ESTADÍSTICA Hoja 6

Transcripción

1 Estadística 1 ESTADÍSTICA Hoja 6 1. Se selecciona un empleado de un grupo de 10 para supervisar un cierto proyecto, escogiendo aleatoriamente una placa de una caja que contiene 10 numeradas del 1 al 10. Dar la ley de probabilidades de la variable aleatoria X=número de la placa sacada. Cuál es la probabilidad de que sea el 4? 2. La rueda de una ruleta se divide en 25 sectores de igual área y se numeran del 1 al 25. Encuentre una fórmula para la distribución de probabilidades de X, que represente el número que se da al girar la ruleta. 3. Una compañía que produce cristal fino sabe por experiencia que el 1 % de sus copas tienen imperfecciones y se deben de clasificar como "de segunda". He comprado una docena de copas de esta fábrica. Calcular la probabilidad hay de que haya adquirido alguna copa "de segunda". 4. El 75 % de las compras realizadas en el Corte Inglés se realiza con su tarjeta. Se seleccionan al azar 10 compras realizadas; cuál la probabilidad de que al menos 7 de ellas se hayan pagado con la tarjeta del Corte Inglés. 5. Un lepidopterista está interesado en los ejemplares de una clase de mariposa que constituye el 15 % de todas las mariposas de la zona. Hallar la probabilidad de que tenga que cazar 10 mariposas de las que no le interesan antes de encontrar: a) Un ejemplar de la clase deseada. b) Tres ejemplares de la clase deseada. 6. El 80 % de los alumnos que desean estudiar una Ingeniería en Valladolid eligen una carrera técnica y el resto una carrera superior. Cuál es la probabilidad de que el 15 o alumno matriculado este curso en una carrera de Ingeniería sea el 3 o que va a una superior?. 7. El oso pardo es una especie en peligro de extinción en los Picos de Europa leoneses. Se capturan 15 individuos de esta especie y se marcan para después ser liberados. Al cabo de un tiempo hay 60 individuos de la especie en la región, sin que se haya producido ninguna muerte y se captura una muestra de 30 de estos animales. Cuál es la probabilidad de que al menos 13 de ellos estén marcados? 8. Una tienda devuelve 15 frigoríficos a fábrica porque producen un ruido extraño cuando arranca el compresor. Si de ellos 6 tienen un defecto grave en el compresor y los otros 9 tienen pequeños defectos que se subsanan con poco coste, Cuál es la probabilidad de que en 3 de los seis primeros revisados sea necesario cambiar el compresor?

2 Estadística 2 9. En un servicio de emergencias se reciben una media de 4 llamadas por hora, y se ha constatado que esa media se mentiene constante y que el número de llamadas en un intervalode tiempo es independiente del número de llamadas que se reciben en cualquier otro intervalo disjunto, siendo imposible que se reciban dos llamadas a la vez. Qué probabilidad hay de que se reciban cuatro llamadas en la próxima hora? Y dos en la próxima media hora? 10. Un sistema está sometido a la ocurrencia de fallos externos e internos. En cuanto ocurre alguno de estos dos tipos de fallos, el sistema falla. El sistema sufre un fallo interno por desgaste en su funcionamiento con el paso del tiempo, sin embargo, los fallos externos, como su nombre indica, se deben a factores ajenos al sistema. Se sabe que el tiempo (en años) hasta el fallo interno del sistema sigue una distribución exponencial con parámetro 0.25, y los fallos externos llegan al sistema según un proceso de Poisson a razón de 1 fallo cada 2 años. Los fallos internos y los externos son independientes. a) Obtener la distribución del tiempo hasta la ocurrencia de un fallo externo en el sistema. b) Calcular la probabillidad de que el sistema falle después de dos años de funcionamiento. c) Calcular la probabilidad de que el sistema tenga 3 fallos en 10 años. 11. Los alambres que se utilizan en cierta computadora deben tener una resistencia entre 0.12 y 0.14 ohms. Las resistencias reales de los alambres producidos por la compañía A tienen una distribución de probabilidad normal con una media de 0.13 ohms y una desviación estándar de ohms. a) Cuál es la probabilidad de que un alambre seleccionado al azar de la producción de la compañía A satisfaga las especificaciones? b) Si se utilizan 4 de estos alambres en el sistema cuál es la probabilidad de que los 4 satisfagan las especificaciones? 12. El tiempo T transcurrido hasta el fallo de una lavadora se supone que se distribuye exponencialmente con media de 3 años. Una compañía ofrece un seguro para esta lavadorao para los primeros 5 años de uso. a) En qué porcentaje de casos tendrá que pagar reclamaciones? b) Hallar los cuartiles de T y los límites LI y LS para la distribución de la variable. c) Qué porcentaje de valores atípicos presenta esta variable y dónde se hallan localizados? 13. Un mecánico ha observado que la anchura X de unas planchas de metal sigue una distribución normal de media 6 mm y que el 90 % de las planchas tienen una anchura inferior a 7.5 mm. Calcular σ y hallar la probabilidad de que una plancha tenga anchura mayor que 8 mm.

