A Monomios y polinomios Monomios Operaciones con monomios Polinomios Operaciones con polinomios Identidades notables

Transcripción

1 POLINOMIOS

2 CAPACIDADES ESPECÍFICAS A Monomios y polinomios Monomios Operaciones con monomios Polinomios Operaciones con polinomios Identidades notables Expresión en lenguaje algebraico de relaciones, propiedades de una situación. Cálculo de operaciones con monomios. Cálculo de operaciones con polinomios. Simplificación de cálculos a partir de los productos notables. Simplificación de funciones algebraicas. Utilización de técnicas algebraicas con aplicación de la jerarquía de las operaciones. Cálculo del valor numérico de un polinomio. Reconocimiento de los polinomios como sumas algebraicas de monomios. Reducción de polinomios CRITERIOS DE EVALUACIÓN ESPECÍFICOS Expresar en lenguaje algebraico problemas que se presentan en la vida cotidiana. Realizar correctamente operaciones, de dificultad progresiva, con monomios. Realizar correctamente operaciones, de dificultad progresiva, con polinomios. Utilizar correctamente los productos notables para simplificar expresiones algebraicas. Simplificar correctamente funciones algebraicas. Secuenciar correctamente operaciones complejas en la resolución de problemas. Calcular correctamente del valor numérico de un polinomio. Simplificar polinomios. 2

3 Polinomios Un polinomio es así: un ejemplo de polinomio este tiene 3 términos Están hechos de: constantes (como 3, -20, o ½) variables (como x e y) exponentes (como el 2 en y 2 ) pero sólo pueden ser 0, 1, 2, 3,... etc Que se pueden combinar usando: + - sumas, restas y multiplicaciones pero no divisiones! Estas reglas hacen que los polinomios sean simples, así es fácil trabajar con ellos! Son polinomios o no? Estos son polinomios: 3x x - 2 3xyz + 3xy 2 z - 0.1xz - 200y

4 Y estos no son polinomios 2 ( x 2) 3xy -2 no lo es, porque dividir no está permitido no lo es, porque un exponente es "-2" (los exponentes sólo pueden ser 0,1,2,...positivos) Pero esto sí está permitido: x 2 3x 8 está permitido, porque también es (½)x (la constante es ½, o 0.5) por la misma razón (la constante es 3/8, o 0.375) Monomios, binomios, trinomios Hay nombres especiales para los polinomios con 1, 2 o 3 términos: Cómo te aprendes los nombres? Piensa en bicicletas! (También existen cuatrinomio (4 términos) y quintinomio (5 términos), pero se usan poco) Muchos términos Los polinomios pueden tener montones de términos, pero no infinitos términos. 4

5 Qué tienen de especial los polinomios? Por su definición tan estricta, es fácil trabajar con polinomios. Por ejemplo sabemos que: Si sumas o restas polinomios te sale un polinomio Si multiplicas polinomios te sale un polinomio Así que puedes hacer muchas sumas y multiplicaciones con ellos, y siempre sale un polinomio al final. Grado de un polinomio (una variable) Grado El "grado" se llama a veces "orden" El grado de un polinomio con una sola variable (como x) es el exponente más grande de la variable. Ejemplos: El grado es 1 (una variable sin exponente tiene de hecho exponente 1) El grado es 3 (el mayor exponente de x) Grado de un polinomio (más de una variable) El grado es 5 (el mayor exponente de x) El grado es 2 (el mayor exponente de z) Si hay más de una variable en el polinomio, tienes que mirar cada término (los términos se separan con signos + o -): Calcula el grado de cada término haciendo la suma de los exponentes de las variables que tenga, El mayor de esos grados es el grado del polinomio. 5

