CRITERIOS DE EVALUACIÓN

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1 EDUCACION BÁSICA - SECUNDARIA ÁREA DE MATEMÁTICAS GRADO SÉPTIMO TALLER DE NIVELACIÓN SEGUNDO PERIODO UNIDAD DOS LOS NUMEROS ENTEROS Y SUS OTRAS OPERACIONES UNIDAD DIDÁCTICA: OPERACIONES INVERSAS LOGRO: Aplica adecuadamente el algoritmo de la potenciación en la solución de variados problemas además aplica sus propiedades y operaciones inversas par solucionar problemas de su entorno. COMPETENCIAS: Interpretativa: Establece relaciones entre las operaciones vistas. Argumentativa: Sustenta (por escrito) con sentido crítico sus opiniones y razones acerca de los problemas detectados en su barrio, con respecto al pandillismo. Propositiva: Plantea soluciones viables a la problemática y las potencias. CRITERIOS DE EVALUACIÓN: Momento A: Apropiación de conceptos Momento B: Análisis y propuesta de soluciones a problemas Momento C y D: Desarrollo de acciones en su comunidad tendientes a la posible solución de la problemática analizada, utilizando los conceptos vistos. Puntualidad y asistencia Participación durante las clases y en las actividades extraclase Responsabilidad Respeto por compañeros, profesores y su entorno Uso adecuado del uniforme. CONTENIDOS GUÍA Nº5 Otras operaciones Con los enteros GUÍA Nº6 Logaritmación con enteros(z) GUÍA Nº7 Pasos para la solución de problemas GUÍA Nº4 Estadística - Potenciación, - Radicación exacta de números enteros. - Propiedades de las operaciones básicas. Logaritmación Términos Propiedadades. El procedimiento. La operación La respuesta del problema. Generalidades. Manejo de datos. NIVELACIÓN SEGUNDO PERIODO

2 Lee la siguiente información y basado en ella, resuelve el taller de nivelación para el segundo periodo POTENCIA DE NÚMEROS ENTEROS Términos de la potencia Base.- Es el número que se multiplica por sí mismo las veces que indica el exponente. Observa que en nuestro ejemplo la base es el 5. Exponente.- Indica el número de veces que se debe multiplicar por sí misma la base. Se lo coloca en la parte superior derecha de la base. En nuestro ejemplo el exponente es 2, es decir debemos multiplicar el 5 por si mismo 2 veces. Potencia.- Es el producto o resultado de la potenciación. En nuestro ejemplo la potencia de 5 elevado al cuadrado es igual a 25. La ley fundamental La ley fundamental de la potenciación nos dice: El producto de factores iguales puede representarse mediante una forma corta llamada potencia. La potenciación es una multiplicación abreviada de factores iguales; analicemos algunos ejemplos; observando el siguiente cuadro. 2² = 2 2 = 4-3³ = = -27-5⁴ = = 625 Para la potenciación de números enteros es importante tener en cuenta las siguientes consideraciones: 1. Todo número entero negativo elevado a un exponente impar, nos da como resultado una potencia negativa. (-8) 3 = (-8) X (-8) X (-8)= Todo número entero negativo elevado a un exponente par, nos da como resultado una potencia positiva. (-8) 2 = (-8) X (-8) = Cualquier número positivo, elevado a exponente par o impar tiene resultado positivo. 4. Todo número entero elevado al exponente cero es igual a uno. 5 0 = 1, 25 0 = 1

3 5. Cuando un número entero es elevado a exponente negativo debemos hacer lo siguiente: Por ejemplo si queremos elevar (-2) 3 1. Colocar 1 sobre la base (se convierte el entero en fracción, con numerador igual a El exponente negativo pasa a ser positivo 3. Resolvemos el denominador 7. RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS: Raíz de un Número La raíz de un número es otro número que multiplicado por sí mismo dos o más veces es igual al número dado. Si el número se multiplica por sí mismo 2 veces se llama raíz cuadrada, si se multiplica 3 veces, raíz cúbica; 4 veces, raíz cuarta, etc. Los términos que intervienen en la radicación son: El índice, la cantidad subradical, el radical (símbolo de la radicación) y la raíz (el resultado buscado). Recordemos que la radicación es la operación inversa de la potenciación y se representa con el símbolo de la figura La potenciación y la radicación son operaciones respectivamente opuestas. En el cuadro de la parte inferior encontrarás la relación entre la potenciación y la radicación. Cuando resolvemos raíces con números enteros se pueden presentar los siguientes casos: La raíz impar de un número entero positivo es siempre positivo: fig. 1 La raíz par de un entero positivo tiene dos resultados; uno positivo y otro negativo fig. 2 La raíz impar de un número negativo es siempre negativo: fig.3 La raíz par de un número negativo no se puede determinar fig.4 Fig.1 fig.2 fig.3 fig.4 Propiedades de la radicación de números enteros

