( P P ), D D A B C 6

27 ANGULO ENTRE RECTAS Y PLANO.- / Consideremos la ecuación vectorial de una recta L p ta t R la ecuación general del plano P: A + B + C + D = cuo vector normal es N ( A, B, C) Sea ( a, N) angulo entre los vectores a N. entonces: an. cos, ademas tiene =, entonces: a N a. N a. N sen =sen( ) cos por lo tanto: sen = a N a N Que es la epresion para calcular el angulo formado por una recta un plano PROYECION ORTOGONAL DE UN PUNTO SOBRE UN PLANO.- La proección ortogonal de un punto p sobre el plano P: A + B +C + D = con normal N ( A, B, C) es el punto p del plano P, al cual denotaremos por Pr p o P, de tal manera que el vector pp es ortogonal al plano P. Para hallar el punto p traamos por L p tn / t R el punto p una recta L ortogonal al plano P es decir: L P p de donde 7

28 PROYECCION ORTOGONAL DE UNA RECTA SOBRE UN PLANO.- / La proección ortogonal de la recta L p ta t R sobre el plano P: A + B + C + D =, es la recta L, el cual denotaremos por Pr L o P que esta contenida en el plano P que pasa por dos puntos de P que son las proecciones ortogonales de dos puntos de L sobre el plano P. DISTANCIA MINIMA ENTRE UN PLANO Y UNA RECTA QUE NO ESTA CONTENIDA EN EL PLANO.- La distancia mínima entre una recta L p ta / t R N ( p Q un plano ), donde la recta L no esta contenida en el plano P además L es paralela a P es dado por la formula. d( L, P) comp Q p N Q p. N N ANGULO ENTRE DOS PLANOS.- Consideremos las ecuaciones generales de dos planos P : A + B + C + D =, cua normal es N ( A, B, C ) P : A B C D cua normal es N ( A, B, C). El angula ө formado por los planos P P es igual al ángulo entre sus vectores normales N N respectivamente es dado por la epresión siguiente:. cos = N N N N 8

29 PROBLEMAS DE PLANO EN R. Hallar la ecuación vectorial de la recta L, dado por la intersección de los planos P : + = 5 ; P : =. SOLUCIÓN: Calculando el vector dirección a de la recta L. i j k a - (5, 5,5) 5(,,) ahora calculamos un punto de la recta L, para esto resolvemos el sistema de ecuaciones. + - = = -5 entonces, simplificando 5 ahora damos un valor a cualquiera de las variables de e por ejemplo para =, = -, = - entonces p (,-,). (,, ) (,,) / Luego la ecuación de la recta L en forma vectoriales: L t t R. Hallar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los planos + 8 =, = por el punto (,-,) SOLUCIÓN: Aplicando el concepto de familia de planos se tiene: P: + 8 +k( + 6 7) = 5 P 8 k( 4 7) k como (,-,) P: / ( + 6 7) = P :

30 . Hallar el punto de intersección de la recta P : 4 L : el plano SOLUCIÓN: Escribiendo la recta L en forma vectorial. L (,,4) t(,,) / t R como L//P p tal que p L P. Si p L P entonces p L p P como p P entonces p(-+t,-t,4+t) para algun t R. ademas p P ( t) ( t) (4 t) t Luego: p(-,,-) 4. Demostrar que la recta L (,, 5) t(, 4,4) / t R P : es paralelo al plano SOLUCIÓN: Para demostrar que la recta L es paralela al plano P debe cumplirse que el vector dirección a de la recta es perpendicular al vector normal N del plano. Es decir: Luego como a.n= entonces a N. Por lo tanto la recta L es paralela al plano P. 5. Encontrar una ecuación del plano que pasa por los puntos de A(,,-) B(,,) que además es perpendicular al plano P (,, ) R / SOLUCIÓN:

31 comp P N // P, ademas se tiene que :A,B P AB (,,4) como N AB, entonces N i j k N 4 5(,,) - de donde tenemos que: N= 5(,,) Luego P: N.((,, ) (,, )) de donde P: -= 6. Hallar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los planos + = 4+ = es perpendicular al plano 4 = 9 SOLUCIÓN: Sea P α la familia de planos que pasan por la intersección de los planos + = 4+ = P α : + + α(4 + -) = P α : (4α + ) + (α ) + ( α) α =, donde su normal es: N (4.. ) sea P: -4-=9 cua normal es: N (, 4, ) como P P N N N.N (,-4,-).(4α +,α.α) = =, de donde α α α = entonces α = - P : Hallar el ángulo θ que forma la recta con el plano SOLUCIÓN: Sea =(L,P) donde a (,, ) vector direccion de la recta N (,,) normal del plano P. Ahora aplicamos la relación para calcular el ángulo θ. el vector

32 an. (,,).(,,) sen = a N de donde: sen = entonces =6 8. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto p (,,-) hace ángulos iguales con las rectas L (,4,) t(,,) / t R L : ejeox, L : ejeoy SOLUCIÒN: El plano pedido es: P: N.( p p ), de donde N ( A, B, C) donde pasa el plano. p (,,-) el punto por La condición del problema es: ( L, P) ( L, P) ( L, P), donde para ( L, P) ( L, P), se tiene: N. a N. b sen =, donde a (,,), b (,,), N ( A, B, C) N a N b efectuando operaciones se tiene que: ( ) A B C...() para ( L, P) ( L, P), se tiene: N. b N. c sen =, donde b (,, ), c (,,), N ( A, B, C) N b N c efectuando operaciones se tiene: A=B...() ahora reemplaamos () en () se tiene: C ( ) B como N ( A, B, C) ( B, B,( ) B) B(,, ) B Por lo tanto P: (,, ).(-,-,+) = P:++( ) 8

33 9. Sea ( a, b, c) N ( A, B, C) vectores no nulos de R tal que N si p (,, ) es un punto del plano π = A + B + C + D =. Demostrar que L p t t R / esta contenida en π. SOLUCIÓN: como N N. Aa Bb Cc ademas L p t / t R (,, ) t( a, b, c) / t R por demostrar que L : A B C d Sea pl p( ta, tb, tc) como p A( ta) B( tb) C( tc) D A B C D t( Aa Bb Cc) = + t( Aa Bb Cc) t, entonces p luego L. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A8,4,) es ortogonal a los planos P : - = 4, P : + = 6 SOLUCIÓN: Sea P : 4 de donde N (,, ) N (,, ) : P : 6 de donde N (,,) P: N.( p A) es el plano pedido como P P,P entonces N, N // P de donde la normal N de P es: i j k N N N - (,,) como P: N.( p A ), al reemplaar se tiene. P: (-,-,).(-,-4,-) = P : 6

