La Demanda de Especies Monetarias en Colombia: Estructura y Pronóstico

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1 BANCO DE LA REPÚBLICA SUBGERENCIA DE ESTUDIOS ECONÓMICOS La Demanda de Especies Monearias en Colombia: Esrucura Pronósico Carlos A. Arango A., Marha A. Misas A. Juan Nicolás Hernández Agoso 26, 2004 Resumen Las esorerías de los Bancos Cenrales enfrenan el problema de pronosicar las necesidades de especies monearias requeridas por los agenes económicos para finalizar sus ransacciones. Dichos pronósicos son uilizados para hacer sus planes a mediano plazo (2 a 3 años en el caso colombiano) de producción, e invenarios de maeria prima unidades erminadas por denominación. El objeivo de ese rabajo es evaluar disinas écnicas de pronósico que sean lo suficienemene flexibles como para incorporar las innovaciones recienes en los deerminanes de la demanda la esrucura denominacional de las especies monearias, reconocer las posibles no-linealidades en la relación de aquellos con el uso del efecivo. La esraegia seguida se basa en la uilización de redes neuronales arificiales (ANN) mínimos cuadrados flexibles (FLS), dos écnicas economéricas basane robusas frene a cambios esrucurales que permien incorporar elemenos no-lineales en la modelación del efecivo. Los auores agradecen las innumerables valiosas conversaciones con el Deparameno de Tesorería del Banco de la República. Asimismo, se agradece a Lina Maria Monoa por su asisencia en la adminisración de los daos programas de esimación de las redes neuronales, en los cálculos con la meodología de mérica D. Igualmene, se agradece a Hécor Núñez por su colaboración en las esimaciones de mínimos cuadrados flexibles.

2 Inroducción Las esorerías de los Bancos Cenrales enfrenan el problema de pronosicar las necesidades de efecivo requeridas por los agenes económicos para finalizar sus ransacciones. Dichos pronósicos son uilizados para hacer sus planes a mediano plazo (2 a 3 años en el caso colombiano) de producción, e invenarios de maeria prima unidades erminadas. Las necesidades de producción provienen, como en cualquier indusria de bienes durables, de res fuenes: la variación en el sock de unidades requerida por el público, la reposición del sock obsoleo o deeriorado las necesidades de invenario para cubrir evenuales choques no esperados. En el caso de las especies monearias, el problema es similar a una firma muliproduco de bienes durables susiuos-cercanos donde las res fuenes deben pronosicarse por denominación eniendo en cuena las inerrelaciones que ha enre unas oras. En economías relaivamene esables con un alo grado de desarrollo ecnológico en maeria de medios de pago, sisemas de disribución del efecivo, avanzados modelos de disribución de bienes servicios (como grandes cadenas de almacenes, inegración de las redes de pago elecrónicas con el comercio), la dinámica fuura de las necesidades de efecivo es mucho más predecible que en economías donde esos facores esán en pleno desarrollo, como es el caso de Colombia donde en las ulimas dos décadas se han dado imporanes cambios con la aparición de las redes de pago de bajo valor (ACH), las redes de cajeros elecrónicos (ATM), la profundización en el uso del cheque la expansión de grandes cadenas de almacenes. Más aún, durane la úlima década la economía colombiana ha experimenó imporanes rasformaciones durane la década de los 90 que han raído consigo una maor volailidad en las variables que deerminan la función de demanda de dinero como el ingreso, la asa de inerés la inflación. En paricular, la reducción susancial en la asa de inflación que ha experimenado Colombia en los úlimos años es de especial relevancia para ese rabajo no solo por su efeco sobre la demanda agregada de efecivo sino porque iene un impaco imporane en la dinámica de la esrucura denominacional. En regímenes de ala inflación la esrucura pierde rápidamene su poder adquisiivo, induciendo enradas salidas frecuenes de denominaciones lo cual ocurre de manera más lena en regímenes de baja inflación. Adicionalmene, ha evidencia de que esos cambios de régimen inflacionario inducen reacciones de nauraleza no-lineal en la demanda de efecivo. Como se verá más adelane ha razones eóricas para pensar ambién en efecos no-lineales asociados con el comporamieno de la esrucura denominacional. Específicamene, el ciclo de vida de una denominación conformado por los diferenes esadios desde su inroducción en el mercado, Ver Misas e. Al. (2004) para una revisión de la lieraura al respeco. 2

3 pasando por diferenes posiciones en la esrucura denominacional hasa finalmene dejar de ser uilizada ransaccionalmene por su bajo poder adquisiivo, esá relacionado en forma nolineal con el régimen inflacionario vigene. El objeivo de ese rabajo es evaluar disinas écnicas de pronósico que sean lo suficienemene flexibles como para incorporar las innovaciones recienes en los deerminanes del efecivo, ano a nivel agregado como por denominaciones, reconocer las posibles nolinealidades en la relación de aquellos con el uso del efecivo. La esraegia seguida se basa en la uilización de redes neuronales arificiales (ANN) mínimos cuadrados flexibles (FLS), dos écnicas economéricas basane robusas frene a cambios esrucurales que permien incorporar elemenos no-lineales en la modelación del efecivo. Como lo sugiere Frances (2000) la venaja de ANN es su capacidad para aproximar cualquier función no-lineal. Aplicadas a series de iempo caracerizadas por relaciones no-lineales, las redes neuronales proveen de pronósicos superiores a los obenidos a ravés de modelos lineales. Por su pare, FLS incorporan la posibilidad de que los parámeros asociados a las variables que deerminan el uso del efecivo cambien en el iempo. Con la venaja adicional que las dos écnicas incluen la posibilidad de escoger especificaciones que minimicen el error de pronósico. En ese documeno se exiende la meodología ANN para modelar la esrucura denominacional de las especies en circulación. En ese caso, la modelación ANN deja de ener la nauraliza de series de iempo se acerca más a un modelo SUR (Seemingl Unrelaed Regression) nolineal de la curva promedio de paricipación de una denominación sobre el valor oal en circulación en función del iempo en circulación desde su inserción. La esimación de dicha curva se basa en el panel de las hisorias individuales de las disinas denominaciones en circulación. El documeno se organiza en ocho secciones incluida esa inroducción. En la segunda sección se describen los elemenos que deben enerse en cuena en el pronósico de especies monearias ano a nivel agregado como por denominaciones. En la ercera sección se proponen varios modelos de esimación del agregado de especies monearias (M0) para horizones de coro largo plazo. En la cuara, quina sexa secciones se describen aplican res meodologías de pronósico de la esrucura por denominaciones. En la sépima sección se comparan las bondades de las res meodologías en la ocava se dan conclusiones sugerencias para fuura invesigación. 3

