INSTITUCION EDUCATIVA LA DESPENSA. Área de Matemáticas

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1 INSTITUCION EDUCATIVA LA DESPENSA MARCO FIDEL SUÁREZ CIUDAD VERDE Área de Matemáticas TRIGONOMETRÍA Elaboró: Nombre:

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3 1 UNIDAD I. ANGULOS QUÉ QUEREMOS? Desarrollar habilidades para el manejo de ángulos. 1. QUÉ TAL ESTAMOS PARA SUMAR? BIENVENIDO VEAMOS: Ubicar los números impares de 1 a 31, los números 20, 32, 34, 38 y 40 en los vértices de los pentágonos (están marcados con círculos), de manera que la suma de los números en los vértices de cualquier pentágono sea 100. Y PARA OTRAS OPERACIONES SENCILLAS...? INTENTEMOS CON ESTE La figura de la derecha se obtiene a partir de la figura de la izquierda. La figura de la izquierda es un TANGRAM de 10 cm de lado y la medida de cada una de las siete fichas que lo conforman se puede deducir a partir de las indicadas en el dibujo. Cuánto vale el área de cada una de las fichas del Tangram?. Cuál es el área de la figura de la derecha?. Qué se puede concluir? Cuántas figuras geométricas se encuentran en la figura izquierda?. Cómo se llaman? Identifique sobre la figura de la izquierda los diferentes ángulos que hay y diga como se llaman. Cuánto suman los ángulos internos de cada una de las fichas del Tangram? 2. LAS MATEMÁTICAS SIRVEN EN LA VIDA DIARIA? Muchos de los problemas que a diario se presentan pueden ser resueltos de manera rápida y fácil aplicando conceptos elementales de geometría o de trigonometría y, por qué no?, una calculadora de funciones. Algunos problemas son tan frecuentes que en ocasiones pasamos por alto el conocimiento teórico y procedemos a realizar prácticas dispendiosas y hasta complejas. De ahí la importancia de adquirir un bagaje teórico suficiente para podernos desempeñar de manera adecuada ante alguna situación de la vida real.

4 2 ANGULOS 3. UN PASEO RÁPIDO POR LO APRENDIDO Para contestar el siguiente taller tenga en cuenta los conocimientos que ha adquirido hasta el momento. Dibuje un ángulo de 45º e indique en él su lado inicial, su lado final y su vértice. Dibuje un ángulo de 60º y su bisectriz. LO QUE SE ENCUENTRA EN LOS LIBROS ANGULOS ACTUALICÉMONOS Ángulo, porción de plano determinada por dos semirrectas con origen común. Ángulo es la abertura formada por dos semirrectas con un punto común. Las semirrectas que lo forman se llaman lados del ángulo y el punto común, vértice. Lo que caracteriza a un ángulo es la abertura de sus lados. Si los lados de un ángulo α están más abiertos que los de otro β se dice que α es mayor que β. Cuando en un ángulo el lado final gira en sentido de las manecillas del reloj el ángulo es negativo. Si el lado final del ángulo gira en sentido contrario, el ángulo es positivo. La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que lo divide en dos ángulos de igual medida.

5 3 DESEMPEÑO No. 1.: Identifica diferentes clases de ángulos y los clasifica según su medida y posición relativa Si los dos lados del ángulo son semirrectas de la misma recta, el ángulo que forman se llama ángulo llano: Un ángulo recto es el ángulo convexo que tiene sus lados perpendiculares. Los ángulos convexos mayores que uno recto se llaman obtusos y los menores, agudos. Dos ángulos se llaman consecutivos si tienen un lado y el vértice común y están en distintos semiplanos. En la figura, los ángulos avb y bvc son consecutivos: Dos ángulos convexos se llaman opuestos por el vértice si sus lados son semirrectas opuestas: Dos ángulos consecutivos cuyos lados exteriores son semirrectas opuestas se llaman adyacentes: Se llama ángulo completo a aquel cuyos dos lados coinciden, y que está formado por todo el plano.

