Raíz Cuadrada y Números Reales

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3 Concept 1. Raíz Cuadrada y Números Reales CONCEPT 1 Raíz Cuadrada y Números Reales Objetivos de Aprendizaje Encontrar Raíces Cuadradas. Aproximar Raíces Cuadradas. Identificar números irracionales. Clasificar números reales. Graficar y ordenar números reales. Encontrar Raíces Cuadradas La raíz cuadrada de un número es un número el cual, cuando es multiplicado por el mismo, da como resultado el número original. En términos Algebraicos, la raíz cuadrada de x es un número, b, tal que b = x. Nota: Existen dos posibilidades para un valor numérico de b. El número positivo que satisface la ecuación b = x es llamado raíz cuadrada principal. Ya que ( b) ( b) = +b = x, b es también una solución válida. La raíz cuadrada de un número, x, está escrito como x o algunas veces como x. Por ejemplo, = 4, así que la raíz cuadrada de 4, 4 = ±. Algunos números, como 4, tienen raíces cuadradas enteras. Números con raíces cuadradas enteras son llamados cuadrados perfectos. Las primeras cinco raíces cuadradas perfectas de (1, 4,, 16, 5) son mostradas a continuación. Puedes determinar cuando un número es un cuadrado perfecto observando sus factores primos. Si cada número en el árbol de factores aparece un número regular de veces, el número es un cuadrado perfecto. Aún más, para encontrar la raíz cuadrada de ese número, simplemente toma uno de cada par de factores y multiplícalos juntos. Ejemplo 1 Encontrar la raíz cuadrada principal de cada uno de estos cuadrados perfectos. a) 11 b) 5 c) 4 d) 576 a) 11 =

4 11 = 11 b) 5 = (5 5) ( ) 5 = 5 = 15 c) 4 = ( ) ( ) ( ) 4 = = 18 d) 576 = ( ) ( ) ( ) ( ) 576 = = 4 Cuando tenemos un número impar de factores primos, dejamos cualquier factor sin pareja bajo un signo de radical o raíz cuadrada. Cualquier respuesta que contenga ambos números enteros y radicales que no puedan reducirse deberían ser escritos A b. Ejemplo Encontrar la raíz principal de los siguientes números. a) 8 b) 48 c) 75 d) 16 a) 8 = ( ) 8 = = b) 48 = ( ) ( ) 48 = = 4 c) 75 = (5 5) 75 = 5 = 5 d) 16 = ( ) ( ) 16 = = 6 = 6 6 Nota que en el último ejemplo recolectamos los números enteros y los multiplicamos primero, luego recolectamos números primos impares bajo un símbolo de radical. Aquí están las cuatro reglas que establecen cómo deben ser tratadas las raíces.

5 Concept 1. Raíz Cuadrada y Números Reales a b = ab a b = a b A a B b = AB ab A a B b = A B a b Ejemplo Simplifique los siguientes problemas de raíces cuadradas a) 8 b) 4 4 c) 1 d) a) 8 = 16 8 = 4 b) 4 4 = 1 1 = 1 ( ) = = 4 c) 1 1 = = 4 1 = d) = = 10 5 Aproximación de Raíces Cuadradas Cuando tenemos cuadrados perfectos, podemos escribir una solución numérica exacta para la raíz cuadrada principal. Cuando tenemos en el árbol de factores uno o más números primos sin pareja, de cualquier forma, no obtenemos valores enteros para la raíz cuadrada y hemos visto que dejamos un radical en la respuesta. Términos como, and 7 (raíces cuadradas de números primos) no pueden ser escritas como números racionales. Eso es, que no pueden ser expresadas como la relación de dos enteros. Los llamamos números irracionales. En forma decimal, después del punto, tienen una cadena de números interminable, aparentemente aleatoria. Para encontrar valores aproximados para raíces cuadradas, usamos el botón de la calculadora o x. Cuando el número que estamos encontrando en raíz cuadrada es un cuadrado perfecto, o el cuadrado de un número racional, obtendremos una respuesta exacta. Cuando el número no es un cuadrado perfecto, los decimales aparecerán aleatoriamente y tendremos un número irracional como nuestra respuesta. Le llamamos a esto una respuesta aproximada. Aunque pudiéramos tener una respuesta de ocho o nueve lugares decimales, aún representa una aproximación de la respuesta real la cual tiene un número infinito de decimales no repetitivos.