4 2 Definición del problema Las esorerías de los Bancos Cenrales deben esimar las necesidades de efecivo por denominación a coro, mediano largo plazo con el fin de elaborar sus planes de producción hacer los ajuses del caso para que la disponibilidad de especies monearias sea suficiene oporuna. La ecuación conable básica de la producción de una denominación, Q, durane el período es: Q = C + D + I I * () Donde C es la variación del volumen de especies en circulación, D es el volumen de piezas deerioradas que requieren ser reemplazadas, I es el invenario inicial heredado del período anerior. * I es el invenario de piezas deseado e A parir de la ecuación () la esorería debe proecar las necesidades de producción con base en pronósicos de cada uno de los elemenos que la componen. Cada componene responde a disinos facores que lo deerminan su modelación requiere de un análisis microeconómico microesadísico cuidadoso. Tano el cambio en el volumen en circulación, como el deerioro de una denominación dependen no solo de facores macroeconómicos como el crecimieno de la economía, el régimen inflacionario o el cambio en el coso de oporunidad sobre las enencias en efecivo sino ambién, de innumerables facores microeconómicos que deerminan el comporamieno ransaccional de los individuos el uso que ésos dan al efecivo. Enre esos facores se desacan: La disribución ransaccional de la economía: la cual depende del grado de desarrollo, se ve ransformada por la inroducción de grandes cadenas de almacenes, el desarrollo del ranspore las comunicaciones, la inroducción de dispensadores auomaizados de bienes servicios (vending machines), la ofera de medios de pago auomaizados, las cosumbres alrededor de la fijación de precios como la aproximación por debajo (e.j. $.999) o ajuses de precios aados a la inflación, enre oros. Las preferencias de los individuos: las cuales pueden esar sesgadas hacia la enencia de billees haciendo que las monedas engan una limiada circulación en la economía. 4

5 O alernaivamene, pueden esar moldeadas por aspecos culurales de formación de hábios que generan un guso específico por cieras denominaciones frene a oras (eso es paricularmene relevane en el caso de la inroducción de nuevas denominaciones). Los cosos relaivos de producción manenimieno: los cuales dependen de la durabilidad de los maeriales, las caracerísicas de seguridad la ecnología disponible para su producción. Al respeco, los bancos cenrales se enfrenan a decisiones ales como cuando converir un billee en moneda, como prevenir la falsificación, que innovaciones en érminos de diseño maeriales pueden adoparse con el fin de reducir el deerioro cual es su impaco sobre el público. Los canales de disribución del efecivo: consiuidos por el Banco cenral, la red bancaria, las ransporadas de valores, las ATMs los esablecimienos de comercio. De esos depende el abasecimieno oporuno suficiene de denominaciones, por ejemplo, en regiones relaivamene aisladas, o en el comercio al deal, o para el uso de vending machines (vendedoras auomáicas). El cambio ecnológico en los medios de pago susiuos del efecivo: cheques, arjeas debio-crédio, dinero elecrónico, ACHs. La dinámica de la economía suberránea: en la cual se incluen ano comporamienos elusivos frene a la regulación de las acividades económicas (fiscal, laboral comercial) como acividades ilícias como el narcoráfico. La falsificación. Obviamene, esos facores golpean la dinámica agregada de la demanda de efecivo, no obsane, desde el puno de visa de una esorería, las maores sorpresas se presenan por su efeco en la esrucura denominacional definida por dos elemenos: la secuencia de valores faciales de las disinas denominaciones en circulación la paricipación de cada denominación en el oal de piezas demandadas por la economía. Ese rabajo se cenra en el pronósico de uno de los elemenos de la ecuación (): el cambio en el sock en circulación ano agregado como por denominación 2. Difícilmene, un modelo economérico puede recoger la hisoria del efecivo su esrucura incorporando la variedad de 2 No quiere decir que los oros dos componenes no sean relevanes. De hecho, una vez una economía se esabiliza en maeria de inflación, el elemeno crucial de planación de la producción es el de reemplazo (Banco Cenral de Reservas del Perú, 2002). Por su pare, la políica de invenarios requiere de un esudio cuidadoso no solo de la volailidad en el comporamieno del deerioro la variación en circulación sino ambién de las condiciones de disribución circulación regionales de cada economía. 5