34 . Si P es un plano tal que: P eje = (a,,)/a,a R, P eje = (,b,)/b,a R. Demostrar que P tiene la ecuación: P: a b c SOLUCION: Sea a AB B A ( a, b,) b = AC = C - A ( a,, c) i j k N = a b = -a b =(bc,ac,ab) -a c La ecuacion del plano es: P: N.(p - A) =, reemplaando se tiene: P: (bc,ac,ab).(-a,,) = P: bc +ac + ab = abc P: a b c. Si A,B,C D son todos no nulos. Demuéstrese que el tetraedro formado por los planos coordenados el plano P: A + B + C + D = tiene un volumen igual a V 6 D ABC SOLUCION: Sean P, Q, R, los puntos de intersección del plano P: A + B + C + D =, con los ejes coordinados respectivamente, es decir: El volumen del tetraedro OPQRS es: V OPOQOR de donde se tiene: 6 D D D OP = (,,), OQ = (,-,) OR (,, ) A B C D D D P(,,), Q(,-,) R(,, ) A B C D A D D D D V - = V 6 B 6 ABC 6 ABC 6 ABC D - C 4

35 . Un plano pasa por el punto A(,,-), es perpendicular al plano + = -4, un intercepto Z es igual a -, hallase su ecuación. SOLUCION: Sea P : + = -4, de donde N (,,) P el plano por calcular. Luego como P P N// P como intercepto Z con P es - entonces B(,,) es un punto del plano P además A, BP AB // P de donde AB (,, ) como N, AB // P entonces la normal es N dado por N N AB - (,,4) i j k 5 - P : N.(,, ), de donde P: ( 5,,8).(,, ), por lo tanto: P: = 4. Hallar la ecuación de cada uno de los planos que se hallan a dos unidades del origen tiene una normal que hace ángulos de 6 con los semi ejes positivos OX OY. SOLUCION: N cos,cos,cos Sea P el plano buscado, cua normal es como = =6 cos cos cos cos = N (,, ) (,, ) La ecuación del plano es: P: + + D = D como d(, P) = de donde D =4 D = 4 D = -4 Si D = 4 entonces P : = D =-4 entonces P : = 5

36 5. Hallar la ecuación del plano perpendicular al plano =, que contenga al punto (,,) que haga un ángulo de 6 con el plano SOLUCION: La ecuación del plano pedido es d la forma P: A + B + D = puesto que es perpendicular al plano = paralelo al plano XY. La normal del plano P es: N ( A, B, O) Si P :, de donde N (,, ) El angulo formado por P P es =6 que es dado por: cos = N.N N N A B A B 4 A B 4 A B cos 6 de donde 4( ) A B A B A B A B AB A B...() como (,,) P A+B+D =...() de () () se tiene D = (8 ) B...() reemplaando ( ) () en P: A + B + D = P: 4 B + B - (8 ) B, B P : La recta L t t t R ecuación de la recta reflejada (5,,) / se refleja en el plano :. Hallar la SOLUCION Se observa que p L p L p Si p L p (5 t, t,) para algun t R además p : (5 t) t t de donde p (,,) también p (5,,) L como :, de donde N (,,) entonces N N // L L (5,,) (,,) / R A L A L A 6

37 A L A 5,, para algún R, además A entonces (5 ) entonces, de donde: A(,, ) AP (,, ) Bp p B Ap (,, ) (6,,) p p p p (,, ) Bp p B (,,) como Bp // L p L entonces L (,,) r(,,) / r R Dado el plano P : 8 la recta L :,. Hallar la 4 ecuación de la recta que pasa por el punto (,, -) paralela al plano dado corta la recta L. 4 5 A la ecuación de la recta L:,, escribiremos en forma vectorial 4 L ( 4, 4,5) t(4,,) / t R. Sea L la recta por determinara, es decir: L r a b c r R L corta a L pl L pl p L Si pl p( ra, rb, rc) p L p( 4 4 t,,5 t) (,, ) (,, ) / como de donde por igualdad ( ra, rb, rc) ( 4 4 t,,5 t) entonces. 4t 4 a 4 4t ra r rb b...() r 5 b rc 6 t c r como P : 8 de donde N (,,) como L // P entonces a N donde a ( a, b, c) Si a N a. N a b c...() 4t t reemplaando () en () se tiene. t 4 r r r de donde: a, b, c 6 como a ( a, b, c) (4,, ) r r r r L (,, ) (4,, ) / R 7

38 8. El intercepto Y de un plano es menor en una unidad que su intercepto Z maor en dos unidades que su intercepto X, si el volumen encerrado por el plano los tres planos coordenados es 5u, hallar la ecuación del plano. SOLUCION: Los puntos por donde pasa el plano π son: (,,a), (,a-,),(a-,,) la ecuación del plano es: : N.(,, ) d donde N ( A, B, C) (,, a) ( A, B, C).(,, a) d ac d (, a,) ( A, B, C).(, a,) d B( a ) d ( a,,) ( A, B, C).( a,,) d A( a ) d. de donde d d d d A, B, C además se tiene que: V donde V 5u a a a 6 ABC d d d d V 5 ( a )( a ) a 9 a 6 de donde A, B, C 6 d d d a a a como : N.(,, ) d : d( ).(,, ) d 5 6 : Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (,-,), perpendicular a la recta = = paralela al plano + = Sean L : (,,) ( a, b, c) / R la recta buscada L : entonces: L b (,,) L L ( a, b, c)(,,) a b 6c...() como el plano P:, de donde N (,, ) por ser P // L N ( a, b, c) (,, ).( a, b, c) entonces a b c...() a b a 9c ahora resolvemos el siguiente sistema: a b c b 8c 8

