Matemáticas financieras 1.1. Introducción

Transcripción

1 INGENIERÍA ECONÓMICA PROFESOR: MARCEL RUIZ MARTÍNEZ. Contenido del curso: I. Conceptos y criterios económicos y el valor del dinero a través del tiempo II. Capitalización de interés III. Análisis de alternativas de solución IV. Depreciación y análisis de impuestos V. Análisis de reemplazo Página del curso: Ponderación del curso: Exámenes parciales Teóricos Acumulativos Hábito de Estudio diario Prácticas clase y trabajo Experiencias de Aprendizaje 50% 5% 5% 0% Tareas y talleres Requisitos mínimos para recibir tareas: Las tareas deben estar hechas de forma ordenada y limpia, puede entregarse de manera impresa (siempre separada de la libreta) o por correo electrónico SIEMPRE CON COPIA A LOS 4 CORREOS: marcelrzm@hotmail.com; marcelrzm@yahoo.com.mx, marcelrz00@yahoo.com,mx, marcelusoacademico@hotmail.com). Deben cumplir con los requisitos específicos para cada tipo de producto o actividad (Reporte, ensayo, resumen o práctica de ejercicios). Consulta los requisitos en la página de internet del curso; el acceso directo es: Periodos de exámenes: A continuación se indican los periodos de exámenes identifique su grupo para la fecha de cada parcial. Número de examen IP 3010 IP-3011 ITM-3010 ITM /ago 9/ago /sep 9/ago 19/sep 19/sep 30/sep 6/sep 3 17/oct 17/oct 8/oct 4/oct 4 14/nov 14/nov 5/nov 1/nov Experiencias de aprendizaje. Número de examen IP 3010 IP-3011 ITM-3010 ITM /ago 4/ago 5/ago 4/ago 19/sep 19/sep /sep 19/sep 3 17/oct 17/oct 0/oct 17/oct 4 15/nov 15/nov 17/nov 15/nov Asistencia. Después de la hora de inicio de la clase, de 0 a 10 minutos se considera asistencia, entre 10 y 15 minutos retardo y después de 15 minutos se considera falta. Bibliografía y fuentes de información (todos estos libros están en la biblioteca de la UAG Tabasco): INGENIERÍA ECONÓMICA. BLANK LELAND. MC GRAW HILL 005. TÉCNICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO PARA ADMINISTRADORES E INGENIEROS. CANADA JHON. DIANA ANÁLISIS DE PROYECTOS DE INVERSIÓN. COSS BU RAÚL. LIMUSA 005. Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 1

2 UNIDAD I. CONCEPTOS Y CRITERIOS ECONÓMICOS Y EL VALOR DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPO 1.1. Introducción Definición y terminología Justificación POR QUÉ ES IMPORTANTE LA INGENIERÍA ECONÓMICA PARA LOS INGENIEROS (y otros profesionales)? Las decisiones que toman ingenieros, gerentes, presidentes de corporaciones e individuos, por lo general son el resultado de elegir una alternativa sobre otra. A menudo las decisiones reflejan la elección fundamentada de una persona sobre cómo invertir mejor fondos, también llamados capital. Los ingenieros desempeñan un papel esencial en las decisiones que tienen que ver con la inversión de capital, basadas en sus esfuerzos de análisis, síntesis y diseño. Fundamentalmente la ingeniería económica implica formular, estimar y evaluar los resultados económicos cuando existan alternativas disponibles para llevar a cabo un propósito definido. Actividades de la ingeniería Debería incorporarse una nueva técnica de financiamiento en la fabricación de cojinetes para frenos de automóvil? Si un sistema de visión computarizada sustituye al inspector en lo que se refiere a llevar a cabo pruebas de calidad en una línea de ensamble de automóviles, disminuirán los costos de operación en un periodo de cinco años? Debería construirse un paso a desnivel debajo de una vía rápida en una ciudad de habitantes, o debería ampliarse la vía rápida a lo largo de la ciudad? Se conseguirá la tasa de retorno requerida si instalamos la nueva tecnología del mercado en nuestra línea de fabricación del láser médico? A continuación veremos algunos términos y definiciones relevantes como introducción al tema. Concepto de interés Cuando una persona física o empresa usa un bien que no le pertenece, por lo general se le exige una renta o pago por el uso de dicho bien. Los activos que pueden ser rentados son diversos: casas, departamentos, vehículos, equipo de cómputo, maquinaria industrial, etcétera. El dinero no es la excepción, ya que es un activo que puede comprarse, venderse o prestarse (incluyendo no solo efectivo sino también tipos de cambio, onzas troy de oro, plata y cheques). Cuando se pide dinero prestado normalmente se paga una renta por su uso, lo cual se denomina interés, intereses o rédito. Interés puede definirse como: dinero que se paga por el uso del dinero ajeno (desde el punto de vista del usuario que maneja el dinero), o también como ganancia que se obtiene al invertir el dinero en forma productiva (desde el punto de vista del propietario del dinero). Puede una decisión económicamente adecuada mejorar el centro de producción de material estructural con agentes reforzadores de una fábrica de aviones con el objetivo de reducir costos 0%? Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez

