ESTADÍSTICA Hoja 5

Transcripción

1 Estadística 1 ESTADÍSTICA Hoja 5 1. Se selecciona un empleado de un grupo de 10 para supervisar un cierto proyecto, escogiendo aleatoriamente una placa de una caja que contiene 10 numeradas del 1 al 10. Dar la ley de probabilidades de la variable aleatoria X=número de la placa sacada. Cuál es la probabilidad de que sea el 4? 2. La rueda de una ruleta se divide en 25 sectores de igual área y se numeran del 1 al 25. Encuentre una fórmula para la distribución de probabilidades de X, que represente el número que se da al girar la ruleta. 3. Suponga que los motores de un aeroplano operan en forma independiente y que fallan con una probabilidad de 0.4. Suponiendo que uno de estos artefactos realiza un vuelo seguro en tanto se mantenga funcionando cuando menos la mitad de los motores, determine qué aeroplano, uno con 2 motores o uno con 4, tiene mayor probabilidad de terminar el vuelo exitosamente. Y si la probabilidad de falla es de 0.2? 4. Cuántas caras se pueden esperar si una moneda se lanza 64 veces? De acuerdo con el terorema de Chebychev, qué información puede obtenerse de la probabilidad de que el número de caras caiga entre 20 y 44 si se repite este experimento una y otra vez? 5. Lotes de 40 componentes cada uno se consideran aceptables si no contienen más de 3 defectuosos. El procedimiento de muestreo del lote consiste en seleccionar 5 componentes aleatoriamente y rechazar el lote si se encuentra un componente defectuoso. Cuál es la probabilidad de que exactamente 1 defectuoso se encuentre en la muestra si hay 3 en todo el lote? 6. El promedio de partículas radiactivas que pasan a través de un contador durante un milisegundo en un experimento de laboratorio es 4. Cuál es la probabilidad de que entren 6 partículas al contador en un milisegundo determinado? (Se supone que la emisin de partculas radiactivas es un proceso de Poisson). 7. Una compañía manufacturera utiliza un esquema para aceptación de artículos producidos antes de ser embarcados. Se preparan cajas de 25 artículos para embarque y se selecciona una muestra de 3 artículos en cada caja para verificar si tiene algún artículo defectuoso. Si se encuentra uno, la caja entera se regresa para inspección al 100 %. Si no se encuentra ninguno la caja se embarca. a) Cuál es la probabilidad de que se embarque una caja que tiene 4 artículos defectuosos? b) Cuál es la probabilidad de que una caja que contiene un sólo artículo defectuoso se regrese para verificación? Suponga ahora que la compañía decide cambiar su esquema de aceptación. Bajo el nuevo esquema, un inspector toma aleatoriamente un artículo, lo inspecciona y lo regresa a la caja; un segundo inspector hace lo mismo.

2 Estadística 2 Finalmente un tercer inspector lleva a cabo el mismo procedimento. La caja no se embarca si cualquiera de los tres inspectores se encuentra un artículo defectuoso. Responder a las dos preguntas anteriores según este nuevo plan. Cuál de los dos planes parece más adecuado y por qué? 8. Un libro de texto tiene 500 páginas, en las que pueden ocurrir errores tipográficos. Se supone que hay exactamente 10 errores distribuidos al azar en dichas páginas. a) Calcular la probabilidad de que una selección aleatoria de 50 páginas no contenga errores. b) Calcular la probabilidad de que en las 50 páginas escogidas haya por lo menos dos errores. 9. Los alambres que se utilizan en cierta computadora deben tener una resistencia entre 0.12 y 0.14 ohms. Las resistencias reales de los alambres producidos por la compañía A tienen una distribución de probabilidad normal con una media de 0.13 ohms y una desviación estándar de ohms. a) Cuál es la probabilidad de que un alambre seleccionado al azar de la producción de la compañía A satisfaga las especificaciones? b) Si se utilizan 4 de estos alambres en el sistema cuál es la probabilidad de que los 4 satisfagan las especificaciones? 10. El número de mensajes que se envían por computadora a un boletín electrónico es una variable aleatoria de Poisson con una media de cuatro mensajes por hora. a) Cuál es la probabilidad de que el boletín reciba cinco mensajes en una hora? b) Cuál es la probabilidad de que el boletín reciba 10 mensajes en una hora y media? c) Cuál es la probabilidad de que el boletín reciba menos de dos mensajes en media hora? 11. Un sistema de alarma tiene un fallo accidental una media de 1.2 veces al año. Se supone que el tiempo entre dos fallos consecutivos tiene una distribución exponencial. a) Cuál es el tiempo medio entre dos fallos consecutivos? (Poner correctamente las unidades). b) Calcular la probabilidad de que la alarma tarde más de un mes en fallar (para facilitar los cálculos, se supone que todos los meses tienen igual número de días). c) Si durante un mes determinado no ha fallado la alarma, cuál es la probabilidad de que no falle en el mes siguiente? d) En un mismo edificio se instalan 10 de estas alarmas, cuál es la probabilidad de que al menos 6 de estas alarmas tarden en fallar más de un mes?

