MATEMÁTICAS IV UNAM CICLO ESCOLAR 07/08

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1 MATEMÁTICAS IV UNAM CICLO ESCOLAR 07/08

2 OBJETIVOS GENERALES DEL CURSO Por medio de los contenidos propuestos, el alumno conocerá, comprenderá y aplicará la simbología de los conjuntos, las diferentes bases numéricas, las propiedades de los números reales y las operaciones fundamentales con expresiones algebraicas; el planteamiento, la resolución e interpretación de problemas de ésta y otras disciplinas, principalmente de la Física, la Química y la Economía que se resuelven en términos de una ecuación, una desigualdad o un sistema de ecuaciones o un sistema de desigualdades. UNIDADES DEL PROGRAMA DE ESTUDIOS PÁGINAS PESO PORCENTUAL I CONJUNTOS 1 a la 13 14% II. SISTEMAS DE NUMERACIÓN 14 a la 1 11% III. EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES a la 44 1% IV. OPERACIONES CON MONOMIOS Y 45 a la 66 11% POLINOMIOS EN UNA VARIABLE V. PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN 67 a la 81 11% VI. OPERACIONES CON FRACCIONES 8 a la 90 7% ALGEBRAICAS Y RADICALES VII. ECUACIONES Y DESIGUALDADES 91 a la % VIII. SISTEMA DE ECUACIONES Y 117 a la % DESIGUALDADES TOTAL %

3 UNIDAD I CONJUNTOS Objetivos: Conocer la noción de conjuntos. Comprender las operaciones entre conjuntos, para que el alumno sea capaz de resolver problemas de su entorno. Contenidos temáticos: I. Idea intuitiva de un conjunto. Se abordarán ejemplos para llegar al concepto de conjunto y su notación. Se definirá por extensión y por comprensión, estableciéndose la pertenencia y no pertenencia. II. Cardinalidad. Se establecerá la cardinalidad de un conjunto como el número de elementos que lo componen. III. Conjuntos. Universal. Vacío. Finito. Infinito. Iguales. Equivalentes. Ajenos. Subconjuntos Se definirá: el conjunto universal, el conjunto vacío, cuándo dos conjuntos son iguales, equivalentes y ajenos. Cuándo un conjunto es subconjunto de otro. IV. Operaciones. Diagrama de Venn - Euler. Se establecerán las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento entre conjuntos y se considerarán diagramas de Venn - Euler para representarlas. V. Producto cartesiano de dos conjuntos. Plano cartesiano. Gráfica. Se definirá el producto cartesiano de dos conjuntos particularmente R X R que determina el plano cartesiano. Se establecerán nombres, sentido y origen en los dos ejes perpendiculares. Se definirán las coordenadas de un punto y se establecerá una correspondencia biunívoca entre parejas ordenadas de números reales y puntos del plano así definido. Se establecerá cuál es la gráfica de un producto cartesiano.

4 4 I. Idea intuitiva de un conjunto. 1. Completa la tabla siguiente, relacionada con el concepto de conjunto y su notación. CONCEPTO DEFINICIÓN NOTACIÓN EJEMPLO 1 a) Conjunto b) Elemento c) Pertenece d) No pertenece. Considerando los conjuntos G y J, escribe el símbolo y según corresponda en cada caso, para establecer la pertenencia y no pertenencia. G {Suecia, Francia, Camerún, Argentina, Nigeria, Egipto} J {, 4, 6, 8, 10, 1, 14} a) Suecia G d) Argentina J b) 1 J e) 14 G c) Francia J f) 10 G 3. Considerando los conjuntos D y E, escribe el símbolo y según corresponda en cada caso, para establecer la pertenencia y no pertenencia. D {0, 1,, 4, 7, 9, 11} E {estudiante, profesor, biblioteca, aula, pizarrón} a) Bibliotec D d) Aula E a b) 4 E e) Profesor D c) 11 D f) E 4. Define un conjunto por extensión: 5. Define un conjunto por comprensión:

5 5 6. De acuerdo a la definición de conjuntos por extensión y por comprensión, menciona en cuál de las dos formas indicadas está escrito el conjunto (por extensión o por comprensión). a) A {x x es mes del año} b) G {4, 8, 1, 16, 0, 4,8, 3, 36, 40} c) F {Luna} d) B {x x es número par, menor o igual a 18 y mayor a cinco} e) C {x x es país de Norteamérica} f) D {x x es día de la semana} g) E {Juan, Pedro, Manuel, Raúl} h) J {x x es número impar, menor o igual a 17 y mayor a 3} i) M {x x es número primo, menor a 18 y mayor o igual a } j) E {Bogotá} k) G {x x es número par, mayor a 4 y menor a 0 } l) A {enero, febrero} m) B {primavera, verano, otoño, invierno} n) C {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, } o) D {a, e, i, o, u} p) A {10, 0, 30, 40} q) B {x l x es vocal} r) C {4, 5, 6,...} s) D {x l x es compañero de mi grupo} II. Cardinalidad. 7. Establece la cardinalidad de un conjunto como el número de elementos que lo componen y escribe el resultado en la columna que se indica. CONJUNTO a) A {x x es mes del año} b) B {x x es número par, menor o igual a 18 y mayor a cinco} c) C {x x es país de Norteamérica} d) D {x x es día de la semana} e) A {10, 0, 30, 40} f) B {x l x es vocal} g) C {4, 5, 6} h) D {x l x es capital de Brasil} i) F { x l x es moneda de Inglaterra} CARDINALIDAD DEL CONJUNTO

6 6 III. Conjuntos. 8. Completa la tabla siguiente, que corresponde a la definición de tipos de conjuntos. CONCEPTO DEFINICIÓN SÍMBOLO EJEMPLOS a) Conjunto universal b) Conjunto vacío c) Conjunto finito d) Conjunto infinito e) Conjuntos iguales f) Conjuntos equivalentes g) Conjuntos ajenos 9. De acuerdo a las definiciones de tipos de conjuntos, contesta las preguntas siguientes: a) Qué factor determina que un conjunto sea considerado universal o vacío? b) Qué característica indica que un conjunto sea considerado finito o infinito? c) Cuándo se indica que dos conjuntos son iguales? d) Cuándo se menciona que dos conjuntos son equivalentes? e) En qué casos se afirma que dos conjuntos son ajenos? 10. Con relación a las definiciones de conjuntos y tomando como referencia los conjuntos R, S, T y W, selecciona la respuesta correcta en cada caso. R {, 4, 6, 8, 10}, S {x I x es número par mayor o igual a y menor a 11} T {1, 3, 5, 9}, W {0} a) Al comparar los conjuntos R y T se concluye que éstos son: ( ) a. R T b. R T c. R T b) Elige el par de conjuntos que son equivalentes ( ) m. W S p. T R z. S T