6 Ejemplo 4 Usar una calculadora para encontrar las siguientes raíces cuadradas. Aproxima tu respuesta a tres cifras decimales. a) b) 5 c) 0.5 d) 1.75 a) La calculadora da como respuesta b) La calculadora da como respuesta c) La calculadora da como respuesta d) La calculadora da como respuesta Identificar Números Irracionales Cualquier raíz cuadrada que no puede ser simplificada a una forma sin raíz cuadrada es irracional, pero no todas las raíces cuadradas son irracionales. Por ejemplo, 4 se reduce a 7 y también 4 es racional, pero 50 no puede ser reducida más que 5 = 5. El hecho que no podamos remover el factor de raíz cuadrada de hace 50irracional. Ejemplo 5 Identificar cual de los siguientes son números racionales y cuales son números irracionales. a).7 b).856 c) π d) 6 e).7 a).7 = Este es claramente un número racional. b).856 = Otra vez, este es un número racional. c) π = Los decimales aparecen aleatorios, y de la definición π sabemos que no se repiten. Este es un número irracional. d) 6 = Otra vez los decimales aparecen aleatoriamente. También sabemos que 6 =. Las raíces cuadradas de números primos son irracionales. 6 es un número irracional. 4

7 Concept 1. Raíz Cuadrada y Números Reales e).7 = Aunque estos decimales son recurrentes, ciertamente ellos no son impredecibles. Este es un número racional (de hecho,.7 = 6 11 ) Clasificación de Números Reales Ahora podemos ver como los números reales entran en muchas categorías. Si un número real puede ser expresado como un número racional, entra en una de dos categorías. Si el denominador de su forma simple es uno, entonces es un entero. Si no, es una fracción (este término es usado aquí para incluir también decimales, como.7 = ). Si el número no puede ser expresado como la relación de dos enteros (i.e. como una fracción), es irracional. Ejemplo 6 Clasificar los siguientes números reales. a) 0 b) -1 c) π d) e) 6 a) Cero es un entero. b) -1 es un entero. c) Aunque π está escrito como una fracción, el numerador (π) es irracional. π d) es un número irracional. no puede ser simplificado para remover la raíz cuadrada. es un número irracional. e) 6 puede ser simplificado a 6 = 6 = 5

8 6 es un número racional. Graficar y Ordenar Números Reales Ya hemos hablado sobre colocar enteros en la recta numérica. Nos proporciona una representación visual de qué número es mayor, menor, etc. Sería de todas formas útil colocar números no racionales (fracciones) en la recta numérica también. Hay dos formas para graficar números racionales en la recta numérica. Puedes convertirlos a un número mixto (en álgebra, graficar es una de las pocas instancias en que los números mixtos son preferidos a las fracciones impropias), o puedes convertirlos a la forma decimal. Ejemplo 7 Colocar los siguientes números racionales en la recta numérica. a) b) 7 c) 17 d) Si dividimos los intervalos en la recta numérica según el número del denominador, podemos observar el numerador de la fracción para determinar cuántos de éstos subintervalos necesitamos incluir. a) está entre 0 y 1. Dividimos el intervalo en tres unidades, e incluimos dos subintervalos. b) 7 está entre 0 y -1. Dividimos el intervalo en siete unidades, y nos movemos a la izquierda desde cero por tres subintervalos. c) 17 5 como número mixto es 5 subintervalos. y está entre y 4. Dividimos el intervalo en cinco unidades, y nos movemos dos d) como número mixto es 16 y está entre y 4. Necesitamos hacer dieciséis subdivisiones. 6

9 Concept 1. Raíz Cuadrada y Números Reales Ejemplo 8 Colocar los siguientes números, en orden correcto, en la recta numérica. a) π b) 7 c).14 d) 10 Usaremos una calculadora para encontrar expansiones decimales para cada una de estas, y usaremos una recta numérica dividida en 1000 subdivisiones. Cuando tenemos dos números extremadamente cercanos, nos aseguraremos que los colocamos en el orden correcto observando la expansión al rd lugar decimal y escribirlo como una fracción de a) π = b) 14 7 = c) d) 10 = Resumen de la Lección La raíz cuadrada de un número es un número el cual, cuando es multiplicado por el mismo, da como resultado el número original. En términos Algebraicos, la raíz cuadrada de x es un número, b, tal que b = x, o b = x Existen dos posibilidades para el valor numérico de b. Un valor positivo llamado raíz cuadrada principal y un valor negativo (el opuesto del valor positivo). Un cuadrado perfecto es un número con una raíz cuadrada entera. Aquí están algunas propiedades matemáticas de las raíces cuadradas. a b = ab a b = a b A a B b = AB ab A a B b = A B a b La Raíz Cuadrada de números primos son números irracionales. Ellos no pueden ser escritos como números racionales (la relación de dos enteros). En forma decimal, después del punto, tienen una cadena de números interminable, aparentemente aleatoria. Al computar la raíz cuadrada en una calculadora producirá una solución aproximada ya que existen un número finito de dígitos después del punto decimal. 7

10 Ejercicios de Repaso 1. Encontrar las siguientes raíces cuadradas exactas sin usar calculadora, dando tu respuesta en la forma más simple. a. 5 b. 4 c. 0 d. 00 e f. g. h. i. j Usar una calculadora para encontrar las siguientes raíces cuadradas. Aproximar la respuesta usando dos decimales. a. 1 b. c. 1 d. e. 000 f. 0.5 g. 1.5 h. 0.7 i. 0.7 j Clasificar los siguientes números como un entero, un número racional o un número irracional. a. 0.5 b. 1.5 c. 0 d. 5 e Colocar los siguientes números en orden numérico, desde el más bajo hasta el más alto Usa los puntos marcados en la recta numérica e identifica cada fracción propia. Respuestas

11 Concept 1. Raíz Cuadrada y Números Reales o racional. irracional. irracional 4. entero 5. entero