39 ( a, b, c) (9 c, 8 c, c) c(9, 8,) por lo tanto L (,,) (9, 8,) / R lo que es igual a epresar de la forma: L : 9 8. Sean :, dos planos. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta L que pasa por las proecciones del punto Q(,,) sobre cada plano. Del grafico se observa que la recta l pasa por los puntos A B que son las proecciones del punto Q sobre cada plano, por lo tanto calcularemos los puntos A B Para el punto A traamos la recta L, es decir: L t t R (,,) (,, ) / como A L entonces A L A. Si A L A( t, t, t) para algún t R, ádemas A ( t) t t t, 5 9 de donde el punto A(,, ). Para el punto B traamos la recta L, es decir: L (,,) t(,,) / t R como B L B L B Si B L B( t, t, t) para algún t R además B t t ( t) t 9 5 de donde el punto B(,, ) 4 Sea a AB B A (,, ) por lo tanto la recta L pedida es: 5 9 L (,, ) (,, ) / R cuas ecuaciones paramétricas son: 5 9 L :, R 9

40 SUPERFICIES CUÁDRATICAS. INTRODUCCION Superficies la ecuación E(,) = nos representa un lugar geométrico en el plano XY, la ecuación E(,) =, etenderemos al espacio tridimensional, cua ecuación rectangular en tres variables representaremos por: También se conoce que todo plano se representa analíticamente por una única ecuación lineal de la forma: De una manera más general, veremos se eiste una representación analítica de una figura geométrica, al cual denominaremos superficie, tal representación consistirá de una única ecuación rectangular de la forma: Por Ejemplo, por medio de la distancia entre dos puntos se puede demostrar que la superficie esférica de radio r con centro en el origen se representa analíticamente por la ecuación:. DEFINICIÓN. Definir una superficie, consiste en, caracteriarla por medio de una propiedad común a todos sus puntos. ( es decir epresarlo como un lugar geométrico) o por su le de generación. Las superficies así definidas solo son estudiadas vía analítica, epresadas por la ecuación: f, o F,, a la cual satisfacen las coordenadas de cada punto punto situado en esta superficie no satisfacen las coordenadas de ningún otro punto situado fuera de ella a esta ecuación se denomina ECUACION DE UNA SUPERFICIE, la naturalea de esta ecuación depende de la forma posición de la superficie así como del sistema en el que se trabaja. En conclusión una superficie se representa por una sola ecuación de tres variables. A continuación presentamos algunas definiciones de Superficie: DEFINICIÓN:.- Supongamos un punto X cuas coordenadas,, sean funciones de dos parámetros u, v : u, v, u, v, u, v (ecuaciones paramétricas de Superficie) Representando por la misma letra X al vector OX cuas componentes son las coordenadas,,, las tres ecuaciones paramétricas se pueden condensar en una ecuación vectorial única: X X u, v u, v i u, v j u, v k (ecuación vectorial de Superficie) P,, P : A B C D F(,, ) () r 4

41 DEFINICIÓN:.- Sea A n un espacio afín de dimensión n; tomamos un origen O la estructura vectorial V correspondiente. Se llama cuádrica al conjunto de puntos A n tales que: X X k donde es una forma cuadrática no nula de V, una forma lineal k K siempre que La ecuación F(,,) = contiene tres variables, sin embargo la ecuación de una superficie pueden contener solamente una o dos variables. Por ejemplo la ecuación = k constante, representa un plano paralelo al plano YZ. De igual manera la ecuación + = 4 considerada en el espacio representa un cilindro circular recto. Toda ecuación de la forma F(,,) =, no necesariamente representa una superficie, por ejemplo la ecuación =, no representa ningún lugar geométrico, además la ecuación + + = tiene una sola solución real que es: = = =, cuo lugar geométrico esta constituido por un solo punto, el origen.. SUPERFICIES CUADRÁTICAS LUGARES GEOMÉTRICOS EN EL ESPACIO.- El estudio de un lugar geométrico en el espacio corresponde, al igual que en el plano de dos fases distintas: i ) Mediante la definición del lugar geométrico el cual se deduce de sus ecuaciones o ecuación. ii ) Por el estudio de las propiedades algebraicas de éstas no solo la forma del lugar geométricos, sino también sus propiedades geométricas. El estudio de la geometría espacial de acuerdo al último análisis se reduce al estudio de una superficie; lo que podemos epresarlo de la siguiente manera: a ) Dada una superficie definida geométricamente; determinar su ecuación. b ) Dada una ecuación, determinar la superficie que representa. PRIMER PROBLEMA FUNDAMENTAL Este problema podemos resolverlo de la misma manera que en plano, por dos métodos: el directo el indirecto. 4

42 LUGAR GEOMÉTRICO: Lamamos un lugar geométrico al conjunto de puntos del espacio que goan de una misma propiedad epresada por la definición del lugar. Para demostrar que un lugar geométrico es una línea alabeada o superficie ha que probar: º Que todo punto del espacio que goa de la propiedad del lugar está sobre la línea o superficie. º Recíprocamente, todo punto situado sobre la línea o superficie considerada goa de la propiedad del lugar. La ecuación o ecuaciones eistentes entre las coordenadas de los puntos de la línea o superficie en cuestión se llaman la ecuación o ecuaciones del lugar. Para obtener un lugar pueden aplicarse dos métodos generales: el directo el indirecto. El método directo, cuando puede aplicarse, basta representar por variables,, las coordenadas de un punto del lugar traducir en seguida en forma algebraica, por medio de una o dos ecuaciones, la propiedad de que goan todos los puntos del lugar. El método indirecto ( o de los parámetros ), que el más generalmente empleado, se consideran las superficies como lugares de líneas o generatrices obtenidas por intersección de dos superficies variables que dependen de uno o más parámetros que se mueven con arreglo a lees determinadas que condicionan estos parámetros cuando ha más de uno. Ejemplos:.- Determinar la ecuación del lugar geométrico de los planos cua distancia al origen es igual al cuádruple de las abscisas respectivas. Solución Usando el método directo: Sea P,, un punto que satisface las condiciones dadas: OP Pero: OP luego se tiene: 4 de donde: 5 ecuación del lugar geométrico correspondiente..- Determinar la ecuación de la superficie generada por la familia de curvas: k, k, siendo k un parámetro variable. Solución Usando el método indirecto: de: k k en k es la ecuación de la superficie pedida..- Determinar la ecuación de la superficie generada por la recta que pasa por el punto P,, se apoa en la circunferencia de ecuación: Solución Usando el método indirecto: 4 4