6 4 CÓMO DIJO??? Como se puede ver, en el párrafo anterior y en el dibujo de los ángulos aparecen los símbolos y, que seguramente son nuevos para nosotros. Pues sí. Son las letras del alfabetro griego, conocidas como alfa ( ) y beta ( ), que se utilizarán junto con otras durante el sesarrollo del curso. Por eso es muy importante tener la lista de las letras griegas para hablar todos el mismo idioma. Ejercicio: Buscar el alfabetro griego y copiarlo en el cuaderno Se acostumbra asignar una letra griega como nombre de un ángulo, una letra mayúscula del alfabeto castellano para un vértice y una letra minúscula del mismo para un segmento de recta; sin embargo, es común encontrar en libros que los ángulos son llamados con letras mayúsculas y en ocasiones con números a los que se les distingue con un acento circunflejo (^). No obstante, esto no debe ser motivo de confusión porque en cada ejercicio se le ha de llamar a un ángulo de la misma manera desde el comienzo hasta el final. Al cortar dos rectas paralelas, p y q, por otra recta l se forman ocho ángulos entre los cuales se dan las siguientes relaciones de igualdad: Opuestos por el vértice: ángulo 1 = ángulo 3 ángulo 2 = ángulo 4 ángulo 5 = ángulo 7 ángulo 6 = ángulo 8 Alternos internos: ángulo 4 = ángulo 6 ángulo 3 = ángulo 5 Correspondientes: ángulo 1 = ángulo 5 ángulo 2 = ángulo 6 ángulo 5 = ángulo 7 ángulo 6 = ángulo 8 Alternos externos: ángulo 1 = ángulo 7 ángulo 2 = ángulo 8

7 5 ALGO PARA HACER 1. Dados los ángulos de la figura, encontrar cuanto miden los demás ángulos. Justificar la respuesta. (I,A) 2. Utilizando el transportador, establecer la medida de cada uno de los siguientes ángulos. A a b c. d. 3. Dibujar las figuras que se indican si es posible. Si no lo es, explicar por qué. I,A,P Triángulo con dos ángulos de 45º Triángulo con dos ángulos de 80º Triángulo con dos ángulos de 120º Triángulo con dos ángulos de 90º Triángulo con un ángulo de 180º

8 CLASIFICACIÓN DE LOS ANGULOS UN PASEO RÁPIDO POR LO APRENDIDO Trigonometría I - 6 Si se observa la figura, qué tipo de ángulos se reconocen? ACTUALICÉMONOS Los ángulos se clasifican de acuerdo con su medida (amplitud) o su posición ANGULO Según su medida Según su posición dos ángulos pueden ser Recto Su amplitud es de 90º LLano Su amplitud es de dos ángulos rectos (180º) Adyacentes Si su amplitud es de dos ángulos rectos Colaterales Si tienen un lado en común Agudo Su amplitud es menor de 90º Obtuso Su amplitud es mayor de 90º Convexo Su amplitud es menor que la de un ángulo llano Cóncavo Su amplitud es mayor que la de un ángulo llano Opuestos por el vértice Si tienen el mismo vértice y los lados de uno son la prolongación de los lados del otro ALGO PARA HACER 1. En las siguientes figuras identificar los tipos de ángulos internos I

9 7 2. En los siguientes ejercicios dibuje la figura que se indica. P Un triángulo con un ángulo obtuso Una figura de cuatro lados con un ángulo obtuso Una figura pentagonal con un ángulo agudo y uno obtuso 3. Responda las siguientes preguntas y explique sus respuestas I, A Se puede dibujar un triángulo con dos ángulos obtusos? Todo ángulo obtuso es convexo? Todo ángulo convexo es obtuso? Se puede decir que el ángulo recto es convexo? Todo ángulo cóncavo es obtuso?