6 Ejemplo: cuál es el grado de este polinomio: 5xy 2 tiene grado 3 (x tiene exponente 1, y tiene 2, y 1+2=3) 3x tiene grado 1 (x tiene exponente 1) 5y 3 tiene grado 3 (y tiene exponente 3) 3 tiene grado 0 (no hay variables) Nombres de los grados Cuando conoces el grado también puedes darle un nombre! El mayor es 3, así que el polinomio tiene grado 3 0 constante 1 lineal 2 cuadrático 3 cúbico 4 cuártico 5 quíntico Ejemplo: 5xy 2-3 tiene grado 2, así que es cuadrático FUENTE: 1- Indica el grado de los siguientes polinomios: A(x)= x 3 +4x 2 +7x+2 D(x)= 2x 2 +0x 7 +x 3 +2x+1 B(x)= 2x 7-3x 5 +6x 12 +4x E(x)= 4x 7 +2x 2-5x 4 +4x 3-6 C(x)= 3x 5 +6x 3 +9x 6 +4 F(x)= 4x+5x 2-6x 4-2x 5 6

7 Los polinomios pueden aparecer ordenados o desordenados. Un polinomio ordenado es aquel en que los exponentes de la indeterminada forman una sucesión creciente o decreciente según los números naturales. Ejemplo: 3x 4-2x 3 +2x 2 +x-1 es un polinomio ordenado en orden decreciente. 3-x+3x 2-4x 3+ +6x 4-7x 5 es un polinomio ordenado en orden creciente. 2- Ordena los siguientes polinomios de forma decreciente. A(x) = 2x 19 -x 8-3x 12-6x 2 +3 B(x) = 54x 2-21x 5 +4x x 12 C(x) = 12x 7 +5x 9-23x 2 +7x -6x 10 D(x) = 9-7x 5 +4x 8 +2x 9-3x 3-Ordena de forma creciente los siguientes polinomios. A(x) = 9x 4-4x 2 +7x 12-6x +3 B(x) = 4x 6-5x 2-6x x C(x) = 8x 5 +3x 3 +5x 2-4x +1 D(x) = 21x +9x 5 +2x -6x 7 4-Escribe un polinomio completo que tenga grado 7 y otro de grado 3. 7

8 Cuando tenemos un polinomio largo en el que el exponente de la indeterminada se repite en varios lugares, lo podemos simplificar sumando los términos semejantes. Ejemplo : en el polinomio 3x 2 +5x x 2 +4x 4 +7x -6x +2x 3-5 vemos que la x aparece elevada al mismo exponente en varios de los monomios. Para reducir los términos semejantes sumamos los coeficientes de la x que aparecen elevados al mismo exponente (3x 2 y -5x 2 también 5x 3 y 2x 3 así como 7x y -6x y los términos independientes +9 y -5). A la vez que vamos reduciendo podemos ir ordenando el polinomio. Quedaría de la siguiente manera. 4x 4 +7x 3-2x 2 +x +4 Valor numérico de un polinomio. El valor numérico de un polinomio se calcula dando a las letras valores numéricos y efectuando las operaciones indicadas. Ejemplo: para calcular el valor numérico del polinomio 3x 3-2x 2 +6x -4, para x=3 operaríamos así = = 77 Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera. P(x) = 2x 3 + 5x - 3 ; x = 1 P(1) = = = 4 5-Calcula el valor numérico de cada uno de estos polinomios A(x) = 4x 5-6x 3-8x 2 +5x+2 para x = 2 B(x) = 15x 4 +2x 3-5x 2 +4x +3 para x = -2 C(y) = 4y 5-2y 4 +6y 3 +7y 2-2y -1 para y = 1 8

9 6-Halla el término independiente para que se anule cada polinomio para los valores de x que se indican. Realiza la operaciones en tu cuaderno. X = 1 X=2 X=0 X=-2 A(x)= 9x 3 +3x 2 +6x-c C= C= C= C= B(x)= x 4 +3x 2 +2x-b B= B= B= B= C(x)= 2x 5-6x 3 +2x 2 +c C= C= C= C= 7-Calcular el valor numérico de los siguientes polinomios. A(x)= 3x 2 +6x 7-3x 2 +x-16x 4 +3 para x=1 B(a)= 7a+8a 3 +6a 2 +9 para a=-2 C(y)= 3y 7-6y 2 +y 5-2y+3 para y=-1 D(w)= 16w 3 +w 5 +6w+8w 2-7 para w=0 9