43 Como la directri es una línea recta la generatri G es: P,, D la ecuación de. Además P D ;... () luego...() luego...() Ahora () () en () obtenemos: 9 9 SEGUNDO PROBLEMA FUNDAMENTAL: La determinación de la superficie representativa de una ecuación dada se procesa mediante el estudio sistemático de la misma, al cual se denomina: DISCUSIÓN DE LA ECUACIÓN. Para la discusión, caracteriación construcción de la superficie representativa de una ecuación, de manera análoga a como se hace en geometría plana se adoptará el siguiente procedimiento para construir la gráfica de una superficie consideremos la siguiente discusión, mediante los pasos siguientes: ) Intersección con los ejes coordenados. ) Traas sobre los planos coordenados. ) Simetrías con respecto a los planos coordenados, ejes coordinados el origen. 4) Secciones transversales o secciones paralelas a los planos coordenados. 5) Etensión de la superficie. 6) Construcción de la superficie. Consideremos la ecuación de una superficie. Ahora describiremos todo el proceso a realiar en la construcción de la gráfica de dicha superficie.. Determinación de las intersecciones con los ejes coordenados: Para obtener la intersección de una superficie con determinado eje se anulan, en la ecuación de la superficie, las variables, las variables no correspondientes al eje considerado, obteniendo así, la coordenada del mismo nombre de su eje: : F,, : F,, : F,, Si en F en hacer = = en hacer = = en hacer = = F(,, ),, se verifica, la superficie pasa por el origen. Esto sucede cuando no contiene términos independientes. 4

44 . Determinación de las traas sobre los planos coordenados: La traa de la superficie F,, sobre el plano XY, por ejemplo en la intersección con el plano: Z =. Haciendo, Z = en F,, se obtendrá f, ; que define en el plano XY, una curva que es la traa buscada. Podemos concluir que, para obtener la ecuación de la traa de una superficie con uno de los planos coordenados, bastará anular en la ecuación de la superficie F,, la variable no correspondiente a los ejes del plano coordenado considerado. Esto es: i ) Traa sobre el plano XY : en F,,, hacer Z =, se obtiene: ii ) Traa sobre el plano XZ : en F,,, hacer Y =, se obtiene: iii ) i ) Traa sobre el plano YZ : f, f, f, en F,,, hacer X =, se obtiene: Las traas de una superficie sobre los planos coordenados se denominan: TRAZAS PRINCIPALES..- SIMETRÍA La simetría de una Superficie se considera en relación a los planos coordenados, a los ejes coordenados al origen. i ) Simetría en relación a los planos coordenados: Si la ecuación de una superficie algebraica sólo tiene potencias pares de una de las variables, esa superficie es simétrica en relación al plano correspondiente a las otras dos variables. Esto es con respecto a los planos: F,, F,, XY debe cumplirse; XZ debe cumplirse; F,, F,, YZ debe cumplirse; F,, F,, ii ) Simetría en relación con los ejes coordenados: Si la ecuación de una superficie algebraica contiene potencias pares de dos variables e impares de la tercera variable, esa superficie es simétrica en relación a los ejes correspondiente a la tercera variables. Esto es con respecto a los ejes: F,, F,, X debe cumplirse : Y debe cumplirse : F,, F,, Z debe cumplirse : F,, F,, iii ) Simetría en el origen: Una superficie es simétrica en relación al origen cuando su ecuación algebraica solo contiene términos de grado par de grado impar en relación a las variables. En la primera hipótesis la superficie es simétrica en relación a los ejes coordenados, a los planos coordenados al origen, en la segunda, solo al origen. 44

45 4.- Sección etensión: Las secciones planas se pueden obtener cortando la superficie por una serie de planos paralelos a los planos coordenados; por ejemplo los planos paralelos al plano XY, se obtienen de la ecuación Z = k ; k es una constante arbitraria. F Si,, k F,,... ( * ) k ( * ) representa las ecuaciones de la curva de intersección del plano con las superficies, donde a cada valor de k le corresponde una curva. El campo de variación de k en (*) representa una curva real define la etensión de la superficie en relación a los ejes coordenados, Sea aclara este asunto con el siguiente ejemplo: Ejemplo:.- Discutir la siguiente ecuación : 4 ; Grafique. Solución F,, : 4 º ) Intersecciones con los ejes: con F F F : en,, hacer = = = : en,, hacer = = = : en,, hacer = = = -4 º ) Traas: i ) Traa sobre el plano XY : en F,,, hacer Z =, se obtiene: de: r = ii ) Traa sobre el plano XZ : en F,, iii ) Traa sobre el plano YZ :, hacer Y =, se obtiene: 4 Circunferencia 4 Parábola V(,-4) = (,) 4 en F,,, hacer X =, se obtiene: Parábola de vértice V(,-4) = (,) º ) Simetría: La superficie es simétrica en relación a los planos ( XZ ) ( YZ ) en relación al eje Z 4º ) Sección etensión: Para Z = k ; se tiene: 4 k ( círculos de radio crecientes para k decrecientes para - 4 k ). Si k = - 4 su radio es igual cero; las secciones paralelos al plano XY son imaginarios para k - 4 ; la superficie no eiste abajo del plano Z = Para = k se tiene : 4 k son parábolas de vértices,, 4 k v k R. Las parábolas son reales, luego la superficie se etiende indefinidamente a lo largo del eje X. 5º ) Esboo de la imagen geométrica. GRAFICA : Con los elementos proporcionados por la discusión anterior, se puede hacer un esboo de la superficie: 45

46 EJE Z Seccion : Y Z Seccion : X Z Seccion : X Y EJE Y EJE X Llamaremos superficies cuadráticas a toda ecuación de segundo grado en las variables,, que tiene la forma: A B C D E F G H K L donde A, B, C, D, E, F, G, H, K son constantes, por lo menos una es diferente de cero. Ejemplo.- Discutir hacer la gráfica de la superficie cua ecuación es Solución A) Intersecciones con los ejes coordenados. a. Con el eje X, se hace = =, de donde son: (,,), (-,,) b. Con el eje Y, se hace = =, de donde son: (,,), (,-,) c. Con el eje Z, se hace = =, de donde B) Las traas sobre los planos coordenados. a. La traa con el plano XY: se hace = ; entonces entonces, de donde los puntos, de donde los puntos entonces no eiste intersección con el eje Z es una circunferencia b. La traa con el plano XZ: se hace = ; es una hipérbola c. La traa con el plano YZ: se hace = ; es una hipérbola C) Simetría con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados al origen. La superficie es simétrica al origen, a los ejes coordenados a los planos coordenados, puesto que la ecuación no cambia al aplicar el criterio establecido. D) Las secciones transversales o paralelas a los planos coordenados: Consideramos las secciones paralelas al plano XY; sea = k entonces de circunferencias. E) Etensión: k es una familia, 46