3 Estadística 3 e) Si se instalan 100 dispositivos de alarma, cuál es la probabilidad de que 80 tarden en fallar más de un mes? Algunos de los valores pueden ser de utilidad en este problema: e 0,1 0,9 e 0,1 1,1 e e 1,2 0,3 e 1,2 3,3 12. Supongamos que el número de defectos en una cinta magnética sigue una distribución de Poisson con una media de 0,2 defectos por metro de cinta. Sea D la distancia entre dos defectos consecutivos. a) Cuál es la distancia media entre dos defectos consecutivos? (Poner correctamente las unidades) b) Calcular la probablidad de que el primer defecto se produzca en los 10 metros iniciales de la cinta. c) Sabiendo que en los veinte primeros metros de la cinta no hay ningún defecto, cuál es la probabilidad de que el primer defecto se produzca en los siguientes 10 metros? d) Si se consideran 100 cintas magnéticas, cuál es la probabilidad de que en 80 de ellas se produzca el primer defecto en los diez primeros metros? Calcular dicha probabilidad de tres formas distintas. e) Cuál es la probabilidad de que existan 8 defectos en 50 metros consecutivos de cinta magnética? f ) Cuántos metros de cinta es necesario revisar para que la probabilidad de encontrar al menos un defecto sea del 90 %? 13. Los diámetros de los pernos de una fábrica tiene una distribución normal con una media de 950 mm y una desviación estándar de 10 mm. a) Cuál es la probabilidad de que un perno seleccionado al azar tenga un diámetro entre 947 y 958 mm? b) Cuál es el valor apropiado de C tal que un perno escogido al azar tenga un diámetro menor que C con una probabilidad de ? 14. Un proceso produce un 10 % de defectuosos. Si se seleccionan del proceso 100 artículos aleatoriamente, cuál es la probabilidad de que a) entre 84 y 95 inclusive no sean defectuosos? b) sean defectuosos 87 o más? 15. Una vez recogida la cosecha de patatas, observamos que el peso (en gramos) de cada patata, sigue una distribución normal de media 150 y desviación 20. a) Probabilidad de que dos patatas escogidas al azar difieran en más de 10 gramos.

4 Estadística 4 b) Si llenamos un saco con 100 patatas, cuál es la probabilidad de que el saco pese entre y gramos? Cuál es la distribución de la variable aleatoria número de patatas del saco que tienen un peso inferior a 160 gramos? 16. El período de vida en años de un interruptor eléctrico tiene una distribución exponencial con una tasa de fallo de 2. Si 100 de estos interruptores se instalan en sistemas iguales, cuál es la probabilidad de que al menos 30 fallen el primer año? 17. El tiempo entre las llegadas de avionetas a un aeropuerto tiene una distribución exponencial con una media de 2 horas. a) Cuál es la probabilidad de que aterricen más de una avioneta en una hora? b) Si se escogen treinta intervalos disjuntos de una hora, cuál es la probabilidad de que en ninguno de ellos hayan aterrizado más de una avioneta? c) Determine la duración de una intervalo, en horas, tal que la probabilidad de que ninguna avioneta aterrice en ese tiempo sea 0,1. d) Sabiendo que en las tres primeras horas no ha llegado ninguna avioneta, calcular la probabilidad de que aterrice más de una avioneta durante la siguiente hora. 18. Un fabricante de calculadoras electrónicas ofrece una garantía de un año. Si la calculadora llega a fallar durante este periodo, se la reemplaza. El tiempo, en años, hasta la falla se modela aceptablemente con la distribución de densidad: 0,125e 0,125x 0 x f(x) = 0 en otro caso a) Qué porcentaje de las calculadoras fallarán dentro del término de la garantía? b) El costo de producción de una calculadora es de $50 dólares y la ganancia por venta es de $25. Cuál es el efecto sobre el costo por unidad debido a las reposiciones de la garantía? 19. Un servicio eléctrico experimenta, de forma poco frecuente, importantes rupturas en la red de potencia que causan interrupciones temporales en el sistema. Estas rupturas son ocasionadas por sucesos aleatorios, como fallos del transformador, incendios forestales o caídas de aviones. Históricamente, las rupturas en la red se ajustan a un proceso de Poisson, ocurriendo por término medio cada 2.5 años. a) Cuál es el número medio de rupturas por año? b) Cuál es la probabilidad de que al menos ocurra una ruptura durante el próximo año?