6 posibles choques sin incurrir en los riesgos derivados de una sobre idenificación del proceso generador de daos subacene. Menos aún, puede idenificar el efeco que endrán fuuras innovaciones ransaccionales de pagos. En ese senido, la esraegia de pronósico debe ser sensible al enorno macroeconómico, ransaccional de pagos que enfrena el Banco Cenral. En períodos de ala inesabilidad macroeconómica o evidencia de cambio esrucural, los modelos de pronósico deben ser flexibles permiir dar un peso significaivo a la hisoria más reciene. En períodos de relaiva esabilidad económica de leno avance ecnológico, los modelos clásicos de pronósico pueden ser suficienes. La area de pronosicar las necesidades de efecivo ano agregado como por denominaciones resula basane difícil en el conexo colombiano, paricularmene, durane los úlimos 5 años que consiuen el período muesral En ese período la economía sufrió imporanes cambios esrucurales, esrechamene relacionados con el manejo del efecivo, inducidos por: Una disminución susancial en los rimos de inflación, la cual fue gradual hasa 997 con un fuere quiebre en la endencia a finales de los 90. Una adopción considerable de ecnologías asociadas con el uso del efecivo: un crecimieno veriginoso de ATMs (Grafica ), una maor bancarización con el consiguiene aumeno en la uilización de cheques arjeas crédio-débio (Grafica 2) la aparición de ACHs de bajo valor a finales de los 90 (CENIT ACH Colombia). Inroducción de un impueso a las ransacciones financieras del 2 por mil ($2 por cada mil pesos ransados) en noviembre de 998, el cual ha sido incremenado en dos ocasiones, al 3 x mil en enero de 200 al 4 x mil en enero de 2004, que graba no solo las ransacciones operadas a ravés del sisema financiero sino ambién los debios efecuados sobre cuenas de ahorro corrienes para aprovisionamieno del efecivo por pare de los agenes. Un aumeno exponencial en los índices de criminalidad así como ambién maores índices de informalidad; acividades normalmene inensivas en el uso del efecivo. Crecimieno susancial de los almacenes de cadena, los cuales modifican la disribución ransaccional disminuendo la frecuencia relaiva de ransacciones de bajo mediano valor como resulado del empaqueamieno ransaccional. Inroducción de dinero elecrónico (arjeas de pago) en ransacciones anes alamene inensivas en efecivo como el ranspore público. 6

7 Gráfica : ATMS 6,000 45,000,000 5,000 40,000,000 35,000,000 No. ATM 4,000 3,000 2,000 30,000,000 25,000,000 20,000,000 5,000,000 No. TRANSACCIONES,000 0,000,000 5,000, AÑO - No. ATM No. rans. ATM (Mes Diciembre). Gráfica 2: Número de Tarjeas Débio Crédio 0,000,000 9,000,000 8,000,000 7,000,000 6,000,000 5,000,000 4,000,000 3,000,000 2,000,000,000, AÑO No. Tarjeas débio acivas No.Tarjeas credio acivas 7

8 Gráfica 3: Velocidad de M0 Coso de Oporunidad PIB/EFECTIVO Inflación/DTF PIB/ESPECIES Inflación DTF Como se aprecia en la grafica 3, la velocidad de circulación del agregado de especies monearias (M0) ha sufrido cambios imporanes con una endencia decreciene durane la década de los novena que se acenúa a finales de los 90 que coincide con la inroducción del impueso a las ransacciones financieras la fuere caída en la inflación en la asa de inerés. El esudio reciene más cercano al problema de pronosicar la demanda por especies monearias en Colombia es el rabajo de Misas, Lopez, Arango Hernandez (2004) en el cual se enfrena el problema de pronosicar la demanda por efecivo en presencia de imporanes recienes cambios en el enorno macroeconómico 3. En ese rabajo se encuenra que los deerminanes clásicos de la demanda de efecivo (efecivo real, asa de inerés, ingreso endencia como prox de progreso écnico) esán coinegrados que, el modelo VEC pasa odas la pruebas de especificación el vecor de coinegración resula esable para la úlima década. Sin embargo, en el mismo rabajo se compara la bondad de pronósico del modelo VEC modelos ARIMA frene a modelos no-lineales esimados con ANN evidenciándose claramene que los modelos lineales presenan maores errores de pronósico cuando se raa de replicar la dinámica más reciene del efecivo. Más aún, se encuenra evidencia de imporanes no-linealidades en la dinámica del efecivo paricularmene con respeco a la inflación. El agregado de especies monearias presena básicamene los mismos problemas reos que el efecivo a que esos dos agregados se comporan de manera mu similar. En ese senido, 3 La diferencia enre el efecivo el agregado de especies monearias es que ese ulimo inclue Efecivo en Caja de los Bancos. 8

9 la uilización de meodologías de pronósico más flexibles que permian un mejor ajuse a cambios esrucurales recienes vuelve a ser de especial inerés en el caso de las especies monearias. Ahora bien, el pronósico de necesidades de especies por denominación es aún más inrincado a que la hisoria de las series esá fueremene ligada a la esrucura, a la enrada de nuevas denominaciones, a la ransición de billee a moneda al iempo que lleva la denominación en circulación. La dinámica de la esrucura es deerminada en pare por el Banco Cenral pero ambién depende de los canales de disribución de las innovaciones ransaccionales a mencionadas. La esrecha relación en la dinámica de cada una de las denominaciones respeco a las oras en la esrucura obliga a modelar el comporamieno de largo plazo de manera conjuna,considerando la posición relaiva de cada denominación en el oal de las especies en circulación, el iempo que ésa lleva en circulación la dinámica conjuna que imprime la inflación la acividad económica sobre la demanda relaiva de cada denominación. Gráfica 4: Curva de Paricipaciones Porcenaje del Valor oal en circulación de M % Meses en circulacion La grafica 4 muesra el comporamieno de la paricipación de cada una de las denominaciones acualmene en circulación, en el período Para cada denominación se grafica en el eje horizonal el iempo que lleva en circulación desde su inserción en el eje verical su paricipación en el valor oal de M0. Como se puede observar, ha un parón común a odas las denominaciones: esas aumenan rápidamene su paricipación una vez enran en 9

10 circulación hasa que llegan a un puno de maduración máximo, después del cual, al enrar una nueva denominación, empieza a caer su paricipación, a la vez que pasa a ocupar sucesivamene posiciones más bajas en la esrucura. Sin embargo, las hisorias difieren susancialmene unas de oras en función del régimen inflacionario vigene, las políicas de la esorería del banco respeco a la enrada de cada denominación, el momeno de converirla a moneda, la inserción de ecnologías como ATM ACH el efeco del ciclo económico sobre la demanda relaiva en especial para el caso de las alas denominaciones. Por ejemplo, las diferencias en los iempos en los cuales se alcanzan los punos máximos de paricipación dependen del nivel de inflación, a maor inflación más prono es susiuida la maor denominación por una nueva por ende menor será el iempo en el que se alcanza el máximo. La diferencia en las paricipaciones máximas, dependerá de la oporunidad con que van enrado las denominaciones. Una emprana enrada de una denominación runcará premauramene el proceso de inserción de la maor denominación exisene quizás compromeiendo su plena maduración. Por su pare, la gráfica 5 muesra como el crecimieno anual de las denominaciones durane sus primeros años en circulación presena alas asas seguidas de una caída susancial un repune para luego seguir una senda descendene de crecimienos anuales. De nuevo, la fase descendene en las asas refleja, en pare, el iempo que les oma a los agenes la nueva denominación (por ejemplo, ajuses del sofware de cajeros para su disribución) pero ambién, la oporunidad con la que se inroduce la nueva denominación. Gráfica 5: Variaciones anuales piezas por denominación Ene Ene-86 Ene-87 Ene-88 Ene-89 Ene-90 Ene-9 Ene-92 Ene-93 Ene-94 Ene-95 Ene-96 Ene-97 Ene-98 Ene-99 Ene-00 Ene-0 Ene-02 Ene-03 Ene