4 Raíz de un producto: Si y solo si cada una de las raíces existe Ejemplo: Raíz de un cociente Entonces: Si y solo si cada una de las raíces existe. Ejemplo:

5 TALLER DE NIVELACIÓN SEGUNDO PERIODO APLICA LO APRENDIDO 1. Expresa cada potencia como raíz 2² = 4 =2-3 3 = -27 = -5 4 = 625 =-5-1² = 1 = -1 5 = -1 = 2 3 = 8 = -2 4 = 16 = -x 2 = m = 2. Determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones, justificar cada respuesta La potenciación y la radicación son operaciones inversas Las raíces de índice par de cantidades negativas siempre existen. Todo numero entero tiene raíz cuadrada exacta Cero tiene raíz cuadrada Las raíces pares de números negativos pertenecen a los números naturales. Todos los números negativos tienen raíz cuarta. Si un numero entero tiene dos raíces diferentes, es porque el índice de la raíz es impar. 3. Calcula las siguientes potencias y comprueba los resultados aplicando las propiedades de la potenciación. a) (-3) 5 b) (-3) 2 c) (-4) 4 d) (-4) 3 e) (-10) 5 f) (-13) 2 4. Escribe en tu cuaderno los siguientes productos en forma de potencia: a) 2 3 * 2 7 b) 3 5 * 3 3 c) 5 5 * Expresa en forma de producto de potencias los siguientes expresiones: a) (2*5) 6 b) (3*4) 2 c) (2*8) 3 d) (4*6) 4 6. Escribe en tu cuaderno los siguientes cocientes en forma de potencia: a) 2 7 / 2 3 b) 3 5 / 3 3 c) 5 6 / 5 3

6 7. Expresa en forma de cociente de potencias los siguientes expresiones: a) (18/2) 6 b) (8/4) 2 c) (10/5) 3 d) (12/3) 4 8. Escribe en tu cuaderno las siguientes potencias en forma de potencia con un solo exponente: a) (2 3 ) 7 b) (3 5 ) 3 c) (5 5 ) 3 9. Teresa ha cubierto completamente el suelo de un salón cuadrado con 81 baldosas cuadradas. Cuántas ha puesto en cada lado del salón? LEE LA SIGUIENTE INFORMACIÓN Y RESUELVE LA ACTIVIDAD QUE HAY AL FINAL LOGARITMACION Es la otra operación inversa de la potenciación. A través de esta operación podemos hallar el exponente si conocemos la base y la potencia. Si a,b Z y a n b entonces n es el logaritmo en base a de b Se escribe así: Log a b n Observe los ejemplos Log Log log A los logaritmos en base 10 se les conoce con el nombre de logaritmos vulgares o naturales Relación entre potencia, radical y logaritmo Para recordar: El logaritmo, en cualquier base, de uno, es 0: El logaritmo de una potencia de la base es el exponente: Solo tienen logaritmos los números positivos. Propiedades de la logaritmación

7 - El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. - El logaritmo de una división es igual a la diferencia (resta) del logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. RESUELVE RELACIONADO CON LA LOGARITMACIÓN 1. Completar la siguiente tabla POTENCIACION RADICACION LOGARITMACION Log log Log Log Resuelve aplicando las propiedades de la logaritmación Log 5 ( ) Log 3 ( 9 243) Log 5 ( ) Log 3 ( 243 9) Ln ( )

