Criterios de bondad de ajuste en la selección de modelos no lineales en la descripción de comportamientos biológicos

Transcripción

1 Revista Cubana de Ciencia Agrícola, Tomo 46, Número 4, Criterios de bondad de ajuste en la selección de modelos no lineales en la descripción de comportamientos biológicos Verena Torres 1, I. Barbosa 2, R. Meyer 3, Aida Noda 1 y Lucía Sarduy 1 1 Instituto de Ciencia Animal, Apartado Postal 24, San José de las Lajas, Mayabeque, Cuba 2 Universidad Federal de Minas de Gerais, Av. Antônio Carlos, 6627, Pampulha-Belo Horizonte 3 Universidad del Litoral, Bv. Pellegrini 2750 (3000), Santa Fe, Argentina Correo electrónico: vtorres@ica.co.cu Se realizó un estudio para analizar la bondad de ajuste de modelos no lineales, con el objetivo de describir el comportamiento del peso vivo durante el crecimiento de animales Bufalypsos mestizos en condiciones de pastoreo mediante la utilización de catorce criterios estadísticos. Los modelos no lineales en los parámetros logístico, Gompertz, von Bertalanffy y Brody se ajustaron a los datos correspondientes a 43 pesajes realizados durante dos lactancias (1064). Los mejores criterios para seleccionar modelos no lineales son: coeficiente de determinación (R²), cuadrado medio del error de predicción (CMEP), error estándar de estimación, error estándar de cada parámetro, análisis de residuos, error absoluto medio (EAM) y porcentaje de error absoluto medio (PEAM). Las estimaciones de los parámetros, como el análisis de los residuos, son ineficientes cuando se trabaja con el promedio de las observaciones. En particular, en las hembras bufalinas el modelo de mejor ajuste fue el logístico. Palabras clave: modelos no lineales, bondad de ajuste, criterios estadísticos En la actualidad, los estudios que utilizan modelos no lineales en los parámetros (comúnmente denominados modelos no lineales) para hacer inferencias e interpretaciones biológicas se han incrementado notablemente. Describir y predecir el crecimiento de los animales son los objetivos principales del ajuste de modelos matemáticos para estudios de crecimiento. La finalidad del ajuste de modelos matemáticos al crecimiento se dirige fundamentalmente a resumir, en tres o cuatro parámetros, las características productivas y lograr su interpretación biológica, en el caso de los modelos no lineales. Igualmente son indicados para evaluar el perfil de respuesta del tratamiento en el transcurso del tiempo, estudiar interacciones de respuestas de las subpoblaciones o tratamientos con el tiempo, identificar en una población los animales más pesados en edades más jóvenes, obtener la varianza entre y en individuos de gran interés en estudios de curvas de crecimiento. Los modelos matemáticos no lineales, desarrollados empíricamente para relacionar peso y edad, en la descripción de la curva de crecimiento en diferentes especies (Freitas 2005) han sido muy útiles para predecir tasas de crecimiento, estimar requerimientos nutricionales, evaluar la selección y otros aspectos de interés zootécnico. Colmenares y Cermeño (1997) han realizado trabajos de investigación para ajustar datos a diferentes modelos. Estos autores han encontrando coeficientes de determinación (R 2 ) entre y 0.93, utilizando los modelos Gamma, Logarítmico, Polinomial inverso y Exponencial parabólico, entre otros. Sin embargo, los modelos más utilizados para describir el comportamiento y crecimiento de los animales y plantas son las funciones Brody (Brody 1945), von Bertalanffy (Bertalanffy 1957), Richards (Richards 1959), Logística (Nelder 1961) y Gompertz (Laird 1965). Más recientemente se pueden citar los trabajos de Torres et al. (2007), Malhado et al. (2008) y Noguera et al. (2008). En dependencia de la especie o raza animal, el número de observaciones o las características observadas, los resultados pueden variar en relación con el modelo de mejor ajuste a la curva del animal (Mazzini et al. 2003, McManus et al y Santoro et al. 2005). En Cuba, Fundora et al. (2006) trabajaron en la caracterización de la curva de crecimiento de búfalos de río mediante un modelo lineal y un modelo no lineal logístico. Torres et al. (2007) desarrollaron un modelo estocástico para predecir el comportamiento del peso vivo en esta especie. También Fraga et al. (2003) publicaron un estudio donde usaron cuatro modelos matemáticos lineales y no lineales para estimar la curva de lactancia estándar de esta misma especie. En la mayoría de los trabajos se utilizaron dos o tres criterios estadísticos para analizar la bondad del ajuste de los modelos. Entre ellos, la significación del modelo (α) y el coeficiente de determinación (R 2 ). Algunos estudios hacen referencia al cuadrado medio del error. Sin embargo, existen otros criterios que se definen en la literatura estadística y que se debieran considerar en estudios de selección de modelos, sobre todo cuando se trabaja con modelos no lineales. Este estudio tuvo como objetivo analizar la bondad de ajuste de modelos no lineales para describir el comportamiento del peso vivo durante el crecimiento de animales mestizos de Bufalypso en condiciones de pastoreo mediante la utilización de doce criterios estadísticos.