11 El iempo que arda una nueva denominación en posicionarse ransaccionalmene se hace más evidene si se observa la gráfica 6 donde se presenan las paricipaciones en piezas por denominación. En ese caso los máximos no coinciden con la enrada de nuevas denominaciones en algunas, una vez se alcanza un máximo ese se maniene por largos períodos de iempo (mas de res años) anes de ceder como en las denominaciones de $2.000 $ Gráfica 6: Paricipaciones sobre oal de piezas ( ) Ene-84 Ene-85 Ene-86 Ene-87 Ene-88 Ene-89 Ene-90 Ene-9 Ene-92 Ene-93 Ene-94 Ene-95 Ene-96 Ene-97 Ene-98 Ene-99 Ene-00 Ene-0 Ene-02 Ene-03 Ene Idealmene, se buscaría un modelo economérico que permia idenificar la curva de paricipación promedio de una denominación en el mercado. Modelo que de alguna manera recogiese posibles desbalances en la esrucura, cambios en el régimen inflacionario, innovaciones ransaccionales decisiones de inroducción de nuevas denominaciones por pare del emisor, enre oros. No obsane, difícilmene un modelo paramérico podría capurar la relación alamene no-lineal de dicha curva con sus deerminanes. Un ejemplo de eso es el efeco que iene la inflación sobre esa. La figura presena una curva hipoéica para disinos regímenes inflacionarios: en el caso de ala inflación, los disinos evenos de la curva son mu coros con frecuenes enradas de nuevas denominaciones salidas de aquellas que dejan de ener poder adquisiivo relevane en el mercado. A medida que la inflación va disminuendo, la curva se va alongando con períodos más lenos de maduración decadencia. En el caso exremo de cero inflación, la curva muesra un período de asenso para luego esabilizarse alrededor de una paricipación de largo plazo.

12 Figura : Curva Hipoéica de Paricipaciones e Inflación Inflación Ala Cero Inflación % Inflación Media Tiempo en Circulación Más aún, en el caso de cero inflación, ano en valor como en piezas en circulación, la esrucura de paricipaciones endería a ser consane en el largo plazo solo sería afecada por innovaciones ransaccionales o de ecnología de pagos. Claramene, ano el iempo en circulación como la inflación aleran en forma no-lineal la curva de paricipaciones. Ese puno es de especial inerés en el caso Colombiano donde la inflación uvo una reducción susancial en los úlimos 0 años en paricular enre Es por ello que las ANN consiuen una herramiena mu valiosa para modelar la curva a que ésas no solo son ideales para incorporar no-linealidades sino por que la esraegia de escogencia de la arquiecura permie darle una maor ponderación a aquellas que mejor repliquen el comporamieno de la curva durane el cambio de régimen el nuevo esado esacionario. La uilización de ANN para develar la dinámica de la curva de paricipaciones es de especial relevancia denro del conexo de pronósicos de especies monearias en el mundo a que muchas esorerías coninúan uilizando la mérica-d (Pane Morgan, 98) como herramiena de pronósico, la cual es esencialmene de nauraleza lineal depende de manera críica de la esabilidad de la esrucura en el iempo 4. Adicionalmene, como se explica mas adelane, el 4 En la mérica D se escoge un período relevane, usualmene el mas reciene, para calcular paricipaciones promedio de la esrucura denominacional se supone que dichas paricipaciones evolucionan en el iempo de acuerdo a una consane de desplazamieno la cual depende de el rimo de inflación de la economía. 2

13 uso de ANN para modelar la curva de paricipaciones es una exensión novedosa de esa meodología consiuir un apore a la esimación de modelos SUR no-lineales. Una segunda alernaiva de pronósico que se explora en ese documeno es la de esimar la circulación de especies por denominación, uilizando mínimos cuadrados flexibles (FLS), con el fin de complemenar validar los pronósicos que arrojan los méodos basados en proporciones. En esa meodología se supone que ha una relación lineal enre la variable dependiene las variables explicaivas pero que los parámeros de dicha relación cambian a lo largo del iempo. Los FLS fueron escogidos a que esos, además, permien darle un peso maor a la hisoria más reciene de cada una de las series, con el fin de capurar mejor no solo cambios, por ejemplo, de régimen inflacionario, sino ambién, su esado paricular denro de su hisoria en circulación. En ese rabajo se conrasan los resulados uilizando mérica-d vs. aquellos arrojados con la esimación mediane ANN FLS de la esrucura denominacional 5. La esraegia de pronósico considera la siguiene secuencia: Pronósico del agregado de especies a coro largo plazo. El pronósico a coro plazo se basa en la esimación de redes neuronales. El pronósico a más largo plazo en un modelo VEC. Pronósico desagregado por denominación: o Méodos de paricipación relaiva para el pronósico a mediano largo plazo basados en Mérica D ANN. o Méodos de pronósico por denominación para horizones de coro plazo con base en FLS. 3 Esimación del Agregado de Especies Monearias Aun cuando la variable objeivo de la esorería es la canidad de unidades en circulación, la definición de ese agregado esa sujea a una serie de problemas: Depende de que se eniende por unidades en circulación por ende es sensible a las denominaciones bajas, las cuales, siendo monedas en la esrucura más reciene, fueron alguna vez billees, un imporane saldo de ellos aún en poder del público numismáico. 5 Se ha eludido en lo posible la separación del pronósico enre monedas billees. Consideramos que el análisis por denominación es más adecuado para reconsruir la demanda oal de monedas. La alernaiva de omar la paricipación de las monedas sobre el oal para calcular la canidad oal de monedas es problemáico a que dicha proporción es poco esable en el iempo por ende difícil de uilizar para pronosicar el fuuro. 3