10 8-Reduce los términos semejantes de los siguientes polinomios: A(x)= 4x+7x 2-3+4x 4 +3x x-4x 5-3+8x x B(x)= 7x 2 +4x+2x 5 +5x x 3-2x+6x 2-7x 6-9 C(x)= 3x+6-7-2x+4x 6-7x+4x 2 +5x 6-3x 5 +2x 2-2 D(x)= x+3+5x 3 +6x 4-3x+4+5x 4-8x 5 +12x Dado el siguiente polinomio P(x)= 7x 4-2x+5+6x 7-3x 2-6x x+3x 4-8x 6 +7x 7 responde a los siguientes apartados: a) Reduce los términos semejantes b) Determina el grado del polinomio c) Ordénalo en sentido creciente d) Calcula su valor numérico para x = -1 Recuerda como se trabajaba con paréntesis. Cuando tenemos un signo delante de un paréntesis se cambian de signo todos los términos que están dentro del paréntesis. Ejemplo: 3x ( 2x 6 + 4x 2-2) 3x 2x 6 4x

11 Sumar y restar polinomios Para sumar polinomios simplemente suma juntos los términos similares... qué son términos similares? Términos similares "Términos similares" son términos cuyas variables (y sus exponentes como el 2 en x 2 ) son los mismos. En otras palabras, términos que "se parecen". Tienen la misma variable (letra) y el mismo exponente. Ejemplos: Términos Por qué son "similares" 7x x -2x porque las variables son todas x (1/3)xy 2-2xy 2 6xy 2 porque las variables son todas xy 2 Sumar polinomios Dos pasos: Pon juntos los términos similares Suma los términos similares Ejemplo: suma 2x 2 + 6x + 5 y 3x 2-2x - 1 Junta los términos similares: 2x 2 + 3x 2 + 6x - 2x Suma los términos similares: (2+3)x 2 + (6-2)x + (3-1) = 5x 2 + 4x

12 Sumar en columnas También puedes sumarlos en columnas así: Nota: el -7 del otro polinomio no tiene ningún "término similar", así que no tuvimos que sumarlo. Sumar varios polinomios Puedes sumar varios polinomios juntos así. Ejemplo: suma (2x 2 + 6y + 3xy), (3x 2-5xy - x) y (6xy + 5) Ponlos alineados en columnas y suma: 2x 2 + 6y + 3xy 3x 2-5xy - x 6xy + 5 5x 2 + 6y + 4xy - x + 5 Usar columnas te ayuda a poner juntos los términos similares en las sumas complicadas. 10-Suma los siguientes polinomios a) ( - x 3 + 5x 2 - x + 1 ) + ( 5x 2 - x - 3 ) b) ( 6x 2 - x + 4 ) + ( 5x 3 - x - 1 ) 12

13 Restar polinomios Para restar polinomios, primero invierte el signo de cada término que vas a restar (en otras palabras cambia "+" por "-", y "-" por "+"), después suma normalmente. Nota: después de restar 2xy menos 2xy sale 0, así que ya no hace falta escribir el término en "xy". FUENTE: 11-Resta los siguientes polinomios a) ( - x 3 + 5x 2 - x + 1 ) - ( 5x 2 - x - 3 ) b) ( 6x 2 - x + 4 ) - ( 5x 3 - x - 1 ) 11-Realiza las operaciones que se te indican. Recuerda que el signo - delante de un paréntesis le cambia el signo a todo lo que está dentro. ( 4x 4-6x 3 +3x ) - ( 2x 2 +5x ). ( 5x 4 +6x 3-2x +4 ) + ( 8x 5-7x 2 +9x -2) 13

14 Para multiplicar dos polinomios: Multiplica cada término de un polinomio por cada término del otro polinomio suma las respuestas, y simplifica si hace falta. Veamos primero los casos más simples 1 término 1 término (monomio por monomio) Para multiplicar un término por otro, primero multiplica las constantes, después multiplica cada variable y combina el resultado, así (Nota: he usado " " para indicar la multiplicación. En álgebra no nos gusta usar " " porque se parece mucho a la letra "x") Para saber más sobre multiplicar términos, lee multiplicar y dividir variables con exponentes 1 término 2 términos (monomio por binomio) Multiplica el término que está solo por los otros dos términos, así: 2 términos 1 término (binomio por monomio) Multiplica cada uno de los dos términos por el que está solo, así: (Hice este un poco más rápido porque multipliqué de cabeza antes de escribir) 2 términos 2 términos (binomio por binomio) Cada uno de los dos términos en el primer binomio se multiplica por Cada uno de los dos términos del segundo binomio Eso son cuatro multiplicaciones diferentes... por qué? 14