2 346 Materiales y Métodos Los modelos no lineales utilizados fueron: Modelo logístico, A W ( t) = + ε Bt+ C 1+ exp Modelo de Gompertz B exp( Ct) W ( t) = Aexp +ε Modelo de von Bertalanffy 3 W ( t) = ( A Bexp( Ct)) + ε Modelo de Brody W (t) = A(1 - Bexp -CT ) +ε Donde: W es la variable independiente A, B y C son parámetros de los modelos T es la variable medida en el tiempo (mes) ε es error aleatorio, normalmente distribuido con media cero y varianza constante. Para realizar el ajuste de los modelos se aplicó el procedimiento iterativo de estimación de los parámetros de Levenberg-Marquardt. Se prefijó la convergencia de la suma de cuadrados del error y de los parámetros como 1xe -8 mediante el comando regresión del SPSS para Windows (2002). Para el análisis de la bondad de ajuste y la selección de los mejores modelos se utilizaron los criterios estadísticos publicados por Chacin (1998), Guerra et al..(2003), Torres y Ortiz (2005) y Malhado et al.(2008), a saber: 1. Coeficiente de determinación R 2 y R 2 ajustado por los grados de libertad 2. Estadístico CMEP (cuadrado medio del error de predicción) 3. Estadístico PRESS (suma de cuadrados del error de predicción) 4. Cuadrado medio, correspondiente al modelo ajustado 5. Error estándar de estimación Revista Cubana de Ciencia Agrícola, Tomo 46, Número 4, Error estándar de los estimadores de los parámetros 7. Coeficiente de variación de los estimadores 8. Límites de confianza de los parámetros 9. Test de redundancia de los parámetros 10. Diagnóstico de la multicolinealidad (Durbin- Watson) 11. Coeficientes de correlación entre los resultados predichos y los reales 12. Análisis de los residuos mediente: Error absoluto medio (EAM ) Porcentaje de error absoluto medio (PEAM) Error medio (EM) Porcentaje de error medio (PEM) Para mostrar la utilidad de los estadísticos seleccionados se utilizó la información correspondiente a los pesos vivos (PV) de 15 hembras de la raza Bufalypso, nacidas en el Instituto de Ciencia Animal (provincia Mayabeque, Cuba), y alimentadas en un sistema de amamantamiento libre hasta los 10 d de edad. Luego, tuvieron hasta el destete amamantamiento restringido y pastoreo rotacional. Los pesos vivos se midieron mensualmente, desde el nacimiento hasta los 42 meses de edad. En este momento se incorporaron a la reproducción, con aproximadamente 370 kg. Para el procesamiento estadístico se utilizaron los programas estadísticos SPSS (v15.0), Infostat (2001) y Statgrafic (2000), todos sobre Windows. Resultados y Discusión En la figura 1 se muestran los PV obtenidos y los estimados por los cuatro modelos probados. Se comprueba que aunque los comportamientos de PV fueron similares, existen diferencias en los valores estimados, fundamentalmente en el comportamiento al nacimiento (t = 0) y al final (t = 42). Al respecto, se identificaron las tres fases señaladas por Noguera et al. (2008): 1) fase de aceleración, que idealmente Figura 1. Comportamiento de los PV desde el nacimiento hasta los 43 meses, observados y estimados por los modelos ajustados