8 TALLER DE NIVELACIÓN TERCER PERIODO EDUCACION BÁSICA - SECUNDARIA ÁREA DE MATEMÁTICAS GRADO SÉPTIMO Lee la siguiente información y resuelve el taller que está al final. NUMEROS RACIONALES ( Q ) E n problemas anteriores se vio que existían algunas operaciones que no tenían solución en el conjunto de los números enteros. Por ejemplo: 1 2; (-3) 5; (-5) (-2), y en general todas aquellas divisiones en las que el dividendo no es múltiplo del divisor. Para solucionar estas situaciones se define un nuevo conjunto numérico llamado el conjunto de los números racionales que se nota con la letra Q Gráficamente REPRESENTACIÓN GRÁFICA EN LA RECTA NUMERICA La representación de fracciones positivas y negativas en la recta numérica te resulta conocida. Los números racionales se localizan en la recta numérica a lado y lado del cero, a la izquierda los racionales negativos y a la derecha los racionales positivos Por ejemplo, los números, -,, y son números racionales Es importante anotar que expresiones decimales como 0, 75 y 0, 3 también son números racionales, pues 3 0,75 = 75% y 4 1 0,3 3 A todo número racional le corresponde una fracción, y a toda fracción le corresponde un número racional. TÉRMINOS En todo número racional se puede determinar cuatro términos que son:

9 a. El numerador: Es el número entero escrito en la parte superior. b. El denominador: Es el número entero escrito en la parte inferior. c. El signo: Puede ser positivo o negativo y se escribe antes de la fracción. d. El vinculo: línea que separa el numerados del denominador PRODUCTO DE RACIONALES Para recordar: El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores de los factores y el denominador producto de los denominadores. En general Ejemplos 1 Observe los siguientes ejemplos donde se aplican a la vez las propiedades: El orden de los factores no altera el producto (conmutativa) Agrupando los factores, los productos no se alteran(asociativa) Todo número multiplicado por 1 da como resultado el mismo numero(elemento neutro) Todo número multiplicado por cero, da cero. e) Dos números fraccionarios que al multiplicarse dan como resultado llaman inversos multiplicativos o recíprocos. la unidad, se COCIENTE DE RACIONALES Tomando en cuenta la idea de recíproco, se puede expresar una regla para efectuar la división de dos fracciones: El cociente de una división de fracciones es el producto del dividendo por el recíproco del divisor.

10 Una forma más simple y directa de resolver una división de fracciones es utilizando los productos cruzados. Para recordar: El cociente de dos fracciones es otra fracción que tiene como numerador el producto del numerador del dividendo por el denominador del divisor, y cuyo denominador es el producto del denominador del dividendo por el numerador del divisor. Ejemplo LA LEY DE LOS SIGNOS Las reglas de los signos en los racionales son las mismas que se utilizan en los enteros (+)(+)= + (+)(-)= - (-)(-)= + (-)(+)= - ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES (fracciones) Al presentarse el problema de sumar o restar fracciones con diferente denominador, es conveniente emplear el mínimo común múltiplo para que la resolución sea menos laboriosa. Tómese como ejemplo la siguiente adición: Se halla el mínimo común múltiplo de los denominadores El número 18 será el común denominador de las fracciones por sumar, el cual se divide entre cada uno de los denominadores:

11 Enseguida, los cocientes obtenidos se multiplican por los numeradores de cada fracción: También pudiste pensar en el número que multiplicó a 9 para convertirlo en 18 y en el que multiplicó a 6 para transformarlo en 18. Los numeradores respectivos se multiplican por ese mismo número. Los resultados son los numeradores de las nuevas fracciones equivalentes: Finalmente, se resuelve la operación con las nuevas fracciones, sumándolas en forma directa. En las sustracciones con diferentes denominadores se sigue un proceso semejante al utilizado en la adición de fracciones con distinto denominador. Tómese para ejemplificar la siguiente sustracción Se saca el mcm de los denominadores Se convierten en fracciones equivalentes con igual denominador y se efectúa la operación entre los numeradores, simplificando el resultado, en caso de que se pueda: Habrá situaciones, tanto en la adición como en la sustracción, en las que aparezcan números enteros; esto obliga a colocarles la unidad como denominador para que quede expresado como fracción común o bien convertirlos en fracciones con el denominador que se requiera.