47 4. DISCUCIÓN DE LAS PRINCIPALES SUPERFICIES CUADRÁTICAS Una superficie mu común es la dada por una ecuación de la forma A B C D E F G que denominamos superficie cuádratica o simplemente cuádrica. Veremos la discusión de las cuádricas de aquellas cuo centro está en el origen de coordenadas cuos ejes siguen la dirección de los ejes coordenados. Las seis cuádricas fundamentales son: i) Elipsoide ii) Hiperboloide de una hoja iii) Hiperboloide de dos hojas iv) Paraboloide Elíptico v) Paraboloide Hiperbólico vi) Cono La manera más sencilla de representar el gráfico de una cuádrica es hallar sus intersecciones con los ejes determinar las secciones producidas por cada uno de los planos coordenados o planos paralelos a los coordenados ) ELIPSOIDE.- Es el lugar de todos los puntos p(,,) de R que satisfacen a la ecuación de la forma:, a b c a, b, c, a b, a c ó b c. Graficando el elipsoide se tiene: a) Intersecciones con los ejes coordenados - Con el eje X, se hace, a A a,,, A a,, - Con el eje Y, se hace, b - Con el eje X, se hace, c,, B, b,, B, b,, C,, c, C,, c b) Las Traas sobre los planos coordenados. - La traa sobre el plano XY, se hace = a b - La traa sobre el plano XZ, se hace = a c - La traa sobre el plano YZ, se hace = b c c) Simetrías con respecto al origen, ejes planos coordenados. Sea E :, entonces a b c - Con respecto al origen ; a, b, c,, - Con respecto al eje X ; - Con respecto al eje Y ; - Con respecto al eje Z ; - Con respecto al plano XY ; sí sí a, b, c,, sí a, b, c,, sí a, b, c,, sí a, b, c,,, es una elipse en el plano XY, es una elipse en el plano XZ, es una elipse en el plano YZ 47

48 - Con respecto al plano XZ ; - Con respecto al plano YZ ; sí a, b, c,, sí a, b, c,, d) Las secciones paralelas a los planos coordenados. k Los planos = k, corta la superficie en la curva, que es una familia a b c de elipses donde c k c. e) Etensión de la superficie de de donde a b se tiene a b c c a b ) Esfera.- La superficie es el lugar geométrico de todos los puntos p(,,) en el espacio que equidistan de un punto fijo, la distancia constante se llama radio el punto fijo centro. Si la ecuación del elipsoide se tiene a = b = c, el a b c elipsoide se transforma en R, que es la ecuación de la esfera de radio R centro en el origen de las coordenadas. Graficando la esfera se tiene: a) Intersecciones con los ejes coordenados. - Con el eje X, se hace,, R, A R,,, A R,, - Con el eje Y, se hace, - Con el eje Z, se hace,, R, R, B, R,, B, R,, C R, C R,, b) Las traas sobre los planos coordenados. - La traa sobre el plano XY, se hace =. R, es una circunferencia del plano XY - La traa sobre el plano XZ, se hace = R, es una circunferencia en el plano XZ - La traa sobre el plano YZ, se hace = R, es una circunferencia en el plano YZ,, c) Simétricas respecto al origen, ejes planos coordenados. La ecuación de la esfera R es simétrica respecto al origen, a los ejes planos coordenados. d) Las secciones paralelas a los planos coordenados. 48

49 Las secciones paralelas lo tomaremos con respecto al plano coordenado XY, es decir, Z = K se tiene circunferencia. R k, R k R, que es una familia de TEOREMA.- La ecuación de la superficie esférica con centro en el punto c(h,k,l) de radio la constante R > es: h k l R Demostración Sea P(,,) un punto cualquiera de la esfera, luego por definición de esfera se tiene: E P,, R / d( p, c) R h ( k) ( l) R de donde: h k l R h k l R se OBSERVACIÓN.- La ecuación conoce con el nombre de forma ordinaria de la ecuación de la esfera, si desarrollamos la ecuación de la esfera se tiene: h k l h k l R, de donde se tiene: ) A B C D PARABOLOIDE ELÍPTICO.- Es el lugar geométrico de todos los puntos p(,,) de R que satisfacen la ecuación de la forma, de donde a, b, a b a b Graficando el paraboloide elíptico tenemos: a) Intersecciones con los ejes coordenados. - Con el eje X, se hace,,, A (,,) - Con el eje Y, se hace,,, B (,,) - Con el eje Z, se hace,,, C (,,) b) Las traas sobre los planos coordenados - La traa sobre el plano XY, se hace = que representa un punto a b - La traa sobre el plano XZ, se hace = a que representa a una parábola en el plano XZ - La traa sobre el plano YZ, se hace = que representa a una parábola en el plano YZ b c) Simetrías respecto al origen, ejes planos coordenados. - Con respecto al origen puesto que,, P 49

50 - Con respecto al eje X, puesto que,, - Con respecto al eje Y, puesto que,, - Con respecto al eje Z, puesto que,, - Con respecto al plano XY, puesto que,, - Con respecto al plano XZ, puesto que,, - Con respecto al plano YZ, puesto que,, P P P P P d) Secciones paralelas a los planos coordenados. Las secciones paralelas tomaremos con respecto al plano XY para esto se tiene = k que corta en la superficie en la curva e) Etensiones de la superficie: k que es de la familia de elipses a b a b es definido (, ) R P OTRAS VARIANTES 4) HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA.- Es el lugar geométrico de todos los puntos P(,,) de R que satisfacen a la ecuación, donde a, b, c. a b c Graficando el hiperboloide de una hoja se tiene. a) Intersecciones con los ejes coordenados - Con el eje X, se hace, a, A a,, A a,, - Con el eje Y, se hace, b - Con el eje Z, se hace,, B, b,, B, b, c, 5