5 Estadística Determinar el número de ensayos que deben realizarse para que la desviación de la frecuencia relativa de aparición de un suceso A respecto a su probabilidad no supere en valor absoluto a 0.02 con probabilidad Cuál es este número si p =1/2? Ysip =1/3? 21. Un hospital cuenta con un generador de emergencia para los casos en que se produzca un corte en el suministro eléctrico. El tiempo medio entre fallos para el generador es de 100 horas. Se supone que el tiempo entre fallos sigue una distribucin exponencial. a) Hallar la probabilidad de que el generador falle durante un corte de luz de 10 horas. b) Si se supone que se dispone de un generador idéntico, en paralelo, de forma que ambos operan de manera independiente, cuál es la probabilidad de que ambos fallen durante un corte de 10 horas? 22. En un estudio de un inventario se determinó que, en promedio, la demanda por un artículo en particular en una bodega era de 5 veces al día. Si la demanda sigue una distribucin de Poisson Cuál es la probabilidad de que en un determinado día este artículo sea requerido: a) más de 5 veces. b) ni una sóla vez. 23. Un examen tipo test consta de 5 preguntas con tres posibles opciones cada una, de las cuáles una sóla es correcta. Si un estudiante responde a cada pregunta al azar, suponiendo que cada respuesta acertada suma dos puntos y las falladas descuentan uno, hallar la distribución de X= número de puntos obtenidos por el estudiante y E(X). 24. La resistencia a la tensión de una pieza metálica está distribuida normalmente, con media 40 lb. y desviación estándar 8 lb. Si se producen piezas, a) cuántas no satisfarán un límite de especificación mínimo de 34 lb. como resistencia a la tensión? b) Cuántas tendrán resistencia superior a 48 lb.? 25. Encontrar el valor de μ si X está distribuida normalmente con media μ y desviación típica 4, dado que la probabilidad de que X sea menor o igual que 32 es Una lámpara eléctrica tiene intensidad luminosa con distribución normal de media 3000 candelas y σ =50 candelas. Encontrar un límite inferior de especificación tal que sólo el 0,5% de las lámparas estén por debajo de ese límite. 27. Las especificaciones para un componente electrónico en un sistema de adquisición de datos estipulan que su duración debe ser entre h. y h. La duración tiene una distribución normal de media h. El fabricante logra un precio de 10 dólares por pieza fabricada; sin embargo, se tienen que reemplazar las unidades

6 Estadística 6 defectuosas a un costo de 5 dólares para el fabricante. Pueden utilizarse dos procesos de fabricación diferentes, que aseguran la misma duración media. Sin embargo, la desviación estándar del primero es de 1000 h. y la del segundo de 500 h.. Los costos de producción del proceso 2 son el doble que los del proceso 1. Qué valor de los costos de producción determinan la selección entre los dos procesos? 28. Una tienda de artículos eléctricos para el hogar vende tres marcas diferentes de refrigeradores. Sean X 1, X 2 y X 3 variables independientes y normalmente distribuidas que representan el volumen mensual de ventas para cada una de las tres marcas. Si las medias de estas varibles son, respectivamente 8, 15 y 12 millones de u.m. y sus desviaciones típicas son 2, 5, y 3 millones de u.m.: a) Obtener la probabilidad de que, en un mes particular, el volumen total de ventas (entre las tres marcas) de refrigeradores sea mayor que 50 millones de u.m. b) Si se consideran 30 tiendas independientes de artículos eléctricos y en todas ellas las ventas de refrigeradores de la segunda marca siguen una distribución normal de media 15 millones y desviación típica 5, cuál es la probabilidad de que al menos en 14 de las tiendas se superen los 16 millones de u.m.? 29. En un examen de tipo test que consta de 60 preguntas, se ha obtenido en cada pregunta una calificacin media de 0.1 con desviacin tpica Si X es la variable aleatoria que modeliza la puntuacin total obtenida por un alumno en el examen y las puntuaciones obtenidas en las distintas preguntas son independientes, qu distribucin utilizaras para calcular probabilidades relativas a X? (Indica tambin cules son los parmetros). Razona la respuesta. 30. Se conectan 25 focos de luz infraroja en un invernadero, de tal manera que si falla un foco, otro se enciende inmediatamente. (Se enciende sólo un foco a la vez). Los focos funcionan independientemente y cada uno tiene una vida media de 50 horas y una desviación estándar de 4 horas. Si no se inspecciona el invernadero durante 1300 horas después de encender el sistema de focos, cuál es la probabilidad de que un foco esté encendido al final del período de 1300 horas? 31. Un sistema de protección contra cohetes está formado por n unidades de rádar que funcionan independientemente, cada una con probabilidad 0.6 de detectar un cohete que entra en la zona que cubren todas las unidades. Se considera que un cohete entra en la zona y se da la señal de alarma si al menos la mitad de los radares detectan su presencia (para evitar falsas alarmas). a) Si n=5 y un cohete entra en la zona, cuál es la probabilidad de que exactamente 4 radares detectan su presencia? Y al menos una unidad de rádar? Y de que se dé laseñal de alarma? b) Determinar un valor impar para n para que la probabilidad de que se dé laseñal de alarma al entrar un cohete en la zona sea al menos de ( la condición de ser n impar facilita los cálculos).