7 7 11. Define cuándo un conjunto es subconjunto de otro. 1. Qué símbolo se utiliza para indicar que un conjunto es subconjunto de otro conjunto? 13. Anota el símbolo que se emplea para señalar que un conjunto NO está contenido en otro conjunto. 14. En cada caso, de acuerdo a los conjuntos L, M, Q, identifica qué conjunto es subconjunto de otro conjunto y escribe el símbolo ó (es subconjunto o no es subconjunto): L {x l x es vocal}, M {x I x es letra del alfabeto}, Q {f, g, h, j, k} a) Q L d) M Q b) L Q e) Q M c) M L f) L M 15. En cada caso, de acuerdo a los conjuntos A, B, C, identifica qué conjunto es subconjunto de otro conjunto y escribe el símbolo ó (es subconjunto o no es subconjunto): A {x l x es número dígito}, B {0,, 4, 6, 8, 10}, C {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} a) C A d) C B b) B C e) B A c) A C f) A B IV. Operaciones. Diagrama de Venn - Euler. 16. Llena la tabla con las diferentes operaciones entre conjuntos, define y señala con que símbolo se establecen. NOMBRE DE LA OPERACIÓN DEFINICIÓN SÍMBOLO a) Unión b) Intersección c) Diferencia d) Complemento

8 17. Considerando los conjuntos que se mencionan en cada rubro, resuelve las operaciones que se solicitan. 8 A {0, 1,, 5, 7,c, d, e, f, m} B { x x es número entero mayor o igual a 1 menor a 8} D {1,, 3, 4, 6, f, m, w} E { 0, 5, 7,e, f, w } F { } a) A D b) B E c) A C d) E A c e) ( D A) f) ( B A) ( D E) g) ( A D) ( F B) h) ( ) ( ) C B D B E

9 18. Considerando los conjuntos que se mencionan en cada rubro, resuelve las operaciones que se solicitan. 9 A {x x es número par menor a ocho} B {x x es número impar menor o igual a cinco y mayor a dos} C {x x es número primo mayor o igual a uno y menor o igual a seis } D {0, 4, 5, 6, 7} E {1, 3, 6, 10} a) A E b) B D C D d) E B c) ( ) C e) ( D C) c f) ( E A) ( B D) g) ( B A) ( E B) h) ( A C) C ( D E) C

10 19. Representa, en un diagrama de Venn-Euler, los conjuntos que se mencionan: U A B C { 0,1,,3,4,5,6,7,8,910} {,4,5,7,9,10} { 0,1,4,8,9 } { 0,6,7,8,9,10} Representa, en un diagrama de Venn-Euler, los conjuntos que se mencionan: U A B C { a, b, c, d, e, f, j, k, m, t} { b, k, m, t} { c, k, t} {} a 1. Dibuja el diagrama de Venn-Euler que representa la operación, entre dos conjuntos, indicada en cada caso. a) Unión A B b) Intersección: B D c) Diferencia E B d) Complemento C B

11 11. En una escuela de idiomas trabajan 67 personas, de las cuales, 47 hablan el idioma inglés, 35 francés y 3 ambos idiomas. Cuántas personas que trabajan en dicho instituto no hablan ni inglés ni francés? Para resolver este reactivo, se sugiere que dibujes el diagrama de Venn-Euler que representa al enunciado. 3. En un grupo de 30 alumnos 16 aprobaron matemáticas, 16 biología y 1 química. Si 3 alumnos aprobaron las 3 materias, 5 solamente biología y química, sólo química y 4 solamente biología, encuentra: a. Numero de alumnos que aprobaron sólo matemáticas y biología b. Numero de alumnos que aprobaron solamente matemáticas c. Numero de alumnos que reprobaron las 3 materias. Para facilitar la solución de este reactivo, se sugiere que dibujes el diagrama de Venn - Euler que representa al enunciado.

12 1 V. Producto cartesiano de dos conjuntos. Plano cartesiano. Gráfica. 4. Define el producto cartesiano de dos conjuntos, particularmente R X R, que determina el plano cartesiano 5. Qué se requiere para ubicar un punto en el plano cartesiano? 6. Establece el nombre de los ejes perpendiculares, en un plano cartesiano 7. Establece el sentido de los ejes perpendiculares, en un plano cartesiano 8. Cómo se definen las coordenadas de un punto? 9. Cómo se forma una pareja ordenada? 30. Relaciona las columnas para lo cual será necesario identificar las características de los pares ordenados según su ubicación en los cuadrantes del plano cartesiano, que permite establecer la correspondencia biunívoca entre parejas ordenadas de números reales y puntos en el plano. ( ) 158 Señala el cuadrante en el que se ubica un par ordenado con abscisa positiva y ordenada negativa ( ) 159 Identifica el cuadrante en el que se ubica un par ordenado con abscisa negativa y ordenada negativa ( ) 160 Señala el cuadrante en el que se ubica un par ordenado con abscisa positiva y ordenada positiva ( ) 161 Identifica el cuadrante en el que se ubica un par ordenado con abscisa negativa y ordenada positiva M. Primer cuadrante F. Tercer cuadrante H. Cuarto cuadrante L. Segundo cuadrante K. Origen

13 Ubica los pares ordenados (X, Y) en el plano cartesiano a) A(-, 3) d) D(0, -) g) G(-1, 6) j) J(3, 8) m) M(-7/, 3/) b) B(1, -5) e) E(-1, -4) h) H(8, 0) k) K(-7, 0) n) N(3, 4) c) C(-3, 5) f) F(-8, 1) i) I(0, 6) l) L(1/, -4) o) Z(-, -5)

14 3. Establece la gráfica del producto cartesiano entre los conjuntos que se indican en cada caso. a) A X B, si B { 1, 3, 5} y C {0, } 14

15 15 b) T X Q, si Q { x R x 3}, T { x R 1< x 3}

16 16 UNIDAD II SISTEMAS DE NUMERACIÓN Objetivos: Comprender cómo surgieron los sistemas de numeración en diferentes culturas de la antigüedad hasta llegar al sistema decimal adoptado universalmente. Operar con sistemas de numeración de diferentes bases para que el estudiante comprenda los algoritmos de las operaciones en el sistema decimal. Contenidos temáticos: I. Breve reseña histórica Se abordará una breve reseña histórica de la evolución de las Matemáticas; desde sus comienzos hasta su indiscutible influencia en el desarrollo tecnológico de nuestros días. II. Sistemas de numeración Se señalarán las condiciones con las que se establecieron los distintos sistemas de numeración, abordando los principios de posición y aditivo. III. Sistema decimal Se revisará detalladamente el sistema decimal enfatizando que es un sistema posicional y aditivo. IV. Sistemas de diferentes bases Se considerarán diferentes bases para expresar un número, por ejemplo 7 y 13. V. Sistema de base Se enfatizará en el sistema de base y su importancia en la computación. VI. Operaciones en distintas bases Se hará hincapié en el razonamiento de los algoritmos y se abordarán las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división en distintas bases.