15 Haciendo parejas Dos amigas (Alicia y Bea) retan a dos amigos (Carlos y David) a partidos individuales de tenis. Cuántos partidos son? Alicia juega contra Carlos, y después contra David. Bea también juega contra Carlos y contra David. Podrían jugar en cualquier orden, siempre que cada una de las amigas juegue contra cada uno de los amigos. Es lo mismo cuando multiplicamos binomios! En lugar de Alicia y Bea, usamos a y b, y Carlos y David pueden ser c y d: Puedes multiplicarlos en cualquier orden siempre que cada uno de los dos primeros términos se multiplique por cada uno de los dos segundos términos. Aquí tienes una manera de acordarte de todas las multiplicaciones. "PIES" significa "Primeros, Interiores, Exteriores, Segundos": Primeros: ac Interiores: bc Exteriores: ad Segundos: bd Así que multiplicas los "Primeros" (el primer término de cada polinomio), después los "Interiores", etc. Probemos con un ejemplo más complicado: 15

16 2 términos 3 términos (binomio por trinomio) "PIES" no funciona aquí, porque ahora hay más términos. Así que recuerda: Multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio En el caso en que ambos polinomios consten de varios términos, se puede indicar la multiplicación de forma semejante a como se hace con número de varias cifras, cuidando de situar debajo de cada monomio los que sean semejantes. Ejemplo.- FUENTE: Realiza las siguientes multiplicaciones. a) (4x) * (2x 2 ) = b) (-5x 2 ) * (3x 3 ) = c) (6x 4) * (-4x) = d) (8x 4 ) * (3x 5 ) = e) (-6x) * (8x 2 ) = f) (9x 5 ) * (3x 2 ) = g) (-5x) * (-4x 3 ) = h) (-5) * (-9x 4 ) = i) (8x 2 )*(-3x 4 )= 16

17 13-Realiza los siguientes productos: a) (6x 2 +5) * 2x = b) (3x 4-6 ) * 3x 2 = c) (-8x 4-2x) * 5x 3 = (5x 7-3x 2 ) * 7x 2 = (6x 2 +3) *6x = (2x 8-4) * 2x 2 = 14-Realiza los siguientes productos: a) (4x 2 5) * (5x 3 +2) b) (3x 4-4) * (6x 3-5) c) (8x 2 +2) * (3x 5 +3) d) (2x 3 +4) * (3x 3 +5) 17

18 15- Multiplica y reduce los términos semejantes de los productos: a) (7x 2-49 * (3x+2) * (x 2-3) b) (5x+4) * (7x 2-3x) * (4x 2 +3) c) (8x+4) * (6x 2-7x) * (4x 3 +6x 2 ) 16-Multiplica y reduce los términos semejantes de los productos: a) (7x 2-49 * (3x+2) * (x 2-3) b) (5x+4) * (7x 2-3x) * (4x 2 +3) 18

19 División entre polinomios. Resolver la división de polinomios: P(x) = 2x 5 + 2x 3 x - 8 Q(x) = 3x 2 2 x + 1 P(x) : Q(x) A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan. A la derecha situamos el divisor dentro de una caja. Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. x 5 : x 2 X 5 : X 2 = X 5-2 = X 3 Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio a dividir: 19

20 Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo. 2x 4 : x 2 = 2 x 2 Procedemos igual que antes. 5x 3 : x 2 = 5 x Volvemos a hacer las mismas operaciones. 8x 2 : x 2 = 8 20

21 10x 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo. x 3 +2x 2 +5x+8 es el cociente o resultado de la división. 17-(x 6 + 5x 4 + 3x 2 2x) : (x 2 x + 3) 18- ( 2x 5 + 2x 3 x 8) : ( 3x 2 2 x + 1) 21