14 Es mu sensible a la inroducción de nuevas denominaciones: una vez enra una nueva denominación la recomposición de la demanda hace que las canidades caigan de manera imporane sobre las denominaciones que le siguen de cerca en valor facial. Es sensible a choques exógenos en la disribución ransaccional, a ransiciones billeemoneda a innovaciones ecnológicas. En ese orden de ideas, el agregado de especies en valores es mucho mas fácil de modelar dado que los facores anes descrios ienen un impaco menor en el senido que los agenes, realmene, recomponen su porafolio de especies para un mismo valor ransaccional. 3. Modelos lineales Denro del grupo de modelos lineales se consideran: (i) los univariados como: el modelo ARIMA con inervención ransferencia; (ii) los mulivariados 6 de series de iempo VAR bajo exisencia de relaciones de coinegración: siendo Y el sisema de información, Y = Γ Y + L + Γk Y k + + ΠY + µ + ΨD + ε ; D el conjuno de elemenos deerminísicos ' Π = αβ donde α represena las velocidades de ajuse β los vecores de coinegración, (iii) un primer ineno por esimar el agregado a parir de los pronósicos de FLS denominación-pordenominación Modelo ARIMA El modelo ARIMA con inervención ransferencia para el logarimo del agregado de especies reales en circulación (M0), que incorpora la asa de inerés de los CDT a 90 días como variable exógena, esimado con observaciones mensuales para el período comprendido enre febrero de 987 mao de 2004 es el siguiene: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L L L Ln M0 = L e L SS L Ln TCDT P value : Ljung Box ( 36) : Véase, Lukepohl (993). 7 Ese agregado se consrue con base en la suma de los esimaivos de FLS por denominación que se describen mas adelane. 4

15 donde la inervención, SS, se refieren al efeco del mes en el cual se celebra la Semana Sana la ransferencia se recibe del logarimo de la asa de inerés de los CDT a 90 días, Ln( TCDT ) Modelo mulivariado: VEC El análisis de coinegración se realizó uilizando para ello la meodología de Johansen (988). El ejercicio se lleva a cabo para el período comprendido enre febrero de 987 mao de 2004 considerando el sisema de información conformado por el efecivo real, el índice de producción indusrial, la asa de inerés de los CDT a 90 días la inflación; variables ransformadas mediane la función logarimo, con información fin de período. Para el análisis se consideran de uno a doce rezagos los modelos: (i) drif, el cual considera una endencia lineal deerminísica en los niveles de las variables (ii) cidrif, el cual reconoce la exisencia de endencia lineal en el vecor de coinegración, según la meodología de selección de componenes deerminísicas propuesa por Johansen (994, 995). Una vez que se prueba la exisencia de coinegración 8, es decir, que el vecor de coinegración iene inerpreación económica, la selección de las componenes deerminísicas se realiza a ravés de las pruebas de exclusión (Johansen, 995). El siguiene paso se cenra en la evaluación del comporamieno de los residuales. Dichos residuales se definen como adecuados si son ruido blanco normales mulivariados (Lükepohl, 993). Así, una vez definido como ópimo el comporamieno de los residuales, se llevan a cabo pruebas de exogeneidad débil, esacionariedad exclusión del vecor de coinegración. Es de señalar que, dado el propósio del ejercicio, se requiere que el logarimo del efecivo real no sea exógeno débil, adicionalmene, que ninguna de las variables del sisema esé excluida del vecor de coinegración. Los resulados obenidos, a ravés del análisis aneriormene mencionado, permien concluir que exise una relación lineal de largo plazo enre las especies reales, el índice de producción indusrial, la asa de inerés de los CDT a 90 días la inflación anual del índice de precios al consumidor oal nacional. 8 Es de señalar que, en el análisis de coinegración se consideran variables dummies esacionales cenradas, como ambién, de inervención. El uso de variables dummies de inervención puede verse en Hendr Doornik (994) Arize (999), enre oros. 5

16 El cuadro presena la prueba de coinegración de la raza, ajusada por el amaño de muesra de acuerdo a Cheung Lai (993) 9, la esimación del vecor de coinegración normalizado, como ambién, el facor de ajuse. Como se observa, la prueba de la raza señala la exisencia de un único vecor de coinegración consisene con la eoría. El signo del coeficiene asociado a la desviación del efecivo real de su demanda de largo plazo, en la ecuación dinámica de coro plazo respeciva, es significaivo eóricamene coherene. Sisema / Modelo Longiud del rezago { M 0, LIPI, LTCDT, LINF } Prueba de coinegración Cuadro ' β = Vecores de coinegración [ β β β β ] α = Traza V. Críico (90%) DM 0 DLIPI Velocidad de ajuse [ α α α ] 2 3 α 4 Suden DLTCDT DLINF Modelo: Drif Rezago: 3 Dummies: de inervención esacionales r= 52.5 r= r= r= [ ] -0.2 (-4.28) (-2.68) (-.7) -0.3 (-2.69) El cuadro 2 presena las pruebas de exclusión, esacionariedad exogeneidad débil realizadas sobre las variables que conforman el vecor de coinegración. Como se observa, dichas pruebas muesran que ninguna de las variables esá excluida del vecor que odas son inegradas de orden, I(). Igualmene, exise evidencia para rechazar la hipóesis nula de exogeneidad débil de las especies reales. χ Exclusión 2 () = LER : 6.38 LIPI : 9.04 LTCDT : 3.68 LINF : 5.49 Cuadro 2 Esacionariedad χ ( 3) = LER : LIPI : LTCDT : LINF : 27.8 Exogeneidad Débil 2 χ () = LER : 5.00 LIPI : 6.60 LTCDT : 2.5 LINF : 5.29 Los P-values asociados a las pruebas mulivariadas de diagnósico sobre exisencia de auocorrelación residual LM(), LM(4) son respecivamene En ano que el p- value asociado a la prueba de Ljung-Box es 0.0. Dichas pruebas permien concluir que los 9 En la deerminación del rango por el esadísico de la raza se iene en cuena que, de acuerdo a Cheung Lai (993), dicha prueba muesra más asimería exceso de curosis que la de máximo valor propio, por lo cual se requiere una corrección por amaño de muesra. 6