12 Se convierten los números enteros en fracciones comunes colocándoles la unidad como denominador: el mcm de los denominadores es 7, se convierten las fracciones equivalentes con denominador 7 y se efectúa la operación. Para efectuar operaciones de adición y sustracción en donde las fracciones tengan signos diferentes, se sigue un procedimiento semejante. se convierten en fracciones con igual denominador Ejemplo: sumar Se convierten en fracciones con igual denominador Se efectúa la operación Siguiendo los mismos lineamientos para la adición de números enteros, el resultado tendrá el mismo signo que el sumando de mayor valor absoluto. Restar Se plantea la operación

13 Se convierte en fracciones con igual denominador Se suma al minuendo el simétrico del sustraendo Observen que en este caso la sustracción la transformamos en adición. TALLER DE NIVELACIÓN TERCER PERIODO MATEMÁTICAS Resuelve en tu cuaderno: 1. En un estacionamiento hay 100 carros, 1/5 son carros verdes,2/4 son carros rojos y el resto de otros colores. Cuantos carros son verdes? Cuántos carros son rojos? Cuantos carros son de otros colores? Cuál es la mayor fracción en carros? 2. Responder Qué letra representa los números racionales? Qué criterio se sigue para establecer la relación de orden entre dos racionales, uno positivo y el otro negativo? 3. Argumentar Podrías explicar por qué ⅔, ⅛, - ¾ y ½ son racionales el igual que 0.,66ˆ ; 0, 125 ; - 0, 75 y 50 % 4. Representar en la recta numérica las fracciones - 2/4, 5/6, - 3/8, 2/3, - 6/10, -1/9 5. Representar cada fracción anterior, como un decimal y ordenar las fracciones de mayor a menor 6. Resolver 3 A. Calcular los 4 de 20 8 B. A cuánto equivale los 7 de 98? 12 C. A cuánto equivale los 5 de 8.900? 3 6 D. José calculó los 5 de 40 y Margarita los 10 de 40. Al comparar sus resultados, se sorprendieron por el valor obtenido. Qué sucedió? 5 E. Si los 6 de un número equivalen a 320 Hallar el número.

14 7. Una botella de vinagre contiene ¾ de litro. Cuántos litros contienen 80 m botellas? 8. Escribe el producto de las siguientes multiplicaciones y no olvides simplificar los resultados. 9. Resuelve las siguientes divisiones de números racionales en tu cuaderno 10. Realiza las divisiones de fracciones con igual denominador 11. Resuelve las siguientes sumas y restas de números fraccionarios a b c d e f g

15 TALLER DE NIVELACIÓN CUARTO PERIODO EDUCACION BÁSICA - SECUNDARIA ÁREA DE MATEMÁTICAS GRADO SÉPTIMO LEE EL SIGUIENTE TEXTO, ESCRIBE LO MAS IMPORTANTE Y COPIALO EN TU CUADERNO; luego resuelve el taller que hay al final. Los números decimales con frecuencia los utilizamos para manejar cantidades de dinero en moneda extranjera, para determinar la estatura de una persona, para sacar las calificaciones en las universidades, y para muchas situaciones en general, por las cuales es importante saber resolver operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división con números decimales. Por ejemplo, los termómetros están graduados desde 35 grados de temperatura hasta 41. Cada una de las temperaturas está dividida en diez partes, cada parte es una décima y se puede representar con una fracción 1/10 o con un número decimal 0,1. Los números decimales están formados por dos partes separadas por una coma: parte entera, a la izquierda de la coma, y parte decimal, a la derecha de la coma. EJEMPLO: NUMEROS DECIMALES ( Q ) Parte entera Parte decimal Parte entera Parte decimal 5, Una décima = 0, , Las unidades decimales resultan de dividir una unidad en diez, cien, mil o más partes. Si la unidad se divide en diez partes, se llama décima (o décimo). DÉCIMA: es 1 unidad dividida en 10 partes iguales. 1 Cada parte de la unidad es 0, 1 10 Si la unidad se divide en cien partes iguales, se llama centésima (o céntimo) y si se divide en mil partes iguales, se denomina milésima (o milésimo).