3 Cuando un usuario requiere una cantidad de dinero prestada, dicha cantidad original se le conoce como CAPITAL, PRINCIPAL o valor presente, simbolizado por la letra C. Capital (C). Cantidad de dinero prestada. Nota: Algunos autores lo simbolizan con la letra P. La cantidad de dinero que dicho usuario deberá pagar por el uso de dicho dinero se conoce como INTERÉS, el cual se simboliza con la letra I. Interés (I). Renta que se paga por el uso del dinero ajeno. Por lo tanto, cuando el usuario haya terminado de ocupar el dinero que le ha sido prestado, debe no solo devolver la cantidad original que le fue prestada, sino también habrá de pagar o haber pagado la renta o el interés por usar dicho dinero; el total a pagar se denomina MONTO, y es simbolizado por la letra M, también se le conoce como VALOR FUTURO. Monto (M). Dinero total que paga el usuario del dinero; lo cual es el capital más el interés generado en dicho periodo de tiempo. Por lo tanto la siguiente ecuación muestra la relación entre las tres variables anteriores: M = C + I Algunos autores colocan la ecuación anterior de la siguiente forma: M = P + I Interés simple e interés compuesto El significado de las TASAS DE INTERÉS. Una tasa de interés es el porcentaje de se debe pagar por el uso del dinero. Ejemplo 1. Describir que significa una tasa de interés del 35% anual. Solución: Significa que anualmente se paga $35 pesos de cada $100 pesos que fueron prestados al inicio del periodo. Ejemplo. Describir que significa una tasa de interés del.5% mensual. Solución: Significa que al mes el deudor paga $.5 pesos de cada $100 que se prestó al inicio del periodo. Tasa de interés simple. Ejemplo 3. Una licenciada invierte $4,000 y en el plazo de un año obtiene en total $5,000. Determine: a) El valor del interés b) La tasa de interés anual. Solución a) La cantidad de dinero obtenida por concepto de interés es la diferencia entre el monto total y la inversión original: $1,000. I = M C = $5,000 - $4,000 = $1,000 b) La tasa de interés representa el porcentaje en el cual se incrementó en un año el capital original y se puede calcular: I $1, 000 i = = = 0.5 C $4, 000 Como esa es la fracción o proporción en la cual el capital original creció en un año, es la tasa de interés ANUAL; representada en porcentaje sería de: i = 5% Por lo tanto la tasa de interés puede definirse como el porcentaje en el cual el capital original crece en un periodo dado de tiempo; pueden ser plazos anuales o mensuales. I i = C ic = I I = ic La fórmula ocupada anteriormente Pasando el capital multiplicando Queda esta ecuación (aun incompleta falta mas) Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 3