51 b) Las traas sobre los ejes coordenados. - La traa sobre el plano XY, se hace = ; donde a - La traa sobre el plano XZ, se hace = ; donde a - La traa sobre el plano YZ, se hace = ; donde b c) Simetrías - Con respecto al origen es simétrica. - Con respecto a los ejes coordenados es simétrica - Con respecto a los planos coordenados es simétrica d) Secciones paralelas a los planos coordenados Los planos = k corta a la superficie en la curva k, que es una familia a b c de elipses los planos = k corta a la superficie en la curva k b k, a c c b b k b, que es una familia de hipérbola. b c c, es elipse, es hipérbola, es hipérbola OTRAS VARIANTES 5) HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS.- Es el lugar geométrico de todos los puntos P (,,) de R que satisfacen la ecuación:, donde a, b a b c, c. Graficando el hiperboloide de dos hojas se tiene: a) Intersecciones con los ejes coordenados - Con el eje X, se hace, a, A a,, A a,, - Con el eje Y, se hace, - Con el eje Z, se hace, b, c, 5

52 b) Las traas sobre los ejes coordenados. - La traa sobre el plano XY, se hace = ; donde a b - La traa sobre el plano XZ, se hace = ; donde a c - La traa sobre el plano YZ, se hace = ; donde, b c c) Simetrías - Con respecto al origen eiste simetría. - Con respecto a los ejes coordenados, eiste simetría - Con respecto a los planos coordenados es simétrica, es hipérbola, es hipérbola d) Secciones paralelas a los planos coordenados k Los planos = k, corta a la superficie, dando la curva que es una a b c familia de hipérbolas. Los planos = k, corta a la superficie, dando la curva familia de hipérbolas. Los planos = k, corta la superficie dando la curva ó k < -a, que es una familia de elipses. k que es una a c c k a donde K > a b c a 5

53 OTRAS VARIANTES 6) HIPERBOLOIDE PARABOLICO.- Es el lugar geométrico de todos los puntos P (,,) de R que satisfacen la ecuación:, donde a b b a c son positivos c. Graficando el hiperboloide parabólico para el caso c >. a) Intersecciones con los ejes coordenados - Con el eje X, se hace A,,, - Con el eje Y, se hace,, B(,,) - Con el eje Z, se hace,, C(,,) b) Las traas sobre los ejes coordenados. - La traa sobre el plano XY, se hace = ;, - La traa sobre el plano XZ, se hace = ; - La traa sobre el plano YZ, se hace = ; c) Simetrías - Con respecto al origen b b a a, rectas. c, parábola. a c, parábola. b - Con respecto a los ejes coordenados, con el eje Z en los demás eje - Con respecto a los planos coordenados P, P, P d) Secciones paralelas a los planos coordenados k - Al plano XY, se hace = k;, familia de hipérbolas. b a c k - Al plano XZ, se hace = k;, familia de parábola. a c b 5

54 - Al plano YZ, se hace = k; k, familia de parábola. b c a OTRAS VARIANTES 7) EL CONO ELÍPTICO O CIRCULAR.- Es el lugar geométrico de todos los puntos P (,,) de R que satisfacen la ecuación:, a, b, c. a b c Graficando el cono elíptico. a) Intersecciones con los ejes coordenados - Con el eje X, se hace A,,, - Con el eje Y, se hace,, B(,,) - Con el eje Z, se hace,, C(,,) b) Las traas sobre los ejes coordenados. - La traa sobre el plano XY, se hace = ; = = p(,,). a - La traa sobre el plano XZ, se hace = ; dos rectas. c b - La traa sobre el plano YZ, se hace = ; dos rectas. c 54

55 c) Simetrías - Con respecto al origen eiste. - Con respecto a los ejes coordenados, eiste - Con respecto a los planos coordenados eiste d) Secciones paralelas a los planos coordenados k - Al plano XY, se hace = k;, familia de elipses. a b c k - Al plano XZ, se hace = k;, familia de hipérbolas. c a b k, familia de hipérbolas. c b a Al plano YZ, se hace = k; OTRAS VARIANTES 5. SUPERFICIES CILÍNDRICAS Llamaremos superficies cilíndrica a la superficie que es generada por una recta que se mueve a lo largo de una curva plana dad, de tal manera que siempre se mantenga paralela a una recta fija dad que no está en el plano de dicha curva. La recta móvil se llama generatri la curva plana se llama directri de la superficie cilíndrica. Si la generatri de una superficie cilíndrica es perpendicular al plano de la directri; la superficie se llama cilindro recto, en caso contrario cilindro oblicuo. 55

56 6. DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓNDE UNA SUPERFICIE CILÍNDRICA Consideramos la directri en uno de los planos coordenados por ejemplo, tomamos el plano YZ, entonces la ecuación de la directri F(,) es: D : Si p(,, ) es un punto cualquiera de la superficie, cua generatri tiene por números directores [a, b, c] si p (,, ) es el punto de intersección de la directri que pasa por el punto p(,,) entonces el punto p (,, ) satisface a la ecuación de la directri F(', ') D : ' Y la ecuación de la Generatri es dado por: ' ' : G a b c () () De las ecuaciones () () al eliminar,, se tiene la ecuación de la superficie cilíndrica. 7. SUPERFICIE CÓNICA Llamaremos superficie cónica a la superficie que es generada por una recta que se mueve de tal manera que siempre pasa por una curva plana dada fija por un punto fijo que no está contenido en el plano de la curva fija dada. La recta móvil se llama generatri la curva fija dada directri el punto fijo se llama vértice de la superficie cónica. El vértice divide a la superficie cónica en dos porciones cada una de los cuales se llama hoja o rama de la superficie cónica 56

57 8. DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA SUPERFICIE CÓNICA Consideremos la ecuación de la directri en uno de los planos coordenados, por ejemplo en el F(,) plano YZ, cua ecuación es D : el vértice V (,, ). Como P (,, ) pertenece a la directri, por lo tanto lo satisface, es decir: F(', ') D : '... () La ecuación de la generatri que pasa por V p es dado por: G : ' ' ' () De las ecuaciones () () al eliminar los parámetros,, se obtiene la ecuación de la superficie cónica. 9. SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN Llamaremos Superficie de revolución a la superficie que es generada por la rotación de una curva plana de una recta fija contenida en el plano de esa curva. La curva plana se llama generatri la recta fija eje de revolución ó eje de la superficie. Por el punto p(,, ) se hace pasar un plano perpendicular al eje de revolución, la intersección de la superficie con el plano es una circunferencia. Si c es el punto de intersección del plano con la recta L Q es el punto de intersección con la curva C entonces se cumple d(p,c) = d(q,c) que es la ecuación de la superficie de revolución. Si la superficie de revolución es obtenida por la rotación de una curva que está en uno de los planos coordenados alrededor de uno de los ejes coordenados, su ecuación se determina mediante el siguiente cuadro: 57