3 Revista Cubana de Ciencia Agrícola, Tomo 46, Número 4, debe tener su origen en el punto (0,0) con velocidad de crecimiento muy rápida y positiva, que alcanza un valor máximo en el punto de inflexión de la curva; 2) fase de desaceleración a partir del punto de inflexión, con velocidad de crecimiento que comienza a disminuir en virtud de factores fisiológicos que frenan el crecimiento; 3) fase lineal que ocurre cuando el animal deja de crecer o cuando el crecimiento se puede considerar solamente para la reposición de tejidos. En los cuatro modelos no lineales probados (logístico, Gompertz, von Bertalanffy y Brody), el parámetro A representó el peso asintótico del animal (tabla 1). No fue necesariamente el mayor peso que el animal alcanzó sino el peso asintótico al que tiende en la madurez, independientemente de las variaciones. Al comparar las estimaciones obtenidas por los cuatro modelos, el mayor valor correspondió al modelo de Brody ( kg) y el menor, al logístico ( kg). Resultados similares lograron Malhado et al. (2008) en bubalinos de la raza Murrah, pero en un rango más estrecho. El mayor valor fue también para el modelo Brody (688.0 kg), y el menor para la curva logística (601,9 kg). Para el parámetro A hubo sobreestimación en el modelo de Brody. Según Abreu et al. (2004), el parámetro B es el factor de integración que ajusta los valores de peso inicial. Generalmente, está asociado con el peso al nacimiento (grado de desarrollo del animal al nacimiento para alcanzar el peso asintótico). Sin embargo, Noguera et al. (2008) plantearon que este parámetro no posee significado biológico. No obstante, se considera su importancia para modelar la curva sigmoidea, desde el nacimiento hasta la edad adulta, a los 42 meses. El parámetro C, tasa de madurez de los animales, es una función entre la máxima tasa de crecimiento y el peso adulto del animal (velocidad de crecimiento). Animales con altos valores de C representan una madurez precoz con respecto a los de peso inicial similar. En la estimación de este parámetro ocurrió lo inverso del peso asintótico, con las estimaciones de modelos considerados (0.02 a 0.13). Oliveira et al. (2000) en bovinos refirieron un comportamiento similar en las estimaciones de este parámetro. Los resultados para los doce criterios estadísticos se muestran en la tabla 2. El primero de ellos, el coeficiente de determinación R², es un estadígrafo muy utilizado como indicador de la bondad ajuste y tuvo el valor superior para el modelo logístico. El coeficiente de determinación, ajustado por los grados de libertad del modelo, mostró valores muy similares al coeficiente sin ajustar, debido a que los modelos estudiados solo tienen una variable independiente, por lo que resulta redundante informar los dos coeficientes de determinación en casos como estos. El cuadrado medio del error de predicción (CMEP) inferior correspondió también al modelo logístico, aumentado de forma importante para los otros tres modelos probados. La suma de cuadrados del error de predicción (PRESS) presentó el mismo comportamiento que el cuadrado medio del error de predicción. El cuadrado medio del modelo ajustado tuvo comportamiento inverso a los dos criterios anteriores, debido a que explica la variabilidad del modelo. Se concluye que la aplicación de estos tres criterios en modelos no lineales con una sola variable independiente (dinámica) resulta redundante, por lo que se recomienda el uso del primero. Este brinda más información sobre la varianza de los errores. El error estándar de estimación se refiere a la desviación normal de los residuos. Este fue también inferior para el modelo logístico, y aumentó para los restantes. La importancia de conocer el error estándar de cada parámetro se relaciona con la posibilidad de estimar sus intervalos de confianza y hacer inferencias probabilísticas del rango en que se mueven. Los criterios coeficientes de variación de los estimadores (%) y prueba de redundancia de los parámetros no aportaron información que permita establecer diferencias entre los modelos probados. El estadístico de Durbin-Watson, de Durban et al. (1971), se utiliza para encontrar la correlación serial entre los errores, y es aproximadamente 2-ρ, donde: ρ es la correlación muestral entre e i y e i-1. La similitud entre los valores encontrados para este estadístico en los cuatro modelos probados mostró que hubo correlación serial (P < 0.05). Esto era de esperar en modelos donde la variable independiente (PV) se mide en el tiempo en el mismo animal. Por tanto, este criterio no aportó diferencias, aunque es necesario determinarlo para valorar los riegos en el incumplimiento de los supuestos de errores. Los coeficientes de correlación entre los resultados predichos y los reales son altos y significativos (P < 0.001) para todos los modelos. Por tanto, tampoco este criterio permitió diferenciar las bondades de los modelos probados. Con respecto a los criterios para el análisis de la precisión de las estimaciones (análisis de residuos), la figura 2 muestra el comportamiento gráfico de los residuos. El rango de variación de los residuos estuvo entre -150 y 150. Los valores extremos correspondieron, en su mayoría, a los modelos de Brody y von Bertalanffy Tabla 1. Parámetros para cada uno de modelos ajustados Parámetros Logístico Gompertz von Bertalanffy Brody A B C