3 Estadística Una empresa que suministra piezas a otra embala sus productos en paquetes con un peso medio de 120 Kg y desviación estándar 2 kg. El peso de los paquetes sigue una distribución normal. Cuál es la probabilidad de que 50 de estos paquetes se puedan transportar en un camión cuya tara es de 6500 Kg? 15. El período de vida en años de un interruptor eléctrico tiene una distribución exponencial con una tasa de fallo de 2. Si 100 de estos interruptores se instalan en sistemas iguales, cuál es la probabilidad de que al menos 30 fallen el primer año? 16. La duración en horas de una determinada bombilla que produce una empresa se distribuye según una N (1200, σ). Se sabe que el 97 % de las bombillas dura entre 1178,3 y 1221,7 horas a) Demostrar que σ = 10. b) Si se consideran 9 de estas bombillas, cuál es la probabilidad de que al menos 3 de ellas duren más de horas? c) Si se consideran 100 bombillas, cuál es la probabilidad de que al menos 30 de las bombillas duren más de horas? 17. El 80 % de los alumnos que desean estudiar una Ingeniería en Valladolid eligen una carrera técnica y el resto una carrera superio. a) Cuál es la probabilidad de que el 15ž alumno matriculado este curso en una carrera de Ingeniería sea el 3ž que va a una superior?. b) De 50m alumnos matriculados en carreras de Ingeniería en Valladolid este curso cuántos se espera que lo hayan hecho en una ingeniería técnica? c) Cuál es la probabilidad de que de los 500 alumnos matriculados este año en carreras de Ingeniería en Valladolid, 380m lo hayan hecho en una ingeniería técnica? 18. Las piezas fabricadas por determinada máquina se clasifican en dos categorías distintas: sin defecto y con defecto. En una caja de 40 piezas se han embalado 15 con defecto. Si extraemos 5 piezas distintas de la caja, a) Cuál es la probabilidad de que ninguna tenga defecto? b) Cuál es la probabilidad de que exactamente una pieza de las 5 tenga defecto? c) Si se observa una de las 5 piezas y tiene defecto, cuál es la probabilidad de que ninguna de las otras 4 piezas lo tenga? d) Cuál es el número esperado de piezas defectuosas en una muestra de 5 piezas seleccionadas de esta forma de la caja?

4 Estadística 4 e) Si la proporción de cajas que contienen alguna defectuosa es del 10 %, cuál es el número esperado de cajas que habrá que inspeccionar para encontrar la primera con defecto? 19. Una fábrica produce bombillas cuya duración sigue una distribución exponencial de media 85 horas. Se toman 25 bombillas al azar de su producción, cuál es la probabilidad de que al menos 10 de ellas duren al menos 77 horas? 20. La resistencia a la ruptura del vidrio templado tiene una media de 14 (medida en miles de libras por pulgada cuadrada) y una desviación estándar de 2. Cuál es la probabilidad de que la resistencia a la ruptura promedio de 100 piezas de este vidrio elegidas aleatoriamente sea menor que 14,5? 21. a) La longitud de un estuche para una cinta magnética moldeado por inyección tiene una distribución normal. Cuál debe ser el valor de la media para que el mayor número de estuches tenga una longitud entre y milímetros? b) Considera que el proceso se ajusta de modo que la media y la desviación estándar queden en 90 y 0.1 milímetros, respectivamente. Supón que se mide la longitud de 10 estuches y que las mediciones son independientes. 1) Cuál es la probabilidad de que la longitud de al menos 8 estuches esté entre y milímetros? 2) Cuál es el número esperado de los 10 estuches cuya longitud esté entre y milímetros? 3) Qué probabilidad hay de que la suma de las longitudes de los 10 estuches sea superior a milímetros? 22. El tiempo necesario para completar un proceso de prueba de un componente electrónico sigue un distribución normal con media 2,4 horas. Se ha observado que el tiempo de prueba es menor que 2,84 horas en el 67 % de las pruebas. a) Calcula el valor de la varianza del tiempo necesario para completar un proceso de prueba. b) Cuál es la probabilidad de que el tiempo de una estas pruebas sea superior a 2 horas? c) En 400 de estas pruebas, cuál es la probabilidad de que en más de 290 se requieran más de 2 horas? d) El número de pruebas que se realizan en un día depende de diversas circunstancias y tiene una distribución de Poisson de media 12,5. Cuál es la probabilidad de que se hayan realizado más de 2250 pruebas en un periodo total de 200 días? Considerar que el número de pruebas que se realiza un día es independiente del número de pruebas que se realiza cualquier otro día.