58 Ecuación de la Generatri Eje de Revolución Ecuación de la superficie = f(); = Eje Y = f(); = = f(); = = f(); = = f(); = = f(); = Eje Y Eje X Eje X Eje Z Eje Z ( ) ( ) f f ( ) ( ) f f ( ) ( ) f f Ejemplo: Hallar la ecuación de la superficie de revolución engendrada al girar la curva dada alrededor del eje señalado. E : en el plano al rededor del eje. Solución Sabemos que: es una curva en el plano cuas ecuaciones son: f,,...() también que si una curva rota alrededor del eje entonces la función generatri tiene la forma: f...() Además P,, S que el paralelo que pasa por P corta a la generatri G en un punto del plano: es P,, su centro es C que pertenece al eje ( ver figura ). Por ser radios del mismo paralelo se tiene que: CP CP CP pero CP por la ecuación () también...() Además P P están en el mismo plano entonces:...(4) Como P G (generatri que tiene la forma de la ecuación () f, ;... (5) Por eliminación de parámetros,, entre la ecuaciones,,,4,5 Obtenemos: f, Luego reemplaamos en la curva dada: se tiene: El cual representa un cono 4. TRASLACIÓN DE EJES La Traslación de ejes en el espacio tridimensional se realia en forma similar que la traslación en el plano cartesiano; si O (,, ) es un punto en el sistema cartesiano OXYZ, entonces en el punto O (,, ) construiremos el nuevo sistema o de tal manera que los raos positivos de los nuevos ejes sean 4 58

59 paralelos tengan el mismo sentido que el sistema cartesiano original, es decir, en la forma: Un punto p en el espacio correspondiente al sistema OXYZ, se tiene por coordenadas a (,, ) es decir p(,, ) el sistema O X Y Z tiene por coordenadas a (,, ) es decir p(,, ). La relación entre estas coordenadas esta dada por:. ROTACIÓN DE LOS EJES EN UNO DE LOS PLANOS COORDENADOS Veremos la rotación de los ejes de los planos coordenados manteniéndose el otro fijo el mismo origen. Suponiendo que efectuamos una transformación de coordenadas del plano XY en otro sistema X Y en donde se mantiene fijo el origen los ejes X e Y son obtenidos rotando los ejes X e Y en forma antihoraria en un ángulos como se ilustra en la figura. Esta transformación en el plano XY es: Cada punto p tendrá dos representaciones una en coordenadas (,) con respecto al sistema original otras en coordenadas (, ) con respecto al nuevo sistema. 59

60 Ahora determinaremos la relación (,) (, ), para esto tracemos las rectas OP, AP BP (ver figura) Se observa que OA, AP, OB, BP Luego el triangulo OAP se tiene: OP cos, OPsen OP cos cos OPsen sen OPsen cos OPsen cos, donde () En el triangulo OBP se tiene: OP cos, OPsen () cos sen Ahora reemplaando () en () se tiene al resolver el sistema sen cos cos sen se tiene: () cos sen Por tratarse del plano XOY veremos el caso de la ecuación de segundo grado: A B C D E F, donde A, B, C no nulos simultáneamente. Como cos sen, sen cos se tiene: A( cos sen ) B( cos sen )( sen cos ) C( sen cos ) D( cos sen ) E( sen cos ) F cos A C B cos A C sen sen B A C ctg B desarrollado simplificando se tiene: cos cos cos cos A Bsen Csen Asen Bsen C B cos Asen Csen D cos Esen E cos D cos F Como el coeficiente de debe ser cero, entonces se tiene: B cos Asen Csen de donde: cos AC A C Bcos AC sen por lo tanto ctg que es la sen B B relación para obtener el ángulo de rotación. 6

61 Rotación de los ejes coordenados rectangulares en el espacio: Si hacemos girar los ejes coordenados rectangulares en torno de su origen O como punto fijo de manera que los ángulos directores de los nuevos ejes,, con respecto a los originales,, sean:,, ;,, ;,, respectivamente, las coordenadas de un, punto cualquiera P del espacio antes después de la rotación son,,,, respectivamente, entonces las ecuaciones de transformación de las originales a las nuevas son: cos cos cos T : cos cos cos...() cos cos cos las ecuaciones de la transformación inversa de las coordenadas nuevas a las originales son: cos cos cos T : cos cos cos...() cos cos cos Se observa que el sistema formado por () inclue 9 coeficientes variables, que son los cosenos de los ángulos directores de los nuevos ejes en relación a los antiguos. Estos coeficientes no son entretanto independientes, estando ligados por las siguientes relaciones: cos cos cos T cos cos cos...() cos cos cos, por ser los ejes perpendiculares entre si: cos cos cos cos cos cos T : cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos,,,...(4) De manera que es necesario que se den por lo menos tres ángulos directores para que el sistema esté constituido por las fórmulas de transformación queda determinado se pueden calcular las nuevas coordenadas en función de las antiguas ó viceversa. Transformación General Combinando los dos casos anteriores, este es, una translación de los ejes que transporte el origen hacia el punto O,, una rotación de manera que los ángulos directores de los ejes finales O, O, O en relación a los semiejes O, O, O sean los indicados en el artículo anterior se tiene: cos cos cos T : cos cos cos...(5) cos cos cos 6

62 Obs: Como las fórmulas generales de transformación de coordenadas son funciones lineales de las variables, se conclue que la ecuación de una superficie o de una línea en el espacio no cambiará de grado o de orden ante cualquier transformación que sufran los ejes coordenados. COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS El sistema de coordenadas cilíndricas, un punto en el espacio tridimensional está representado por la Terna coordenada donde son las coordenadas polares de la proección de en el planos al punto. Para convertir de coordenadas cilíndricas a rectangulares, emplearemos las ecuaciones: rcos rsen Mientras que para convertir de coordenadas rectangulares a cilíndricas usamos: r Tan Ejemplo:.- Determine el punto con coordenadas encuentre sus coordenadas rectangulares. Cos Sen.7 P (,,).- Encuentre las coordenadas cilíndricas del punto (,-,-7) Tan 45 r r 7 P , / 4, 7 6

