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1 Notación científica Say Thanks to the Authors Click (No sign in required)

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3 Concept 1. Notación científica CONCEPT 1 Notación científica Objetivos de aprendizaje Escribir números en notación científica. Evaluar expresiones en notación científica. Evaluar expresiones en notación científica usando una calculadora para hacer gráficas. Introducción a las potencias de 10 Consideré el número seiscientos cuarenta y tres mil doscientos noventa y siete. Este se escribe como 643, 297 y cada posición de los dígitos tiene un valor asignado a este. Habrás visto con anticipación una tabla como la siguiente. centenas de millar decenas de millar unidades de millar centenas decenas unidades Se ha visto que cuando se escribe un exponente sobre un número esto significa que se tienen que multiplicar cierto número de factores del número juntos. También se ha visto que un exponente cero siempre da uno y un exponente negativo genera respuestas fraccionarias. Observé con atención la tabla de arriba. Ha notado que todas las cabeceras de las columnas son potencias de 10? Aquí se muestra la lista. 100,000 = ,000 = ,000 = = = 10 1 Hasta la columna de las unidades es justamente una potencia de diez. Unidad significa 1 y 1 = Si se divide 643, 297 por 100, 000 se obtiene Si se multiplica este resultado por 100, 000 se regresa al número original. Pero hemos visto que 100, 000 es lo mismo que 10 5, así que si multiplicamos por 10 5 deberíamos también obtener nuestro número original. En otras palabras = 643,297 Así hemos encontrado una nueva forma de escribir números. Qué piensas que pasaría cuando continuamos las potencias de diez? Pasada la columna de las unidades hasta cero llegamos a los decimales, aquí el exponente se vuelve negativo. 1

4 Escritura de números mayores que uno en notación científica Los números en notación científica siempre son escritos en la siguiente forma. a 10b Donde 1 a < 10 y b, el exponente, es un entero. Esta notación es especialmente útil para números que son muy pequeños o muy grandes. Cuando se usa notación científica para escribir números, el exponente del 10 determina la posición del punto decimal. Observé los siguientes ejemplos = 10, = 1, = = = = = = = Observé el primer término de la lista y examine la posición del punto decimal en ambas expresiones. Así el exponente en el diez actúa para remover el punto decimal hacia la derecha. Un exponente 4 lo mueve 4 lugares y un exponente 3 lo moverá 3 lugares. Ejemplo 1 Escribir los siguientes números en notacion cientifica. (a) 63 2

5 Concept 1. Notación científica (b) 9, 654 (c) 653, 937, 000 (d) 1, 000, 000, 006 (a) 63 = = (b) 9,654 = ,000 = (c) 653,937,000 = ,000,000 = (d) 1,000,000,006 = ,000,000,000 = Ejemplo 2 El sol está aproximadamente a 93 millones de millas de la Tierra. Escribir está distancia en notación científica. Esta vez escribiremos en número de forma completa (con un punto decimal) y contaremos las cifras decimales. 93, 000, = {{ 7 millas 7 cifras decimales Una nota sobre cifras significativas A menudo se combina notación científica con números aproximados. Si se observa el ejemplo 2, la distancia que se proporciona ha sido aproximada. Es poco común que la distancia sea exactamente de 93 millones de millas. Volviendo a observar los números en el ejemplo 1, si aproximamos las dos ultimas respuestas a 2 cifras significativas (2 c.s.), se tiene: 1(c) (d) Nota que el cero después del punto decimal se ha dejado en el ejemplo 1(d) para indicar que el resultado ha sido aproximado. Es importante saber cuándo se puede aproximar y cuándo no se puede aproximar. Escritura de números menores que uno en notación científica Hemos visto cómo podemos usar notación científica para expresar números grandes, pero también es igualmente bueno expresar números extremadamente pequeños. Consideré el siguiente ejemplo. Ejemplo 3 El tiempo que toma un rayo de luz en cruzar un campo de juego es segundos. Expresar este tiempo en notación científica. Como antes, procederemos de manera similar. Así = = ,000,000 = =

6 Así como un exponente positivo sobre el diez mueve el punto decimal tantos lugares hacia la derecha, un exponente negativo mueve el punto decimal tantos lugares hacia la izquierda. Ejemplo 4 Expresar los siguientes números en notación científica. (a) (b) (c) (d) Usemos el método de contar cuántos espacios moveremos el punto decimal hasta que este se encuentre después del primer dígito diferente de cero. Esto nos dará el valor de nuestro exponente negativo. (a) {{ = lugares decimales (b) {{ = lugares decimales (c) {{ = lugares decimales (d) {{ = lugares decimales Evaluación de expresiones en notación científica Cuando nos enfrentamos con productos y cocientes que involucran notación científica, necesitamos recordar las reglas de los exponentes que se estudiaron con anterioridad. Es relativamente fácil trabajar con problemas que involucran notación científica si se recuerda cómo manipular todas las potencias de 10 juntas. Los siguientes ejemplos ilustran esto. Ejemplo 5 Evaluar las siguientes expresiones y escribir la respuestas en notación científica. (a) ( ) ( ) (b) ( ) ( ) (c) ( ) ( ) La llave para evaluar expresiones que involucran notación científica es mantener las potencias de 10 juntas y operarlas separadamente. Recuérdese que cuando se usa notación científica, el número principal debe estar entre 1 y 10. Necesitamos mover el punto decimal un espacio a la izquierda. Observé como esto agrega un 1 al exponente del 10. (a) 4