17 17 I. Breve reseña histórica 1. Completa el siguiente cuadro, para abordar la breve reseña histórica de la evolución de las matemáticas: Cultura Base Existencia del cero Numerales o guarismos Egipcia Romana Maya Babilónico II. Sistemas de numeración. Representa los siguientes números en sistema romano: a) 19 f) 154 b) 8 g) 110 c) 39 h) 399 d) 65 i) e) 99 j) 1, 300, Señala el principio de posición 4. Señala el principio aditivo III. Sistema Decimal 5. Representa los siguientes números decimales como suma de potencias de diez, para enfatizar qué es un sistema posicional y aditivo: a) 37 b) 14 c) 583 d) 1340 e) 5857 f) g) h) i) j)

18 IV. Sistemas de diferentes bases 6. Expresar los números siguientes escritos en base 10 a la base indicada en cada caso: a) 83 a base 3 f) 639 a base 7 18 b) 3 a base g) 1330 a base 8 c) 11 a base 4 h) 970 a base 9 d) 39 a base 5 h) 5783 a base 8 e) 40 a base 6 i) 500 a base 7 7. Convertir a base 10 los siguientes números escritos en la base indicada en cada caso: a) f) b) 01 3 g)

19 19 c) 31 4 h) d) i) e) j) Convertir los siguientes números escritos en diversas bases a la base indicada en cada caso: a) 1010 a base 4 e) 51 6 a base 4 b) 00 3 a base f) 36 7 a base 5 c) a base 3 g) a base 6 d) 43 5 a base 6 h) a base 7

20 0 V. Sistema de base 9. Después de la investigación realizada, indica por qué el sistema binario también llamado de base es utilizado en los sistemas de cómputo 10. Convierte a base los números decimales siguientes: a) 8 d) 45 b) 1 e) 83 c) Convierte a base 10 los siguientes números escritos en base : a) 101 d) 1001

21 b) 110 e) c) 1011 f) VI. Operaciones en distintas bases 1. Efectúa las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división en distintas bases, que se indican en cada caso: a) b) c) d) e) (10100 )(1010 )

22 f) (100 3 )(0 3 ) g) (11 4 ) ( 4 ) h) (60 8 ) (6 8 ) i) j) (00 4 ) (110 4 )

23 3 UNIDAD III EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES Objetivos: Comprender que los conjuntos numéricos fueron creciendo para resolver problemas de aplicación práctica. Aplicar los conocimientos adquiridos previamente para que el alumno desarrolle habilidades que le permitan operar correctamente. Contenidos temáticos: I Propiedades de las operaciones binarias en los números Se definirán los conceptos de operación y operación binaria. Se enfatizará que los sistemas numéricos se fueron ampliando para dar solución a problemas cotidianos. II Naturales Se revisará el conjunto de los naturales. Se representarán en la recta numérica señalándose la propiedad de orden. Se establecerán las propiedades: conmutativa y asociativa, en operaciones de adición y multiplicación. Se abordará la propiedad distributiva para la adición y la multiplicación repasándose los criterios de divisibilidad así como, la descomposición de un número en sus factores primos. Se definirá el mcm, mínimo común múltiplo, de dos o más números. III Algoritmo de Euclides Se abordará el algoritmo de Euclides en la obtención del máximo común divisor de dos o más números. Se planteará un problema que no tenga solución en N. IV Enteros Se localizarán los números enteros en la recta numérica. Se establecerán las propiedades: de orden, conmutativa, asociativa, existencia del neutro y existencia del inverso aditivo enfatizando que no hay inverso multiplicativo y, por lo tanto, se requerirá de un sistema numérico más amplio; el de los racionales. V Racionales Se definirá el conjunto de los números racionales. Se construirán y localizarán en la recta numérica. Se revisarán las propiedades de orden, conmutativa, asociativa, existencia del neutro y de los inversos en las operaciones de adición y multiplicación. Se definirá el máximo común divisor de dos o más números.

24 4 Como caso especial de números racionales se abordarán expresiones decimales exactos y periódicos. Se revisarán razones y proporciones con sus propiedades. Se planteará un problema que no tenga solución en Q. VI Irracionales Se definirá el conjunto de los números irracionales haciendo hincapié en que no cumple con la propiedad de cerradura (al multiplicar dos irracionales, algunas veces, se obtiene un racional: 7 7 7), pero debe tomarse en cuenta porque forma parte de los números reales y completa la recta numérica. Se construirán números irracionales y se localizarán en la recta. Se clasificarán los números irracionales en algebraicos y trascendentes entre éstos a Error! Marcador no definido. y e. VII Reales Se definirá el conjunto de los números reales y se representarán en la recta numérica. Se establecerán las propiedades que cumplen en las operaciones de adición y multiplicación, así como las de orden. Se planteará un problema que no tenga solución en R. VIII Imaginarios y Complejos Se abordará la existencia de los números imaginarios definiéndose su unidad y sus potencias. Se mencionará que la adición formal de un número real con uno imaginario forma un número complejo. Más adelante se definirán con detalle. IX Valor absoluto de un número real Se abordará el concepto de valor absoluto de un número real y se enfatizará que: si 0 a a a a si a < 0 X Intervalo Se definirá intervalo: abierto, cerrado, semiabierto, semicerrado e infinito. Se abordará su notación y se representarán en la recta numérica.

25 5 XI Leyes de los exponentes Se revisarán las leyes de los exponentes, se abordará el concepto de potencia entera y fraccionaria de un número, revisando el significado del signo del exponente y, a partir de ellas, se calcularán productos, cocientes y potencias. Se justificará que a 0 1 siendo a cualquier número real finito y distinto de cero. XII Notación Científica Se abordará el concepto de notación científica, considerando exponentes positivos y negativos. XIII Logaritmos Se definirán logaritmo y sus propiedades, estableciendo que cualquier número real positivo, diferente de uno, puede ser la base de un sistema de logaritmos. Se enfatizará que el logaritmo de uno es cero en cualquier base y que el logaritmo de la propia base es uno. Se establecerá que la base de uso más frecuente es diez, dando origen a los logaritmos comunes o decimales y que se abrevia log. Se definirán característica y mantisa de ellos. Se informará que e es la base de los logaritmos naturales, que en ellos no se habla de característica y mantisa, que se representa por L o Ln. Se operará con ellos sin olvidar obtener el antilogaritmo. I. Propiedades de las operaciones binarias en los números 1. Define el concepto de operación:. Define el concepto de operación binaria: 3. Escribe los 4 conjuntos de números que se utilizan para dar solución a problemas cotidianos. II Naturales 4. Define el conjunto de los números naturales y ejemplos: 5. Escribe la propiedad de orden en el conjunto de naturales:

26 6 6. Representa en una recta numérica el siguiente conjunto de números naturales señalando la propiedad de orden. N {10, 3, 5,, 6, 7, 8, 0, 13, 9, 17, 11, 5, 18} 7. Define las propiedades conmutativa y asociativa en las operaciones de adición y multiplicación de números naturales y escribe un ejemplo de cada propiedad: 8. Define la propiedad distributiva y escribe un ejemplo: 9. Define el concepto de número primo y menciona los que sean mayores que cero y menores de 50: 10. Indica cuáles son los criterios de divisibilidad: 11. Escribe cómo se define la descomposición de un número en sus factores primos 1. Indica cuál es el método para descomponer un número en sus factores primos: 13. Realiza la descomposición de los números en sus factores primos a) 34 b) 540 c) 15

27 7 d) 436 e) 50 f) 753 g) 348 h) 370 i) 6 j) Define el concepto de mínimo común múltiplo (mcm):

28 8 III. Algoritmo de Euclides 15. Define el algoritmo de Euclides: 16. Define el concepto de máximo común divisor (MCD): 17. Determinar el máximo común divisor por el algoritmo de Euclides a) 1, 7 b) 84, 6 c) 15, 18, 4 d) 1, 18, Determina si el siguiente problema tiene solución en los Naturales y explica por qué es o no la solución.