22 División por Ruffini Si el divisor es un binomio de la forma x a, entonces utilizamos un método más breve para hacer la división, llamado regla de Ruffini. Resolver por la regla de Ruffini la división: (x 4 3x 2 +2 ) : (x 3) 1Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros. 2Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea. 3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independendiente del divisor. 4Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente. 5Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término. 6Sumamos los dos coeficientes. 22

23 7Repetimos el proceso anterior. Volvemos a repetir el proceso. Volvemos a repetir. 8El último número obtenido, 56, es el resto. 9El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido. x x 2 + 6x +18 Dividir por Ruffini FUENTE: (x 4 3x 2 +2 ) : (x 3) 20- (x 5 32) : (x 2) 23

24 Igualdades notables Llamaremos igualdades notables a algunas identidades que son útiles en general para simplificar expresiones, acelerar cálculos, factorizar o desarrollar expresiones matemáticas. A continuación conoceremos algunas de estas identidades. El cuadrado de una suma es ciertamente igual al cuadrado del primer sumando más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo o sea: Algunos ejemplos: El cuadrado de una diferencia o de una resta sería igual al cuadrado del primero menos el doble producto del primero multiplicado por el segundo sumando luego el cuadrado del segundo. O sea : Veamos algunos ejemplos: En la diferencia de cuadrados el producto de una suma multiplicado por la diferencia de dos sumandos es igual a la diferencia de sus respectivos cuadrados. O sea: Algunos ejemplos: 24

25 No es recomendable aplicar estas identidades cuando es posible efectuar las operaciones que se encuentran entre paréntesis. Si es así se debe proceder a efectuar primeramente esas operaciones, como muestran los siguientes ejemplos: La transformación de sumas en productos, es un modo de convertir expresiones en la que hay presentes sumas o restas en otras en las cuales la operación primordial es un producto. Esto es aplicable únicamente en determinados casos, observemos los siguientes ejemplos: En caso de transformar un trinomio de segundo grado en el cuadrado de una suma o resta: Ejemplos : Determinemos también como una diferencia de cuadrado es igual a la suma multiplicada por la diferencia, o sea: Algunos ejemplos: 25

26 Si todos los coeficientes poseen algún divisor común podemos sacar el factor común. También cuando la variable aparece en todos los sumandos. En este caso podemos escribirlo, elevada al exponente de menor valor, como factor común que así multiplica al polinomio con todos los grados restados en sus tantas unidades como tiene el exponente aludido. Observemos los siguientes ejemplos: FUENTES: 26

27 Ejercicios y problemas de polinomios Apellidos Nombre Aula A Dados los polinomios: P(x) = 4x 2 1 Q(x) = x 3 3x 2 + 6x 2 R(x) = 6x 2 + x + 1 S(x) = 1/2x T(x) = 3/2x 2 +5 U(x) = x Calcular: 1 P(x) + Q (x) = 2 P(x) U (x) = 3 S(x) R (x) + U(x) = 27

28 B Dados los polinomios: P(x) = x 4 2x 2 6x 1 Q(x) = x 3 6x R(x) = 2x 4 2 x 2 Calcular: P(x) + Q(x) R(x) = P(x) + 2 Q(x) R(x) = 28

29 C Multiplicar los polinomios: 1 (3x 2 5x ) (2x 3 + 4x 2 x +2) = 2 (2x 2 5x + 6) (3x 4 5 x 3 6 x 2 + 4x 3) = 29

30 D Dividir los polinomios: 1 (x 4 2x 3 11x x 20) : (x 2 + 3x 2) 2 (x 6 + 5x 4 + 3x 2 2x) : (x 2 x + 3) 30

31 D Dividir por Ruffini: 1 (x 3 + 2x +70) : (x+4) 2 (x 5 32) : (x 2) 31

32 ANEXO I Qué es infinito? Infinito no es grande no es enorme no es tremendamente gigante no es extremadamente e increíblemente gigantesco es... Interminable! Infinito no tiene final Infinito es la idea de que algo no termina. En nuestro mundo no tenemos nada así... así que nos imaginamos que viajamos más y más, intentando llegar allá, pero no es realmente infinito, sólo es un intento de alcanzarlo. Así que no lo pienses así... sólo estás esforzando el cerebro para nada. Piensa simplemente en "interminable". Nunca llegarás, así que no lo intentes. Ejemplos: La distancia al "final" de un círculo ( no hay final!) Una sucesión infinita de "1"s seguidos por un "2" NUNCA tendrán un "2". Así que cuando veas un número como " " (es decir un decimal con una sucesión infinita de 9s), no termina nunca la lista de 9s. No puedes decir " pero qué pasa si el último es un 8?", simplemente porque no hay último. 32