10 MEDIDA DE ÁNGULOS UN PASEO RÁPIDO POR LO APRENDIDO Trigonometría I - 8 Enumere varios sistemas de numeración. (por ejemplo decimal, binario, octal, etc.) Si existe alguna relación entre los sistemas mencionados, exprésela. ACTUALICÉMONOS La unidad de medida de ángulo más usual es el grado sexagesimal, que consiste en 1/360 del ángulo completo. La medida de un ángulo en grados sexagesimales se designa mediante el símbolo º. Por ejemplo, un ángulo de 56º. El grado sexagesimal tiene submúltiplos: El minuto, 1/60 de grado, que se designa y El segundo, 1/60 de minuto, que se designa. Es decir, 1/3600 de grado. Hay otras unidades de medida de ángulo, como el radián. El radián (rad) es un ángulo que abarca un arco cuya longitud es igual al radio con el que ha sido trazado. Su relación con el grado sexagesimal es la siguiente: 180º = rad. Es decir, 1 rad equivale aproximadamente a 57º Cómo se pasa de un sistema al otro? Se puede regresar al sistema original? Angulo en sexagesimal = Ángulo en radianes * 180º / Angulo en radianes = Ángulo en sexagesimal * / 180º

11 9 Angulo decimal = Grados + Minutos / 60 + Segundos / 3600 ALGO PARA HACER 1. Copiar la siguiente tabla en el cuaderno y resolver ahí los ejercicios I Convertir del sistema al sistema Resultado 64º Sexagesimal Radian 2 /3 Radian Sexagesimal 2 /3 Radian Decimal Decimal Sexagesimal 11º Sexagesimal Radian 5 /8 Radian Decimal 311º59 '19" Sexagesimal Decimal 141º48 '24" Sexagesimal Decimal Decimal Sexagesimal /12 Radian Decimal 338º Sexagesimal Radian Decimal Sexagesimal 78º31'17" Sexagesimal Decimal 2. Averiguar cómo se pasa un ángulo desde sistema decimal hasta sistema sexagesimal. (por ejemplo, como se llega desde en sistema decimal, hasta 12º15 36 en sistema sexagesimal) I 3. Qué diferencia hay entre un número exacto y un número aproximado?. (Por ejemplo entre 1/3 y 0,3333) P 4. Todos los ángulos expresados en un sistema de medidas (cualquiera que sea este), se pueden expresar en todos los demás sistemas?. Justifique su respuesta. A

12 OPERACIONES CON ÁNGULOS UN PASEO RÁPIDO POR LO APRENDIDO Sin utilizar transportador dibuje un ángulo de 75º y uno de 115º Cuantas veces es mayor la abertura de un ángulo de 135º que la de uno de 45º? Trigonometría I - 10 ACTUALICÉMONOS Si los ángulos están en sistema decimal o radián, sus operaciones de suma y resta se hacen como sumando los conocidos números reales; sin embargo, cuando se trata de operar con ángulos que se encuentran en sistema sexagesimal, la situación cambia un poco sin apartarse de los conceptos báscos que funcionan en los sistemas mencionados. SUMA DE ÁNGULOS EN SISTEMA SEXAGESIMAL 20º º º º º º º º º º º º48 00 Caso 1.Es la suma más fácil Caso 2. Resultan mas de 60 segundos Caso 3.Resultan mas de 60 minutos Caso 4.Resultan exactos 60 segundos 20º º º º º º00 00 Caso 5.Resultan exactos 60 minutos Caso 6. Resultan exactos 60 minutos y 60 segundos