17 residuales ienen un comporamieno ruido blanco mulivariado en los residuales. Ese resulado es confirmado por un p-value de 0.20 asociado a la prueba de normalidad mulivariada de Doornik Hansen (994). Es decir, las pruebas mulivariadas de diagnósico de residuales, Lukepohl (993), permien concluir que ésos presenan un comporamieno ópimo. Finalmene, las pruebas de esabilidad de Hansen Johansen (993) muesran, en general, que el vecor de coinegración es esable durane los seis cinco años, Anexo A. 3.2 Modelos no-lineales: redes neuronales arificiales selección de la mejor red. En el conexo de análisis de series de iempo, las ANN se clasifican como modelos no-lineales enrenados para (i) realizar conexiones enre los valores pasados presenes de una serie de iempo, aprendiendo de su error de pronósico (ii) exraer esrucuras relaciones escondidas que gobiernan el sisema de información (Azoff,996). Su uilización esá primordialmene moivada por la capacidad de aproximarse a cualquier función medible de Borel con un mu buen grado de exaciud (Rech, 2002). Ese arículo se cenra en ANN del ipo feedforward mulicapa con una única superficie escondida o single hidden laer. Dicha arquiecura se selecciona con base en su bondad de pronósico. En el caso de los modelos de redes neuronales arificiales, dicha función puede ser definida como en Granger Terasvira (993): = Φ ' ( Z γ ) Q ' 0 + X Φ + β jg j + ε j= donde Z X X = {, L,, w,, w } variable dependiene, con, j =, L l, l L w m (2) j, rezagos de la, j =, L m variables exógenas G la función logísica, es decir: j, G ( w) = + exp ( w) (3) El érmino X ' Φ corresponde al componene lineal de la relación enre X, en ano que, la componene logísica caraceriza la pare no-lineal, siendo Q el número de unidades escondidas. La figura 2 presena la arquiecura correspondiene a ese modelo. Como se observa, la red esá consiuida por res superficies diferenes. La superficie base o superficie-inpu esá conformada por las variables explicaivas, las cuales pueden presenar una relación lineal 7

18 con, como ambién, algunas de ellas, un comporamieno no-lineal, conformando los conjunos X ponderación de los conecores, { γ, i =, L, k} = γ j =, L Q ij j, Z, respecivamene. Dichos inpus son muliplicados por los valores de φ i i =, L, l + m, en el caso de la relación lineal, en el caso de la relación no-lineal, para, poseriormene enrar a la superficie ocula 0, donde exisen unidades escondidas asociadas a funciones logísicas. En esa superficie se forman las combinaciones Z ' γ j (j=,...,k) que son ransformadas a valores enre cero uno mediane las funciones de acivación G ( ). Finalmene, ésas son muliplicadas por ponderaciones β j para dar como resulado, al adicionar la componene lineal, el oupu (Misas e al, 2002). Figura 2 Superficie oupu Ponderaciones φ Ponderaciones β Superficie escondida Ponderaciones γ Superficie inpu 3.2. Modelación bajo redes neuronales arificiales La deerminación del modelo comprende las eapas de especificación, esimación de parámeros evaluación de los modelos esimados. En la primera eapa se seleccionan las variables que conforman los conjunos X Z,como ambién, el número de unidades escondidas, Q. En ese rabajo se sigue el esquema de Swanson Whie (995, 997a) para la deerminación del conjuno de variables inpu el cual 0 No relacionada de manera direca con. Swanson Whie (995) se refieren a los parámeros γ ij como ponderaciones inpu o hidden uni, β j son ponderaciones hidden uni o oupu. A su vez, los parámeros Φ de mienras que los parámeros la pare lineal en (2) se conocen como ponderaciones inpu o oupu. 8

19 pare de una esraegia sep-wise en la componene lineal 2. Una vez definido el conjuno de variables inpu de la componene lineal, X ecuación (2), se conforma el conjuno Z, Z X. En primera insancia, el conjuno Z inclue la primera variable del conjuno inpu, luego se adiciona a dicho conjuno la segunda variable inpu de al forma que en el úlimo paso Z = X. La esimación de la red se lleva a cabo considerando cada uno de esos conjunos * Z diferene número de unidades oculas, ( Q) ( Q =, L, Q ) 3. De acuerdo con Gradojevic Yang (2000), el número de unidades oculas Q a elegir presena una disuniva (rade-off). Demasiadas unidades pueden llevar a un sobre enrenamieno o sobre ajuse lo cual evia que la red aprenda una solución general; mu pocas unidades oculas por oro lado, inhiben el aprendizaje del parón enre el inpu el oupu. De esa forma, se pare de un amplio número de modelos de redes neuronales, los cuales deben ser esimados poseriormene evaluados, en lo concerniene a su desempeño muesral. La segunda eapa o eapa de esimación se lleva a cabo a ravés de la meodología de mínimos cuadrados ordinarios no-lineales (NLS) 4. La modelación de M0 considera información mensual 5 para el período comprendido enre febrero de 987 mao de El período enre febrero de 987 noviembre de 2002 se esablece como el período de enrenamieno evaluación denro de muesra, en ano que, el período de evaluación fuera de muesra va de diciembre de 2002 a mao de La red neuronal esimada es de carácer auorregresivo, es decir, el conjuno X esá conformado por el primer rezago por los rezagos de orden 2 3 de la primera diferencia del logarimo de M0 real reescalado 6, X { * * * LM0 R, LM0 R 2, LM0R 3} =. 7 2 Crierios ales como AIC BIC. 3 Donde Q * es el máximo número de unidades oculas. 4 Como señala Franses van Dijk (2000), la convergencia en el proceso de esimación no garaniza la obención del mínimo global. Por consiguiene, se llevan a cabo múliples esimaciones de cada una de las diferenes redes uilizando disinos valores iniciales del vecor de parámeros ΨΦ (, γ, β ). En paricular, cada arquiecura se esima para 30 valores iniciales diferenes del vecor de parámeros. 5 Fin de período. 6 Las variables son reescaladas en el inervalo (0,). Así, la noación * se uiliza para referirse a la ransformación de la diferencia del logarimo de cada serie, es decir: x x x ( x ) ln( x ) * = ; siendo x = ln σ ( x ). 7 Dado que ejercicios previos con la variable efecivo sugieren la perinencia de incorporar en X la inflación rezagada, se esimó una segunda red o red ampliada que adiciona a su propia hisoria, el 9