63 COORDENADAS CILÍNDRICAS Las coordenadas cilíndricas son útiles en problemas que tienen simetría alrededor de su eje, en ese caso se selecciona el eje de manera que coincida con el eje de simetría. Por ejemplo el eje de un cilindro circular con ecuación cartesiana c es el eje. En las coordenadas cilíndricas, este cilindro tiene ecuación r c. Esta es la raón del nombre que recibe como coordenadas cilíndricas. Ejemplo:.- Encuentre la ecuación en coordenadas cilíndricas de un elipsoide Sabemos que r Retomando la ecuación de la elipsoide 4 4r 4c 4 4 comor c Ecuación del elipsoide en coordenadas cilíndricas COORDENADAS ESFÉRICAS Las coordenadas esféricas de un punto en el espacio Un sistema de coordenadas esféricas se aplica en un problema donde ha simetría alrededor de un punto el origen se pone en ese punto. Por ejemplo, la esfera con centro en el origen de radio tiene la ecuación ; esta es la raón por la cual reciben el nombre de coordenadas esféricas. Sabemos que rcos rsen ; de modo que para convertir de coordenadas esféricas a rectangulares empleamos las ecuaciones: SenCos SenSen Cos Del mismo modo, la fórmula de la distancia muestra que. 6

64 Ejemplo:,, 4.- Dado el punto 4 rectangulares. SenCos Sen6Cos Rec,, 5.- El punto,, coordenadas esféricas.. Hallar el punto encontrar sus coordenadas SenSen Cos Sen6Sen45 Cos6.47 está dado en coordenadas rectangulares. Encuentre sus Cos Cos 6 4 PROBLEMAS DE SUPERFICIES EN R. Hallar la ecuación de la esfera que están en los planos paralelos 6 5, 6 6. Sabiendo que el punto P(5,-,-) es el punto de contacto de uno de ellos. Solución L 5,, t(6,, ) / t R Sea Sea AL P AL A P A L A 5 6 t, t, t Si Para algún t R, como A P entonces: 6 56t t t 6 de donde: t, A( 7,5,), como c es punto medio de A p se tiene: c,, c,, Además, r = d(c,p) =7 por lo tanto: E : 49 64

65 . Hallar la ecuación del plano tangente a la esfera + + = 49 en el punto M(6,-,-) SOLUCION OM // N pero OM M O 6,, Luego N 6,, entonces la ecución del plano tangente en M será; P : N. 6,, P : Demostrar que el plano =, es tangente a la esfera + + = 49. Calcular las coordenadas del punto de contacto SOLUCION Si P : 6 49 es tangete a la esfera 49 entonces d C, P r C : Centro de la esfera,, r : radio de la esfera 7 () 6() () d C, P Por lo tanto P es tangente al Plano Para hallar el punto de contacto. Hallamos la recta que pasa por el centro el punto de contacto, que por definición tendrá como vector direccional el vector normal del plano L t, 6, / t R intersectando L con el plano tangente: ( t) 6( 6) ( t) 49 4t 6t 9t 49 t P, 6, 4. Hallar la ecuación del cilindro cuas generatrices son paralelas al vector 9 a,,4, si las ecuaciones de la directri son: SOLUCIÓN 9 Sea D :. la directri. Sea P,, D ' ' 9 entonces la satiface D :...() ' ahora calculamos la generatri, es decir: ' ' ' G :, 4 ' ' de donde G :...() 4 65

66 Eliminando los parámetros, de la ecuaciones () () ' ' 4 Luego de la ecuacion () se tiene...() ' 4 ' 4 4 reemplaamos () en () se tiene: Hallar la ecuación de la esfera que pasa por las circunferencias 5, ; 6, SOLUCIÓN C b 5 b 6 b Luego el centro es., el radio r 4 4 Con los datos haremos un gráfico para visualiar el planteamiento del problema Del grafico se tiene A(,,5) en el Triangulo ACD. r b 5 también r b tanto al igualar se tiene. 6. Hallar la ecuación de la esfera que pasa por las circunferencias + =5, = ; + =6, = SOLUCIÓN Sea C el centro de la esfera de radio R luego en el ACD : se obtiene: R a En el CBE : Luego igualando se tiene: a a 5 6 a 4 de donde a 6 R a 6 por 5 Luego el centro es C(-,,) el radio R = 4 por lo tanto la ecuación de la esfera es: 4 7. Encontrar la ecuación del cono, con vértice en el origen, cuas generatrices hacen un ángulo de con el vector unitario que forman ángulos iguales con los ejes X, Y, Z. SOLUCIÓN 66

67 Por datos del problema se tiene: u= (cos,cos,cos ) como cos cos cos cos puesto que cos cos cos cos u,, Sea r,, el vector de posición de un punto cualquiera del cono, como por dato se tiene entonces. r. u r. u cos,,,,. o 8. Hallar la ecuación del cono que tiene el vértice en el punto (,,C); si las ecuaciones de la directri son, = a b Sea D : a b, la curva directri. Si P',, D ' ' D a b ' Ahora calcularemos la ecuaci{on de la generatri donde V,,C es el vértice de la entonces lo satisface :...() c superficie cónica. G : como ' ' ' ' c 9. Una ve comprobado que el punto M(,,-) esta situado en el paraboloide hiperbólico 4 =, hallar las ecuaciones de sus generatrices que pasa por el punto M. SOLUCIÓN Sea H : 4 M,, H 4 de donde: L: k k L: k k...()...() de la ecuación () k k k L : L : 4 de la ecuación(), k k k L : L : 9,, L,,, 9,, 9,,, 9 L : 67

68 . Hallar la ecuación del cono que tiene el vértice en el origen de coordenadas, si las ecuaciones de la directri son: SOLUCION ' ' Sea D: sí P'(',',') D:...() ' ' La ecuación de la generatri es: G : ' ' ' de donde G :...() ' ' ' de las ecuaciones () () eliminamos los parámetros ',',' ' ' ' ' ' ' ' remplaando () en la ecuación '+'+= Ahora reemplaamos (4) en '-'+=, se tiene: ( ) simplificando tenemos la ecuación -. Las generatrices de un cilindro circunscrito en la esfera + + = son perpendiculares al plano =. Hallar la ecuación de este cilindro. SOLUCION Considerando la curva directri en el plano XY para esto =, por lo tanto, la directri es dado por: D :, la curva directri. Sea P ' ', ', ' el punto de intersección de la directri entonces la ' ' satisface: D :,...() ' Calculando la ecuación de la generatri ' ' G : 68