29 9 Si en un terreno de 3500 m de superficie un campesino siembra 3/8 con verdura Cuántos m ocupa este tipo de cultivo? IV. Enteros 19. Define el conjunto de los números enteros y ejemplos: 0. Representa en una recta numérica el siguiente conjunto de números enteros señalando la propiedad de orden. N {10, 3, 5, -, -6, 7, -8, -0, 13, -9, 17, 0, -11, 5, 18} 1. Define las propiedades: de orden, conmutativa, asociativa, existencia del neutro y existencia del inverso aditivo:. Justifica cada proposición, dando el nombre de la propiedad de campo. a) ()( 3 4 5) ()() ()() b) 57 ( 3 + 5) ( 3 + 5) c) b + 8c 8c + b d) 17 ( ) ( ) e) ( a w)( x) ax wx f) g) h) [( )( b) ]() c [()() b a ]() c a i) ( 1 )( 15) 180 j) [( x)( 5y) ]( 4z) ( x)( [ 5y)( 4z) ]

30 k) ( 5 / 8)( 8 / 5) 1 30 l) xy x( y + z) xy + xy + xz + m) abc abd ( ab)( c + d ) + n) x ( y + z) x + ( z + y) + o) 5 ax + 0 5ax p) 7x + 7x 0 3. Explica si existe, el elemento inverso multiplicativo en el conjunto de los números enteros? 4. Realiza las siguientes operaciones, usando las leyes de los signos. a) ( )( 13) 15 b) ( ) / 3 c) ( 4 )( ) / 8 d) [( 4 36)( ) ]/( ) e) [( 5 )( 16 1) + 17] /( 1 8)

31 31 f) [( )( [ 13 7) + 5 ] 6 ( 16) 8 g) V. Racionales 5. Define el conjunto de los números racionales y ejemplos: 6. Indica cuáles de los siguientes números del conjunto B {, -3/4, 1.5, 0, ¾, ½, -.5, -3, -10, 6, 5 3} pertenecen a los números racionales y represéntalos en la recta numérica. 7.Define las propiedades: de orden, conmutativa, asociativa, existencia del neutro y de los inversos en las operaciones de adición y multiplicación: 8. Realiza las siguientes operaciones con números racionales, usando las leyes de los signos a) b) + / 3 3

32 c) 4 + / d) / e) / f) Definir el concepto del máximo común divisor: 30. De las siguientes proposiciones, señala cuáles son verdaderas o falsas. a) -3 N b) 5/6 Q c) 6/ Z d) 5.3 Z e) 0 N f) 0.1 Q g) 1 Q h) 8/4 N 31. Definir el concepto de expresiones decimales exactas y escribe 3 ejemplos: 3. Definir el concepto de expresiones decimales periódicas y escribe 3 ejemplos:

33 33. Convierte los siguientes números en lo que se indica. a) en quintos b) 5 en sextos c) 1 en octavos d) 4 5 en doceavos 33 e) 4 en tercios 34. Transforma los siguientes números mixtos en fracciones impropias. 3 a) 5 4 b) c) d) e) f) Definir el concepto de razón: 36. Definir el concepto de proporción y escribe sus propiedades:

34 Resolver los siguientes problemas de razones. a) Si la edad de Patricia es de 1 años y la de Susana es de 4 años. Cuál es la razón de la edad de Patricia respecto a la de Susana? b) La razón de la edad de Pedro respecto a la de Juan es de 1 a 3 (es decir 1/3) y que Juan tiene 30 años Cuál sería la edad de Pedro? c) La longitud de una cuerda es de 33 centímetros y la razón respecto a otra es de 3 a 5 (3:5) Cuál es la longitud de la otra cuerda? d) Encuentra el valor de la incógnita (término desconocido) en cada una de las siguientes proporciones. I. 7:15 :: 1:X II. 4:X :: X:16 III. 5:0 :: X:

35 Resolver los siguientes problemas de proporciones. a) Un médico examina a un enfermo y encuentra que su corazón late uniformemente 0 veces en 15 segundos, Cuántos latidos detectará el médico en un minuto? b) Si 0 lapiceros (l) cuestan $60 y sólo tengo $45, Cuántos lapiceros puede comprar? c) Cierta cantidad de playeras (p) cuestan $600. Después compré 3 y me costaron $90 Cuántas playeras compré la primera vez? d) Si mi papá recorre en su automóvil cierta distancia en 0 minutos, viajando a una velocidad de 80 km/h, Cuánto tiempo tarda mi tío en recorrer la misma distancia que mi papá? e) Dieciséis obreros terminan una barda en 4 días, pero solo contamos con 1 obreros. Cuántos días necesitan los 1 para terminar la obra? f) Si cuatro carpinteros terminan un trabajo en 10 días, ocho carpinteros lo terminarán en menor o mayor tiempo?

36 Explica si el siguiente problema tiene solución en el conjunto de los números racionales : Determina la relación que existe entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro. VI. Irracionales 40. Define el conjunto de los números irracionales y menciona algunos ejemplos: 41. Menciona al menos tres ejemplo donde los números irracionales no cumplen la propiedad de cerradura. 4. Cuál es la diferencia entre los números irracionales algebraicos y trascendentes y menciona 3 ejemplos de cada uno? VII. Reales 43. Define el conjunto de los números reales: 44. Del conjunto C {-7/3, 3, -16, 0.56, 4, -π/6, 0.5, 64, 3 64}, ordena cada elemento en las siguientes clasificaciones: N, Z, Q, Q', R y procede a representarlos en la recta numérica.

37 45. Llena los espacios vacíos de la tabla que se presenta escribiendo, en el espacio en blanco, a qué conjunto corresponde el número señalado. a) ENTERO b) RACIONAL c) IRRACIONAL d) POSITIVO e) NEGATIVO 1 0 /7 / -9 π -3/5 π Si D {dígitos}, P {primos}, I {impares}, N {naturales}, W {enteros no negativos}, Z {enteros}, Q {racionales}, Q' {irracionales}, R {reales}, analiza las afirmaciones siguientes y califícalas como verdaderas(v) o falsas(f). a) N Z b) P N c) W N d) Q Z Q e) N Z Z f) N Z Z g) W {0} {0} h) Q Q' R 47. Clasifica como verdadero o falso los siguientes enunciados. a) Todos los números enteros son racionales. b) Algunos números enteros son naturales. c) Ningún número natural es racional. d) No todos los números enteros son naturales. e) Todos los números primos son reales. f) Algunos números racionales son enteros. 48. Determina si el siguiente problema tiene solución en el campo de los números reales Resolver la siguiente ecuación x + 1 0

38 38 VIII. Imaginarios y Complejos 49. Cuál es la utilidad de los números imaginarios? 50. Define la unidad y las potencias de los números imaginarios: 51. Qué resulta de la adición formal de un número real con uno imaginario 5. Define el conjunto de los números imaginarios: 53. Escribe 5 ejemplos de números imaginarios: 54. Escribe 5 ejemplos de números complejos: IX. Valor absoluto de un número real 55. Define el concepto de valor absoluto de un número real: 56. Determinar el valor absoluto de cada expresión a) -3-(5+6) b) (-)(-3) c) d)