4 Ahora como el interés simple crece cada periodo que transcurre en la misma cantidad, es decir, si en el primer año transcurrido se generan $1,000 de interés, para el siguiente se generarán otros $1,000 y así sucesivamente. Entonces para varios periodos la ecuación queda: I = nic AHORA SI ESTA COMPLETA (Solo interés simple) Por lo tanto la ecuación: M = C + I Al sustituir I = nic queda: M = C + nic Ahora dado que el capital C es factor común, puede factorizarse: M = C + nic M = C 1+ ni ( ) Conversión entre distintas tasas Los periodos de tiempo pueden ser mensuales, trimestrales, semestrales, etc; para determinar los valores numéricos a los cuales equivalen dichas tasas considere los cálculos mostrados: Una tasa de interés de 5% anual equivale a: TALLER: Obtener el resto de las tasas para los periodos faltantes: TASAS Anual (1a) 80% Semestral (s = 1a) 44% Cuatrimestral (3c=1a) 10% Trimestral (4t =1a) 5% Bimestral (6b=1a) % Mensual (1m=1a) 1% Diaria (360d=1a) 0.5% Ejemplo 4. Cuál es la tasa de interés simple anual si con $,300 se liquida un préstamo de $,000 en un plazo de 6 meses. Solución: Datos: M = $,300 C = $,000 n = 0.5 años i =? El valor del interés es: I = M C = $300. I = $300 Dado que: I = nic sustituimos y despejamos la tasa de interés anual (al colocar en el valor de n años, obtendremos tasas anuales): nic = $300 nic=$300 $300 i= nc $300 i= ($,000) = Por lo tanto la tasa a la cual creció la deuda es del 30% anual. (RESULTADO) RESUMEN DE ECUACIONES PARA INTERÉS SIMPLE: M = C + I I = nic M = C(1+ni) Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 4

5 Ejemplo 5. Determinar cuánto se acumula en años en la cuenta bancaria del Sr Morales si invierte $8,000 ganando intereses del 7.3% anual simple. Datos: Primero identifica los datos e incógnitas M = C = I = i = n = Identifique de las ecuaciones listadas en cual puede sustituirse los datos y acercarse a la solución. M = C + I I = nic M = C(1+ni) Sustituye los datos en la ecuación seleccionada y busca obtener el monto total. (Res: $43,88). Este ejemplo 5 está disponible en video: Ejemplo 6. (El alumno lo realizará como prelectio, usando los videos de YOUTUBE) En cuanto tiempo se triplica una inversión con un interés simple de 3% anual. Solución: Identificar los datos: M = 3C (se triplica el capital) C =? I =? i = 0.3 n =? M=C(1+ni) 3C=C(1+ni) C(1+ni) = 3C 3C 1+ni= C 1+ni=3 ni=3-1 ni= n= = = i 0.3 Ecuación del monto El monto se triplica M = 3C Si 3C = C(1+ni) entonces lo inverso también es cierto. Al pasar dividiendo la C se cancela Despeje del número de periodos anuales RESPUESTA: Se tardan 8.7 periodos anuales en triplicarse el capital bajo esa tasa de interés anual. Notas: 8.7 años son 8 años enteros más 0.7 años como fracción entonces ese 0.7 años equivalen a: 1meses 0.7año = 8.4meses 1año Es decir, ahora tenemos que el periodo es de 8 años con 8 meses más una fracción de 0.4 meses, lo cual para pasarlo a días es: 30dias 0.4mes = 1dias 1mes Entonces queda: EL PERIODO 8.7 AÑOS ES: 8 AÑOS 8 MESES Y 1 DÍAS. (RESPUESTA) Este problema está disponible en video: Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 5

6 Ejemplo 7. Determine el precio de un equipo el cual se compró el 30% de su valor de contado y el resto se paga a crédito con una tasa del 3.8% simple anual, para concluir la compra se realiza un pago en 3 meses de $3,600. Solución: Si después de 3 meses se paga M=$3,600 con una tasa del i=3.8% simple anual; podemos determinar el capital C que representa el dinero que se quedo a crédito. Solo para la cantidad de dinero que quedo a crédito: Datos: M=$3,600 C=? I=? i=3.8% simple anual n=3/1 año = ¼ año M=C 1 ( + in) ( + ) C 1 in =M M $3,600 C= = = $3, ( 1+ in) ( *0.5) Dado que esta cantidad es solo una parte del valor original del equipo, es importante notar la siguiente relación: valor original*0.3=valor pagado de contado valor original*0.7=valor que se paga a crédito valor original*0.7=$3, $3, valor original= = $4, Videos relacionados con el tema: Actividad 1.1. Ejercicios interés simple. Realice los siguientes ejercicios: 1.- En cuanto tiempo se duplica un capital que se invierte a una tasa de 30% simple anual..- Cuánto dinero se requiere pagar para cancelar un préstamo de $8,50 si se cargan intereses de 40%, en 1 año. 3.- En cuantos días un capital de $80,000 produce intereses de $7,000 si se invierte al 40% de interés simple anual. 4.- cual es la tasa de interés simple anual si un capital de $17,500 genera $750 de intereses en 80 días. NOTA: para pasar el tiempo en días a fracción de año dividir entre 360 días (año fiscal). 5.- En la siguiente tabla se dan algunos casos; determine los valores faltantes para cada caso. Caso Capital Monto Plazo (n) Tipo de interés simple 1 $15,000 meses 9% anual $1,000,000 3 años 11% trimestral 3 $3,800 $30, % diario 4 $,000 $4, meses 5 $5,00 $8, % semestral 6 $5,000,000 4 meses 38% anual Entrega tus resultados en forma de PRÁCTICA DE EJERCICIOS, siguiendo las rúbricas indicadas en la dirección: Puede enviar el documento final por correo electrónico a las siguientes direcciones: marcelrzm@hotmail.com; marcelrzm@hotmail.com; marcelrzm@yahoo.com.mx y marcelrz00@yahoo.com.mx Recuerde enviar dicho correo con copia a usted mismo y en asunto colocar Actividad.. Ejercicios interés simple. Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 6

