PRÁCTICA 4.- Integración de funciones de una variable real

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Ana Isabel Mora Prado
hace 9 años
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1 PRÁCTICA.- Integración de funciones de una variable real.- Integración con Mathematica. Integrales indefinidas, integrales definidas Mathematica nos permite calcular integrales mediante la instrucciones: Integrate[expresión, variable] Calcula la integral indefinida de la expresión dada con respecto a la variable indicada Integrate[expresión,{variable,a,b}] Calcula la integral definida de la expresión dada con respecto a la variable indicada en el intervalo [a,b]. Ambas instrucciones pueden también indicarse directamente mediante los símbolos: Ÿ Ñ Ñ (integral indefinida) Ÿ Ñ Ñ Ñ Ñ (integral definida) que figuran en la paleta BasicInput. In[]:= Out[]= IntegrateAx x + 7, xe 7x x + x In[]:= Ix x + 7M x Out[]= In[]:= 7x x + x Integrate@Sin@xD, 8x, π, π<d Out[]= π In[]:= π Out[]= Sin@xD x. Integrales impropias Para calcular integrales impropias aplicamos la definición correspondiente.

2 Practica_Integracion.nb Ejemplo Calcular las siguientes integrales al -x x Aplicando la definición: t In[5]:= x x Out[5]= In[6]:= t LimitA t,t E Out[6]= Directamente con el Mathematica: In[7]:= x x Out[7]= La integral es convergente. bl x - x Aplicando la definición: In[8]:= Out[8]= In[9]:= Out[9]= t FullSimplifyB x, < t < F x ArcSin@tD Limit@ArcSin@tD, t, Direction D π Directamente con el Mathematica: In[]:= x x Out[]= π La integral es convergente. cl x - x Aplicando la definición : In[]:= t FullSimplifyB x, < t < F x Out[]= LogB t F

3 Practica_Integracion.nb In[]:= LimitBLogB t F,t, Direction F Out[]= La integral es divergente. Directamente con el Mathematica: In[]:= x x Integrate::idiv : Integral of Out[]= + x x does not converge on 8, <. à - + x. Valor aproximado de una integral Mathematica tiene sus limitaciones a la hora de calcular ciertas integrales. De hecho, no siempre es capaz de darnos el valor exacto de una integral y en ocasiones dicho resultado viene expresado en términos de ciertas funciones especiales que el programa tiene definidas. Sin embargo, en ambas situaciones podemos pedirle que nos dé un valor aproximado de la integral. Para que nos dé el valor aproximado de una integral podemos utilizar el comando N o la instrucción específica NIntegrate pero es importante saber que la forma de operar es muy distinta. Veamos unos ejemplos: Si intentamos hallar la siguiente integral In[]:= x x Out[]= π Erf@D El resultado exacto que nos devuelve Mathematica viene expresado en términos de la función especial Erf (función error) y está definida en la forma Erf(z)= Ÿ p z -z z Para obtener un valor aproximado usamos las dos instrucciones anteriores: In[5]:= NB Out[5]=.965 x xf In[6]:= NIntegrateA x, 8x,, <E Out[6]=.965 Aunque el resultado mostrado por las instrucciones anteriores es el mismo, hemos de indicar que la forma de operar es bien distinta: N[Ÿ - -x x] Fuerza al programa a calcular el valor exacto de la integral y a continuación nos muestra un valor aproximado. NIntegrate[ -x, 8x, -, <E Aplica fórmulas de integración numérica para calcular directamente un valor aproximado de la integral.

4 Practica_Integracion.nb.- Aplicaciones de la integral. Cálculo de áreas de recintos planos Mathematica permite visualizar al área limitada por dos curvas y = f (x) e y = g(x) en el intervalo [a,b], mediante la instrucción FilledPlot, cuya sintaxis es la siguiente: FilledPlot[{f[x],g[x]},{x,a,b}] Visualiza el área limitada por las curvas y = f (x) e y = g(x) en el intervalo [a,b]. FilledPlot[f[x],{x,a,b}] Visualiza el área limitada por las curva y = f (x) y el eje OX en el intervalo [a,b]. Para utilizar al instrucción FilledPlot hay que cargar el paquete Graphics`FilledPlot` << Graphics`FilledPlot` Ejemplo a) Calcular el área limitada por la parábola y = x - xyel eje OX en el D Definimos la función y cargamos el paquete Graphics`FilledPlot` In[7]:= Clear@"Global` "D f@x_d := x x << Graphics`FilledPlot` General::obspkg : Graphics`FilledPlot` is now obsolete. The legacy version being loaded may conflict with current Mathematica functionality. See the Compatibility Guide for updating information. à t::shdw : Symbol t appears in multiple contexts 9Graphics`FilledPlot`, Global`=; definitions in context Graphics`FilledPlot` may shadow or be shadowed by other definitions. à Visualizamos el área que queremos calcular In[]:= FilledPlot@f@xD, 8x,, <D Out[]= Calculamos los puntos de corte con el eje OX

5 Practica_Integracion.nb 5 In[]:= Solve@f@xD D Out[]= 88x <, 8x << Calculamos el área In[]:= Out[]= AbsB 9 6 f@xd xf + AbsB f@xd xf + AbsB f@xd xf Mathematica puede calcular directamente la integral anterior en la forma In[]:= Out[]= 9 6 Abs@f@xDD x b) Determinar el área limitada por las curvas y = x - x, y = -x + x en el D Definimos las funciones In[]:= Clear@"Global` "D f@x_d := x x g@x_d := x + x Visualizamos el área que queremos calcular

6 6 Practica_Integracion.nb In[7]:= 8x,, <, PlotRange All, AspectRatio AutomaticD Out[7]= Calculamos los puntos de corte de ambas gráficas In[8]:= Solve@f@xD g@xdd Out[8]= 88x <, 8x << Calculamos el área In[9]:= Out[9]= 8 s = AbsB Hf@xD g@xdl xf + AbsB Hf@xD g@xdl xf + AbsB Hf@xD g@xdl xf También en este caso podríamos haber calculado el área directamente en la forma In[]:= Out[]= 8 Abs@f@xD g@xdd x. Longitud de un arco de curva Si f es una función de clase en el intervalo [a,b], entonces la longitud del arco de curva y = f(x) en dicho intervalo viene dada por

7 Practica_Integracion.nb 7 L = Ÿ a b + H f ' HxLL x Ejemplo Calcular la longitud del arco de curva y = sen x en el pd In[]:= Clear@"Global` "D f@x_d := Sin@xD In[]:= Plot@Sin@xD, 8x,, π<d..5 Out[]= π In[]:= + Hf '@xdl x Out[]= EllipticEB F Mathematica nos devuelve el valor exacto en términos de la función especial EllipticE. Para obtener un valor aproximado podemos utilizamos el comando N In[5]:= π NB + Hf '@xdl x F Out[5]= 7.6 EJERCICIOS PROPUESTOS.-Calcular las siguientes integrales o un valor aproximado de las mismas cuando sea necesario: (a) Ÿ π x cos HxL x (b) Ÿ π sen Ix e x M x

8 8 Practica_Integracion.nb.-Estudiar el carácter de las siguientes integrales impropias, representando también la función en el intervalo de integración: (a) Ÿ x x (b) Ÿ H x+l x (c) Ÿ x x (d) Ÿ x x +9 x.-calcular el área limitada por la curva y = x - x y la recta y = x -. Dibujar el área del recinto limitado por ambas..-calcular la longitud de la curva y = x + x en el intervalo [,]. Representar gráficamente la curva.

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