16 CENTÉSIMA: es 1 unidad dividida en 100 partes iguales. 1 Cada parte de la unidad es 0, MILÉSIMA: es 1 unidad dividida en partes iguales. 1 Cada parte de la unidad es 0, II. LECTURA I. DE NUMEROS LOS NÚMEROS DECIMALES DECIMALES ( Q ) Al leer un número decimal, decimos primero la parte entera, seguida de la palabra unidades o enteros, y a continuación la parte decimal, seguida de la palabra décimas, centésimas o milésimas, según tenga una, dos o tres cifras decimales. EJEMPLOS: NÚMERO LECTURA 3,4 : Tres unidades y cuatro décimas (o tres enteros y cuatro décimas). 12,58 : Doce unidades y cincuenta y ocho centésimas (o doce enteros y cincuenta y ocho centésimas). 45,786 : Cuarenta y cinco unidades y setecientas ochenta y seis milésimas (o Cuarenta y cinco enteros y setecientas ochenta y seis milésimas III.OPERACIONES BÁSICAS CON NUMEROS DECIMALES ( Q ) Dentro del trabajo que nos disponemos a realizar con los números decimales están las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división. 1. ADICIÓN DE NÚMEROS DECIMALES Para sumar números decimales, primero se ubican los sumandos de modo que coincida la coma decimal, luego completa con ceros para que haya el mismo número de cifras decimales, a continuación se suma como si se tratara de naturales y finalmente al resultado se le escribe la coma en el mismo lugar de la de los sumandos.

17 EJEMPLO: Un campesino organiza su cosecha en cuatro cestas grandes que monta sobre una carreta. En la primera lleva 20,8 kg de mangos, en la segunda lleva 12,56 kg de zanahorias, en la tercera lleva una carga de 19, 01 kg de naranjas y en la cuarta lleva 23 kg de peras. Cuánto pesa la cosecha del campesino? SOLUCIÓN d u, dec cen 2 0, , , , , 4 4 Respuesta: La cosecha del campesino pesa 75,44 Kg. 2. SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS DECIMALES Para restar números decimales, colocamos el minuendo arriba y debajo, el sustraendo, haciendo coincidir las unidades y las comas, unas debajo de otras. Después restamos normalmente, y al final, colocamos la coma en el lugar que le corresponde. EJEMPLO: Un bebé recién nacido midió 51,4 cm. Ahora que tiene 8 meses, mide 66 cm, Cuánto ha crecido el bebé? Respuesta: El bebé ha crecido 14,6 cm. d u, dec SOLUCIÓN 6 6, 0-5 1, 4 1 4, 6 3. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES Para multiplicar números decimales, hacemos primero la operación y después, una vez que tengamos el resultado, contamos de derecha a izquierda tantos lugares como cifras tengan en total los dos números decimales y colocamos la coma. EJEMPLO 1: Nicolás corre 3,9 km diarios alrededor de un parque. Al cabo de una semana cuántos kilómetros habrá recorrido?

18 SOLUCIÓN 6, 9 x 7 2 7, 3 Como sólo hay una cifra decimal en los factores, el resultado también tiene sólo una cifra decimal. Respuesta: Nicolás ha recorrido 27,3 km. MULTIPLICACIÓN POR LA UNIDAD SEGUIDA DE CEROS Para multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros, basta con corres la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros sigan a la unidad. Si es necesario se añaden ceros a la derecha. EJEMPLO 2: Un bote de tomate en lata pesa 0,540 gramos, cuánto pesarán 10, 100 y botes? 4. DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES La División también puede ser vista como un conjunto de restas sucesivas. Sin embargo, el algoritmo de la división resulta mucho más sencillo que encontrar un resultado a punto de restas; aunque esta operación como tal recoja todos los conocimientos adquiridos anteriormente con todas las operaciones vistas como son la suma, la resta y la multiplicación, al tiempo en que se esta dividiendo. Por tanto, vamos a recordar los nombres que reciben cada uno de sus términos. EJEMPLO: Adelaida se dedicó al negocio de la costura y pasados unos días, ya tenía 36 vestidos para dama totalmente terminados. Si por cada día alcanzaba a elaborar 3 trajes, entonces cuántos días tardó para la lograr este resultado final? SOLUCIÓN Como se dijo anteriormente, la división también es considerada como un conjunto de restas sucesivas. Para resolver este ejercicio, tenemos dos alternativas. 1. Dividiendo Dividendo Divisor Residuo Cociente

19 Taller de nivelación cuarto periodo 1. Ordena de menor a mayor estos números decimales : a. 5,4 5,004 5,0004 5,04 4,4 4,98 5,024 b. 7,3 7,003 7,0003 7,03 6,5 6,87 7, Resuelve los siguientes ejercicios de números decimales. a. 23, , ,48 = b. 3, ,48 = c. 11,48 3,2756 = d. 372,528 69,68452 = e. 46,562 38,6 = f. 3, = g. 0, = h = i. 12,96 6 =