5 Estadística 5 e) Calcula la probabilidad de que entre las 7 : 30h y las 12 : 30h de un día concreto, se hayan realizado más de tres pruebas. 23. El error que se comete al truncar un número al entero correspondiente se puede modelizar como una variable aleatoria X con distribución uniforme en el intervalo [0, 1), X U([0, 1)). a) Cuál es la media de X? Calcular su varianza. b) Se suman 100 números obtenidos de forma independiente. Si cada número ha sido truncado antes de ser sumado, qué distribución, exacta o aproximada, utilizarías para modelizar el error cometido al calcular la suma? Razona la respuesta y proporciona tanto el modelo como sus parámetros. 24. En determinado aeropuerto, el tiempo medio entre llegadas de aviones es de 5 minutos. Suponiendo que el tiempo entre llegadas consecutivas tiene distribución exponencial, a) Cuál es el número esperado de llegadas entre las 2 y las 3 de mediodía? b) Acaba de aterrrizar un avión; cuál es la probabilidad de que trascurran más de 3 minutos hasta el próximo aterrizaje? c) Se observa el tiempo entre llegadas de los 101 primeros aviones que aterrizan después de las 7:00 de la mañana; cuántos de estos tiempos se espera que sean mayores que 3 minutos? cuál es la probabilidad de que más de 45 de estos tiempos sean mayores que 3 minutos? d) La comisión de aeropuertos metropolitanos está considerando establecer límites para el nivel de contaminación por ruido cerca de un aeropuerto local. En la actualidad el nivel de ruido por despegue de jets en una zona residencial cercana al aeropuerto tiene una distribución aproximadamente normal con una media de 100 db. y una desviación estándar de 6 db. Qué probabilidad hay de que un jet escogido al azar genere un nivel de ruido mayor que 108 db. en esta zona residencial? Qué probabilidad hay de que un jet escogido al azar genere un nivel de ruido de exactamente 100 db.? Suponga que se aprueba un reglamento que obliga a que el nivel de ruido por aviones a reacción en esta zona residencial sea menor que 105 db. el 95 % del tiempo. Suponiendo que la desviación estándar del ruido sigue siendo la misma, hasta dónde se tendrá que reducir el nivel medio de ruido para cumplir con el reglamento? 25. El número de alumnos que acuden a tutoría en una hora sigue una distribución de Poisson de parámetro λ = 0,8. El profesor limita el número de alumnos que pueden ser atendidos en una hora a 4.

6 Estadística 6 a) Cuál es la probabilidad de que todos los alumnos que acudan a tutoría en una hora concreta, sean atendidos? b) Cuál es el número esperado de alumnos por hora? c) Si Y es la variable número de alumnos atendidos en una hora, obtener su ley de probabilidades. d) Cuál es el número esperado de alumnos atendidos por hora? e) Y el de alumnos no atendidos? f ) Cuál sería la distribución del tiempo entre la llegada de dos alumnos consecutivos? Cuál es el tiempo medio entre llegadas? Poner correctamente las unidades. g) Cuál es la probabilidad de que acudan exactamente dos alumnos en 15 minutos? Decir qué distribución has usado y el valor de la probabilidad. h) Si ha trascurrido media hora y no ha acudido ningún alumno, cuál es la probabilidad de que acuda algún alumno en la siguiente media hora?. i) Se han observado seis horas de tutoría y se ha contado el número de alumnos que han acudido en cada una. Cuál es la probabilidad de que en 3 de éstas haya acudido un solo alumno?. j) Si se observan 100 sesiones de 1 hora, cuál es la probabilidad de que en al menos en 22 el profesor tenga que atender a un solo alumno? 26. Sea X una variable aleatoria con distribución N (0, 1). Calcula p(x = 0). 27. Una máquina de llenado automático deposita en cada envase un determinado componente líquido. Se sabe que el volumen depositado tiene una distribución normal con media µ = 12,4 ml. y desviación σ = 0,3 ml. de líquido. a) Se desechan todos los envases que tienen menos de 11.9 ml. o más de 12.8 ml. del citado componente. 1) Cuál es la proporción de envases desechados? 2) Cuál es la probabilidad de tener que desechar a lo sumo 10 envases cuando se han llenado 100? b) Qué contenido del componente no es superado por el 90 % de los envases? c) Si se dispone de 309 ml. del componente líquido, cuál es la probabilidad de que se puedan llenar 25 envases? 28. La probabilidad de que un individuo tenga una reacción alérgica al inyectarle un determinado suero es Hallar la probabilidad de que, entre 2000 individuos, tengan reacción alérgica: a) Exactamente 3. b) Dos o más.