7 Estadística Supongamos que un ordenador tiene 4 circuitos impresos que se averían de forma independiente. Sea p i la probabilidad de que un ordenador enviado a reparar necesite i circuitos nuevos. Se conocen los valores p 1 = 1/2, p 2 =1/4, p 3 = p 4 =1/8. Seenvían unidades a reparar al año. a) Si X i es la variable número de circuitos nuevos que necesita el ordenador i, determinar la media y la varianza de X i. b) Calcular la probabilidad de que en un año se necesiten más de circuitos nuevos. 33. Una industria produce piezas con diámetros distribuidos según una normal de media cm y desviación típica cm. a) Determinar los cuartiles de la población de diámetros. b) Supongamos que el control de calidad exige que las piezas tengan un diámetro entre y cm. Cualquier pieza con diámetro fuera de este rango es rechazada. Si se examina una muestra de 1000 piezas, cuántas es de esperar que sean rechazadas? cuál es la probabilidad de que se rechacen entre 15 y 30 piezas? 34. Una fábrica produce piezas de 3 calidades diferetes. El 20 % de la producción es de calidad A. La duración, en años, de una pieza de calidad A es una v. a. con distribución U(0,10). El 30 % de la producción es de calidad B. La duración, en años, de una pieza de calidad B tiene una distribución exponencial de media 5 años. El 50 % restante de la producción es de calidad C. La duración, en años, de éstas tiene distribución N(5,1). a) Calcular el 20 percentil de la duración en años de las piezas, para cada calidad, y explica su significado. b) Todas las piezas, y sólo estas piezas, cuya duración, dentro de cada calidad, es inferior al 20 percentil correspondiente, suponen una ganacia nula para la empresa. Calcular la probabilidad de que una pieza elegida al azar de toda la producción suponga ganancia nula. c) Si tomamos al azar una pieza de toda la producción y dura más de 3 años, cuál es la probabilidad de que sea de calidad A? 35. La resistencia a la tensión de una pieza metálica está distribuida normalmente, con media 40 lb y desviación típica 8 lb. a) Cuál es la resistencia el lb excedida por el 67 % de las piezas? b) Si se producen piezas, cuántas tendrán resistencia entre 34 lb y 48 lb? c) Cuál debería ser la media para que se pueda garantizar que el 1% de las piezas tienen una resistencia menor que 30 lb?

