SOBRE GENERACION DE CURVAS ORBIFORMES (*)

Transcripción

1 J. VALERA GIL (Buenos Aires - Argentina) SOBRE GENERACION DE CURVAS ORBIFORMES (*) 1. - En todo este trabajo nos referiremos unicamente a cur vas de Jordan, es decir, conjuntos de puntos en correspondencia biunivoca y continua con los puntos de un segmento, reguläres, entendiéndose por curva regular, una curva con tangente unica en cada punto, girando esta siempre en el mismo sentido al moverse el punto sobre la curva en sentido constante. Si se trata de curvas cerradas la correspondencia debe establecerse con los puntos de una circunferencia. Nos proponemos estudiar en esta nota qué condiciones debe reunir un polìgono curvihneo de lados reguläres, tangentes en los vertices, formando en ellos puntos de retroceso de primera especie, para que sea evoluta de una curva orbiforme. Observemos primeramente que si se tiene un arco de curva regular (fig. 1) y las tangentes en sus extremos, de manera que la curva séa en todos los puntos convexa respecto al punto de encuentro de dichas tangentes, la amplitud (flexion) de la curva, o sea el ângulo descrito por la tangente mientras el punto recorre toda la curva, es igual al suplementario del que contiene a la curva. En cambio, si la curva es la AB (fig. 2) con las tangentes en sus extremos y tiene la propiedad de que todas las tangentes la dejan en la misma region en que dejan al punto O, la amplitud es el ângulo concavo MO A Para estudiar las propiedades de los polïgonos eurvilineos que consideramos, construiremos lo que vamos a llamar el poligono rectilineo adjunto, que se obtiene uniendo por medio de rectas, los vertices consecutivos del curvilìneo dado. TEOREMA: La suma de las amplitudes de los lados de un poligono formado por curvas reguläres tangentes en los vertices, formando en ellos puntos de retroceso de primera especie, es igual a la suma de los ângulos del polìgono rectilineo adjunto. (*) Nota del Comitato. Questa comunicazione, che apparterrebbe alla Sezione II-A, si trova pubblicata qui per ritardo nel rinvio delle bozze.

2 484 COMUNICAZIONI Consideremos (fig. 3) un polìgono curvilineo con su rectilìneo adjunto. Trazando en los vertices las tangentes comunes a cada dos lados consecutivos, un lado del rectilìneo y cada dos de aqueuas, formarân un triângulo. El ângulo Fig. 3. de cada dos tangentes, suplementario del que contiene a cada lado del curvilìneo tangente a ellas, es igual a la amplitud de ese lado del curvilìneo, e igual a la suma de los que forman cada lado del rectilìneo con las tangentes al curvilînio que pasan por los extremos de ambos. Se tiene, pues, adoptando las notaciones de la figura, que: a + ß + y + o + l + w = (l + 2) + (2 + 4) (12 + 1) y corno la suma de estos Ultimos, es igual a la de los ângulos del rectilìneo, que da demostrado el teorema. La demostración subsiste en el caso de que haya lados de amplitud igual o mayor que n, pues si se trata, por ejempio, del arco AMB (fig. 4), cuya amphtud es igual al ângulo concavo BCE, se tiene: A = ß + y) B=a + y >A+B=a + ß + 2y=2R + y=ang. concavo BCE

3 J. VALERA GIL: Sobre generacion de curvas orbiformes Fijemos un sentido sobre el perìmetro del polìgono rectilìneo, y prolonguemos todos sus lados en ese sentido ; la prolongation de un lado y el siguiente, formarä en cada vèrtice un ângulo que sumado al del polìgono valdrâ n, si se ha fijado tambien un sentido positivo para los ângulos. Llamando 2', 4', 6', etc., a esos ângulos externos y A, B, C, etc., a los del polìgono, podremos escribir (a + a') + (ß + ß') (co + o/) = (1) y (!') (a + ß + y+... +to) + (u' + fi' + y' (o f )=nji; (A + B+C+... +i^) + (2' + 4' >7r siendo n el numero de lados del polìgono. Por ser iguales los primeros paréntesis de las igualdades (1) y (1'), resulta (a' + ß' to') = (2' + 4' ') ; pero, por no tener los polîgonos curvihneos que consideramos puntos de retroceso de segunda especie, la suma de las amplitudes de esos lados es igual a un multiplo de n, mn (m intero), luego: de donde segun (1) ó (a + /? co)=mn a' + ß'+... +(D f = (n m)7c 2' + 4' ' = (n-m)7i es decir un mùltiplo de n, y corno los lados del polìgono rectilìneo se han prolongado en un mismo sentido, ese multiplo de TI, sera, necesariamente, par. Los polîgonos de lados rectos que cumplen la condición de que las sumas de los ângulos formados en cada vèrtice por un lado y la prolungación del otro al prolongar todos los lados en un mismo sentido, séa un multiplo de2jt, distinto de cero, son los que nos interesan para nuestro estudio Llamaremos genero de un polìgono formado por rectas a su numero de lados, y especie al multiplo de 2n que mide la suma de los ângulos externos que resultan de prolongar en un mismo sentido todos sus lados. El gènero lo designaremos por n y la especie por q. En los polîgonos rectilîneos que estudiamos las sumas de sus ângulos es igual, en cada uno de ellos, a 2n Aq rectos, pues siendo 2nR la suma de los del polìgono y de los externos, por definición de especie, se deduce que la de los primeros vale 2n Aq rectos. Para determinar la especie, se fija un sentido al perìmetro del polìgono y