7 Estadística Un canal de comunicación recibe impulsos independientes a razón de 200 impulsos por microsegundo. La probabilidad de un error en la trasmisión es de para cada impulso. Calcular las probabilidades de los siguientes sucesos: a) No hay ningún error en un microsegundo. b) Hay exactamente un error en un microsegundo. c) Hay al menos un error en un microsegundo. d) Hay exactamente dos errores en un microsegundo. 30. Un tren de circulación diaria se retrasa, independientemente de un día a otro, un tiempo aleatorio con distribución exponencial de parámetro λ = 0,25 (el tiempo se mide en minutos). Calcular la probabilidad de que, a lo largo de un año, el tren se retrase 6 ó más minutos en más de 50 ocasiones. 31. El contenido real de frascos de cierto tipo tiene una distribución normal con media 137,2 onzas y desviación estándar de 1,6 onzas. El contenido establecido es de 135 onzas. a) Cuál es la probabilidad de que un frasco contenga más que el contenido establecido? b) Entre diez frascos seleccionados al azar, cuál es la probabilidad de que por lo menos ocho contengan más del contenido establecido? c) Si se supone que la media permanece en 137,2, a qué valor tendría que haberse cambiado la desviación estándar para que el 95 % de todos los frascos contenga más de lo establecido? 32. Tiramos una moneda 400 veces. a) Hallar la probabilidad de que el número de caras esté entre 160 y 190. b) Obterner un intervalo centrado en 200 tal que la probabilidad de que el número de caras esté en él sea La suma de 50 v.a. independientes con distribución U( 2, 2) sigue aproximadamente, qué tipo de distribución? (Se pide el modelo y los parámetros) 34. La duración de un proceso industrial sigue una distribución normal. El 60 % de las veces dura más de 40 minutos y el 55 % de las veces dura menos de 50 minutos. Hallar µ y σ. 35. El tiempo de vida (en días) de cierta especie A de mariposas es una variable aleatoria con función de densidad: k(1 x 2 )x 2 si 0 < x < 1 f(x) = 0 en el resto

8 Estadística 8 El tiempo de vida (en días) de otra especie B de mariposas es una variable aleatoria con distribución Exp(2). En un ecosistema cerrado conviven sólo esas dos especies de mariposas. El 20 % de la población de mariposas es de la especie A y el 80 % restante es de la especie B. a) Calcular k. b) Cuál de las dos especies tiene mayor esperanza de vida? c) Cuál es la probabilidad de que una mariposa del ecosistema viva más de 0.3 días? d) Observamos una mariposa que ha vivido más de 0.3 días; cuál es la probabilidad de que sea de la especie B? e) Una mariposa de la especie B vive aún al cabo de 0.2 días; cuál es la probabilidad de que siga viviendo después 0.3 días más? f ) Cuántas de las mariposas de la especie B que eclosionaron (nacieron) en un instante determinado se espera que mueran antes de 12 horas? 36. La duración en minutos de las cintas de video de cierta marca tiene una distribución normal de media 240 y desviación 10. a) Elegimos al azar dos cintas, de forma independiente. Cuál es la probabilidad de que la duración total sea inferior a 490 minutos? b) Elegimos 100 cintas al azar y de forma independiente unas de otras. Cuál es la probabilidad de que más de 80 tengan una duración inferior a 250 minutos? 37. a) La cantidad (en mg) de un determinado contaminante que un coche de pequeña cilindrada expele a la atmósfera cada 100 Km es una variable aleatoria X con distribución normal de media µ = 20 mg y desviación σ = 3 mg. Si 10 coches de este tipo (que admitiremos que actúan independientemente) recorren 100 Km cada uno, calcular la probabilidad de que la cantidad total de contaminante haya sido superior a 190 mg. b) Cuál es la probabilidad de que al menos 60 coches de cada 80 observados de pequeña cilindrada emitan una cantidad de contaminante inferior a 21 mg? c) En el caso de coches de cilindrada media, la cantidad de contaminante arrojada cada 100 Km es una variable aleatoria Y con distribución normal con media y desviación desconocidos. Si sabemos que el 80 % de los coches de este tipo expelen más de 25 mg y el 60 % menos de 30 mg (siempre cada 100 Km), cuánto valen la media y la desviación? 38. Cierto individuo valora como factor decisivo para la compra de un coche el consumo de gasolina. Debe decidir entre dos modelos A y B. El fabricante del modelo A afirma que el consumo sigue una distribución normal