13 11 RESTA DE ÁNGULOS EN SISTEMA SEXAGESIMAL 20º º º º º º º º º43 04 Caso 1.Es la resta más fácil Caso 2. Hay que pedir segundos prestados Caso 3.Hay que pedir minutos prestados 73º º º06 00 Caso 4.Resultan minutos exactos 50º º º00 56 Caso 5.Resultan grados exactos ESCALA DE ÁNGULOS EN SISTEMA SEXAGESIMAL 20º21 15 x 3 64º03 45 Caso 1.Ampliación (se multiplica el ángulo por un factor mayor que la unidad) 20º21 15 x º Caso 2. Reducción (se multiplica el ángulo por un factor menor que la unidad) ALGO PARA HACER Efectuar la suma I, A Efectuar la resta I, A Efectuar el producto I, A 1) 246 º 48 ' 31 " ; 39 º 16 ' 41 " 1) 355 º 39 ' 58 " ; 297 º 52 ' 46 " 1) 100 º 59 ' 56 " ; 2 2) 237 º 43 ' 17 " ; 285 º 26 ' 59 " 2) 350 º 23 ' 33 " ; 196 º 07 ' 20 " 2) 167 º 55 ' 36 " ; 5 3) 335 º 18 ' 08 " ; 333 º 06 ' 11 " 3) 139 º 23 ' 22 " ; 78 º 48 ' 12 " 3) 154 º 45 ' 57 " ; 10 4) 4 º 05 ' 39 " ; 26 º 47 ' 26 " 4) 249 º 34 ' 45 " ; 97 º 33 ' 54 " 4) 177 º 23 ' 26 " ; 0.6 5) 92 º 02 ' 29 " ; 203 º 26 ' 57 " 5) 215 º 46 ' 43 " ; 136 º 07 ' 08 " 5) 345 º 03 ' 04 " ; 0.2 CUÁNTO APRENDÍ? 1. Cuántos segundos tiene un grado? 3. Qué diferencia hay entre 2 y ? 4. Si en el cruce de dos líneas se forman 4 ángulos, cuál es la suma de las medidas de todos ellos? 5. Si se tienen dos líneas rectas no paralelas entre sí, pero las dos son cortadas por una tercera línea diagonal a las dos, Cuantos ángulos se deben conocer para poder determinar el valor de los demás que se forman en los dos cruces? 6. Cómo se pasa un ángulo del sistema radian al sistema decimal?

14 12 UNIDAD II. TRIÁNGULOS EL TRIANGULO UN PASEO RÁPIDO POR LO APRENDIDO Para contestar el siguiente taller tenga en cuenta los conocimientos que ha adquirido hasta el momento. Escriba debajo de cada triángulo, el nombre con el que se le conoce: Complete las expresiones: Un triángulo tiene alturas, medianas y bisectrices. El punto donde se cortan las alturas se llama El punto donde se cortan las medianas se llama El punto donde se cortan las bisectrices se llama LO QUE SE ENCUENTRA EN LOS LIBROS ACTUALICÉMONOS

15 13 TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS En un triángulo rectángulo, los lados que forman el ángulo recto se llaman CATETOS y el tercer lado (opuesto al ángulo recto) recibe el nombre de HIPOTENUSA. TEOREMA DE PITÁGORAS En todo triángulo rectángulo se comprueba que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. TRIÁNGULO DEL INGENIERO Se denomina así al triángulo cuyos catetos miden 3 y 4 unidades y su hipotenusa mide 5 unidades. Se le conoce también como el triángulo Se comprueba la misma relación para triángulos cuyos lados sean múltiplos (en la misma cantidad al tiempo) de los lados del triángulo ALGO PARA HACER En cada uno de los siguientes ejercicios dibuje el triángulo rectángulo y encuentre el valor del lado que falta. I, A 1) C1 = 16 ; C2 = 13 6)Hi = 14 ; C2 = 12 11) C2 = 19 ; C1 = 19 16) C1 = 12 ; Hi = 18 2) Hi = 18 ; C1 = 15 7)C2 = 3 ; C1 = 6 12) C1 = 1 ; Hi = 10 17) C1 = 19 ; Hi = 25 3) Hi = 20 ; C2 = 3 8)C2 = 4 ; C1 = 5 13) C1 = 9 ; Hi = 30 18) Hi = 20 ; C2 = 14 4) C2 = 7 ; C1 = 4 9)C1 = 3 ; Hi = 12 14) C2 = 9 ; C1 = 1 19) C1 = 11 ; Hi = 25 5) Hi = 21 ; C1 = 18 10)C2 = 1 ; C1 = 13 15) Hi = 42 ; C1 = 19 20) C1 = 5 ; C2 = 8 C1: CATETO UNO C2: CATETO DOS Hi: HIPOTENUSA Cómo haría usted para formar un triángulo rectángulo con una cuerda que mide 12 metros? A, P Por qué la hipotenusa debe ser siempre mayor que los catetos en un triángulo rectángulo? I, A Aparte de la familia de triángulos múltiplos del triángulo existen otros triángulos que tienen números enteros en la medida de sus lados. Cuáles son esos triángulos? A, P