20 Una vez definido el conjuno de variables inpu de la componene lineal, X, se realiza el proceso de esimación de la red neuronal mediane mínimos cuadrados no-lineales para las diferenes configuraciones del conjuno de información Z, Z X, de la componene nolineal para un número de unidades oculas o hidden unis Q que varían desde uno hasa cuaro. Es de resalar que, el conjuno X que conforma la componene lineal permanece invariane a ravés de las diferenes arquiecuras 8. El cuadro 3 presena el esquema de conformación de los conjunos X Z. Cuadro 3 Modelo Red neuronal auorregresiva Esquema sep-wise: { 0 * * *, 0 2, 0 3} X = LM R LM R LM R * P = : Z = { LM 0R } X Q =,2,3,4 P = 2 : Z = { LM 0 R * *, LM 0R 2} X Q =,2,3,4 P = 3 : Z = { LM 0 R * * *, LM 0 R 2, LM 0R 3} X Q =,2,3,4 Una vez esimado el vecor de parámeros para cada una de las diferenes arquiecuras, se calculan las medidas de evaluación 9 denro fuera de muesra, los cuales son reporados en los cuadros rezago de orden doce del cambio reescalado del logarimo de la inflación anual, { 0 * * * *, 2, 0 2, 0 3} X = LM R LINF LM R LM R. Sin embargo, las evaluaciones ano denro como fuera de muesra no superan los crierios asociados a la red puramene auoregresiva por lo cual nos concenramos en el resulado de esa úlima. 8 En ese conexo el érmino arquiecura se asocia al componene no lineal se eniende como el número P de elemenos en Z el número de unidades escondidas Q (en una única superficie escondida) necesarios en su deerminación. 9 Las medidas de evaluación consideradas son las siguienes: AIC, BIC, RMSE, RMSPE, MAE, MAPE SR denro de muesra RMSE, RMSPE, MAE, MAPE, SR U-THEIL fuera de muesra (ver anexo B para definiciones). 20

21 Cuadro 4. Evaluación denro de muesra selección de la mejor red para el agregado de especies monearias. P Q AIC BIC RMSE RMSPE MAE MAPE SR , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Cuadro 5. Evaluación fuera de muesra selección de la mejor red para el agregado de especies monearias. P Q RMSE RMSPE MAE MAPE SR UTHEIL 98, , ,0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Para el caso de la evaluación denro de muesra las res mejores redes son aquellas cua arquiecura viene dada por las combinaciones p_q: 3_3, 3_4 2_4; en ano que para la evaluación fuera de muesra los resulados sugieren que las mejores serían la 3_2, 2_2 2_4. Llevando a cabo una elección enre la disuniva de desempeño denro fuera de muesra eniendo en cuena su presencia en el conjuno conformado por las res mejores redes ano denro como fuera de muesra, se selecciona la red cua arquiecura es P= 2, Q= Es de resalar que odas las medidas de evaluación de pronósico se llevan a cabo sobre el * nivel nominal de M0. Es decir, los pronósicos se realizan sobre LM 0R poseriormene para efecos de la evaluación del mismo se aplica la ransformación inversa obeniéndose los niveles nominales de M0. Es esa la variable que para efecos prácicos resula de inerés. 2

22 3.3 Comparación enre modelos lineales no-lineales Una vez esimados los modelos lineales, la red neuronal arificial, el agregado de FLS se comparan sus desempeños en el pronósico ano denro como fuera de muesra. Conforme sugiere el cuadro 6, FLS arroja la mejor evaluación de pronósico denro de muesra en ano que la red se compora de forma mu similar a los modelos resanes. Cuadro 6. Medidas de ajuse denro de muesra de los diferenes modelos para el agregado de especies monearias. RMSE RMSPE MAE MAPE RED 2_4 8, , FLS 72, , VEC 0, , ARIMA 5, , En lo referene a la evaluación fuera de muesra, omando un horizone a 3, 6, 9, 2, 5 8 períodos, la red neuronal se caraceriza en general por presenar un mejor desempeño en su pronósico frene a los oros modelos (Ver cuadro 7). 22

23 Cuadro 7: Medidas de ajuse fuera de muesra de los diferenes modelos para el agregado de especies monearias a diversos horizones. RMSE RMSPE MAE MAPE UTHEIL Horizone 3 RED 2_4 37, , FLS 290, , VEC IPC_VEC 762, , VEC IPC_OBS 736, , ARIMA 65, , Horizone 6 RED 2_4 38, , FLS 430, , VEC IPC_VEC 638, , VEC IPC_OBS 596, , ARIMA 547, , Horizone 9 RED 2_4 449, , FLS 46, , VEC IPC_VEC 670, , VEC IPC_OBS 626, , ARIMA 606, , Horizone 2 RED 2_4 424, , FLS 466, , VEC IPC_VEC 759, , VEC IPC_OBS 725, , ARIMA 588, , Horizone 5 RED 2_4 427, , FLS 442, , VEC IPC_VEC 875, , VEC IPC_OBS 853, , ARIMA 675, , Horizone 8 RED 2_4 393, , FLS 556, , VEC IPC_VEC 99, , VEC IPC_OBS 969, , ARIMA 70, ,