7 Concept 1. Notación científica ( ) ( ) = (b) ( ) ( ) = 3.2 {{ {{ ( ) ( ) = ( ) ( ) = (c) ( ) ( ) = 5.2 {{ {{ = ( ) ( ) = Ejemplo 6 ( ) ( ) = 1.7 {{ {{ Evaluar las siguientes expresiones. Aproximar a 3 cifras significativas y escribir la respuesta en notación científica. (a) ( ) ( ) (b) ( ) ( ) (c) ( ) ( ) Será más fácil si convertimos a fracciones y entonces separamos las potencias de 10. (a) ( ) ( ) = Siguiente, separamos las potencias de 10. = Evaluamos cada fracción (aproximar a 3 s.f.): = (6 11) Recordar cómo se escribe en notación cientãfica! = ( ) ( ) = (aproximado a 3 cifras significativas) (b) 5

8 ( ) ( ) = Separar las potencias de 10. = Evaluar cada fracción (aproximar a 3 c.s.). = (( 4) ( 19)) = ( ) ( ) = (aproximado a 3 cifras significativas) (c) ( ) ( ) = Siguiente, separamos las potencias de 10. = Evaluamos cada fracción(aproximamos a 3 c.s.). = (6 ( 11)) Recordemos cómo escribir en notación cientãfica! = ( ) ( ) = (aproximado a 3 cifras significativas) Nota que el cero final se ha dejado para indicar que el resultado ha sido aproximado. Evaluación de expresiones en notación científica usando una calculadora para construir gráficas Todas las calculadoras científicas y calculadoras para construir gráficas tienen la función para trabajar con notación científica. Es extremadamente útil aprender cómo usar esta función. Para insertar un número en notación científica su la tecla [EE]. La cual es [2nd] [,] en algunos modelos de calculadoras TI. Por ejemplo para ingresar introducir 2.6 [EE] 5. Cuando se presiona la tecla [ENTER] la calculadora muestra 2.6E5 si esta ha sido configurada para la modalidad científica o muestra si esta ha sido configurada para la modalidad normal. (Para cambiar de modalidad presioné la tecla Mode ) Ejemplo 7 6

9 Concept 1. Notación científica Evaluar ( ) ( ) usando una calculadora para construir gráficas. [ENTER] 1.7 EE EE -11 y presioné [ENTER] La calculadora muestra E16 si está en la modalidad normal o científica. Este es el caso, ya que el número es bastante grande y no cabe dentro de la pantalla en el modo normal. ( ) ( ) = Ejemplo 8 Evaluar ( ) ( ) usando una calculadora para construir gráficas. [ENTER] 2.3 EE EE -10 y presioné [ENTER] La calculadora muestra en modalidad normal o 1.127E-3 modalidad científica. ( ) ( ) = Ejemplo 9 Evaluar ( ) 3 usando una calculadora para construir gráficas. [ENTER] (4.5EE14) 3 y presionar [ENTER]. La calculadora muestra E43 ( ) 3 = de problemas del mundo real usando notación científica Ejemplo 10 7

10 La masa de un átomo de litio es aproximadamente un uno por ciento de una millonésima de una billonésima de una billonésima de un kilogramo. Expresé la masa en notación científica. Sabemos que por ciento significa dividir por 100, así que nuestro cálculo para la masa (en kg) es ,000, ,000,000, ,000,000,000 = A continuación, usamos la regla del producto de potencias que se estudió al inicio de este capítulo = 10 (( 2)+( 6)+( 9)+( 9)) = kg. La masa de un átomo de litio es aproximadamente kg. Ejemplo 11 Se pueden colocar alrededor de 3 millones de bacterias E coli en la cabeza de un alfiler. Si el tamaño de la cabeza del alfiler es m 2, calculé el área que ocuparía una bacteria E. coli. Expresé la respuesta en notación científica. Como nuestra respuesta debe estar expresada en notación científica convertiremos primeramente 3 millones a ese formato: 3,000,000 = Seguidamente, necesitamos una expresión que involucre nuestra incógnita. Llamemos a esta variable A. El área ocupada por una bacteria A = ya que 3 millones de ellas llenan la cabeza del alfiler. Despejando A: 1 A = ordenando los términos se obtiene A = luego usando la definiciónde exponente negativo A = evaluando los exponentescombinados usando la regla del producto. A = Sin embargo, no podemos dejar la respuesta de esta forma. El área de una bacteria es A = m 2 Nota que se ha movido el punto decimal una posición hacia la derecha, lo cual resta 1 del exponente de 10. 8

11 Concept 1. Notación científica Ejercicios de repaso 1. Escribir el valor numérico de las siguientes expresiones. a b c d e Escribir los siguientes números en notación científica. a. 120,000 b. 1,765,244 c. 12 d e La Luna es aproximadamente una esfera de radio r = millas. Usé la fórmula de la superficie Área = 4πr 2 para determinar el área de la superficie de la Luna en millas cuadradas. Exprese la respuesta en notación científica, aproximar a 2 cifras significativas. 4. La carga de un electrón es aproximadamente coulombs. Un faradio es igual a la carga total de electrones. Cuál es, en coulombs, la carga de un faradio? 5. Próxima Centauri la siguiente estrella más cercana a nuestro Sol esta a aproximadamente millas de distancia. Si la luz desde Próxima Centauri se toma horas para alcanzarnos, calculé la velocidad de la luz en millas por hora. Exprese la respuesta en notación científica, aproximando a 2 cifras significativas. Respuestas a los ejercicios de repaso millas , 320 o millas por hora 9