33 Infinito no aumenta Infinito no "está creciendo", ya está completamente formado. A veces la gente (incluído yo) dice "sigue y sigue" y suena como si estuviera creciendo o algo así. Pero infinito no hace nada, sólo es. Infinito es sencillo Infinito no es un número real Infinito no es un número real, es una idea. Una idea de algo que no termina. Infinito no se puede medir. Incluso las galaxias lejanas no pueden competir con infinito. Sí! En realidad es más sencillo que muchas cosas que sí tienen final. Porque si algo tiene final, tienes que definir dónde está ese final. Ejemplo: una "línea" tiene longitud infinita, va en las dos direcciones sin final. Si tiene final es un rayo (uno) o un segmento (dos). Números grandes Hay números impresionantemente grandes. Un Gúgol es un 1 seguido de cien ceros ( ) : 10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000, 000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 Un gúgol ya es más grande que el número de partículas en el universo conocido, pero existe el Gúgolplex. Es un 1 seguido de un gúgol de ceros. Ni siquiera se puede escribir el número, porque no hay suficiente materia en el universo para escribir los ceros: 10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,... etc (un gúgol de ceros) Y hay números todavía más grandes que necesitan "torres de potencias" para escribirlos. 33

34 Por ejemplo, un gúgolplex se puede escribir así: Esto es diez elevado a (10 elevado a 100), Pero imagina un número todavía más grande como Y es fácil crear números mucho más grandes que estos! Finitos Todos estos números son "finitos". Lo que significa que hay un límite a lo grandes que son. Pero ninguno de esos números se acerca un poco a infinito. Porque son finitos, e infinito... no es finito! Usar infinito A veces podemos usar como si fuera un número, pero infinito no se comporta como un número real. Por ejemplo: + 1 = Quiere decir que infinito más uno es igual a infinito. Lo más importante sobre infinito es que: - < x < Donde x es cualquier número real. Así que menos infinito es menor que cualquier número real e infinito es mayor que cualquier número real. Conclusión Infinito es una idea simple: "interminable". Casi todas las cosas que conocemos tienen fin, pero infinito no. FUENTE: 34

35 Variables con exponentes Cómo multiplicarlas y dividirlas ANEXO II Un exponente (como el 2 en x 2 ) dice cuántas veces se usa la variable en una multiplicación. Ejemplo: y 2 = yy (esto es y multiplicado por y, porque en Álgebra poner dos letras juntas significa multiplicarlas) Igualmente z 3 = zzz y x 5 = xxxxx Exponente 1 Si el exponente es 1, la variable está sola (por ejemplo x 1 = x) Normalmente no escribimos el "1", pero a veces ayuda recordar que x también es x 1 Exponente 0 Si el exponente es 0, entonces no estás multiplicando nada y la respuesta es sólo "1" (por ejemplo y 0 = 1) Multiplicar variables con exponentes Entonces, cómo multiplicas esto: (y 2 )(y 3 ) Sabemos que y 2 = yy, y que y 3 = yyy así que lo escribimos todo: y 2 y 3 = yyyyy Eso son 5 "y"s multiplicadas juntas, así que el nuevo exponente es 5: y 2 y 3 = y 5 Pero para qué contar las "y"s cuando los exponentes ya nos dicen cuántas hay? 35