9 Estadística 9 con media µ = 8 y desviación típica σ = 5 (en litos cada 100Km), mientras que el del modelo B dice que el consumo sigue una distribución N(8, 3). a) Hallar la probabilidad de que A consuma más de 9 litros y la probabilidad de que B consuma entre 7 y 8.5 litros. b) Si decide comprar el modelo B, calcular la probabilidad de que ahorre más de 2 litros/100km. 39. Una cadena de producción está formada por 5 puestos en serie. Los fallos de cada componente corresponden a un proceso de Poison de media 4 al mes. Cuál es la probabilidad de que la cadena funcione sin fallos una semana seguida? 40. En una fábrica que envasa agua mineral se ha establecido que el volumen envasado por la máquina automática sigue una distribución normal de media 150 cl y de desviación típica 2 cl. Utilizar 3 cifras decimales en las operaciones. a) Los criterios de calidad de la empresa implican que no se venda una botella que contenga menos de 147 cl. Cuál es el porcentaje de botellas en la producción que no se puede vender? b) Las botellas se empaquetan por 6 unidades, cuál es la probabilidad de que un paquete contenga al menos una botella con menos de 147 cl? c) En un día se producen botellas, cuál es la probabilidad de que haya en un día más de 600 botellas que no se puedan vender? d) Cuál es, en un mes de 30 días, el número medio de días en los que se producen más de 600 botellas que no se puedan vender? e) En este contexto enuncia y resuelve una pregunta que requiera modelizar utilizando una variable aleatoria con distribución binomial negativa. 41. Una editorial tiene contratados a varios correctores de pruebas. Un tercio de ellos son considerados excelentes y el resto normales. El número de erratas detectadas por cada corrector sigue una distribución de Poisson. Un corrector excelente detecta una media de 3.2 erratas por hora de trabajo y uno normal una media de 2. a) Hallar la probabilidad de que un corrector elegido al azar encuentre 12 erratas si trabaja 5 horas seguidas. b) Sea X E la variable aleatoria número de erratas encontradas en una hora por un corrector excelente. Calcular su mediana. c) Sea T E la variable aleatoria tiempo (en horas) que un corrector excelente tarda en detectar una errata. Calcular su mediana. d) Si la empresa tiene 30 correctores, cuál es la probabilidad de que en una hora detecten entre todos más de 75 erratas?

10 Estadística En un proceso de fabricación de tornillos, se sabe que el porcentaje de tornillos defectuosos es del 2 %. Los tornillos se venden en cajas de 50 unidades. a) Cuál es la probabilidad de que haya al menos un tornillo defectuoso en una caja? b) Los mayoristas compran tornillos en paquetes con 10 cajas. Calcula cuántos tornillos defectuosos habrá en un paquete, por término medio, y la probabilidad de que haya más de 15 tornillos defectuosos en un paquete. 43. En una fábrica se están produciendo cuerdas con cierta fibra sintética. La resistencia a la tensión de estas cuerdas sigue una distribución N(30,2). a) Cuál es el porcentaje de cuerdas en las que la resitencia a la tensión está entre 28 y 32? Dar el resulatado redondeado a un decimal. b) En un pedido de 20 cuerdas, cuál es la probabilidad de que en menos de 12 la resistencia a la tensión esté entre 28 y 32? c) En un pedido de 200 cuerdas, cuál es la probabilidad de que en más de 140 la resistencia a la tensión esté entre 28 y 32? d) Se eligen 2 cuerdas al azar, cuál es la probabilidad de que la diferencia de las resistencias sea menor que 1? 44. El número de accidentes de trabajo que se producen en una empresa sigue una distribución de Poisson de media 1.5 accidentes al mes. (Un mes = 30 días). a) Calcular la probabilidad de que se produzcan 23 accidentes en un año. (Responder utilizando las tablas). b) Calcular la probabilidad de que en más de 15 días no haya accidentes. c) Calcular la probabilidad de que en un mes haya 1 accidente. (Redondear el resultado a una cifra decimal) d) Si se hace un estudio de los últimos 6 meses, cuál es la probabilidad de que en más de tres de los meses sólo se produzca 1 accidente? e) Calcular la probabilidad de que en los últimos 15 años se hayan producido más de 300 accidentes. f ) En los 5 días anteriores no se ha producido ningún accidente, cuál es la probabilidad de que se produzca alguno en los próximos 10 días?