39 39 e) f) g) 6(-3) h) i) X. Intervalos 57. Define los siguientes tipos de intervalos, escribiendo un ejemplo de cada uno, escribe su notación y representación en la recta numérica: a) Abierto b) Cerrado c) Semiabierto por la derecha d) Semiabierto por la izquierda e) Semicerrado por la derecha f) Semicerrado por la izquierda g) Infinito

40 Representa los siguientes intervalos en la recta numérica: a) (,10 ) b) ( -1, 5 ] c) [ -5, 0 ) d) [ 3, 6 ] e) ( -, 0 ) f) [ -4, -1 ) g) ( 7, 15 ] h) [ 4, 8 ] i) ( -6, -3 ) 59. Representa las siguientes desigualdades en forma de intervalo: a) x 10 b) 3 x c) 5 x d) 4 x 10 e) 0 < x f) < x < 5 g) 5 > x

41 41 XI. Leyes de los exponentes 60. Define cuáles son las leyes de los exponentes y escribe un ejemplo: 61. Define el concepto de potencia entera y fraccionaria de un número: 6. A qué es igual a 0, siendo a cualquier número real? 63. Define el concepto de potencia entera y fraccionaria de un número: 64. ( Utilizando las leyes de los exponentes resuelve los siguientes ejercicios. 1/ 4 1/ 5 / 8 x y z ) a) / 3 x yz k 1/ 5 3 / b) ( ) 5 / / 5 m m n k n c) ( [ ] ) k m n k m n 1/ d) ( 4 6 a b c ) 3 6 ( a b c ) 6

42 4 e) ( 3 1 x y z ) 3 1 ( x y ) XII Notación Científica 65. Define el concepto de notación científica: 66. Escribe los siguientes números en notación científica: a) b) c) d) e) Escribe los siguientes números en forma desarrollada: a) x 10-5 b).998 x 10 8 c) 48 x 10-3 d) 1 x 10-6 e) 3 x Resuelve las siguientes operaciones y expresa el resultado en notación científica. ( 7 )( 6 9x10 4x10 ) a) 6 ( 4.8x10 ) b).5 10 ( x10 )( 5x10 ) x +

43 43 c) ( 49000)( ) /( ) x d) ( 1 10 ) + ( 14x10 ) ( 1.4x10 ) x e) ( 0.00x100 ) 1 ( 1.5x10 ) XIII. Logaritmos 69. Define el concepto de logaritmo y escribe sus propiedades: 70. A que es igual el logaritmo de uno en cualquier base: 71. A qué es igual el logaritmo de la propia base : 7. Define característica y mantisa de un logaritmo 73. Indica cuál es la base de los logaritmos naturales ( Ln ) 74. Utiliza las propiedades de los logaritmos para reducir o ampliar las siguientes expresiones. a) log x + log (3x) - log 9 b) log + log 4 - log 3 c) log 7 + log d) Ln 15 Ln3

44 44 e) Ln x + Ln (x) - Ln 5 f) log XY + log Z - log K g) log (m 3 n k 3 ) h) Ln (1/xy) i) Log [(x y) / 5x] j) Ln (a 3 b/c) k) Obtén el valor numérico de x en la expresión log x l) Obtén el valor numérico de x en la expresión log x Transformar a su forma logarítmica las siguientes expresiones. a) 17 a 4 b) c) d) ( x + 3 ) x e) 56 f) 64 1 / 3 4

45 Define el concepto de antilogaritmo 77. Aplicando el antilogaritmo, calcular el valor de N a) log N b) log N c) log N d) log N Desarrolla aplicando logaritmos: x a) Log 3 3y 4 5 b) Log 4 16x 4 7y 5

46 46 UNIDAD IV OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS EN UNA VARIABLE Objetivo: Comprender las operaciones con monomios y polinomios, para que el estudiante sea capaz de aplicarlas correctamente en el planteamiento y solución de problemas que surjan en su entorno. Contenidos temáticos: I. Monomio Se revisará el concepto de término algebraico haciendo hincapié en el reconocimiento de los elementos que lo constituyen: coeficiente, variable y exponente o grado. El grado de una constante es cero excepto el del propio cero que no puede tener grado. Se abordará el concepto de términos semejantes. II. Polinomio Se establecerá que la adición de un número finito de monomios o términos algebraicos, determinan un polinomio; que el grado de éste lo determina el monomio de mayor grado en la adición con coeficiente diferente de cero. III. Adición de monomios y polinomios Se revisará la simplificación de términos semejantes; para sumar monomio con monomio, monomio con polinomio y polinomio con polinomio. Se revisará cómo suprimir el paréntesis precedido de un signo menos. IV. Multiplicación de monomios y polinomios Se revisarán y aplicarán las leyes de los signos y de los exponentes en la multiplicación de monomio por monomio, enfatizando en la propiedad distributiva al efectuar la multiplicación de monomio por polinomio y la aplicación de la misma, en la multiplicación de polinomio por polinomio. Se operará con monomios y polinomios que contengan signos de agrupación, donde se requiera efectuar multiplicaciones de: monomio por monomio, monomio por polinomio y polinomio por polinomio para reducirlas a su mínima expresión. V. Semejanza con los enteros Se establecerá la analogía que guardan las operaciones con polinomios y las operaciones con los números enteros. VI. Factor común Se revisará el concepto de factor común de un polinomio.

47 47 VII. División de monomios y polinomios Se revisarán y aplicarán las leyes de los signos y de los exponentes para dividir monomio por monomio y polinomio por monomio. Se revisará el algoritmo de la división de polinomio por polinomio. VIII. Valor de un polinomio Se calculará el valor de un polinomio con coeficientes racionales y exponentes naturales, se considerarán para x, valores numéricos y literales. IX. Polinomio como f (x) Se darán diferentes valores para x en el mismo polinomio, éstos se consignarán en una tabla y se graficarán en el plano cartesiano. Se enfatizará en la diferencia entre base fija y exponente variable y exponente fijo y base variable. Se abordará que un polinomio puede igualarse con f ( x) introduciéndose el concepto de variable dependiente e independiente. I. Monomio 1. Escribe la definición del concepto término algebraico :. Menciona los elementos que constituyen a un término algebraico: 3. Indica cuál es el grado de una constante: 4. Cita la definición del concepto términos semejantes : 5. De acuerdo al concepto de términos semejantes, de la siguiente relación, indica qué términos son semejantes a la expresión algebraica que se indica en cada caso. 4m n 3, 5x 3 y 6, t w, 10t 4 w 8, -8m n 3, 15x 3 y 6, 4 8 7t w a) 4 8 6t w b) ¾ m n 3 c) ½ x 3 y 6