4 486 COMUNICAZIONI por un punto del plano, se trazan paralelas a los lados, dirigidas en el sentido de éstos. La suma de los ângulos formados, sera un multiplo de 2n, que indicarâ la especie del polìgono Llamaremos genero y especie de un poligono curvilineo, al gènero y especie de su rectilìneo adjunto. Del teorema demostrado en el pârrafo 4, se deduce inmediatemente el siguiente: TEOREMA: La suma de las amplitudes de los lados de un poligono curvilineo formado por curvas reguläres tangentes en los vertices, formando en ellos puntos de retroceso de primera especie, es igual a 2n kq rectos. Podemos conocer ahora, inmediatemente, si un polìgono curvilìneo dado puede ser evoluta de una curva convexa cerrada regular. Es preciso, ante todo, que la amplitud de su perìmetro séa igual a 2JI cuando la evolvente està engendrada por un punto de la tangente a la evoluta que rueda una sola vez sobre todo el perìmetro de esta ; o lo que es lo mismo, que esa amphtud, que es igual a 2n 4g, valga 4 rectos. Se determina si se cumple esa condición por medio de su rectilìneo adjunto De la expresión se deduce Dando a q los valores resultan para n los siguientes : 2w 4<7 = 4 n=2q , 2, 3,... n, 4, 6, 8, 10,... 2n + 2. Luego: el numero de vertices de una curva convexa regular, no puede ser inferior a 4 y es siempre numero par Se necesita tambien para que un polìgono curvilìneo sea evoluta de una curva convexa cerrada regular, que el punto de la tangente a la evoluta que engendra la evolvente, vuelva a su posición primitiva despues de haber rodado la recta sobre el périmètre» de la evoluta. Designemos por s iy s 2, s s, s 4,..., s 2n las longitudes de los lados de la evoluta (fig. 5). Fig. 5. Séa M un punto de la tangente a la evoluta en uno de los vertices, el generador de la curva evolvente y a la distancia de M a dicho vèrtice.

5 o bien J. VALERA GIL: Sobre generacion de curvas orbiformes 487 Para que la curva séa cerrada se necesita que se tenga a=a + Si s 2 + s 3 s A... s 2n, Si + s- i + s ï} + s 1 + s*... + s 2w. i ---- s 2 + s t + s 0 + s s 2n ; resulta, por lo tanto, esta propiedad: TEOREMA: La condition necesaria y suficiente para que un polìgono curvilineo formado por curvas reguläres tangentes en los vertices, siendo estos puntos de retroceso de primera especie, séa evoluta de una curva regular convexa cerrada engendrada por un punto de una tangente a dicha evoluta y que rueda una sola vez sobre el contorno de ella, es que satisfag a a la condition 2n 4g=4, y que la suma de las longitudes de los lados de or den par séa igual a la de las longitudes de los lados de orden impar Se sabe que una curva orbiforme se engendra por dos puntos de una recta que rueda sobre la evoluta de aquella. En este caso, para que se tenga una cerrada, debe verificarse que la amphtud del perìmetro de la evoluta séa igual a n, o lo que es lo mismo, que se cumpla la condición rt A _. _.... 2n q=2 o n=2q + l (1) Haciendo q igual a -i o Q A 1, À, ô, 4,... resultan para n los valores 3, 5, 7,... Siendo dos puntos de la tangente a la evoluta los que engendran la evolvente, el numero de vertices de estas curvas sera uno de los términos de la progrésion (2) 6, 10, 14,...; luego, el numero de vertices de una curva orbiforme no es inferior a 6 y es siempre uno de los términos de la progrésion (2) Si llamamos a a la distancia del punto de la tangente a la evoluta, generador de la evolvente, al punto de tangencia, y s l9 s 2, s 3, s 4,..., s 2ìl+i a las longitudes de los lados de aquella, se verîa fàcilmente que la anchura del recinto correspondiente es igual a la suma 2a + Si s 2 + s s 2n+i. Se observa tambien que si un polìgono curvilìneo de un numero impar de lados satisface la condición 2rc-4g=2,

6 488 COMUNICAZIONI es la evoluta de una curva orbiforme con indicatrìz contìnua, sin que seâ necesario ninguna relación entre las longitudes de los lados. Se puede, pues, enunciar la siguiente propiedad: TEOREMA : Todo poligono curvilineo de lados reguläres tangentes en los vertices y formando en ellos puntos de retroceso de primera especie, es la evoluta de una infinidad de curvas orbiformes, con indicatriz de curvatura continua, paralelas, si satis face a la condition de que sea 2n q=2. De esto se deduce facilmente que se puede siempre inscribir en una circunferencia, una curva orbiforme con indicatriz de curvatura continua, que le sea tangente en n puntos, siendo n un numero impar tan grande corno se quiera, porque dividiendo la circunferencia en un numero n impar de partes iguales y trazando el polìgono estrehado cuyo lado sea la cuerda del arco que comprenda ^ divisiones, se construye de inmediato la evoluta de la curva buscada.