4 348 Revista Cubana de Ciencia Agrícola, Tomo 46, Número 4, Tabla 2. Criterios estadísticos para los cuatro modelos analizados Criterios Logístico Gompertz von Bertalanffy Brody R 2 coeficiente de determinación R 2 ajustado por los grados de libertad Estadístico CMEP (Cuadrado medio del error de predicción) Validación de las predicciones del modelo Estadístico PRESS (Suma de cuadrados del error de predicción) Cuadrado medio del modelo de predicción Error estándar de estimación Error estándar parámetros A ± B ± C ± Límites de confianza de los parámetros A : B 8.99:10.46 C 0.13: 0.12 A ± B ± C ± A : B 2.75: 2.98 C 0.07: 0.08 A ± B ± C ± A 8.57: 8.80 B 5.84: 5.56 C 0.06: 0.05 A ± B ± C ± A : B 0.99: 1.01 C 0.01: 0.02 Coeficiente de variación de los estimadores, % Prueba de redundancia de los parámetros No contienen No contienen No contienen No contienen Durbin Watson (independiencia de errores) Test de falta de ajuste del modelo Coeficientes de correlación entre los resultados predichos y los reales. Análisis de la precisión de las estimaciones (Análisis de residuos) EAM (Error absoluto medio) PEAM (Porcentaje de error absoluto medio) EM (Error medio) PEM(Porcentaje de error medio) Número de interacciones (-50 a -100 y de 100 a 150). Este gráfico resulta imprescindible para conocer el comportamiento general de los residuos. Con respecto a la precisión de las estimaciones, cada uno de los estadísticos presentados (EAM, PEAM, EM y PEM) se basa en los errores de predicción, o sea, en las diferencias entre los valores de los datos en el tiempo t y la predicción de ese valor hecha a tiempo t-1. Los dos primeros, EAM y PEAM, miden la magnitud de los errores, y los dos últimos, EM y PEM, el sesgo. Los modelos logísticos y Gompertz fueron los que presentaron los más bajos valores para las magnitudes de los errores EAM y PEAM. Sin embargo, el EM del logístico y Brody presentaron valores menores. En cuanto al PEM del Gompertz, fue el mejor y el logístico, el peor. Los resultados obtenidos para EM y PEM son contradictorios, por lo que no ayudan definitivamente en la selección del modelo con mejor bondad de ajuste. Existen otros criterios de bondad de ajuste que se pudieran considerar y que toman en cuenta las hipótesis de base correspondientes al análisis de regresión. Estos se basan en probar estadísticos para las hipótesis de normalidad, autocorrelación y homocedasticidad (Cook y Weisberg 1982 y Guerra et al. 2003). En la figura

5 Revista Cubana de Ciencia Agrícola, Tomo 46, Número 4, Residuos Res-Logistico Res-Gompertz Res-Von Bertalafy Res-Brody Mes Figura 2. Representación de los residuos para los modelos ajustados Cuantiles observados(reslog) 160,09 n= 1063 R²= 0,993(ResLog) 81,35 2,61-76,13-154,87 Cuantiles observados(resgomp) 163,59 n= 1063 R²= 0,994(ResGomp) 84,07 4,55-74,97-154,49 Cuantiles observados(resvonbertalafy) 165,00 n= 1063 R²= 0,994(ResVonBertalafy) 85,39 5,78-73,82-153,43 Cuantiles observados(resbrody) 168,26 n= 1063 R²= 0,997(ResBrody) 89,13 10,00-69,13-148,26 Figura 3. Comportamiento de la prueba de normalidad para los residuos en los cuatro modelos probados 3 se presenta el comportamiento gráfico de la prueba de normalidad en los cuatro modelos probados. Los residuos cumplen esta hipótesis, y solo en los primeros y últimos meses de medición estos valores se alejan, por lo que las predicciones son menos precisas. Se concluye que los mejores criterios para seleccionar modelos no lineales son: coeficiente de determinación R², cuadrado medio del error de predicción (CMEP), error estándar de estimación, error estándar de cada parámetro, análisis de residuos, error absoluto medio (EAM) y porcentaje de error absoluto medio (PEAM). En el caso del crecimiento, para las hembras Bufalypsas el modelo de mejor ajuste fue el logístico. Referencias Bertalanffy, L. von Quantitative laws in metabolism and growth. The Quarterly Rev. Biology 32: 270 Bertalanffy, L. von Quantitative laws in Análise de curvas de crescimento de Brody, S Bioenergetics and growth. Reinhhold Publication. New York pp. Colmenares, O. & Cermeño, H Análisis preliminar de curvas de lactancia en el búfalo de agua (Bubalus bubalis) en la zona sur del estado Táchira, Venezuela Arch. Latinoam. Prod. Anim. 5: 417 Cook, R. D. & Weisberg, S Residuals and influence in regression. School of Statistics. Universidad de Minnesota. New York. London Chapman and Hall. Chacín, F Análisis de regresión y superficies de respuesta. Universidad Central de Venezuela. Facultad de Agronomía. Maracay, Venezuela. 274 pp. Di Rienzo, J.A., Balzarini, Ç. M., Casanoves, F., González, L., Tablada, M., Guzmán, W. & Robledo, C.W InfoStat. Software estadístico. Facultad de Ciencias Agropecuarias. Universidad Nacional de Córdoba. Argentina Draper, N. R. & Smith, H Applied regression analysis. 2nd Ed. Wiley. New York

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