36 Los exponentes nos dicen que hay dos "y"s multiplicadas por 3 "y"s que hacen un total de 5 "y"s: y 2 y 3 = y 2+3 = y 5 Así que el método más simple es sumar los exponentes! (Nota: esa es sólo una de las Leyes de los Exponentes) Variables mezcladas Si tienes una mezcla de variables, sólo suma los exponentes de cada una, así Con constantes Normalmente habrá constantes (números como 3, 2.9, ½ etc) mezclados también. No te preocupes! sólo multiplica las constantes por separado y pon en resultado en la respuesta: (Nota: he usado " " para indicar la multiplicación. En álgebra no nos gusta usar " " porque se parece a la letra "x") Aquí tienes un ejemplo más complicado con constantes y exponentes: Exponentes negativos Los exponentes negativos quieren decir dividir! 36

37 Acostúmbrate a este idea, es muy importante y útil! Dividir Así que... sólo resta los exponentes de las variables que están dividiendo! Aquí tienes una demostración más grande, con algunas variables: Las "z"s se cancelaron! (Tiene sentido, porque z 2 /z 2 = 1) 37

38 Puedes ver lo que está pasando si escribes todas las multiplicaciones, y después "quitas" las variables que están arriba y abajo: Pero otra vez, por qué contar las variables, cuando los exponentes te dicen cuántas hay? Cuando tengas práctica podrás hacer toda la cuenta muy rápidamente "de golpe" así: FUENTE: 38

39 Exponentes ANEXO III Los exponentes también se llaman potencias o índices El exponente de un número nos dice cuántas veces se usa el número en una multiplicación. En este ejemplo: 8 2 = 8 8 = 64 En palabras: 8 2 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado" Más ejemplos: Ejemplo: 5 3 = = 125 En palabras: 5 3 se puede leer "5 a la tercera potencia", "5 a la potencia 3" o simplemente "5 al cubo" Ejemplo: 2 4 = = 16 En palabras: 2 4 se puede leer "2 a la cuarta potencia" or "2 a la potencia 4" o simplemente "2 a la cuarta" Y los exponentes hacen más fácil escribir muchas multiplicaciones Ejemplo: 9 6 es más fácil de escribir y leer que Puedes multiplicar cualquier número por sí mismo tantas veces como quieras con esta notación. Así que, en general: a n te dice que multipliques a por sí mismo, y hay n de esos a's: 39

40 Exponentes negativos Negativos? Qué es lo contrario de multiplicar? Dividir! Un exponente negativo significa cuántas veces se divide entre el número. Ejemplo: 8-1 = 1 8 = 0,125 O varias divisiones: Ejemplo: 5-3 = = 0,008 Pero esto lo podemos hacer más fácilmente: 5-3 también se podría calcular así: 1 (5 5 5) = 1/5 3 = 1/125 = 0,008 Este último ejemplo nos muestra una manera más fácil de manejar exponentes negativos: Calcula la potencia positiva (a n ) Después cacula el recíproco (o sea 1/a n ) Más ejemplos: Exponente negativo Recíproco del exponente positivo Respuesta 4-2 = 1 / 4 2 = 1/16 = 0, = 1 / 10 3 = 1/1.000 = 0,001 Qué pasa si el exponente es 1 o 0? Si el exponente es 1, entonces tienes el número solo (por ejemplo 9 1 = 9) Si el exponente es 0, la respuesta es 1 (por ejemplo 9 0 = 1) 40

41 Tiene sentido Mi método favorito es empezar con "1" y multiplicar y o dividir tantas veces como diga el exponente, y tendrás la respuesta correcta, por ejemplo: Ejemplo: potencias de 5... etc , ,04... etc... Si miras esta tabla, verás que los exponentes positivos, cero y negativos son en realidad parte de un mismo (y bastante sencillo) patrón. Leyes de los exponentes Aquí están las leyes (las explicaciones están después): Ley Ejemplo x 1 = x 6 1 = 6 x 0 = = 1 x -1 = 1/x 4-1 = 1/4 x m x n = x m+n x 2 x 3 = x 2+3 = x 5 x m /x n = x m-n x 4 /x 2 = x 4-2 = x 2 (x m ) n = x mn (x 2 ) 3 = x 2 3 = x 6 (xy) n = x n y n (xy) 3 = x 3 y 3 (x/y) n = x n /y n (x/y) 2 = x 2 / y 2 x -n = 1/x n x -3 = 1/x 3 FUENTE: 41