Fundamentos Matemáticos Examen parcial del primer cuatrimestre 18 de enero de 2010, 10h-13h

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1 Fundamentos Matemáticos Examen parcial del primer cuatrimestre 18 de enero de 2010, 10h-13h Nombre y apellidos: Modalidad de examen elegido (primer parcial o final): Preguntas seleccionadas tanto obligatorias como opcionales (no rellenes la puntuación): P. seleccionadas Puntuación Firma del alumno Instrucciones importantes 1. Tienes que devolver la hoja del examen, en caso contrario no se te podrá corregir porque los exámenes son diferentes. 2. Cada vez que empieces un ejercicio hazlo en una cara nueva. 3. Pon tu nombre en todos los folios y también en éste. 4. Firma (con la del DNI) el examen en el recuadro previsto y muestra tu DNI al profesor cuando lo entregues. 5. Rellena la tabla con la modalidad de examen que has elegido y las preguntas seleccionadas. Comprueba que suman 10 puntos. En caso contrario no se te corregirán las que hagan sobrepasar el valor de 10. Tipo de examen Primer parcial Final Preguntas que tienes que responder Obligatorias 3,4,5,6 Opcionales elige preguntas entre la 1 y la 2 Obligatorias 5 elige entre la pregunta 1 o la 2 y entre la 5 o Opcionales la 6 (en este caso cada una de las cuatro se puntúa sobre 1.5) 1. Demuestra, usando inducción, que f (n) (x) = 7n ( 1) n+1 (n 1)! para alguna función f(x) que (1+7x) n debes determinar. Para calcular la función candidata escribe quien es f (x) de acuerdo a la fórmula anterior y calcula la primitiva (2 puntos). Según la fórmula anterior f (x) = 7, por lo que f(x) = log(1 + 7x). Para n = 1 la fórmula 1+7x del enunciado es evidente que es cierta, supongamos ahora que la fórmula es cierta para un número natural n y demostrémoslo para n , examen 22

2 Partiremos de la igualdad f (n) (x) = 7n ( 1) n+1 (n 1)! (1+7x) n de la que deducimos f (n+1) (x) = 7n ( 1) n+1 (n 1)!n7(1 + 7x) (n 1) (1 + 7x) 2n = 7n+1 ( 1) n+2 n! (1 + 7x) n+1, lo que demuestra que la fórmula es cierta para n + 1 y aplicando el principio de inducción para cualquier número natural. 2. Calcula x+4 dx (2 puntos). x 2 6x log(x2 6x + 25) + 7 x 3 arctan Calcula un valor aproximado de sen(0.04) + cos(0.04) cometiendo un error menor que 10 3 (2 puntos). Vamos a mostrar que con un desarrollo de orden dos es suficiente para garantizar que el error que se comete es menor que 10 3 (incluso en algunos exámenes era suficiente un desarrollo de orden uno). E = R 3 (0.04) = f (ξ) ! < 10 3 Como el polinomio de Taylor de orden 2 y centrado en 0 de la función senx + cos x es p 2 (x) = 1 + x x2, una aproximación válida es: 2 sen cos Sea f : R 3 R 3 una aplicación lineal tal que M β 3 c βc 3(f) = y considera la base β = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}. Responde a las siguientes cuestiones: a) Calcula M ββ (f) (0.5 puntos). Calculamos f(1, 1, 1) = (20, 25, 5) = (5, 20, 5) β f(1, 1, 0) = (19, 21, 4) = (4, 17, 2) β f(1, 0, 0) = (13, 8, 1) = (1, 7, 5) β Así que: M ββ (f) =

3 b) Calcula las ecuaciones de Ker f respecto de la base β y da una base de Ker f expresando las coordenadas de los vectores que aparezcan en la base β (0.5 puntos). Es conveniente para el resto del ejercicio ver que M ββ (f) tiene rango 2 (esto se puede justificar, por ejemplo, porque tiene determinante 0 y tiene menores de tamaño 2 2 con determinante diferente de 0). Así que: Ker f = {(x, y, z) β : M ββ (f)(x, y, z) t = (0, 0, 0) t } = {(x, y, z) β : 5x+4y+z = 20x+17y+7z = 0} β Ker f = {(11, 15, 5) β } c) Calcula las ecuaciones de Im f respecto de la base βc 3 y da una base de Im f expresando las coordenadas de los vectores que aparezcan en la base βc 3 (0.5 puntos). Usando que 3 = dim R 3 = dim Ker f +dim Im f se saca que dim Im f = 2. Ahora usando que las columnas de M β 3 c βc 3 (f) generan Im f se tiene que Im f = {(13, 6, 1), (6, 13, 3), (1, 4, 1)} y β Im f = {(6, 13, 3), (1, 4, 1)}. Ahora la ecuación de la imagen es = x 3y + 11z = 0 x y z d) Encuentra bases β 1 y β 2 tales que M β1 β 2 (f) = (0.5 puntos) Basta con tomar β 1 = {(1, 0, 0), (0, 0, 1), (1, 4, 11)} y β 2 = {(13, 8, 1), ( 12, 4, 0), (1, 0, 0)}. 5. Estudia si la matriz que sigue es diagonalizable o no. Caso de ser diagonalizable da una matriz diagonal y una matriz de paso y escribe la relación entre todas ellas (2 puntos) A = La matriz sí es diagonalizable siendo la matrices diagonales y de paso las que siguen: D = y P = Para estas matrices se verifica que P 1 AP = D.

4 6. Considera las bases β 3 = {(1, 3, 4, 0), (0, 1, 3, 4), (0, 0, 1, 3), (0, 0, 0, 1)} y β 4 = {u 1, u 2, u 3, u 4 } de las que sabemos que M β3 β 4 = Se pide calcular las coordenadas de los vectores de β 4 en la base canónica (2 puntos). Puesto que las columnas de la matriz matriz M β3 β 4 tiene a los vectores de la base β 4 expresados en β 3 : u 1 = (1, 3, 1, 1) β3 = (1, 6, 14, 16) u 2 = (0, 1, 3, 0) β3 = (0, 1, 6, 13) u 3 = (0, 0, 1, 3) β3 (0, 0, 1, 6) u 4 = (0, 0, 0, 1) β3 = (0, 0, 0, 1)

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