7 Interés compuesto Si un capital C al terminar un periodo de inversión (por ejemplo un año) genera un monto M; no se retira entonces al segundo periodo éste dinero empieza a crecer nuevamente como si fuera un nuevo capital. En el interés simple, el capital que genera intereses permanece constante durante todo el periodo que dura el préstamo (o la inversión). En cambio en el interés compuesto el valor del dinero generado por concepto de intereses, se convierte parte del capital en el siguiente periodo de capitalización. El interés simple generado al final del primer periodo se suma al capital original formándose un nuevo capital y así sucesivamente. El interés compuesto se puede calcular como la diferencia entre el capital original y el valor futuro: I = M - C Ejemplo 1. Se depositan $100,000 en una cuenta que paga 10% de interés semestral. Determine: a) Cuál es el interés ganado a los 6 meses? I=niC 1 ( )( ) I=(1semestre) 0.1 $100, 000 = $10, 000 semestre Periodo de capitalización Es el tiempo en el cual el interés generado se convierte en parte del capital. En el caso del ejemplo anterior el periodo de capitalización es de 6 meses. Frecuencia de conversión o capitalización Es el número de veces que el dinero se capitaliza en un año. En el caso del ejemplo anterior fue de dos veces, ya que cada semestre se capitaliza el dinero. Tasa de interés compuesto. Se expresa en forma anual y cuando es necesario con el periodo de capitalización, algunos ejemplos son: 0% anual capitalizable mensualmente 0% anual capitalizable bimestralmente 0% anual capitalizable trimestralmente 0% anual capitalizable cuatrimestralmente 0% anual capitalizable semestralmente 0% anual capitalizable anualmente b) Si no se retira el dinero de la cuenta; cuanto es el valor acumulado en la misma: M=C+I = $110,000 c) Si el monto obtenido en el inciso anterior se deja como capital para otros 6 meses, determine el nuevo monto al finalizar este nuevo plazo. M=C 1+ ni ( ) 1 ( )( ) M=$110, semestre 0.1 semestre = $11, 000 Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 7

8 Ejemplo 3. Se depositan $100,000 en una cuenta que paga 0% de interés anual capitalizable semestralmente. Determine: a) El monto después de un semestre. M=C 1+ ni ( ) 0. 1 M=$100, ( 1semestre ) semestre = $110, 000 Nótese que la tasa anual se convierte a semestral para poder multiplicar por un periodo semestral b) El monto después de dos semestres. Como en interés compuesto el monto del periodo inmediato anterior se convierte en el capital del periodo siguiente; el cálculo que debe hacerse es: M=C 1+ ni ( ) 0. 1 M=$110, ( 1semestre ) semestre = $11, 000 El monto del periodo inmediato anterior fue de $110,000 el cual se acumula como capital del periodo siguiente. c) El monto después de tres semestres. Nuevamente se usa el monto del periodo inmediato anterior que fue de $11,000 como capital. M=C 1+ ni ( ) 0. 1 M=$11, ( 1semestre ) semestre = $133,100 El monto del periodo inmediato anterior fue de $110,000 el cual se acumula como capital del periodo siguiente. En resumen lo que se hizo fue: 0. M=$100, = $110, 000 Monto al final del 1er periodo El monto al final del periodo Se usa como capital del siguiente periodo 0. M=$110, = $11, 000 Monto al final del do periodo 0. M=$11, = $133,100 Monto al final del 3er periodo Ahora observe la operación con la cual se obtuvo el monto al final del primer periodo: 0. $100, = $110, 000 Monto al final del 1er periodo Y observe como se obtuvo el monto al final del segundo periodo: 0. $110, $11, 000 = $100, = $11, 000 El monto al 3er periodo se obtendría: $100, = $133,100 Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 8