48 48 6. Escribe la definición del concepto monomio : 7. Qué condición determina el grado de un monomio? II. Polinomio 8. Establece qué aspecto determina que se forme un polinomio: 9. Escribe la definición del concepto polinomio : 10. Qué condición determina el grado de un monomio? 11. Completa la tabla siguiente e indica el grado del polinomio con respecto a la variable que se indica en cada casilla. Grado del polinomio Polinomio Con respecto a x Con respecto a y a) 3x y 3 5 b) 3x 3xy + y 5x c) 4 8y d) x 5x + x 1 4 e) 3 6x y + 3x y x f) x y z + 6xz 3x y g) 3 x + y 3x y + 5x III. Adición de monomios y polinomios 1. Simplifica términos semejantes, suprime los paréntesis y determina el resultado de la adición de monomios y polinomios en cada caso. a) 8a 5a b +3ab ab - 10a

49 49 b) 5x y (3xy + xy 4) + ( xy xy + ) ( xy + 1) c) x x + ( 3x) 7 + x 3 5 d) 1 xy x + xy + x e) 4x y - 3xy + 5x y - 7x y + 5xy -1-8x y

50 50 f) t u 7t u z + 1t u z 5t u z 6t u + 8t u + 1 9t u z + t u 4 g) x y z + 8 1x y z 4x z + 14x z + 6x y z + x y z 3 5x y z 13. Aplica las leyes de los signos y de los exponentes en la multiplicación de monomio por monomio. a) (7x)(5x ) b) x x 7 5 c) (ax 3 )( 3a x)(5y x ) 4 3 d) 4 4ax 3 y ( x y)(3ab 3 y )

51 Aplica las leyes de los signos y de los exponentes en la multiplicación de monomio por polinomio, para lo cual es necesario que utilices la propiedad distributiva. a) x 3 ( xy + x) b) 3 x 1x 3 35x 49 7 ( ) c) x 3 ( xy + x) d) 9 ( 18m + 7m + 9) 5 4 m 15. Aplica las leyes de los signos y de los exponentes en la multiplicación de polinomio por polinomio, para lo cual es necesario que uses la propiedad distributiva. a) x 5 x 7 ( )( ) b) (x 3 3y + xy)(x y) c) d)

52 5 ( )( ) x x x y x x x x x 16. Efectúa las multiplicaciones de monomio por monomio, monomio por polinomio y polinomio por polinomio, para reducir la expresión. a) ( )( ) ( )( ) x x x x x x b) ( )( ) ( ) [ ] { } ( ) m m m m m m

53 c) 5 { ( y + 4) 5[ + 6( y 1) ] + 9y + 7} ( y 1) 53 + [ + 5 3y 10y + 6] d) ( a )( 6b) 5a( a + 3b 1) + ( 7a + b)( a + 3b 4) IV. Semejanza con los enteros 17. Establece la analogía que guardan las operaciones con polinomios y las operaciones con los números enteros: V. Factor común 18. Define el concepto factor común de un polinomio : 19. Indica el factor común de cada uno de los polinomios que se mencionan a continuación: a) x y z 1x y z 4x z + 14x z + 6x y z + x y z 5x y z b) t u 7t u z + 1t u z 5t u z 9t u z + t u

54 54 c) 56x 4 y 3 z + 7x 3 y 4 z xy z 3 d) -9x 3 y x y + 6y 5 e) 1 a b 3 c a b c a b c VI. División de monomios y polinomios 0. Menciona el procedimiento para realizar la división de un monomio entre otro monomio: 1. Aplica las leyes de los signos y de los exponentes para dividir un monomio entre otro monomio y establecer el cociente o resultado. a) 35y 5y 8 b) 7 4 x 5 1 x 9 c) 30a 6a 7 3 x x 5 10 d) 4ax 8a 3 4 x y 3 5 y

55 55 e) 5m 5m 8 5 n n 7 10 f) 4 p 9 p q 5 1 q r 10 r 14 6 g) h) 14h 6 8h k k m m 4 a d 7 9a d 1 3 f f 1 8. Cita el procedimiento para realizar la división de un polinomio entre un monomio: 3. Aplica las leyes de los signos y de los exponentes para realizar la división de un polinomio entre un monomio y obtener el cociente o resultado. a) 0x 4 + 5x 3 10x x + 50x 15 b) 7 x x 9 x

56 56 c) 30a 5 x + 18a x a x 3 6 4ax d) 5a 8 x + 1a 4a 3 4 x 7a x x Escribe el algoritmo (pasos a seguir) de la división de un polinomio entre otro polinomio: VII. Valor de un polinomio 5. Calcula el valor del polinomio indicado en cada caso, cuyos coeficientes son enteros y racionales y sus exponentes son naturales; observa que x adquiere valores numéricos y literales. a) F(X) -4X 3 + 4X 3, X - (Valor numérico) b) F(X) -X 4 + X 3 3X +, X a (Valor literal)

57 57 c) F(X) -½ X ¾ X 3 + ¾, X -3 (Valor numérico) d) F(X) X + ½, X m + 3 (Valor literal) e) F(X) - 4X + 8X + 5, X - ½ (Valor numérico) c) Polinomio como f (x) 6. Define el concepto variable independiente : 7. Define el concepto variable dependiente :

58 58 8. Sustituye los diferentes valores de x en el polinomio que se señala en cada caso, escribe los resultados en la tabla (tabulación) adjunta y grafica, en el plano cartesiano, las parejas ordenadas que se forman. a) f(x) x 3 4x + 8, para x 0, 1,, 3, 4 x f (x) x 3 4x + 8 (x, f(x))

59 59 b) f(x) -6x + 4x -, para x -5, -4, -3, -, -1, 0, 1, x f(x) -6x + 4x - (x, f(x))

60 60 1 c) f(x) x + 1, para x -5, -4, -3, -, -1, 0, 1, 4 x (x, f(x)) f(x) x + 1 4

61 61 9. Sustituye los diferentes valores de x en el polinomio, con base fija y exponente variable, que se señala en cada caso, escribe los resultados en la tabla (tabulación) adjunta y grafica, en el plano cartesiano, las parejas ordenadas que se forman. a) f(x) 5 x, para x -3, -, -1, 0, 1,, 3, 4 x f (x) 5 x (x, f(x))

62 6 b) f(x) - 4 x, para x -5, -4, -3, -, -1, 0, 1 x f(x) - 4 x (x, f(x))

63 Sustituye los diferentes valores de x en el polinomio, con exponente fijo y base variable, que se señala en cada caso, escribe los resultados en la tabla (tabulación) adjunta y grafica, en el plano cartesiano, las parejas ordenadas que se forman. a) f(x) X 5, para x -3, -, -1, 0, 1,, 3, 4 x f(x) X 5 (x, f(x))

64 64 b) f(x) x 4, para x -5, -4, -3, -, -1, 0, 1 x f(x) x 4 (x, f(x))