8 Estadística 8 d) Supongamos que el control de calidad exige que las piezas tengan una resistencia entre 34 lb y 48 lb. Cualquier pieza con resistencia fuera de este rango es rechazada. Si se examina una muestra de 100 piezas, 1) Cuántas es de esperar que sean rechazadas? 2) Cuál es la probabilidad de que se rechacen entre 45 y 54 piezas? 36. a) La longitud de un estuche para una cinta magnética moldeado por inyección tiene una distribución normal. Cuál debe ser el valor de la media para que el mayor número de estuches tenga una longitud entre y milímetros? b) Considera que el proceso se ajusta de modo que la media y la desviación estándar queden en 90 y 0.1 milímetros, respectivamente. Supón que se mide la longitud de 10 estuches y que las mediciones son independientes. 1) Cuál es la probabilidad de que la longitud de al menos 8 estuches esté entre y milímetros? 2) Cuál es el número esperado de los 10 estuches cuya longitud esté entre y milímetros? 3) Qué probabilidad hay de que la suma de las longitudes de los 10 estuches sea superior a milímetros? 37. El tiempo entre llamadas tiene una distribución exponencial con un promedio entre llamadas de 10 minutos. a) Cuál es la probabilidad de que transcurran menos de cinco minutos antes de recibir la primera llamada? b) Cuál es la probabilidad de que el tiempo que transcurre entre la segunda y la tercera llamada esté entre 5 y 15 minutos? c) Determine la longitud de un intervalo de tiempo para que la probabilidad de recibir al menos una llamada en ese lapso sea d) Si no se ha recibido ninguna llamada en 10 minutos, cuál es la probabilidad de que haya que esperar menos de 5 minutos para recibirla? e) Cuál es la probabilidad de que no se reciban llamadas en los intervalos de las 10:00 a las 10:05, de 11:30 a 11:35 y de 2:00 a 2:05? f ) Cuál es la probabilidad de que se reciban exactamente cuatro llamadas en un minuto? g) Cuál es el tiempo promedio que hay que esperar para recibir la quinta llamada? 38. Se ha estimado que el tiempo de vida, en horas, de una cierta componente electrónica sigue una distribución exponencial de parámetro λ =1/8. El departamento de control de calidad decide rechazar todas las componentes que fallen en las tres primeras horas, y comercializar el resto.

9 Estadística 9 Calcular las funciones de densidad y de distribución del tiempo de vida de las componentes comercializadas. 39. La duración de un láser semiconductor a potencia constante tiene una distribución normal con media horas y desviación típica de 600 horas. a) Cuál es la probabilidad de que un láser falle antes de horas? b) Cuál es la duración en horas excedida por el 95 % de los láseres? c) Si se hace uso de 36 láseres y se supone que fallan de manera independiente, cuál es la probabilidad de que más de 25 sigan funcionando después de horas? d) Cuál debe ser la desviación típica para que se pueda garantizar que el 99 % de los láseres tienen una duración menor que horas? 40. El diámetro de los puntos producidos por una impresora tiene una distribución normal con media 0,002 pulgadas y desviación estándar 0,0004 pulgadas. Las especificaciones para dicho diámetro son 0,002 ± 0, a) Qué proporción de puntos cumplen con las especificaciones? b) Qué valor debería tener la desviación estándar del diámetro para que la proporción anterior fuera del 95 %? c) Qué diámetro es superado por el 10 % de los puntos? d) Calcula la probabilidad de que el diámetro de un punto pertenezca al intervalo (0,0024, 0,0028) condicionada a que dicho punto verifica las especificaciones. e) Calcula la probabilidad de que el diámetro de un punto pertenezca al intervalo (0,0024, 0,0028) condicionada a que dicho punto no verifica las especificaciones. f ) Se seleccionan al azar 100 puntos. Suponiendo que sus diámetros son independientes, contesta: 1) Calcula la probabilidad de que 90 de los 100 puntos verifiquen las especificaciones. 2) Qué probabilidad hay de que al sumar las longitudes de las circunferencias de dichos puntos, se obtenga un valor superior a 0,63 pulgadas? 41. Sean X 1,,X 36,Y 1,,Y 36 variables aleatorias independientes tales que las 36 primeras siguen una distribución N(0, 2) y las 36 últimas una N(1, 3). Consideremos las variables aleatorias: a) Calcular p( X <2Ȳ ). X = i=1 b) Calcula a para que p( X + Ȳ<a)=0,95. X i Ȳ = i=1 Y i.

10 Estadística Sea X una variable aleatoria. Se dice que la observación X = x es un dato atípico o outlier si x es mayor que Q 3 +1,5IRQ o menor que Q 1 1,5IRQ, donde Q 1 y Q 3 son, respectivamente, el primer y el tercer cuartil de la distribución de X e IRQ denota el rango intercuartílico de dicha variable. Si X tiene distribución N(μ, σ): a) Calcula los cuartiles de la variable X. b) Calcula la probabilidad de que una observación de la variable X sea un dato atípico. c) Con la ayuda de un ordenador, un individuo genera obseravciones independientes de la variable X. 1) Qué distribución de probabilidad modeliza el número de valores outliers contenidos en la muestra generada? 2) Calcula el número esperado de valores outliers que contendrá la muestra generada por el individuo.