24 4 Mérica D, Esrucura Pronósicos La mérica-d es una herramiena ampliamene usada para desagregar la circulación oal de especies por denominación para deerminar cuando debe enrar una nueva denominación en circulación 2. Esa meodología se basa en una regularidad empírica según la cual la esrucura denominacional promedio para una muesra de países esá asociada al valor de la ransacción promedio diaria de la economía, D, esimado como el salario nominal promedio diario, según el esquema represenado en la figura 3: Figura 3: Esrucura denominacional según mérica D esrucura en Colombia Moneda Limie Billee Moneda Billee Teorica B3 B2 B B0 B9 B8 B7 B6 B5 B4 B3 B2 B En Colombia D/5000 D/2000 D/000 D/500 D/200 D/00 D/50 D/20 D/0 D/5 D/2 D 2D 5D Según Pane Morgan (98), la esrucura promedio esá aada a D, la cual define la secuencia de enre 0 2 denominaciones, dos de las cuales ienen valores faciales superiores a D (B B2) el reso inferiores en función de múliplos de, 2 5. Una vez el valor de D cruza el umbral de B2 (la segunda denominación) el Banco Cenral inroduciría una nueva denominación como primera (B) acualizando el poder adquisiivo de la esrucura. La misma figura muesra la esrucura acual de denominaciones en Colombia enmarcada sobre la mérica D, la cual indica que la ransacción promedio diaria en Colombia debe esar enre las denominaciones de $0.000 $ Si se esima por los salarios promedio para dic de 2003 de la encuesa nacional de hogares dicho valor esaría por el orden de los $ Ese ulimo esimaivo de D señalaría que la esrucura acual es válida pero además que D esaría mu cerca del umbral de los $ indicando que prono debería inroducirse en el mercado el billee de $00.000, lo cual esá lejos de suceder como se explicará más adelane 22. Adicionalmene, la meodología de mérica-d permie esimar la proporción de cada una de las denominaciones en el oal de piezas en circulación (ver Correa, 983). Ésa se puede resumir en los siguienes pasos: Se calcula el valor acumulado en canidades según denominaciones para diferenes años. 2 De hecho el Banco de la República la ha seguido al momeno de decidir la enrada de nuevas denominaciones. No obsane, el pronósico de demanda por denominación se acerca al de curva de paricipaciones descrio en la sección Ver Mushin (998) para una revisión críica de esa meodología. 24

25 Se deflacan dichos valores acumulados según un índice de poder adquisiivo. En paricular, se uiliza un índice de la ransacción promedio diaria esimada como el salario nominal promedio diario de la economía. Se escoge el período más relevane, normalmene el más reciene. Sobre la curva de valores acumulados deflacados se calcula un promedio de las paricipaciones por denominación sobre el oal del volumen de piezas en circulación. Se proeca esa curva de paricipaciones hacia delane en función del rimo de inflación con base en la disancia del esimaivo de ransacción promedio diaria D* con respeco a la menor denominación en el rango en el que se ubica dicho esimaivo. Por ejemplo, si acualmene D* esá enre las denominaciones de $0.000 $ el facor de desplazamieno será: * D $0.000 ϕ =, $ $0.000 con base en el cual aumena la paricipación de la denominación más ala caen las paricipaciones del reso de las denominaciones. Se aplica la esrucura de paricipaciones pronosicada al agregado de especies en circulación que se proeca 23. La grafica 7 presena las paricipaciones según orden de maor a menor denominación. Claramene, la esrucura de paricipaciones no presena un parón esable. Nóese en paricular un aumeno considerable de la paricipación en unidades de las denominaciones más alas en la esrucura, una caída en las denominaciones sépima ocava un aumeno de las denominaciones más bajas. 24 Eso en pare se debe al impaco de la acualización de la esrucura de monedas en la segunda miad de los 90 con la inroducción casi simulanea de las monedas de $00, $200 $500 pero ambién puede esar reflejando un cambio en la disribución ransaccional de la economía Para una descripción mas deallada ver anexo C. 24 La gráfica oma las esrucuras un año anes del ingreso de nuevas denominaciones en circulación durane el período muesral. 25 El empaqueamieno ransaccional hace que los pagos se efecúen con alas denominaciones que el cambio obligue muchas veces a la necesidad de uilizar con más inensidad las denominaciones más bajas. 25

26 Gráfica 7: Paricipaciones por denominación sobre el volumen oal de especies en circulación 00% ra, 5.5% ra, 5.9% ra, 8.0% 90% 80% 70% 60% 6.4% 6.7% 3ra, 4.3% 3ra, 3.% 4a, 3.7% 4a, 3.4% 5a, 3.7% 5a, 5.0% 6a, 4.7% 6a, 7.7% 7ma, 3.2% 7ma, 6.3% 9.6% 3ra, 3.9% 4a, 3.9% 5a, 4.5% 6a, 7.6% 7ma, 9.4% 50% 40% 8va, 22.9% 8va, 6.2% 8va, 4.0% 30% 20% 9na, 8.8% 9na, 9.5% 9na, 7.2% 0% 0ma, 6.9% 0ma, 6.2% 0ma, 2.9% 0% ma 9na 8va 7ma 6a 5a 4a 3ra 2da ra La grafica 8 muesra el volumen acumulado de piezas según denominaciones ordenadas de menor a maor para los años 99, 995, 999. A nivel agregado la canidad de piezas requeridas por la economía creció en.3% promedio anual. No obsane, el desplazamieno no es paralelo, mosrando cambios significaivos en la esrucura. En paricular se ve un fuere aumeno en la demanda por especies enre la a 3a denominación un aumeno, menos acenuado, hasa la 7a denominación. Grafica 8: Volumen Acumulado 0ma 9na 8va Bajas denominaciones 7ma 6a 5a 4a 3ra 2da Alas denominaciones ra Millones de piezas