65 65 UNIDAD V PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN Objetivos: Operar con productos notables y factorizaciones, para que el estudiante sea capaz de plantear y resolver problemas de otras disciplinas, que sean significativos para él. Contenidos temáticos: I. Factor común Se abordará el factor común de dos o más monomios como el máximo común divisor de ellos. II. Cuadrado de un binomio A partir del producto de dos binomios iguales se establecerá la regla para obtener el cuadrado de un binomio, enfatizando que el trinomio resultante se denomina trinomio cuadrado perfecto y que éste por lo tanto se puede descomponer en dos factores iguales. III. Factorización de un trinomio cuadrado perfecto Se considerarán binomios de la forma a x + bx y se abordará la operación completar a un trinomio cuadrado perfecto para descomponer en dos factores iguales.(enfatizar que a es fija en cada problema y que x es la variable). IV. Cubo de un binomio y factorización de un cubo perfecto A partir del cuadrado de un binomio se calculará el cubo de éste, considerando tres factores iguales. Se definirá la regla para desarrollar el cubo de un binomio. Se señalará que el desarrollo consta de cuatro términos de características precisas, y dado un polinomio que las cumpla se factorizará como el cubo de un binomio. V. Productos de dos binomios con un término común A partir de: (x + a)(x +b) x + (a + b) x + ab se determinará cuando un trinomio de segundo grado es el producto de dos factores lineales. VI. Descomponer en factores un trinomio de segundo grado de la forma x + px + q El trinomio anterior, en general, se expresa como: x + bx + c; en donde p a + b y q ab con sus respectivos signos, advirtiéndose que el proceso opuesto al seguido para obtener el producto conduce a su factorización. VII. Producto de dos binomios conjugados y descomposición de una diferencia de cuadrados Se revisará el concepto de conjugado de un binomio, y a partir de obtener varios productos de éstos se generaliza para obtener la regla y determinarlos. Asimismo, se efectuará la operación inversa, es decir, dada una diferencia de cuadrados se factorizará como el producto de dos binomios conjugados. Se establecerá que la regla es válida para toda diferencia de potencias pares. VIII. Factorización por agrupación de términos Se operará con polinomios de la forma: ax + ay + bx + by cuya factorización por agrupación es igual a: (a + b) (x + y).

66 IX. Descomposición en factores de la suma o diferencia de dos potencias iguales Se abordará como factorizar expresiones de la forma: x n + y n ; con n impar siempre tendrá como uno de sus factores a x + y. x n - y n con n par o impar siempre tendrá como uno de sus factores a x - y. x n - y n con n par, tiene el factor x + y. 66 X. Mínimo Común Múltiplo de dos o más polinomios Se abordará el concepto de mínimo común múltiplo (M.C.M.) de dos o más polinomios expresados en forma factorizada, señalando que es conveniente conservarlo en esta forma (observar la analogía con el M. C. M. de números enteros). XI. Otras factorizaciones Se abordarán factorizaciones de trinomios que no sean el resultado de un producto notable por ejemplo 5x + 7x - 6. Se abordarán factorizaciones en las cuales se combinen diferentes métodos por ejemplo 6z 4-1z 3 ; -x x - 5x; 9x - 4y + 4y - 1; x 5 +7x 3-4x. XII. Fórmula del binomio de Newton Aplicando una multiplicación directa se desarrollará hasta la sexta o séptima potencia de un binomio. Se analizará el comportamiento de los coeficientes de los términos del desarrollo y se establecerá el triángulo de Pascal. Se definirán factorial de un número y coeficientes binomiales mostrando que la definición de coeficiente binomial coincide con los números colocados en el triángulo de Pascal. Se establecerá el teorema del binomio enfatizando como obtener el r-ésimo término. I. Factor común 1. Encuentra el factor común o Máximo Común Divisor de los siguientes monomios: a) 10 xy, 5 xyz y 0 axy MCD b) 16 ab, 3 b a y 1 b 3 3 a MCD c) 3 ab, 7 mn y 18 xy MCD

67 4 d) 1m n, 4 m 5 n, 36 n 4 3 m y 4 n m MCD 3 4 e) 18a bc, 6 bc a y 3abc MCD f) y 3 x, x y 9, 17 xz y 1 yz MCD g) b 3 a, b c 4 y ab 4 c MCD II. Cuadrado de un binomio. Escribe el nombre que recibe el producto de un binomio al cuadrado: 3. Determina el resultado de elevar al cuadrado los binomios siguientes: x 3 + a) ( ) 4 x b) ( ) c) ( a 4) d) ( x + y) e) ( 3m n)

68 68 x 3y f) ( ) 5a + b 3 3 g) ( ) 9m 10n 4 5 h) ( ) 7ab xy i) ( ) 10m n + 5x y 3 3 j) ( ) III. Factorización de un trinomio cuadrado perfecto 4. Comprueba si los siguientes trinomios son cuadrados perfectos, en caso afirmativo, factorízalos: a) a 14a + 49 b) 5x + 100xy + 9y c) 16a + 4a + 9 d) 9x + 4xy + 16y e) 4m + 5mn + 5n

69 f) 5a + 30a b + 9b g) 49x 56x y + 16y h) 16m + 48m n + 36n i) 100e 90e g + 81g j) 36x y + 60a b x y + 5a b IV. Cubo de un binomio y factorización de un cubo perfecto 5. Escribe el nombre que recibe el producto de un binomio al cubo 6. Determina el resultado de elevar al cubo los siguientes binomios: a) ( x ) + 3 b) ( 3 b ) 3 c) ( a 1) d) ( 4 b ) e) ( m + p) 3

70 70 f) ( a 3b) 3 g) ( x + 4y ) h) ( 3a 5b ) 3 i) ( 5xy + 4ab) j) ( 10a b 3m n ) 3 7. Factoriza los siguientes cubos perfectos: a) x 3 + 3x + 3 x + 1 b) a 3 9a + 7a 7 3 c) 8x + 36x + 54x d) y + 108y 7y 3 3 e) 8x + 4x y + 4xy + 8y 3 3 f) 64a 144a b + 108ab 7b 3 3 g) 15m + 300m n + 40mn + 64n h) 8x 48x y + 96xy 64y i) 9a + 135a b + 5a b + 15b

71 j) 16e 1080e g e g 1000g V. Productos de dos binomios con un término común 8. Efectúa la operación de los siguientes productos de binomios con término común: x + x 3 a) ( )( ) x + 5 x 8 b) ( )( ) y + 10 y 4 c) ( )( + ) a + 0 a 5 d) ( )( + ) x 8 x 6 e) ( )( ) m 1 m 10 f) ( )( ) a + 6 a 3 g) ( )( ) 5x 6 5x 10 h) ( )( ) i) ( x + 9)( x ) j) ( 3a 5)( 3a + 6)

72 7 VI. Descomponer en factores un trinomio de segundo grado de la forma x + px + q 9. Factoriza los siguientes trinomios de segundo grado, expresando la factorización como el producto de dos binomios con término común: a) x + 1x + 35 b) x 7x + 1 c) a + 3a 8 d) b + 7b 30 e) y y 56 f) a + a 30 g) m 3m 70 h) x 7x 60 i) b b 10 j) c 15c + 50 VII. Producto de dos binomios conjugados y descomposición de una diferencia de cuadrados 9. Escribe el nombre que recibe el producto de dos binomios conjugados 10. Obtén el resultado del producto de los siguientes binomios conjugados: 3 + a 3 a a) ( )( ) x + 7 x 7 b) ( )( )