16 RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO UN PASEO RÁPIDO POR LO APRENDIDO Dibuje un triángulo con dos de sus lados congruentes. Trigonometría I - 14 Se puede dibujar un triángulo cuyos lados midan respectivamente 5, 8 y 13 unidades?. Si su respuesta es afirmativa entonces dibújelo. Si su respuesta es negativa explique por qué. ACTUALICÉMONOS Dado un ángulo, se define: Seno de : Coseno de : Tangente de : c.o. Sen h Cotangente de : c.a. Cos h Secante de : c.o. Tg c.a. Cosecante de : Ctg Sec Csc c.a. c.o. h c.a. h c.o. Si se establece la relación entre el seno y el coseno del mismo ángulo se tiene que donde resulta Sen c. o. Cos c. a. tangente del ángulo. Por lo tanto se puede afirmar que Sen c. o./ h Cos c. a./ h después de simplificar; pero esta expresión es justamente la definición de la Sen Tg. Cos, de De la misma manera se puede llegar a: Cos Ctg, Sen 1 Sec y Cos 1 Csc Sen ALGO PARA HACER Encontrar el valor de las relaciones trigonométricas para un ángulo en un triángulo si: I, P, A 1) Hi = 19 ;CO = 10 6) Hi = 28 ;CO = 19 11) CA = 9 ;CO = 3 16)CO = 15 ; Hi = 20 2)CO = 6 ;CA = 13 7) Hi = 15 ;CA = 10 12) Hi = 35 ;CA = 8 17)CA = 1 ;CO =14 3) Hi = 18 ;CO = 10 8)CA = 6 ;CO = 19 13) CA =11 ;CO =12 18)CO = 20 ; Hi = 29 4)CA = 5 ;CO = 3 9)CA =20 ;CO = 15 14) CO =15 ;CA = 4 19) Hi = 35 ;CO =11 5)CA = 5 ;CO = 12 10)CA = 4 ;CO = 16 15) CO =18 ; Hi = 19 20)CA = 4 ;CO =18 Encontrar el valor de las relaciones trigonométricas para un ángulo en un triángulo si: I, P, A 1) COT = 253 / 84 6) SEN = 1 / 11 11) SEC = 107 / 99 16) SEC = 457 / 95 21) TAN = 817 / 45 2) COS = 11 / 13 7) TAN = 1124 / 59 12) TAN = 1 / 20 17) COT = 151 / 30 22) TAN = 46 / 9 3) COT = 4 8) COS = 5 / 29 13) COT = 5 18) COS = 13 / 36 23) COS = 19 / 53 4) SEC = 931 / 86 9) TAN = 931 / 51 14) SEC = 37 / 6 19) SEC = 19 / 16 24) COS = 21 / 41 5) TAN = 112 / 77 10) SEN = 23 / 87 15) COS = 21 / 44 20) SEN = 1 / 15 25) SEN = 18 / 19

17 EL CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO Trigonometría I - 15 UN PASEO RÁPIDO POR LO APRENDIDO Dibuje un círculo de 3 cm de radio, con centro en el origen de coordenadas e identifique sobre él las coordenadas de dos puntos cualesquiera. Sobre el mismo círculo anterior ubique un punto que tenga sus dos coordenadas positivas (+, +) y otro que tenga la primera coordenada positiva y la segunda coordenada negativa (+, -). ACTUALICÉMONOS Cualquier punto P sobre la circunferencia trigonométrica (borde del círculo trigonométrico), tendrá un par de coordenadas cartesianas (x,y) que dependen de su posición. En la figura se observa que para el ángulo en posición normal del triángulo rectángulo POA, el valor del cateto opuesto coincide con la coordenada y del punto P y lo mismo sucede con el cateto adyacente y la coordenada x del mismo punto. Además el valor de la hipotenusa en el mismo triángulo es la unidad. De acuerdo con las definiciones de seno y coseno se tiene entonces que para el ángulo el seno vale y/1 = y, y el coseno de vale x/1 = x. El Círculo Trigonométrico Tiene su centro en el origen de coordenadas (0,0) y la medida de su radio es la unidad (R = 1). El círculo trigonométrico corta al eje x en los puntos (1, 0) y (-1, 0) y al eje y en los puntos (0, 1) y (0, -1). La ecuación del círculo trigonométrico es x 2 + y 2 = 1 Según lo anterior se puede afirmar entonces que para un punto P sobre la circunferencia trigonométrica, sus coordenadas (x,y) se pueden expresar de la forma (cos, sen ), donde es el ángulo formado por los el eje de coordenadas x y el segmento que une al punto P con el origen coordenado.