9 Por similitud el monto al final del 4to periodo: $ 100, = $146, O también se puede abreviar como: 0. $100, = $146, 410 El monto al final del 5to periodo: 0. M=$100, = $161, 051 Con este ejercicio deducimos la fórmula de interés compuesto para n periodos de capitalización transcurridos: M=C 1 ( + i) n 4 5 Donde: M. Monto o valor futuro del dinero. C. Capital (o principal) también llamado valor presente n. Periodos de capitalización transcurridos en un plazo de tiempo. i. Tasa de interés, debe convertirse al mismo plazo que los periodos de capitalización transcurridos n ; es decir, si contabilizamos periodos transcurridos mensuales (n esta en meses), la tasa debe ser mensual. Ejemplo 4. Se realiza un depósito de $100,000 a 5 años; realizar dos tablas para comparar los montos obtenidos desde el año cero (capital) hasta el año 5 considerando una tasa del 0% anual y usando una columna para interés simple y otra columna con interés compuesto capitalizable anualmente. Año Monto a interés simple Monto a interés compuesto. La tasa es anual capitalizable anualmente 0 $100,000 $100,000 1 $10,000 $10,000 $140,000 $144,000 3 $160,000 $17,800 4 $180,000 $07,360 5 $00,000 $48,93 Recomendación: EL ESTUDIANTE EN SU CASA CON UNA COMPUTADORA OBTENDRÁ LAS CANTIDADES DE LA TABLA ANTERIOR INTRODUCIENDO LAS ECUACIONES DE INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO SEGÚN SEA LA COLUMNA QUE CALCULE. Título del eje Comparación del crecimiento de los montos bajo interés simple y compuesto Interes simple Interes compue sto Título del eje Para hacer este ejercicio usando el paquete EXCEL. Sigue esta liga: Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 9

10 Ejemplo 5 (el alumno lo realizará como prelectio, usando los videos de YOUTUBE). Repita el mismo ejemplo 4. Pero si la tasa de interés en la columna de interés compuesto se capitaliza: a) Semestralmente b) Cuatrimestralmente c) Trimestralmente d) Bimestralmente e) Mensualmente ESTA ACTIVIDAD DEBERÁ RESOLVERSE POR PARTE DEL ALUMNO BAJO SUPERVISIÓN DEL PROFESOR. Puede revisar la solución de un ejemplo similar en la siguiente liga: Ejemplo 6. Determine la frecuencia de conversión y el periodo de capitalización para tasas de interés anuales que se capitalizan: a) Semestralmente b) Cuatrimestralmente c) Trimestralmente d) Bimestralmente e) Mensualmente ESTA ACTIVIDAD DEBERÁ RESOLVERSE POR PARTE DEL ALUMNO BAJO SUPERVISIÓN DEL PROFESOR. Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 10

11 En el interés simple, el capital que genera intereses permanece constante durante todo el periodo que dura el préstamo (o la inversión). En cambio en el interés compuesto el valor del dinero generado por concepto de intereses, se convierte parte del capital en el siguiente periodo de capitalización. El interés compuesto se puede calcular como la diferencia entre el capital original y el valor futuro: I = M - C La ecuación usada para el interés compuesto es: M=C 1 ( + i) n Donde: M. Monto o valor futuro del dinero. C. Capital (o principal) también llamado valor presente n. Periodos de capitalización transcurridos en un plazo de tiempo. i. Tasa de interés, debe convertirse al mismo plazo que los periodos de capitalización transcurridos n ; es decir, si contabilizamos periodos transcurridos mensuales (n esta en meses), la tasa debe ser mensual. Ejemplo 1. Si se depositan $500,000 en un banco a una tasa de interés del 18% anual capitalizable mensualmente; determine el monto acumulado en los siguientes plazos: a) Dos años b) Tres años Solución: Los datos del problema son: C = $500,000 i = 18% anual capitalizable mensualmente Y solo para el inciso a) Plazo = años M=C(1+i) n (1) 0.18 M=$500, = $714, La tasa anual se capitaliza mensualmente, por lo cual se divide entre 1 para convertirla en tasa mensual La cantidad de periodos en los cuales se capitaliza el dinero es de (1) = 4 esto debido a que la capitalización es mensual Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 11