73 73 x + 6 x 6 c) ( )( ) 6x 10 6x 10 d) ( )( + ) 3 b + 5a 3b 5a e) ( )( ) 8 x + 10y 8x 10y f) ( )( ) g) ( x + 7)( x 7) 4 4 h) ( 4a + b)( 4a b) 4 4 i) ( 10m + 3n )( 10m 3n ) j) ( 9x 6y )( 9x + 6y ) 11. Factoriza las siguientes diferencias de cuadrados: a) 16m 4n b) 81 16a c) 9x y 4 4 d) 5x 36y 6 8 e) 4m 9n 4 f) 49a 144b 4 6 g) 64 p 100q 1 8 h) 11x 5y i) 81a 196b j) 56x y 144a b

74 74 VIII. Factorización por agrupación de términos 1. Factoriza los siguientes polinomios por agrupación de términos: a) ac 4bc + ad bd b) ab ac + a b + c 1 c) 0ax 5bx by + 8ay d) 16x 4a +1ab 9b e) 3ax by bx 6a + ay +4b f) 3x 3 + axy + ay 3xy ax 3x y g) 3m 1m + mn 4n h) 3xy 3x + y i) 3 ac + 6bc + ad + bd j) ab + 4ad cb cd

75 75 IX. Descomposición en factores de la suma o diferencia de dos potencias iguales 13. Factoriza las siguientes sumas o diferencias de cubos: a) x 6 + y 9 b) a 3 b 6 c) 8 y 3 d) m 9 + n e) 7a 64b 9 9 f) 15x + 16y 1 15 g) 7m 343n 18 9 h) 1000a + 51b 1 18 i) 15x 16y 4 30 j) 8b c

76 76 X. Mínimo Común Múltiplo de dos o más polinomios 14. Determina el mcm de los polinomios siguientes a) x + x, x 1 mcm b) x, + 4 x, x + 8x + 8 mcm c) 3 x + 1, 9 3 x 1, 7x 9x 3x + 1 mcm d) 3 x 8, x 4x + 4, x + x 6 mcm e) 4 3 x + 1, 4 x 18x 4 + x x 16, x 16x 4 3 mcm XI. Otras factorizaciones 15. Factoriza los siguientes trinomios de segundo grado: a) 5x 8x + 3 b) 4y + 16y + 7 c) 1x 7x + 1 d) 6x + 7x + e) x + x 15

77 77 4 f) a + 9a 10a 5 3 g) 10m + 5m + 15m 16. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas, empleando los diferentes métodos de factorización que conoces a) x 3 18x 3 b) 4m 8m 140m 5 3 c) x x + x d) x x + x 1 3 e) x xy f) 3a m 30am + 75m g) x 3 7 y 3 h) x + 4x + 30x i) 4 3 x 40 5 xy j) 140amx 0bmx + 84amy 1bmy

78 78 XII. Fórmula del binomio de Newton. Triángulo de Pascal. 17. Escribe las características del Triángulo de Pascal: 18. Obtén el resultado de elevar a la potencia indicada, los siguientes binomios empleando el triángulo de Pascal a) ( x ) b) ( 3 + a ) c) ( m 4) 4 d) ( x + y) 4 e) ( a b) 5 f) ( 3x + 4y) 5 g) ( x 5y) 4 h) ( 4m + 5n) 6 3 i) ( m 3n ) j) ( 4x + 6y ) 7

79 Objetivos: 79 UNIDAD VI OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Y RADICALES Comprender las operaciones con fracciones algebraicas y radicales, para que el alumno sea capaz de plantear y resolver problemas de su entorno en términos de una fracción algebraica o de un radical. Contenidos temáticos: I Teorema del Residuo y del Factor Se abordará el teorema del residuo y se establecerá el método de la división sintética. Se enunciará el teorema del factor. II Operaciones con fracciones algebraicas Se revisarán las propiedades de las fracciones algebraicas y se aplicarán para simplificarlas a su mínima expresión. Se revisarán y se enfatizarán las operaciones con ellas. Se operará con fracciones complejas simplificándolas a su mínima expresión. III Radicales A partir de las leyes de los exponentes y enfatizando que un radical es un exponente fraccionario se simplificarán, considerando los siguientes casos: - Sacando factores del subradical. - Incluyendo un factor dentro de un radical. - Expresándolo como un radical de orden más bajo. Se efectuarán operaciones con ellos. Se considerarán radicales de órdenes iguales y diferentes. El resultado de la operación se expresará en la forma más simple. Se racionalizará el numerador o el denominador de una fracción según convenga a la solución del problema. IV Introducción a los números complejos Se definirá el conjunto de los números imaginarios, revisando que un número imaginario es tal que: si a R, a > 0 entonces: a -1 a i a Se hará hincapié en: i -1. Para que se genere un número imaginario n a, a - R n k k Ν. Se establecerá que un número complejo es de la forma a + bi, c on a, b Re i - 1 a es la parte real del complejo y bi la parte imaginaria. El conjunto de los números complejos( C), se define simbólicamente como: C Error! Marcador no definido. Se enfatizará que el conjunto de los reales y el de los imaginarios puros son subconjuntos de los complejos.

80 80 I Teorema del Residuo y del Factor 1. Define el teorema del residuo:. Encuentra el residuo de los siguientes polinomios aplicando el teorema del residuo. x + 4x 8 entre x 3 a) ( ) ( ) b) ( x + 1x + 18) entre( x + 3) c) ( x 3 + 4x + 7x + 6) entre( x + ) 3 d) ( a a 13a 10) entre( a + 1) 4 3 e) ( 3x + 8x + 6x + 1) entre( x + 1) 3. Define el método de división sintética: 4. Realizar las siguientes divisiones de polinomios aplicando el método de división sintética, indicando el cociente y el residuo. a) (4x 4 + 3x +) ( x + 4)

81 81 b) (x 4 3x 3 + 7x -x + 1) (x + ) c) (5x +x + 6) ( x - 5) d) (4x 5 - x 3-3x + ) (X+ 1) 5. Define el teorema del factor: 6. Considerando los resultados del ejercicio, aplica el teorema del factor e indica si el divisor es factor o no es factor de los polinomios propuestos. 7. Determina si el binomio propuesto es factor de cada polinomio. 3 a) ( x + x ) entre( x + 1)

82 3 b) ( x + x x 1) entre( x + 4) 8 4 c) ( 3x 3x + 4x 4) entre( x 1) d) ( x 9) entre( x 3) e) ( x 3 3x 4x 1) entre( x+ ) II Operaciones con fracciones algebraicas 8. Define las propiedades de las fracciones algebraicas: 9. Simplifica las fracciones algebraicas a su mínima expresión: a) b) 1 x x 1 1 x ( 6x + 7x -3 ) / ( 5x 4x -1 ) (5 ) ( x + x -3 ) e) x x 5 x 4 x f) x + y x + y x y x y

83 83 c) 4/a - 5/a a + (a + ) d) (4/a) 1/3a+ (a 5 /1) g) 10x + x x 6 x x 3x + 3 h) x + 1 x( x 1) III Radicales 10. Define el concepto de radical y escribe sus propiedades: 11. Expresa los siguientes radicales utilizando exponentes fraccionarios. a) 3 8 x y 9 /k 7 m -3 b) 64x 8 a 6 y b 1 z 16 c) 1 4 ( k l m ) 1 3 ( 3a b c ) 3 4 d) x y z