18 16 SIGNO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Los números en romano muestran los cuatro cuadrantes en que está dividido el círculo trigonométrico. Dependiendo de la posición de un punto sobre el círculo trigonométrico, se formará un ángulo central en posición normal y el valor de las funciones trigonométricas coseno y seno del ángulo corresponderán a las coordenadas (x, y) del punto P. Por lo anterior se establece que el signo de las funciones trigonométricas para un ángulo en posición normal depende de su lado final y el seno será positivo si el punto se encuentra por encima del eje x, y será negativo mientras en caso contrario. Por su parte, el coseno de un ángulo será positivo si el punto P se encuentra a la derecha del eje y y será negativo en caso contrario. ANGULOS CUADRANTALES Los ángulos de 0º, 90º, 180º, 270º, 360º, que corresponden a 0 radianes, /2,, 3 /2 y 2 respectivamente, lo mismo que todos sus múltiplos, son conocidos como ángulos cuadrantales y el valor de las funciones seno y coseno para ellos es fácilmente observable en el dibujo. Signo de las funciones seno y coseno para los ángulos cuadrantales 0º 90º /2) 180º 270º (3 /2) 360º (2 Seno coseno ALGO PARA HACER Encontrar el valor del seno y el coseno para los ángulos 0º, 90º, 180º, 270º y 360º. I, A Utilizando las definiciones de los valores de las funciones trigonométricas para un ángulo agudo, demostrar: I, A a. sen tg b. cos ctg cos sen

19 17 c. 1 sec d. cos 1 csc sen Deducir la IDENTIDAD TRIGONOMÉTRICA FUNDAMENTAL sen 2 a + cos 2 a = 1 I, A Determinar el signo de las funciones trigonométricas para los ángulos dados I, A Ángulo Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante 30º 2 /3 310º 245º 8 /5 125º 2 /3 Complete el cuadro con el valor de las funciones trigonométricas de los ángulos cuadrantales I, A 0º 90º /2) 180º 270º (3 /2) 360º (2 Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante CUÁNTO APRENDÍ? 1. Un avión sale del aeropuerto El Dorado y se eleva menteniendo un ángulo constante de 8º hasta que adquiere una altura de 6 kiloómetros. Determinar a qué distancia horizontal del aeropuerto se encuentra en ese momento. I, A, P 2. Un rio de 1 Km de ancho fluye a razón de 1.5 Km/h. Si un hombre rema a través del río, siempre en dirección hacia la orilla opuesta, qué tan lejos llegará a tierra, rio abajo, si su velocidad al remar en aguas tranquilas es de 3 Km/h? I, A DONDE PUEDO PROFUNDIZAR? URIBE CÁLAD, Julio A. MATEMÁTICA. Una propuesta curricular 10. Bedout Editores S.A. LONDOÑO, Nelson y BEDOYA, Hernando. MATEMÁTICA PROGRESIVA. Ed. Norma SWOKOWSKY, Earl. GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ALGEBRA LINEAL. BARNETT, Raymond a. Precálculo. Algegra, geometría analítica y trigonometría. Ed. Limusa. WILLS, Darío y otros. Matemática Moderna Estructurada 6. Ed Norma. ENCARTA Enciclopedia multimedial.