12 Ejemplo. Se obtiene un préstamo bancario de $15,000 con intereses del 1% anual capitalizable trimestralmente; determine el monto a pagar si el plazo es de: a) Un año b) Dos años c) 7 meses y medio. Solución inciso a): Datos: C = $15,000 i = 1% anual capitalizable trimestralmente Plazo = 1 año Procedimiento y resultado inciso a): M=C 1 ( + i) n 4(1) 0.1 M=$15, = $16, Solución inciso b): Datos: C = $15,000 i = 1% anual capitalizable trimestralmente Plazo = año Procedimiento y resultado inciso b): M=C 1 ( + i) n 4() 0.1 M=$15, = $19, Solución inciso c): Datos: C = $15,000 i = 1% anual capitalizable trimestralmente Plazo = 7 meses y medio Procedimiento y resultado inciso c): n = 7.5/3 =.5 trimestres M=C 1 ( + i) n M=$15, = $16, Ejemplo 3. (El alumno lo realizará como prelectio, usando los videos de YOUTUBE) Se contrata un préstamo bancario por $150,000; la tasa de interés es de 0% anual convertible semestralmente. Cuál es la cantidad que deberá pagarse si se liquida el préstamo en un solo pago 15 meses después de haberlo obtenido? Ejemplo 4. Se LIQUIDA un préstamo bancario en $150,000; la tasa de interés es de 0% anual convertible semestralmente. Cuál es la cantidad que se pidió prestada originalmente si el plazo transcurrido fue de 15 meses? ESTE PROBLEMA SERÁ RESUELTO POR EL ALUMNO BAJO SUPERVISIÓN DEL PROFESOR. Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 1

13 Actividad 1.. Ejercicios de interés compuesto. Resuelve los siguientes ejercicios de interés compuesto: 1.- Cuanto dinero debe pagarse a un banco que hizo un préstamo de $300,000 si se reembolsa al año capital más intereses bajo una tasa de 40% anual capitalizable: a) Bimestralmente b) Cuatrimestralmente c) Semestralmente d) Anualmente.- Cuánto dinero se pidió prestado a un banco si después de dos años y cinco meses se pagaron $300,000 bajo una tasa de 45% anual capitalizable: a) Bimestralmente b) Cuatrimestralmente c) Semestralmente d) Anualmente Entrega tus resultados en forma de PRÁCTICA DE EJERCICIOS, siguiendo las rúbricas indicadas en la dirección: Puede enviar el documento final por correo electrónico a las siguientes direcciones: marcelrzm@hotmail.com; marcelrzm@hotmail.com; marcelrzm@yahoo.com.mx y marcelrz00@yahoo.com.mx Recuerde enviar dicho correo con copia a usted mismo y en asunto colocar 3.. Ejercicios de interés compuesto. EJERCICIOS ADICIONALES: 1.- Determine cuanto debe pagarse para liquidar una deuda de $10,000 contratada al 6% anual capitalizable mensualmente; si han transcurrido años..- Si se debe pagar $500,000 para liquidar una deuda que fue contratada a una tasa del 1% semestral capitalizable bimestralmente hace 1 año con 5 meses; determine cuanto fue el valor que se pidió prestado originalmente. 3.- Si se debe pagar $500,000 después de haber transcurrido 15 meses; de una deuda con valor original de $350,000 determine cuál es la tasa de interés anual capitalizable semestralmente. 4.- Si se deben pagar $1,000,000 cuando la cantidad adeudada originalmente fue de $600,000 con una tasa de interés del 30% anual capitalizable bimestralmente; determine cuanto tiempo en meses ha transcurrido. 5.- Si se debe pagar $500,000 por una deuda contratada hace 10 meses bajo una tasa del 6% anual capitalizable bimestralmente, determine el valor de la deuda original. n M = C(1+ i) C(1+ i) n M C = (1+ i) = M n $500,000 = = $475, Si se contrata una deuda $450,000 bajo una tasa del 14% anual capitalizable mensualmente; determine cuanto se deberá en 13 meses. M = C n ( + i) = $450,000 1 = $ 53, Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 13